Solides Platoniques Partie 1: Que sont les Solides Platoniques? | Géometrie sacrée

(Solides platoniques)

Ceci est le premier d'une série d'articles sur les solides platoniques. Ces messages vous montreront comment trouver les angles de six solides platoniques: tétraèdre, cube (hexaèdre), octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre.

Dériver ces valeurs ne nécessite que de l’algèbre et un peu de trigonométrie. Néanmoins, ils peuvent être un peu impliqués, il n’est donc pas difficile de faire des erreurs. Après avoir utilisé les formules présentées pour trouver les points, les publications incluent des programmes d’extraction de solides WPF 3D pour vérifier les résultats. Ces programmes calculent également la longueur des solides pour confirmer qu'ils ont tous la même longueur.

FR polygone simple est une forme bidimensionnelle où chaque bord a la même longueur et les bords font tous les mêmes angles les uns aux autres. La figure 1 montre deux quadruplés. Le carré à gauche est un polygone régulier car tous les côtés ont la même longueur et se rencontrent à des angles de 90 degrés. Le parallélogramme à droite n'est pas commun. Bien que les côtés aient la même longueur, ils ne se rencontrent pas tous sous les mêmes angles.

(Solides platoniques)

FR polytope est fondamentalement un "polygone" ou "figure fermée" dans une dimension donnée. Par exemple, les cubes et les pyramides sont des polytopes tridimensionnels.

ils Solides platoniques a été défini par le mathématicien et philosophe grec Platon (427-347 av. J.-C.). Ce sont tous des solides tridimensionnels que vous pouvez définir à l'aide de faces identiques à des polygones ordinaires. Ces solides sont également appelés polytopes ordinaires en trois dimensions ou solides ordinaires.

Les solides platoniques comprennent le tétraèdre (4 surfaces triangulaires), le cube ou l'hexaèdre (6 surfaces carrées), l'octaèdre (8 surfaces triangulaires), le dodécaèdre (12 surfaces pentagonales) et l'icosaèdre (20 surfaces triangulaires).

Aucun autre polytope commun n'est possible en trois dimensions. Vous avez peut-être vu des solides composés de plusieurs faces identiques. Par exemple, certains magasins de jeux vendent des jets de dés à 30 faces et même à 100 faces. Les faces de ces solides sont des parallélogrammes et non des polygones ordinaires. Ils ne sont donc pas des polytopes ordinaires. De même, vous pouvez créer des dômes géodésiques en utilisant des triangles identiques. Les triangles ne sont pas des côtés égaux (ils ont des longueurs de côtés différentes), le dôme n’est donc pas un polytop régulier.

Il existe d'autres polytopes courants de dimensions supérieures. Par exemple, les "cubes" sont définis pour tous les espaces de dimension supérieure. Il y a des cubes à quatre dimensions, des cubes à cinq dimensions, etc. Il existe même des polytopes courants qui ne correspondent à aucun polytope à deux ou trois dimensions.

L'espace à deux dimensions comporte un nombre infini de polytopes communs, car vous pouvez créer un polygone régulier avec un nombre quelconque de côtés: triangle, carré, pentagone, hexagone, etc. L'espace à quatre dimensions est le polytope le plus fréquent, bien que je ne me souvienne plus de son nombre ni de son nombre de faces. Je pense que je me souviens qu'il avait des équivalents à quatre dimensions pour les tétraèdres, les cubes et les octets (je pense que toutes les dimensions en ont), mais je ne me rappelle pas quoi d'autre. Si quelqu'un le sait, laissez un commentaire.

(Solides platoniques)

Les solides platoniques ont des doubles rapports assez intéressants. Pour doubler la taille d'un solide, placez un sommet au centre de chacune des faces fixes. Connectez ensuite chaque sommet au sommet des faces adjacentes. Pour les solides platoniques, le résultat est un autre solide platonique.

La figure 2 montre un cube et son double: un octaèdre.

Le tableau 1 montre les solides platoniques et leurs duals.

réel double
tétraèdre tétraèdre
cube octaèdre
octaèdre cube
dodécaèdre icosaèdre
icosaèdre dodécaèdre

Tableau 1: Les duels de solides platoniques.

Le nombre de sommets, de faces et d'arêtes dans les doubles a une relation mutuelle. Par exemple, un cube a 6 faces et 8 sommets tandis qu'un octaèdre a 8 faces et 6 sommets. Les deux ont 12 bords. Le tableau 2 indique le nombre de faces, d'angles et d'arêtes de solides platoniques.

réel visages sommets bords
tétraèdre 4 4 6
cube 6 8 12
octaèdre 8 6 12
dodécaèdre 12 20 30
icosaèdre 20 12 30

Tableau 2: Nombre de faces, d'angles et d'arêtes de solides platoniques.

Le nombre de faces, d'arêtes et de coins est lié à la forme et à la disposition des faces. Pour comprendre la relation, définissez les valeurs suivantes:

fa = Visage total dans le fixe
E = Arêtes totales du solide
V = Total vertical dans le solide
EF = Nombre d'arêtes sur chaque face
VF = Nombre de coins sur chaque face
SE = Nombre de faces partageant chaque bord (toujours 2)
OU = Nombre de faces partageant chaque sommet

puis:

E = F * EF / SE
V = F * VF / SV

Par exemple, un icosaèdre a 20 faces triangulaires, chaque sommet étant divisé par 5 faces. F = 20, EF = 3, VF = 3, SE = 2 et SV = 5. La connexion de ces nombres aux équations précédentes donne:

E = 20 * 3/2 = 30
V = 20 * 3/5 = 12

Il y a suffisamment de fond pour commencer. Dans mon prochain article, je montrerai comment trouver les points de coin d'un tétraèdre.


Suivez moi sur Twitter Flux RSS don

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ). n Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou équivalentes dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même taille. n 3D veut dire que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

Laisser un commentaire