La relation entre les mathématiques et l'art
Maths et art est liée de plusieurs façons. Les mathématiques elles-mêmes ont été décrites comme un art motivé par la beauté. Les mathématiques peuvent être vues dans des arts tels que la musique, la danse, la peinture, l'architecture, la sculpture et le textile. Cependant, cet article se concentre sur les mathématiques dans les arts visuels.
Les mathématiques et l'art ont une longue relation historique. Les artistes utilisent les mathématiques depuis le 4ème siècle avant JC quand le sculpteur grec Polykleitos a écrit son Canon, prescrire des proportions basées sur le ratio 1:√2 pour le nu masculin idéal. Des revendications populaires persistantes ont été faites pour l'utilisation de la relation en or dans l'art et l'architecture anciens, sans preuves fiables. À la Renaissance italienne, Luca Pacioli a écrit la thèse influente Les proportions de Divina (1509), illustrés de gravures sur bois par Léonard de Vinci, sur l'utilisation de la relation en or dans l'art. Un autre peintre italien, Piero della Francesca, a développé les idées de la perspective d’Euclide dans des accords tels que Le futur Pingendiet dans ses peintures. Le graveur Albrecht Dürer a fait de nombreuses références aux mathématiques dans son travail Melencolia I. De nos jours, le graphiste M. C. Escher a fait un usage intensif de la tessellation et de la géométrie hyperbolique, avec l'aide du mathématicien H. S. M. Coxeter, tandis que le mouvement De Stijl dirigé par Theo van Doesburg et Piet Mondrian embrassait explicitement les formes géométriques. Les mathématiques ont inspiré les arts textiles tels que la courtepointe, le tricot, la couture, le crochet, la broderie, le tissage, la confection de tapis turcs et autres, ainsi que le kilim. Dans l'art islamique, les symétries se manifestent sous des formes aussi variées que le girih persan et les briques zelig marocaines, les écrans en pierre percés de Mujal jali et les vastes voûtes du muqarna.
Les mathématiques ont directement influencé l'art avec des outils conceptuels tels que la perspective linéaire, l'analyse de la symétrie et des objets mathématiques tels que les polyèdres et la bande de Möbius. Magnus Wenninger crée des polyèdres étoilés colorés, à l'origine des modèles pour l'enseignement. Des concepts mathématiques tels que la récurrence et le paradoxe logique peuvent être vus dans les peintures de René Magritte et dans les gravures de M. C. Escher. L'art informatique utilise souvent des fractales, y compris l'ensemble de Mandelbrot, et explore parfois d'autres objets mathématiques, tels que des machines mobiles. De manière controversée, l’artiste David Hockney a affirmé que les artistes de la Renaissance avaient utilisé camera lucida pour dessiner des représentations précises de scènes; L'architecte Philip Steadman a également affirmé que Vermeer utilisait la camera obscura dans ses peintures remarquablement observées.
L'analyse algorithmique des œuvres par spectroscopie de fluorescence X a également révélé que le batik traditionnel de différentes régions de Java avait des dimensions fractales et des stimuli distincts pour la recherche mathématique, en particulier la théorie de la perspective de Filippo Brunelleschi, qui a finalement conduit à la géométrie projective de Girard Desargues. Un point de vue soutenu, basé en fin de compte sur la notion pythagorienne d'harmonie musicale, soutient que tout a été arrangé par Nombre, que Dieu est la géométrie du monde et que la géométrie du monde est donc sacrée, vue dans des œuvres d'art telles que William Blakes. L'ancien des jours.
Origine: de la Grèce antique à la Renaissance(éditer)
Polykleitos s Canon et Symmetria(éditer)
Polykleitos le plus ancien (environ 450–420 av. J.-C.) était un sculpteur grec de l'école d'Argos et un contemporain de Phidias. Ses œuvres et statues étaient composées principalement de bronze et d'athlètes. Selon le philosophe et mathématicien Xenocrates, Polykleitos est l'un des sculpteurs les plus importants de l'Antiquité classique pour ses travaux sur Doryphore et la statue d'Héra dans l'Héraion d'Argos.(3) Bien que ses sculptures ne soient peut-être pas aussi célèbres que Phidias, elles sont très admirées. en Canon Polykleitos, une thèse qu'il a écrite pour documenter les proportions anatomiques "parfaites" du nu masculin, Polykleitos nous offre une approche mathématique de la sculpture du corps humain.(3)
Polykleitos utilise la phalange distale du petit doigt comme module de base pour déterminer les proportions du corps humain.(4) Polykleitos multiplie la longueur de la phalange distale par la racine carrée de deux (√2) pour obtenir la distance des autres phalanges et multiplier la longueur par √2 pour obtenir la longueur des troisièmes phalanges. Il prend ensuite la longueur du doigt et le multiplie √2 pour obtenir la longueur de la paume du pied du doigt à l'ulna. Cette série de mesures géométriques se poursuit jusqu'à ce que Polykleitos ait formé le bras, la poitrine, le corps, etc.(5)
L'influence de Canon par Polykleitos est énorme dans la sculpture classique grecque, romaine et de la Renaissance, de nombreux sculpteurs suivent la recette de Polykleito. Même si aucune des œuvres originales de Polykleito ne survit, des copies romaines démontrent ses idéaux de perfection physique et de précision mathématique. Certains chercheurs affirment que la pensée pythagoricienne a influencé Canon par Polykleitos.(6) ils Canon utilise les concepts mathématiques de base de la géométrie grecque, tels que ratio, proportion et Symmetria (Grec pour "proportions harmoniques") et le transforme en un système capable de décrire la forme humaine à travers une série d'avancées géométriques continues.(4)
Perspective et proportion(éditer)
