Platoniquement solide expliqué Géometrie sacrée

Dans un espace tridimensionnel, un Platoniquement solide est un polyèdre convexe commun. Elle est construite avec des surfaces polygonales congruentes (identiques en forme et en taille) régulières (tous les angles égaux et tous les côtés égaux) avec le même nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet. Cinq solides répondent à ces critères:

icosaèdre
Quatre visages Six visages Huit faces Douze visages Vingt visages
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Les géomètres étudient les solides platoniques depuis des milliers d'années.(1) Ils portent le nom de l'ancien philosophe grec Platon, qui assuma dans son dialogue le Timée, que les éléments classiques ont été faits de ces solides.(2)

histoire

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité. Il a été suggéré que certains blocs sculptés créés par le peuple néolithique décédé d'Écosse représentent ces formes; Cependant, ces billes ont des boutons arrondis au lieu d'être polyédriques, le nombre de nœuds étant souvent différent du nombre de sommets sur les solides platoniques, il n'y a pas de balle si les boutons correspondent aux 20 coins du dodécaèdre et la disposition des boutons n'est pas toujours symétrique.

Les Grecs anciens ont étudié les solides platoniques de manière approfondie. Certaines sources (comme Proclus) attribuent cette découverte à Pythagore. D'autres preuves suggèrent qu'il était peut-être seulement familier avec le tétraèdre, le cube et le dodécédron, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetet, un contemporain de Platon. Néanmoins, Théétète a donné une description mathématique des cinq méthodes et pourrait être à l'origine du premier élément de preuve connu selon lequel il n'existe aucun autre polyèdre convexe ordinaire.

Les solides platoniques occupent une place prépondérante dans la philosophie de Platon, leur nom. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée 360 av. J.-C. où il associe chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) à un solide commun. La terre était associée au cube, l'air à l'octaèdre, l'eau à l'icosaèdre et le feu au tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et poignante (comme un petit tétraèdre). L'air est fabriqué par l'octaèdre; ses composants minuscules sont si lisses que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, sort de la main quand on la récupère, comme si elle était faite de petites boules. En revanche, un solide solide non sphérique représente l'hexaèdre (cube) "sol". Ces solides encombrants provoquent l'effritement de la saleté et la cassure lorsqu'ils sont ramassés, ce qui contraste nettement avec le courant d'eau constant. De plus, on pense que le cube est le seul solide qui tessellise l'espace euclidien, causant la solidité de la terre.

Platon note vaguement "du fait que le dieu a utilisé pour organiser les constellations dans tout le ciel" du cinquième solide platonicien, la chaîne de la mort. Aristote a ajouté un cinquième élément, aithēr (ether en latin, "ether" en anglais) et a postulé que les cieux étaient composés de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre au cinquième solide de Platon.(3)

Euclide a décrit mathématiquement les solides platoniques dans élémentsdont le dernier livre (Livre XIII) est consacré à leurs caractéristiques. Les propositions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez le rapport entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdre simple convexe. Andreas Speiser a soutenu que la conception des 5 solides est l'objectif principal d'un système déductif canonique éléments. Une grande partie de l'information contenue dans le livre XIII est probablement tirée des travaux de Theaetetu.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de relier les cinq planètes extraterrestres connues à cette époque aux cinq solides platoniques. en Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a proposé un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient interposés et séparés par une série de sphères écrites et circonscrites. Kepler a suggéré que les relations de distance entre les six planètes connues à cette époque pourraient être comprises sous la forme des cinq solides platoniques enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondaient chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés et les plus intérieurs étaient des octaèdres, suivis de l'icosaèdre, du dodécédèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les relations de distance entre les planètes des solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais ses recherches ont abouti aux trois lois de la dynamique orbitale, la première étant que les orbites des planètes sont des ellipses plutôt que des cercles et ont modifié le cours de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Dans les années 1900, les tentatives visant à relier les solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de "modèle de Moon".

