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Dans cet article, nous poursuivrons notre discussion sur les solides platoniques en abordant le sujet des systèmes sphériques.

Chaque solide platonique peut être construit en emballant un nombre différent de balles.
ils tétraèdre se compose de 4 sphères. C'est le plus grand nombre pouvant être en contact simultané. C'est le solide platonique de base.

Le tétraèdre étoilé – Le tétraèdre et son double – 8 sphères au total. Une deuxième série de balles est introduite dans l'espace. Ceci est un solide platonique composite. On l'appelle aussi "octaèdre étoilé".

ils octaèdre se compose de 6 balles. C'est le groupe de sphères le plus commun. Chaque sphère touche quatre autres dans ce solide platonique.

ils cube se compose de 14 balles. Un deuxième ensemble de 8 sphères est introduit dans les espaces. Le cube apparaît comme double par l'octaèdre.


Remarque: L'image ci-dessous n'est PAS un joint à bille. Les sphères de sceau signifient que chaque sphère s'insère dans les espaces laissés par les autres sphères. Ces zones sont empilés, pas étroitement emballé. Cependant, ils forment un cube.

cuboctaèdre – 13 sphères – Le groupe de sphères le plus proche autour d'un noyau de taille égale donne le cuboctaèdre (équilibre vectoriel). Chaque sphère touche le noyau et 4 autres. Ceci est un solide archimédien et le point d'équilibre entre le cube et les octaèdres.

ils icosaèdre se compose de 12 balles. Ce regroupement sans noyau (comme dans le cuboctaèdre) est inclus dans la triangulation du groupe icosaédrique. Chaque sphère touche cinq autres.

icosaèdre – 32 sphères – Une sphère a été introduite dans chaque espace dans cette version plus complexe.

ils dodécaèdre se compose de 32 balles. Le Dodecedron est le double de l'icosaèdre. Le nombre de morts peut être vu ici.

Ceci est magnifiquement illustré dans l'excellent livre de Keith Critchlow Order in Space: Un livre de conception. Il est également illustré sur le site Web de D’Source à l’adresse: http://www.dsource.fr/course/geometry-design/concepts-3-dimensional
Nous voyons de ce qui précède que quatre sphères égales sont le plus grand nombre pouvant être en contact simultané. Cela produit le tétraèdre.
Le prochain motif commun consiste en six sphères égales, chaque sphère touchant 4 autres. Cela produit des octaèdres.
Douze sphères égales peuvent entourer et toucher une sphère principale de la même taille. Cela produit des pieuvres cubiques.
Si vous supprimez la sphère principale (13e sphère) et rapprochez les 12 boules pour obtenir l’icosaèdre.
L'introduction de sphères supplémentaires dans les espaces génère le double solide pour chacun.

Les cinq solides platoniques et leurs duels.
Nous allons discuter ici du processus sphérique de la formation des cinq solides platoniciens à partir de la fleur de la vie.

La fleur de vie souvent connue est montrée ci-dessus sous sa forme expansée. C'est-à-dire que les arcs de cercles de la fleur de vie (extrême gauche) situés sur la partie la plus à l'extérieur du motif ont été agrandis.
Des fruits étendus de la vie sont tirés les fruits de la vie. Le fruit de la vie consiste en 13 cercles.
Lorsque les centres des 13 cercles sont connectés, vous obtenez l'image du cube de Metatron. A partir de cela, tous les solides platoniques peuvent être obtenus.

Le plan de symétrie divise les solides en moitiés d'image miroir.
ils tétraèdre a 6 speilfly.

ils octaèdre a 9 speilfly.
ils cube a 9 speilfly.
ils icosaèdre a 15 speilfly.
ils dodécaèdre a 15 speilfly.

La symétrie miroir – implique la réflexion exacte d'un motif de chaque côté d'une "ligne en miroir". Par exemple: la lettre "M"
La symétrie de rotation – spécifie qu'une configuration peut être pivotée d'une fraction de 360 degrés sans modifier le motif. Par exemple: la lettre «S» a le même aspect après un virage à 180 °.

Dans la symétrie de rotation x-fold, les constituants d'un motif sont répétés x fois autour d'un centre commun.
Lorsque le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre sont construits à partir des atomes triangulaires de Platon, des chemins sont définis pour rendre explicites leurs plans-miroirs.

Trois triangles de base sont nécessaires pour fabriquer ces cinq solides:
ils triangle scalène semi-équilatéral: 90 ° -60 ° -30 °
Fabriquez du tétraèdre, de l'octaèdre et de l'icosaèdre.




ils demi-carré isocèle: 90 ° -45 ° -45 °
Faire le cube.


ils échelles au dixième d'un pentagone régulier: 90 ° 54 ° -36 ° (voir le rouge ci-dessous)
Faites la chaîne de la mort.