À l'époque classique, plutôt que de réduire la taille des figures éloignées dans une perspective linéaire, les peintres dimensionnent les objets et les figures en fonction de leur signification thématique. Au Moyen Âge, certains artistes ont utilisé des perspectives inverses pour une emphase particulière. Le mathématicien musulman Alhazen (Ibn al-Haytham) a décrit une théorie de l'optique dans son Livre d'optique en 1021, mais jamais utilisé dans l'art.(7) La Renaissance a vu une renaissance de la culture et des idées classiques grecques et romaines, parmi lesquelles l'étude des mathématiques pour comprendre la nature et les arts. Deux motifs principaux ont propulsé les artistes de la fin du Moyen Âge et de la Renaissance vers les mathématiques. Premièrement, les peintres devaient comprendre comment représenter des scènes en trois dimensions sur une toile en deux dimensions. Deuxièmement, les philosophes et les artistes étaient convaincus que les mathématiques étaient la véritable essence du monde physique et que tout l'univers, y compris l'art, pouvait être expliqué en termes géométriques.(8)
Les Rudiments of Perspective arrivèrent avec Giotto (1266/7 – 1337), qui tenta de dessiner la perspective en utilisant une méthode algébrique pour déterminer l'emplacement des lignes distantes. En 1415, l'architecte italien Filippo Brunelleschi et son ami Leon Battista Alberti ont démontré la méthode géométrique d'application de la perspective à Florence, en utilisant des triangles similaires à ceux formulés par Euclid, pour trouver la hauteur apparente d'objets distants.(9)(10) Les peintures de perspective de Brunelleschi sont perdues, mais la peinture de la Sainte Trinité de Masaccio montre ses principes à l'œuvre.(7)(11)(12)
Le peintre italien Paolo Uccello (1397–1475) était fasciné par la perspective, comme le montrent ses peintures de Bataille de San Romano (vers 1435–1460): les lances cassées sont bien situées le long des lignes de perspective.(1. 3)(14)
Le peintre Piero della Francesca (v. 1415–1492) a illustré ce nouveau changement de mentalité à la Renaissance italienne. Il était un mathématicien et géomètre expert et a écrit des livres sur la géométrie solide et la perspective, y compris The Prospectiva Pingendi (En perspective de la peinture), Trattato d'Abaco (Traité d'abaque)et De corporibus regularibus (Sur solides réguliers).(15)(16)(17) L'historien Vasari dans son La vie des peintres Piero appelle "le plus grand géomètre de tous les temps, ou peut-être du temps."(18) L’intérêt de Piero pour la perspective se retrouve dans ses peintures, notamment Polyptych de Pérouse,(19) ils Retable de San Agostino et Le drapeau du christ. Son travail sur la géométrie a ensuite influencé des mathématiciens et des artistes, notamment Luca Pacioli dans son film Les proportions de Divina et Leonardo da Vinci. Piero a étudié les mathématiques classiques et les travaux d'Archimède.(20) Il a appris l'arithmétique commerciale dans les "écoles de boulier"; ses écrivains sont formatés comme des manuels de boulier,(21) y compris peut-être celle de Leonardo Pisano (Fibonacci) 1202 Liber Abaci. Des perspectives linéaires viennent d'être introduites dans le monde artistique. Alberti expliqué en 1435 La pictura: "les rayons lumineux se déplacent en lignes droites des points du stade observé vers l'oeil, formant une sorte de pyramide avec l'oeil au sommet." Une peinture construite avec une perspective linéaire est une coupe transversale de cette pyramide.(22)
en Le futur PingendiPiero transforme ses observations empiriques de la façon dont les aspects d’une figure changent en vue de la preuve mathématique. Sa thèse commence dans la veine d'Euclide: il définit le point comme "le moins que l'œil puisse comprendre".(En)(8) Il utilise la logique déductive pour diriger le lecteur vers la représentation en perspective d'un corps en trois dimensions.(23)
L'artiste David Hockney a expliqué dans son livre Savoir secret: redécouvrir les techniques perdues des maîtres anciens que les artistes ont commencé à utiliser une caméra lucide à partir des années 1420, ce qui a entraîné un changement soudain de précision et de réalisme, et que cette pratique a été poursuivie par des artistes majeurs tels que Ingres, Van Eyck et Caravaggio.(24) Les critiques ne sont pas d'accord sur le fait de savoir si Hockney avait raison.(25)(26) De même, l'architecte Philip Steadman a fait valoir sa controverse(27) que Vermeer avait utilisé un autre appareil, la camera obscura, pour l'aider à créer ses peintures observées caractéristiques.(28)
En 1509, Luca Pacioli a publié (vers 1447-1517). La divina proportionione sur les proportions mathématiques et artistiques, y compris dans le visage humain. Léonard de Vinci (1452-1519) a illustré le texte à l'aide de gravures sur bois de solides communs alors qu'il étudiait sous Pacioli dans les années 1490. Les dessins de Leonardo sont probablement les premières illustrations de solides squelettiques.(29) Ceux-ci, tels que le rhombicuboctaèdre, ont été parmi les premiers à montrer la perspective en se superposant. Le travail discute des perspectives dans les travaux de Piero della Francesca, Melozzo da Forlì et Marco Palmezzano.(30) Da Vinci a étudié Paciolis Summa, à partir de laquelle il a copié des tableaux de proportions.(31) en Mona Lisa et Le dernier repasLe travail de Da Vinci a incorporé des perspectives linéaires avec un point de fuite pour fournir une profondeur apparente.(32)Le dernier repas est construit dans un ratio proche de 12: 6: 4: 3, tout comme Raphaël L'école à Athènes, qui inclut Pythagore avec une tablette de conditions idéales, sacrée pour les pythagoriciens.(33)(34) en Homme biélorusse, Leonardo a exprimé les idées de l'architecte romain Vitruve et a montré de manière innovante le personnage masculin à deux reprises, en le centrant à la fois sur un cercle et sur un carré.(35)
Dès les années 1400, la perspective bouclée se retrouva dans les peintures d'artistes intéressés par les déformations d'image. Jan van Eycks 1434 Portrait d'Arnolfini contient un miroir convexe avec des reflets des personnages de la scène,(36) tandis que Parmigianino Autoportrait dans un miroir convexe, vers 1523-1524, montre le visage de l'artiste en grande partie non déformé, avec un arrière-plan fortement incurvé et la main de l'artiste autour du bord.(37)