Coordonnées cartésiennes

Pour les solides platoniques centrés à l'origine, les coordonnées cartésiennes simples des sommets sont données ci-dessous. La lettre grecque φ est utilisé pour représenter le nombre d'or ≈ 1,6180.

tétraèdre
octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
visages 4 8 6 20 12
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
orientation
vu
1 2 1 2 1 2
valign = center sommet
Les coordonnées
(1, 1, 1)
(1, -1, -1)
(−1, 1, −1)
(−1, −1, 1)
(-1, -1, -1)
(−1, 1, 1)
(1, −1, 1)
(1, 1, -1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ±φ)
(± 1, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1)
(0, ±φ, ± 1)
φ, ± 1, 0)
(± 1, 0, ±φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±, ±φ)
(±, ±φ, 0)
φ, 0, ±)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ, ±)
φ, ±, 0)
(±, 0, ±φ)
image

Les coordonnées du tétraèdre, de l'icosaèdre et du dodécaèdre sont données dans deux ensembles d'orientation contenant chacun la moitié du caractère et la permutation de position des coordonnées.

Ces coordonnées révèlent certaines relations entre les solides platoniques: les sommets du tétraèdre représentent la moitié du cube, sous la forme ou, l'un des deux ensembles de 4 sommets en double position, tels que h ou. Les deux positions tétraédriques font de la composition un octaèdre stellaire.

Les coordonnées de l'icosaèdre sont liées à deux jeux de coordonnées alternés d'un octaèdre non uniformément tronqué, t ou, également appelé un octaves déconcertantes, en tant que s, et vu en relation avec deux icosahedra.

Huit des coins du dodécaèdre sont partagés avec le cube. Compléter toutes les instructions conduit à la composition de cinq dés.

Propriétés combinatoires

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones réguliers convexes congruents,
  2. aucune des faces ne se croise, sauf sur les bords, et
  3. le même nombre de faces se rencontrent à chacun des sommets.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole où

p est le nombre d'arêtes (ou de verticales équivalentes) sur chaque face, et

q est le nombre de faces (ou d'arêtes similaires) qui se rencontrent à chaque sommet.

Le symbole, appelé symbole Schläfli, fournit une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli pour les cinq solides de Platon sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de verticales (V), bords (E) et des visages (fa), peut être déterminé à partir de p et q. Comme tout bord rejoint deux sommets et a deux surfaces adjacentes, nous devons avoir:

La deuxième relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler:

Cela peut être prouvé à bien des égards. Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, Eet fa:

commutation p et q nœuds fa et V pendant que vous allez E inchangé. Pour une interprétation géométrique de cette propriété, voir § Polyèdres doubles ci-dessous.

En configuration

Les éléments d'un polyèdre peuvent être exprimés dans une matrice de configuration. Les lignes et les colonnes correspondent aux sommets, aux arêtes et aux faces. Les nombres diagonaux indiquent le nombre de chaque élément présent dans le polyèdre. Les nombres non diagonaux indiquent le nombre d'éléments de colonne présents dans ou au niveau de l'élément de ligne. La matrice de configuration de deux paires de polyèdres est tournée à 180 degrés.(4)

classification

Le résultat classique est qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs ci-dessous montrent que pas plus de cinq solides platoniques peuvent exister, mais il est distinct de démontrer l'existence d'un solide donné – un qui nécessite une construction explicite.

Preuve géométrique

L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclid i éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit être un sommet pour au moins trois faces.
  2. Dans chaque sommet du solide, la somme des angles entre les côtés adjacents respectifs doit être inférieure à 360 ° entre les surfaces adjacentes. Le montant inférieur à 360 ° est appelé défaut angulaire.
  3. Les angles de tous les sommets sur toutes les surfaces d'un solide platonique sont identiques: chaque sommet de chaque face doit avoir une contribution inférieure à = 120 °.
  4. Les polygones ordinaires de six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus, la face régulière doit donc être le triangle, le carré ou le pentagone. Ce qui suit s'applique à ces différentes formes:
    • Faces triangulaires: Chaque sommet d’un triangle normal mesure 60 °. Ainsi, une forme peut comporter trois, quatre ou cinq triangles qui se rejoignent au sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Faces carrées: Chaque sommet d'un carré mesure 90 °. Il n'y a donc qu'un seul arrangement possible avec trois faces dans un sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet est à 108 °; là encore, un seul arrangement de trois faces en un sommet est possible, le dodécédron.

Au total, cela donne 5 solides platoniques possibles.

Preuves topologiques

Des preuves topologiques pures peuvent être obtenues en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que VE + fa = 2, et le fait que pF = 2E = QVp représente le nombre d'arêtes sur chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. En combinant ces équations, on obtient l'équation

La manipulation algébrique simple fournit alors

1 overq+1 overp=1 over2+1 overE.

depuis E est strictement positif, nous devons avoir

Utilise le fait que p et q les deux doivent être au moins 3, on peut facilement voir qu'il n'y a que cinq possibilités pour:

,,,,.