Voir pages 166-167 dans Keith Critchlow & # 39; s Le temps s'est arrêté.
Conception de la subdivision (du plan miroir) Les solides platoniques sur leur périmètre produisent trois systèmes de symétrie sphériques.

Crédit: page 149 dans Quadrivium
Chacun est défini par:
- Un triangle sphérique à angle droit et:
- un angle de 1/3 de tour.
- Les troisièmes angles des triangles sphériques varient de:
- 1/3 demi-tour (1/6 une balle coupée en tranches longitudinales) (rangée supérieure en haut)
- ¼ demi-tour (1/8 une balle coupée en tranches longitudinales) (rangée du milieu en haut)
- 1/5 demi-tour (1/10 une balle coupée en tranches longitudinales) (rangée inférieure en haut)
La séquence 1/3, ¼, 1/5 inverse le triplet des nombres de Pythagore 3, 4, 5.
Si une surface sphérique est divisée en le plus grand nombre de triangles égaux, le résultat est 120.
Le triangle audacieux ci-dessous partage une sphère dans 20 zones égales. Cela crée l'icosaèdre sphérique.
Le pentagone audacieux ci-dessous divise la surface de la balle en 12 zones égales. Cela crée le dodécaèdre sphérique.

Crédit: page 173 dans Time Stands Still de Keith Critchlow
Comme l'indique Keith Critchlow, "l'étude du ciel est, après tout, une activité sphérique qui nécessite la compréhension de ses coordonnées sphériques". 1

L'image ci-dessous montre les équivalents sphériques des cinq solides platoniques.

L'image ci-dessous a trois lignes.
ils première rangée montre la transition sphérique du tétraèdre à son double le tétraèdre inverse.
ils second rangée montre la transition sphérique du cube vers son double octaèdre.
ils troisième rangée montre la transition sphérique du dodécaèdre vers son double icosaèdre.

"Dans la sphère, les divisions de symétrie sont définies mathématiquement comme de grands cercles lorsque leurs centres coïncident avec le centre de la sphère et décrivent la plus grande trajectoire possible à la surface de la sphère, c'est-à-dire la circonférence.
Les petits cercles sont tous les cercles restants pouvant être entrés dans la sphère. Puisque leur nombre est théoriquement indéterminé, nous pouvons raccourcir la liste en prenant ceux qui semblent symétriques et réguliers sur toute la surface. « 2
Arc du grand cercle – la distance la plus courte entre deux points à la surface d'une sphère
Petit cercle – un cercle sphérique plus petit qu'un grand cercle, également appelé "petit" cercle. Il y en a un nombre infini.

Projection radiale – se produit lorsque les arêtes d'un polyèdre sont projetées sur le périmètre.
Il en résulte un ensemble de beaux arcs de cercle. Celles-ci créent des versions sphériques de solides platoniques. Nous avons vu des exemples de cela ci-dessus. À répéter:





Le tétraèdre sphérique, l'octaèdre, le cube, l'icosaèdre et le dodécèdre
Circuits platoniques solides plus petits
Quand tu es dans la même sphère:
- Les cercles plus petits autour des visages du dodécaèdre sont similaires aux cercles plus petits autour des visages de l'icosedron.
- Les petits cercles entourant les faces du cube sont similaires à ceux entourant les faces de l'octaèdre.
- Réduisez les petits cercles dans la colonne du milieu jusqu'à ce qu'ils se touchent pour définir cinq curiosités sphériques visibles dans la colonne de droite.

Crédit: page 151 de Quadrivium.
«En géométrie, la projection stéréographique est une cartographie spéciale (fonction) qui projette une sphère sur un plan. La projection est définie sur toute la sphère, sauf en un point: le point de projection. « 2
La représentation sphérique de chaque solide platonique est ensuite projetée sur une surface plane pour créer les motifs suivants.
Ici on voit:
- Tétraèdre – 1ère rangée
- cube – 2e rangée
- octaèdre – 3ème rangée
- dodécaèdre – 4ème rangée
- icosaèdre – 5ème rangée



- Critchlow, Keith, Le temps s'arrête, Brecourt Academic, 2Dakota du Nord édition 2007
- ibid.
- https://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
- http://community.wolfram.com/groups/-/m/t/1208385
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Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou cône ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les aspects, et tous les rives sont de la même dimension. n 3D veut dire que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

