L'espace tridimensionnel peut être représenté de manière convaincante dans l'art, comme dans le dessin technique, d'une manière autre que la perspective. Les projections obliques, y compris la perspective de la cavalerie (utilisée par les artistes militaires français pour représenter les fortifications au XVIIIe siècle), ont été utilisées de manière continue et omniprésente par les artistes chinois du premier ou du deuxième siècle aux années 1700. Les Chinois ont acquis la technique de l'Inde, qui l'a acquise de la Rome antique. La projection oblique est présente dans l'art japonais, par exemple dans les peintures d'Ukiyo-e de Torii Kiyonaga (1752-1815).(38)
Nombre d'or(éditer)
Le nombre d'or (approximativement égal à 1 618) était connu d'Euclid.(39) La relation en or a été constamment maintenue(40)(41)(42)(43) à l'époque moderne avoir été utilisé dans l'art et l'architecture par les anciens Égyptiens, la Grèce et ailleurs, sans preuve fiable.(44) L'affirmation peut provenir d'une confusion avec des "moyens d'or" qui, pour les Grecs de l'Antiquité, signifiaient "éviter les excès dans les deux sens" et non une relation.(44)Depuis le XIXe siècle, des pyramidologues ont argumenté, sur des bases mathématiques douteuses, en faveur de la relation d’or dans la conception pyramidale.(B) Le Parthénon, temple du Ve siècle av. à Athènes, a été prétendu utiliser la relation d'or dans sa façade et le plan d'étage,(47)(48)(49) mais aussi ces affirmations sont réfutées par mesure.(44) La grande mosquée de Kairouan, en Tunisie, a également prétendu utiliser la relation en or dans sa conception,(50) mais la relation n'apparaît pas dans les parties originales de la mosquée.(51) L’architecte historien Frederik Macody Lund a affirmé en 1919 que la cathédrale de Chartres (XIe siècle), Notre-Dame de Laon (1157-1205) et Notre-Dame de Paris (1160) avaient été conçues selon le lien en or,(52) dessiner des lignes de régulateur pour faire leur cas. D'autres chercheurs affirment que, jusqu'à l'oeuvre de Pacioli en 1509, la relation en or était inconnue des artistes et des architectes.(53) Par exemple, la hauteur et la largeur de la façade de la cathédrale Notre-Dame de Laon sont égales à 8/5 ou à 1,6, et non à 1,618. De tels ratios de Fibonacci deviennent rapidement difficiles à distinguer du nombre d'or.(54) Après Pacioli, la relation en or est plus évidente dans les œuvres d'art, y compris Leonardos Mona Lisa.(55)
Une autre relation, le seul autre nombre morphique,(56) a été donné le numéro de plastique(C) en 1928 par l'architecte néerlandais Hans van der Laan (nommé à l'origine rire avec brio en français).(57) Sa valeur est la solution à l'équation cubique
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un nombre irrationnel d'environ 1325. Selon l'architecte Richard Padovan, cela a des conditions distinctives 3/4 et 1/7, qui contrôle les limites de la perception humaine quand il s’agit de relier une taille physique à une autre. Van der Laan a utilisé ces ratios lors de la conception de l'église abbatiale St. Benedictusberg de 1967 aux Pays-Bas.(57)
Plan symétrie(éditer)
Pendant des décennies, la symétrie a été utilisée dans des œuvres d'art telles que tapis, grilles, textiles et carreaux.(59)(60)(61)(62)
De nombreux tapis traditionnels, qu’il s’agisse de tapis ou de kilims tissés à plat, sont divisés en un champ central et une bordure; les deux peuvent avoir une symétrie, mais dans les tapis tissés à la main, ils sont souvent un peu gâchés par de petits détails, des variations de motifs et des changements de couleur introduits par le tisserand.(59) En kilims d'Anatolie, les motifs utilisés sont généralement symétriques. La conception générale est également généralement présente, avec des arrangements tels que des rayures, des rayures alternant avec des rangées de motifs et des matrices compactes de motifs approximativement hexagonaux. Le champ est souvent agencé comme un papier peint avec un groupe de papiers peints tel que pmm, tandis que la bordure peut être agencé comme une frise du groupe de frises pm11, pmm2 ou pma2. Les kilims turcs et asiatiques centraux ont souvent trois frontières ou plus dans différents groupes de frises. Les tisserands avaient certainement l’intention de symétrie, sans connaissance explicite des mathématiques.(59)
Le mathématicien et théoricien de l'architecture Nikos Salingaros suggère que la "puissante présence"(58) (effet esthétique) d'un "grand tapis"(58) tels que les meilleurs tapis médaillon Konya du 17ème siècle sont créés par des techniques mathématiques liées aux théories de l'architecte Christopher Alexander. Ces techniques incluent la création de paires opposées; valeurs de couleur opposées; distinguer géométriquement les zones, soit en utilisant des formes complémentaires, soit en équilibrant la direction selon des angles vifs; fournissant une complexité à petite échelle (à partir du niveau du noeud) et une symétrie à la fois petite et grande; Répétez les éléments dans une hiérarchie d’échelles différentes (avec un rapport d’environ 2,7 pour chaque niveau). Salingaros affirme que "tous les tapis réussis respectent au moins neuf des dix règles ci-dessus" et suggère qu'il serait peut-être possible d'effectuer un calcul basé sur ces règles.(58)
On trouve dans le travail indien de Jali de vastes grilles sculptées dans le marbre pour orner les tombeaux et les palais.(60) Les grilles chinoises, toujours avec un peu de symétrie, se retrouvent dans 14 des 17 groupes de papiers peints; ils ont souvent des miroirs, des doubles miroirs ou une symétrie de rotation. Certains ont un médaillon central et d'autres ont une limite dans un groupe de frises.(63) De nombreux réseaux chinois sont analysés mathématiquement par Daniel S. Dye; il identifie le Sichuan comme le centre de l'engin.(64)