Propriétés géométriques

angles

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle interne entre deux surfaces planes. L'angle dièdre, θdu solide est donné par la formule

Parfois, cela s’exprime plus aisément en termes de clé de

la quantité h (appelé le nombre de Coxeter) sont 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre, respectivement.

Le défaut d’angle au sommet d’un polyèdre est la différence entre la somme des angles du visage au sommet et à 2. Le défaut, δ, à n'importe quel pic sur les solides platoniques

delta=2 piq pi left (1-2 overp right).

Selon un théorème de Descartes, il est égal à 4 divisé par le nombre de sommets (c'est-à-dire que l'erreur totale à tous les sommets est 4).

L'analogue tridimensionnel à un angle plat est un angle solide. L'angle solide, Ω, au sommet d’un solide platonique se présente sous la forme de l’angle dièdre avec

Cela découle de la formule en excès sphérique d’un polygone sphérique et du fait que le pic du polyèdre est un paramètre commun. q-Gon.

L'angle fixe d'une face soumise au centre d'un solide platonicien est égal à l'angle fixe d'une sphère entière (4 stéradians) divisé par le nombre de faces. Notez que cela correspond au défaut angulaire du double.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont résumés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = est le nombre d'or.

polyèdre Dihedralvinkelen
(θ)
bronzage Défectueux (δ) Agiter angle fixe (Ω) face
angle solide
70,53 °

cos-1 Gauche (

Pas vrai) 0.551286

90 °
109,47 °

4 sin-1 Gauche (1 over3 Pas vrai) 1.35935

116,57 °

pi tan-1 Gauche (

Pas vrai) 2.96174

138,19 °

2 pi5 sin-1 Gauche (2 over3 Pas vrai) 2.63455

Radii, surface et volume

Un autre avantage de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces sphères sont appelés cercle circonscrit, le midradiuset inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les sommets, le centre du bord et les centres de la face, respectivement. cercle circonscrit R et dans le rayon r du solide avec longueur d'arête un est dégagé

R= Left a tip2 Right) tan

r= Left a tip2 Droite) cot

θ est l'angle dièdre. Midradiusen ρ est dégagé

rho= Left a tip2 Pas vrai)

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que le rapport circumradius à inradius est symétrique p et q:

-}.

La surface, FRd'un solide platonique peut facilement être calculé comme une zone d'un ordinaire p– fois le nombre de faces fa. Ce sont:

FR= Left a tip2 Pas vrai)2Fp lit

.

Le volume est calculé comme fa fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est en rayon r. C'est-à-dire

Le tableau ci-dessous montre les différents rayons de solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille totale est fixée en prenant la longueur du bord, un, être égal à 2.

polyèdre
(un = 2)
En rayon (r) Rayon moyen (ρ) Rayon circulaire (R) Surface plate (FR) Volume (V) volume
(Bords Unité)

ca 3.771236

les constantes φ et ξ dans ce qui précède est donné par

varphi=2 Cos pi race5=

xi=2 Pity pi race5= Sqrt

= 5 ^ varphi ^.

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre plus étroitement sa sphère inscrite et le rapport surface sur volume est le plus proche de celui d'une sphère de même taille (c'est-à-dire la même surface ou le même volume). Cependant, le dodéca le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle de crête fixe, et il remplit le plus dans sa sphère circonscrite.

symétrie

Polyèdre double

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec visages et apex interchangés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, nous pouvons donc organiser les cinq solides en paires doubles.

  • Le tétraèdre est dualiste (son dual est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a le symbole Schläfli, son double a le symbole. En fait, toutes les propriétés combinatoires d'un solide platonique peuvent être interprétées comme une autre propriété combinatoire de double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les verticales du dual comme centre des faces de la figure originale. Si vous connectez les centres aux surfaces adjacentes de l'original, les arêtes du double sont formées, ce qui permet d'équilibrer le nombre de faces et le sommet tout en conservant le nombre d'arêtes.

Plus généralement, un solide platonique peut être dualisé par rapport à une sphère de rayon concentrique au solide. Radians (R, ρ, r) d'un solide et ceux de son double (R*, ρ*, r*) est lié par

2=R astr=r astR= rho Ast rho.