Les symétries occupent une place importante dans les arts textiles, notamment la courtepointe,(61)tricot,(65)point de croix, crochet,(66)broderie(67)(68) et tissage,(69) où ils peuvent être purement décoratifs ou peuvent indiquer le statut.(70)La symétrie de rotation existe dans les structures circulaires telles que les dômes; ceux-ci sont parfois élaborés avec des motifs symétriques intérieurs et extérieurs, comme à la mosquée Sheikh Lotfollah en 1619 à Ispahan.(71) Les éléments de broderie et de dentelle tels que les nappes et les napperons, fabriqués à l'aide de bobines ou de tatouages, peuvent présenter un large éventail de symétries de réflexion et de rotation étudiées mathématiquement.(72)
L'art islamique utilise des symétries dans bon nombre de ses formes d'art, en particulier les carreaux de girih. Celles-ci sont formées à l’aide d’un ensemble de cinq carreaux, à savoir un décagone simple, un hexagone allongé, un noeud papillon, un losange et un pentagone régulier. Tous les côtés de ces carreaux ont la même longueur; et tous leurs angles sont des multiples de 36 ° (π / 5 radians), offrant une symétrie de cinq et dix fois. Les tuiles sont décorées avec des lignes de sangle (girih), généralement plus visibles que les bordures des tuiles. En 2007, les physiciens Peter Lu et Paul Steinhardt ont affirmé que le girih ressemblait à des carreaux quasi cristallins sur des carreaux.(73) Les grandes tuiles géométriques sont un élément distinctif de l'architecture marocaine.(62)La voûte de la Muqarna est en trois dimensions, mais a été conçue en deux dimensions avec des dessins de cellules géométriques.(74)
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Hotami kilim (détail), Anatolie centrale, au début des années 1800
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La géométrie complexe et le carrelage de la voûte des Muqarnas dans la mosquée Sheikh Lotfollah à Ispahan
polyèdres(éditer)
Les solides platoniciens et autres polyèdres sont un thème récurrent dans l'art occidental. On les trouve par exemple dans une mosaïque de marbre avec le petit dodécèdre en lambeaux, attribué à Paolo Uccello, dans le sol de la basilique Saint-Marc de Venise;(1. 3) dans les diagrammes de polyèdres ordinaires de Léonard de Vinci, illustrés pour le livre de Luca Paciolis 1509 La proportion divine;(1. 3) comme un verre de rhombicuboctaèdre dans le portrait de Pacioli de Jacopo de Barbari, peint en 1495;(1. 3) dans le polyèdre tronqué (et divers autres objets mathématiques) dans la gravure d'Albrecht Durer, Melencolia I;(1. 3) et dans le tableau de Salvador Dali Le dernier repas où Christ et les disciples sont représentés dans une chaîne de mort géante.
Albrecht Dürer (1471-1528) était un imprimeur allemand de la Renaissance qui a apporté une contribution importante à la littérature polyédrique dans son livre de 1525, Underweysung der Messung (Education à la mesure), destiné à enseigner aux sujets la perspective linéaire, la géométrie en architecture, les solides platoniques et les polygones ordinaires. Dürer a probablement été influencé par les œuvres de Luca Pacioli et Piero della Francesca lors de leurs voyages en Italie.(75) Alors que les exemples de perspective i Comprendre la mesure est sous-développé et contient des inexactitudes, il y a une discussion détaillée des polyèdres. Dürer est également le premier à introduire dans le texte l’idée de réseaux polédriques, des polyèdres dépliés à plat pour l’impression.(76) Dürer a publié un autre livre influent sur les proportions humaines appelé Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Quatre livres sur la proportion humaine) en 1528.(77)
La célèbre gravure de Durer Melencolia I représente un penseur frustré assis devant un carré magique et trapézoïdal triangulaire tronqué.(1) Ces deux objets, ainsi que la gravure dans son ensemble, ont fait l’objet d’une interprétation plus moderne que le contenu de presque toutes les autres gravures,(1)(80)(81) comprenant un livre en deux volumes de Peter-Klaus Schuster,(82) et une discussion influente dans la monographie de Dürer d'Erwin Panofsky.(1)(83)Salvador Dalí Corpus hypercubus représente une grille en trois dimensions non pliée pour un hypercube, un polyèdre ordinaire en quatre dimensions.(79)(78)(79)
Dimensions fractales(éditer)
Les motifs traditionnels de batik indonésien sur la résistance à la cire des vêtements associent des motifs de représentation (tels que des éléments floraux et végétaux) à des éléments abstraits et quelque peu chaotiques, notamment l'imprécision dans l'application de la résistance à la cire et la variation aléatoire introduite par la fissuration à la cire. Le design du batik a une dimension fractale comprise entre 1 et 2, variant selon les styles régionaux. Par exemple, le batik de Cirebon a une dimension fractale de 1,1; les batik à Yogyakarta et à Surakarta (Solo) dans le centre de Java ont une dimension fractale de 1,2 à 1,5; et les bains de Lasem sur la côte nord de Java et de Tasikmalaya à Java occidental ont une dimension fractale comprise entre 1,5 et 1,7.(84)
Les œuvres de l'artiste moderne Jackson Pollock qui peignent au goutte à goutte se distinguent également par leur dimension fractale. Son 1948 Numéro 14 a une dimension proche du littoral de 1,45, alors que ses peintures ultérieures ont successivement eu des dimensions fractales plus élevées et par conséquent des motifs plus élaborés. Une de ses dernières œuvres, Sorts bleus, a pris six mois pour faire, et a une dimension fractale de 1,72.(85)
Une relation complexe(éditer)
L'astronome Galileo Galilei dans son Il Saggiatore a écrit que "(L’Univers) est écrit dans le langage mathématique et que ses caractères sont des triangles, des cercles et d’autres figures géométriques."(86) Selon Galileo, les artistes qui étudient la nature doivent d'abord comprendre les mathématiques. Inversement, les mathématiciens ont essayé d’interpréter et d’analyser l’art sous l’angle de la géométrie et de la rationalité. Le mathématicien Felipe Cucker suggère que les mathématiques, et en particulier la géométrie, sont une source de règles pour la "création artistique contrôlée par des règles", bien que n'étant pas la seule.(87) Quelques uns des nombreux fils de la relation complexe qui en résulte(88) sont décrits ci-dessous.