Dualisation en ce qui concerne le mi-sphère ( = ρ) est souvent pratique car la sphère médiane a la même relation avec les deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec les mêmes circumradius et inradius (c'est-à-dire R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie

En mathématiques, le concept de symétrie est étudié avec la notion de groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie correspondant, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) laissant l'invariant du polyèdre. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent groupe de symétrie complet, qui inclut les réflexions, et groupe de symétrie approprié, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes symétriques des solides platoniques constituent une classe spéciale de groupes de points tridimensionnels appelés groupes polyhédriques. Le haut niveau de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les sommets de chaque solide sont égaux sous l'influence du groupe de symétrie, en plus des arêtes et des surfaces. On dit que l'action du groupe de symétrie est transitive sur les coins, les arêtes et les faces. En fait, c’est une autre façon de définir la régularité d’un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si elle est uniforme au sommet, uniforme au bord et uniforme au visage.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie de tout polyèdre coïncide avec celui de son double. Cela se voit facilement en examinant la structure du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie de dual et vice versa. Les trois groupes multi-aléas sont:

Les ordres des groupes corrects (rotationnels) sont respectivement 12, 24 et 60, soit exactement deux fois plus d'arêtes dans le polyèdre correspondant. Les ordres des groupes de symétrie complets sont deux fois plus nombreux (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques sauf le tétraèdre sont symétrique centrale, ce qui signifie qu'ils sont conservés sous réflexion tout au long de l'origine.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (également pour le nombre de symétries). La construction de kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de leurs groupes de symétrie. Ils sont répertoriés comme symbole de référence de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

Dans la nature et la technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont naturellement présents dans les structures cristallines. Celles-ci ne libèrent en aucun cas le nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre régulier ni le dodécédron régulier ne sont parmi eux. Une des formes, appelée pyritohédron (du nom typique du groupe de minéraux), a douze surfaces pentagonales, disposées selon le même motif que les faces du dodécaèdre régulier. Cependant, les faces du pyritohèdre ne sont pas régulières, aussi le pyritohèdre n'est-il pas régulier. Les allotropes de bore et de nombreux composés du bore, tels que le carbure de bore, comprennent des groupes B séparés.12 icosahedra dans ses structures cristallines. Les acides carboranoïques ont également des structures moléculaires similaires à celles des icosahédras ordinaires.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) a décrit un certain nombre d'espèces de Radiolaria, dont certaines ont la forme de divers polyèdres communs. Les exemples incluent Octopède Circoporus, Icosahedra de Circogonia, Lithocubus geometricus et Dodécaèdres de Circorrhegma. Les formes de ces créatures devraient être claires à partir des noms.

De nombreux virus, tels que le virus de l'herpès, prennent la forme d'un icosaèdre régulier. Les structures virales sont constituées de sous-unités protéiques identiques répétées, et l'icosahédron est la forme la plus facile à assembler à l'aide de ces sous-unités. Un polyèdre standard est utilisé car il peut être construit à partir d’une seule unité de protéine de base utilisée maintes et maintes fois; Cela économise de l'espace dans le génome viral.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux d'écoulement atmosphérique présentent un intérêt croissant en utilisant des grilles géodésiques basées sur un icosaèdre (affiné par triangulation) plutôt que par la latitude / longitude plus couramment utilisée. Cela présente l'avantage d'une résolution de pièce uniformément répartie sans singularités (c.-à-d. Les pôles) au détriment de difficultés numériques un peu plus grandes.

La géométrie de l'espace est souvent basée sur les solides platoniques. Dans le système MERO, les solides platoniques sont utilisés pour nommer la convention de différentes configurations de trame spatiale. Par exemple, O + T fait référence à une configuration composée de la moitié de l'octaèdre et d'un tétraèdre.

Plusieurs hydrocarbures platoniques ont été synthétisés, notamment le cubain et le dodécaèdre.

Les solides platoniques sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes, parce que des cubes de ces formes peuvent être équitables. Les dés à 6 faces sont très courants, mais les autres numéros sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. Ces dés sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir la notation des dés pour plus d'informations.

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Les jeux de puzzle similaires à un cube de Rubik se présentent sous cinq formes différentes – voir polyèdres magiques.

Cristaux liquides avec symétries de solides platoniques

Pour la phase de matériau intermédiaire appelée cristaux liquides, l’existence de telles symétries a été proposée pour la première fois en 1981 par H. Kleinert et K. Maki.(5)(6) En aluminium, la structure emblématique de la cathédrale a été découverte trois ans plus tard par Dan Shechtman, qui lui a décerné le prix Nobel de chimie en 2011.