Mathématiques comme art(éditer)
Le mathématicien Jerry P. King décrit les mathématiques comme un art, affirmant que "les clés des mathématiques sont la beauté et l’élégance et non pas la monotonie et la technicité", et que la beauté est le moteur de la recherche mathématique.(89) King cite l'essai de 1940 du mathématicien G. H. Hardy L'excuse d'un mathématicien. Hardy y explique pourquoi il trouve deux théorèmes classiques de première classe, à savoir la preuve d'Euclide qu'il existe une infinité de nombres premiers et la preuve que la racine carrée de 2 est irrationnelle. King a récemment évalué cela en fonction des critères d'élégance mathématique de Hardy: "sérieux, profondeur, généralité, imprévu, inévitabilitéet économie"(Italiques de King), décrivant la preuve comme" esthétiquement agréable ".(90) Le mathématicien hongrois Paul Erdős a convenu que les mathématiques avaient du beau, mais a considéré les raisons qui dépassent l'explication: "Pourquoi les chiffres sont-ils beaux? C'est comme demander pourquoi la neuvième symphonie de Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, quelqu'un ne peut pas vous le dire. I savoir les chiffres sont beaux. "(91)
Outils mathématiques pour l'art(éditer)
Les mathématiques peuvent être vues dans de nombreux arts, tels que la musique, la danse,(92)peinture, architecture et sculpture. Chacun de ceux-ci est richement associé aux mathématiques.(93) Parmi les liens avec les arts visuels, les mathématiques peuvent fournir aux artistes des outils tels que les règles de la perspective linéaire décrites par Brook Taylor et Johann Lambert, ou les méthodes de la géométrie descriptive, maintenant utilisées dans la modélisation logicielle des solides, à Albrecht Dürer et Gaspard Monge.(94) Des artistes de Luca Pacioli au Moyen Âge et de Léonard de Vinci et Albrecht Dürer à la Renaissance ont utilisé et développé des idées mathématiques pour la poursuite de leur travail artistique.(93)(95) L'utilisation de la perspective a commencé, malgré quelques utilisations embryonnaires de l'architecture dans la Grèce antique, avec des peintres italiens comme Giotto au XIIIe siècle; règle que le point de fuite a été formulé pour la première fois par Brunelleschi vers 1413,(7) sa théorie affectant Leonardo et Dürer. Le travail d'Isaac Newton sur le spectre optique a influencé celui de Goethe La théorie des couleurs et à leur tour des artistes comme Philipp Otto Runge, J.MW Turner,(96) les préraphaélites et Wassily Kandinsky.(97)(98) Les artistes peuvent également choisir d'analyser la symétrie d'une scène.(99) Les mathématiciens explorant l’art ou des artistes inspirés des mathématiques, tels que MC Escher (inspiré par HSM Coxeter) et l’architecte Frank Gehry, ont affirmé que les outils pouvaient être utilisés de manière plus affirmée en affirmant que la conception assistée par ordinateur lui permettait de s’exprimer autrement.(100)
L'artiste Richard Wright affirme que les objets mathématiques qui peuvent être construits peuvent être vus soit comme des "processus de simulation de phénomènes", soit comme des oeuvres "d'art informatique". Il a examiné la nature de la pensée mathématique et a observé que les fractales étaient connues des mathématiciens pendant un siècle avant d'être reconnues comme telles. Wright conclut en déclarant qu'il convient de soumettre les objets mathématiques à toutes les méthodes utilisées pour "traiter des objets culturels tels que l'art, la tension entre objectivité et subjectivité, leur signification métaphorique et le caractère des systèmes de représentation". Il donne aux instances une image de l'ensemble Mandelbrot, une image générée par un algorithme d'automatisation cellulaire et une image rendue par ordinateur, et discute, en se référant au test de Turing, si des produits algorithmiques peuvent être de l'art.(101) Sasho Kalajdzievski Mathématiques et arts: introduction aux mathématiques visuelles adopte une approche similaire et examine des sujets de mathématiques visuelles appropriés tels que les carreaux, les fractales et la géométrie hyperbolique.(102)
Certaines des premières œuvres d’art sur ordinateur ont été créées par "Drawing Machine 1" de Desmond Paul Henry, une machine analogique basée sur un ordinateur de type bombesight et exposée en 1962.(103)(104) La machine était capable de créer des dessins au trait complexes, abstraits, asymétriques, bouclés mais répétitifs.(103)(105) Hamid Naderi Yeganeh a récemment créé des formes qui suggèrent de vrais objets, tels que des poissons et des oiseaux, en utilisant des formules successivement variées pour dessiner des familles avec des courbes ou des lignes angulaires.(106)(107)(108) Des artistes comme Mikael Hvidtfeldt Christensen créent des œuvres génératives ou algorithmiques en écrivant des scripts pour un système logiciel tel que. Structure Synth: l'artiste gère efficacement le système pour utiliser une combinaison souhaitée d'opérations mathématiques sur un jeu de données sélectionné.(109)(110)
Des maths à l'art(éditer)
Le mathématicien et physicien théoricien Henri Poincaré Science et hypothèse a été largement lu par les cubistes, dont Pablo Picasso et Jean Metzinger.(112)(113) Poincaré considérait la géométrie euclidienne comme l'une des nombreuses configurations géométriques possibles, plutôt que comme une vérité objective absolue. L’existence possible d’une quatrième dimension a incité les artistes à s’interroger sur la perspective classique de la Renaissance: la géométrie non euclidienne est devenue une alternative valable.(114)(115)(116) Le concept selon lequel la peinture pouvait être exprimée mathématiquement, en couleur et en forme, contribuait au cubisme, le mouvement artistique qui a conduit à l’art abstrait.(117) Metzinger écrivait en 1910 que: "(Picasso) ajoute une perspective libre et mobile, que l'ingénieux mathématicien Maurice Princet a tirée de toute une géométrie".(118) Plus tard, Metzinger a écrit dans ses mémoires:
Maurice Princet nous a souvent rejoint … c'est en tant qu'artiste qu'il conceptualisait les mathématiques, en tant qu'esthétique qu'il invoquait. nContinuités dimensionnelles. Il aimait intéresser les artistes aux nouvelles perspectives de l'espace que Schlegel et quelques autres avaient ouvertes. Il a réussi.(119)
L’impulsion pour créer des modèles d’enseignement ou de recherche de formes mathématiques crée naturellement des objets symétriques et des formes surprenantes ou agréables. Certains d’entre eux ont inspiré des artistes comme les dadaïstes Man Ray,(120)Marcel Duchamp(121) et Max Ernst,(122)(123) et suit Man Ray, Hiroshi Sugimoto.(124)
Man Ray a photographié certains modèles mathématiques de l’Institut Henri Poincaré à Paris, notamment Mathématiques objet (Objet mathématique). Il a noté que cela représentait des surfaces Enneper à courbure négative constante, dérivées de la pseudosphère. Cette base mathématique était importante pour lui, car elle lui permettait de nier le caractère "abstrait" de l'objet et affirmait au contraire qu'il était aussi réel que l'urinal que Duchamp avait transformé en une œuvre d'art. Man Ray a admis que la formule (surface Enneper) de l'objet "ne signifiait rien pour moi, mais que les formes elles-mêmes étaient aussi variées et authentiques que n'importe quelle nature." Il a utilisé ses photographies des modèles mathématiques comme personnages de la série qu'il a réalisée sur les pièces de théâtre de Shakespeare, telle que sa peinture de 1934 Antony et Cléopâtre.(125) Le journaliste d'art Jonathan Keats, entre ForbesLife, affirme que Man Ray a photographié "les paraboloïdes elliptiques et les points effilés dans la même lumière sensuelle que ses images de Kiki de Montparnasse", et "réutilise ingénieusement les calculs mathématiques frais pour révéler le désir de topologie".(126) Des sculpteurs du XXe siècle tels que Henry Moore, Barbara Hepworth et Naum Gabo se sont inspirés de modèles mathématiques.(127) Moore a écrit à propos de son 1938 Stricte mère et enfant: "Sans aucun doute, la source de mes figures à cordes était le Science Museum … Les modèles mathématiques que j’y ai vus me intriguaient … Ce n’était pas l’étude scientifique de ces modèles, mais la possibilité de voir à travers les cordes comme avec une cage à oiseaux et voir une forme dans une autre qui m'a excité. "(128)
Les artistes Theo van Doesburg et Piet Mondrian ont fondé le mouvement De Stijl, dans lequel ils souhaitaient "établir un vocabulaire visuel de formes géométriques élémentaires compréhensible pour tous et adaptable à toute discipline".(129)(130) Beaucoup de leurs œuvres sont visiblement composées de carrés et de triangles gouvernés, parfois avec des cercles. Les artistes Stijl travaillaient dans les domaines de la peinture, du mobilier, de la décoration d'intérieur et de l'architecture.(129) Après la dissolution de De Stijl, Van Doesburg fonda le mouvement Art-Concret d'avant-garde, décrivant ses années 1929-1930. Composition arithmétique, a series of four black squares on the diagonal of a squared background, as "a structure that can be controlled, a bestemt surface without chance elements or individual caprice", yet "not lacking in spirit, not lacking the universal and not … empty as there is alt which fits the internal rhythm". The art critic Gladys Fabre observes that two progressions are at work in the painting, namely the growing black squares and the alternating backgrounds.(131)
The mathematics of tessellation, polyhedra, shaping of space, and self-reference provided the graphic artist M. C. Escher (1898—1972) with a lifetime's worth of materials for his woodcuts.(132)(133) en Alhambra Sketch, Escher showed that art can be created with polygons or regular shapes such as triangles, squares, and hexagons. Escher used irregular polygons when tiling the plane and often used reflections, glide reflections, and translations to obtain further patterns. Many of his works contain impossible constructions, made using geometrical objects which set up a contradiction between perspective projection and three dimensions, but are pleasant to the human sight. Escher's Ascending and Descending is based on the "impossible staircase" created by the medical scientist Lionel Penrose and his son the mathematician Roger Penrose.(134)(135)(136)
Some of Escher's many tessellation drawings were inspired by conversations with the mathematician H. S. M. Coxeter on hyperbolic geometry.(137) Escher was especially interested in five specific polyhedra, which appear many times in his work. The Platonic solids—tetrahedrons, cubes, octahedrons, dodecahedrons, and icosahedrons—are especially prominent in Order and Chaos et Four Regular Solids.(138) These stellated figures often reside within another figure which further distorts the viewing angle and conformation of the polyhedrons and provides a multifaceted perspective artwork.(139)
The visual intricacy of mathematical structures such as tessellations and polyhedra have inspired a variety of mathematical artworks. Stewart Coffin makes polyhedral puzzles in rare and beautiful woods; George W. Hart works on the theory of polyhedra and sculpts objects inspired by them; Magnus Wenninger makes "especially beautiful" models of complex stellated polyhedra.(140)
The distorted perspectives of anamorphosis have been explored in art since the sixteenth century, when Hans Holbein the Younger incorporated a severely distorted skull in his 1533 painting The Ambassadors. Many artists since then, including Escher, have make use of anamorphic tricks.(141)
The mathematics of topology has inspired several artists in modern times. The sculptor John Robinson (1935–2007) created works such as Gordian Knot et Bands of Friendship, displaying knot theory in polished bronze.(8) Other works by Robinson explore the topology of toruses. Genesis is based on Borromean rings – a set of three circles, no two of which link but in which the whole structure cannot be taken apart without breaking.(142) The sculptor Helaman Ferguson creates complex surfaces and other topological objects.(143) His works are visual representations of mathematical objects; The Eightfold Way is based on the projective special linear group PSL(2,7), a finite group of 168 elements.(144)(145) The sculptor Bathsheba Grossman similarly bases her work on mathematical structures.(146)(147)