Polyèdres et polytopes associés

Polyèdre uniforme

Il existe quatre polyèdres non convexes communs appelés polyèdres de Kepler – Poinsot. Celles-ci ont toutes une symétrie icosaèdre et sont disponibles sous forme de stellations du dodéchédre et de l'icosaèdre.

Le polyèdre convexe le plus commun pour les solides platoniques est le cuboctaèdre, qui est une amélioration du cube et de l'octaèdre, et l'icosidodécaèdre, qui est une amélioration du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la rectification du tétraèdre auto-conducteur est une rectification de l'octaèdre commun). Ce sont les deux quasi-régulière, c’est-à-dire qu’ils sont uniformes au sommet et aux faces et qu’ils ont des faces régulières, mais que les faces ne sont pas toutes coïncidentes (elles appartiennent à deux classes différentes). Ils forment deux des treize solides d'Archimède, qui sont les polyèdres uniformes convexes à symétrie polédrique. Les duals de derals, le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique, sont des transitions de bordures et de faces, mais leurs faces ne sont pas régulières et les verticales sont de deux types chacune; ils sont deux des treize solides catalans.

Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus large de polyèdres. Ces figures sont des sommets uniformes et ont un ou plusieurs types de polygones communs ou en étoile pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec un ensemble infini de prismes, un ensemble infini d'antiprims et 53 autres formes non convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces communes mais ne sont pas uniformes. Parmi eux se trouvent cinq des huit deltas convexes, qui ont des surfaces identiques et régulières (tous des triangles à côtés égaux), mais qui ne sont pas uniformes. (Les trois autres nœuds delta convexes sont le tétraèdre platonique, Octa et Icosaèdre.)

Tessellations communes

Les trois mosaïques communes du plan sont étroitement liées aux solides platoniques. En fait, les solides platoniques peuvent être vus comme des mosaïques ordinaires de la sphère. Ceci est fait en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces se projettent sur des polygones sphériques ordinaires qui recouvrent avec précision la sphère. Les tuiles sphériques fournissent deux autres ensembles infinis de tuiles communes, l’hosohèdre, avec deux angles aux montants et des faces caressantes, et le double dièdre, avec deux surfaces hémisphériques et un équateur vertical régulièrement espacé. De telles mosaïques seraient dégénérées dans des espaces 3D réels tels que des polyèdres.

On peut montrer que chaque pavage régulier de la sphère est caractérisé par un entier avec +>. De même, une tessellation normale du plan est caractérisée par la condition + =. Il y a trois options:

De même, on peut envisager des mosaïques régulières du plan hyperbolique. Ceux-ci sont caractérisés par la condition + Dimensions supérieures

Dans plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent en polytopes, avec des polytopes communs convexes à plus grande dimension qui sont l'équivalent des solides platoniques tridimensionnels.

Au milieu des années 1800, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a découvert les analogues à quatre dimensions des solides de Platon, appelés 4-polytopes communs convexes. Il y a exactement six de ces nombres; cinq sont analogues aux solides platoniques tels que 5 cellules, 16 cellules, 600 cellules, tesseract et 120 cellules, et un sixième, les cellules auto-duales à 24 cellules.

Dans toutes les dimensions supérieures à quatre, il n'y a que trois polytopes communs convexes: simplex en tant que, hypercube en tant que, cross-polytope en tant que. En trois dimensions, elles coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.

sources

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Liens externes

Notes et références

  1. Gardner (1987): Martin Gardner a écrit un compte rendu populaire des cinq solides dans sa chronique de décembre 1958 dans Mathematical Game dans Scientific American.
  2. Encyclopédie: Zeyl. Donald. L'encyclopédie de philosophie de Stanford. Timée de Platon.
  3. Wildberg (1988): Wildberg discute de la correspondance entre les solides platoniques et des éléments de Timée mais notez que cette correspondance semble être oubliée dans Epinomis, qu’il appelle «un long pas vers la théorie d’Aristote», et il souligne que l’éther d’Aristote se situe au-dessus des quatre autres éléments plutôt que sur un pied d’égalité avec eux, rendant la correspondance moins pertinente.
  4. Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations
  5. Kleinert et Maki (1981)
  6. http://chemgroups.northwestern.edu/seideman/Publications/The%20liquid-crystalline%20blue%20phases.pdf Les phases bleues cristallines liquides (1989). par Tamar Seideman, Rapports sur les progrès de la physique, volume 53, numéro 6

Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les quatre premières formes conviennent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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