A liberal arts inquiry project examines connections between mathematics and art through the Möbius strip, flexagons, origami and panorama photography.(148)
Mathematical objects including the Lorenz manifold and the hyperbolic plane have been crafted using fiber arts including crochet.(d)(150)(151) The American weaver Ada Dietz wrote a 1949 monograph Algebraic Expressions in Handwoven Textiles, defining weaving patterns based on the expansion of multivariate polynomials.(152) The mathematician J. C. P. Miller used the Rule 90 cellular automaton to design tapestries depicting both trees and abstract patterns of triangles.(153) The "mathekniticians"(154) Pat Ashforth and Steve Plummer use knitted versions of mathematical objects such as hexaflexagons in their teaching, though their Menger sponge proved too troublesome to knit and was made of plastic canvas instead.(155)(156) Their "mathghans" (Afghans for Schools) project introduced knitting into the British mathematics and technology curriculum.(157)(158)
Illustrating mathematics(éditer)
Modelling is far from the only possible way to illustrate mathematical concepts. Giotto's Stefaneschi Triptych, 1320, illustrates recursion in the form of mise en abyme; the central panel of the triptych contains, lower left, the kneeling figure of Cardinal Stefaneschi, holding up the triptych as an offering.(161)Giorgio Chirico's metaphysical paintings such as his 1917 Great Metaphysical Interior explore the question of levels of representation in art by depicting paintings within his paintings.(162)
Art can exemplify logical paradoxes, as in some paintings by the surrealist René Magritte, which can be read as semiotic jokes about confusion between levels. en La condition humaine (1933), Magritte depicts an easel (on the real canvas), seamlessly supporting a view through a window which is framed by "real" curtains in the painting. Similarly, Escher's Print Gallery (1956) is a print which depicts a distorted city which contains a gallery which recursively contains the picture, and so ad infinitum.(163) Magritte made use of spheres and cuboids to distort reality in a different way, painting them alongside an assortment of houses in his 1931 Mental Arithmetic as if they were children's building blocks, but house-sized.(164)The Guardian observed that the "eerie toytown image" prophesied Modernism's usurpation of "cosy traditional forms", but also plays with the human tendency to seek patterns in nature.(165)
Salvador Dalí's last painting, The Swallow's Tail (1983), was part of a series inspired by René Thom's catastrophe theory.(167) The Spanish painter and sculptor Pablo Palazuelo (1916–2007) focused on the investigation of form. He developed a style that he described as the geometry of life and the geometry of all nature. Consisting of simple geometric shapes with detailed patterning and coloring, in works such as Angular I et Automnes, Palazuelo expressed himself in geometric transformations.(8)
The artist Adrian Gray practises stone balancing, exploiting friction and the centre of gravity to create striking and seemingly impossible compositions.(168)
Artists, however, do not necessarily take geometry literally. As Douglas Hofstadter writes in his 1980 reflection on human thought, Gödel, Escher, Bach, by way of (among other things) the mathematics of art: "The difference between an Escher drawing and non-Euclidean geometry is that in the latter, comprehensible interpretations can be found for the undefined terms, resulting in a comprehensible total system, whereas for the former, the end result is not reconcilable with one's conception of the world, no matter how long one stares at the pictures." Hofstadter discusses the seemingly paradoxical lithograph Print Gallery by M. C. Escher; it depicts a seaside town containing an art gallery which seems to contain a painting of the seaside town, there being a "strange loop, or tangled hierarchy" to the levels of reality in the image. The artist himself, Hofstadter observes, is not seen; his reality and his relation to the lithograph are not paradoxical.(166) The image's central void has also attracted the interest of mathematicians Bart de Smit and Hendrik Lenstra, who propose that it could contain a Droste effect copy of itself, rotated and shrunk; this would be a further illustration of recursion beyond that noted by Hofstadter.(169)(170)
Analysis of art history(éditer)
Algorithmic analysis of images of artworks, for example using X-ray fluorescence spectroscopy, can reveal information about art. Such techniques can uncover images in layers of paint later covered over by an artist; help art historians to visualize an artwork before it cracked or faded; help to tell a copy from an original, or distinguish the brushstroke style of a master from those of his apprentices.(171)(172)
Jackson Pollock's drip painting style(173) has a definite fractal dimension;(174) among the artists who may have influenced Pollock's controlled chaos,(175) Max Ernst painted Lissajous figures directly by swinging a punctured bucket of paint over a canvas.(176)
The computer scientist Neil Dodgson investigated whether Bridget Riley's stripe paintings could be characterised mathematically, concluding that while separation distance could "provide some characterisation" and global entropy worked on some paintings, autocorrelation failed as Riley's patterns were irregular. Local entropy worked best, and correlated well with the description given by the art critic Robert Kudielka.(177)
The American mathematician George Birkhoff's 1933 Aesthetic Measure proposes a quantitative metric of the aesthetic quality of an artwork. It does not attempt to measure the connotations of a work, such as what a painting might mean, but is limited to the "elements of order" of a polygonal figure. Birkhoff first combines (as a sum) five such elements: whether there is a vertical axis of symmetry; whether there is optical equilibrium; how many rotational symmetries it has; how wallpaper-like the figure is; and whether there are unsatisfactory features such as having two vertices too close together. This metric, O, takes a value between −3 and 7. The second metric, C, counts elements of the figure, which for a polygon is the number of different straight lines containing at least one of its sides. Birkhoff then defines his aesthetic measure of an object's beauty as O/C. This can be interpreted as a balance between the pleasure looking at the object gives, and the amount of effort needed to take it in. Birkhoff's proposal has been criticized in various ways, not least for trying to put beauty in a formula, but he never claimed to have done that.(178)
Stimuli to mathematical research(éditer)
Art has sometimes stimulated the development of mathematics, as when Brunelleschi's theory of perspective in architecture and painting started a cycle of research that led to the work of Brook Taylor and Johann Heinrich Lambert on the mathematical foundations of perspective drawing,(179) and ultimately to the mathematics of projective geometry of Girard Desargues and Jean-Victor Poncelet.(180)
The Japanese paper-folding art of origami has been reworked mathematically by Tomoko Fusé using modules, congruent pieces of paper such as squares, and making them into polyhedra or tilings.(181) Paper-folding was used in 1893 by T. Sundara Rao in his Geometric Exercises in Paper Folding to demonstrate geometrical proofs.(182) The mathematics of paper folding has been explored in Maekawa's theorem,(183)Kawasaki's theorem,(184) and the Huzita–Hatori axioms.(185)
Illusion to Op art(éditer)
Optical illusions such as the Fraser spiral strikingly demonstrate limitations in human visual perception, creating what the art historian Ernst Gombrich called a "baffling trick." The black and white ropes that appear to form spirals are in fact concentric circles. The mid-twentieth century Op art or optical art style of painting and graphics exploited such effects to create the impression of movement and flashing or vibrating patterns seen in the work of artists such as Bridget Riley, Spyros Horemis,(187) and Victor Vasarely.(188)
Sacred geometry(éditer)
A strand of art from Ancient Greece onwards sees God as the geometer of the world, and the world's geometry therefore as sacred. The belief that God created the universe according to a geometric plan has ancient origins. Plutarch attributed the belief to Plato, writing that "Plato said God geometrizes continually" (Convivialium disputationum, liber 8,2). This image has influenced Western thought ever since. The Platonic concept derived in its turn from a Pythagorean notion of harmony in music, where the notes were spaced in perfect proportions, corresponding to the lengths of the lyre's strings; indeed, the Pythagoreans held that everything was arranged by Number. In the same way, in Platonic thought, the regular or Platonic solids dictate the proportions found in nature, and in art.(189)(190) A Mediaeval manuscript illustration may refer to a verse in the Old Testament: "When he established the heavens I was there: when he set a compass upon the face of the deep" (Proverbs 8:27), showing God drawing out the universe with a pair of compasses.(191) In 1596, the mathematical astronomer Johannes Kepler modelled the universe as a set of nested Platonic solids, determining the relative sizes of the orbits of the planets.(191)William Blake's Ancient of Days and his painting of the physicist Isaac Newton, naked and drawing with a compass, attempt to depict the contrast between the mathematically perfect spiritual world and the imperfect physical world,(192) as in a different way does Salvador Dalí's 1954 Crucifixion (Corpus Hypercubus), which depicts the cross as a hypercube, representing the divine perspective with four dimensions rather than the usual three.(79) In Dali's The Sacrament of the Last Supper (1955) Christ and his disciples are pictured inside a giant dodecahedron.(193)
Voir aussi(éditer)
- ^ In Piero's Italian: "una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere".
- ^ The ratio of the slant height to half the base length is 1.619, less than 1% from the golden ratio, implying use of Kepler's triangle (face angle 51°49').(44)(45) It is more likely that pyramids were made with the 3-4-5 triangle (face angle 53°8'), known from the Rhind Mathematical Papyrus; or with the triangle with base to hypotenuse ratio 1:4/π (face angle 51°50').(46)
- ^ 'Plastic' named the ability to take on a chosen three-dimensional shape.
- ^ Images and videos of Hinke Osinga's crocheted Lorenz manifold reached international television news, as can be seen in the linked website.(149)
- ^ Maurice Princet gave a copy to Pablo Picasso, whose sketchbooks for Les Demoiselles d'Avignon illustrate Jouffret's influence.(112)(160)
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Pollock died in 1956, before chaos and fractals were discovered. It is highly unlikely, therefore, that Pollock consciously understood the fractals he was painting. Nevertheless, his introduction of fractals was deliberate. For example, the colour of the anchor layer was chosen to produce the sharpest contrast against the canvas background and this layer also occupies more canvas space than the other layers, suggesting that Pollock wanted this highly fractal anchor layer to visually dominate the painting. Furthermore, after the paintings were completed, he would dock the canvas to remove regions near the canvas edge where the pattern density was less uniform.
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Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes correspondent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.













