Au début de ce cours, nous avons défini polygones ordinaires comme particulièrement les polygones "symétriques", où tous les côtés et angles sont égaux. Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour les polyèdres.
Dans un polyèdre simple tous visages sont tous du même type de polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent sur chaque sommet. On appelle les polyèdres ayant ces deux propriétés Solides platoniques, nommé d'après le philosophe grec Platon.
Alors, à quoi ressemblent les solides platoniques – et combien y en a-t-il? Pour créer une forme en trois dimensions, il faut au moins les visages se rencontrent à chaque sommet. Commençons systématiquement par le polygone le moins commun: les triangles équilatéraux:
Si on fait un polyèdre il y a trois triangles équilatéraux rencontrer à chaque sommet, nous obtenons la forme à gauche. Ça s'appelle un tétraèdre et ont visages. ("Tetra" signifie "quatre" en grec).
Si quatre triangles équilatéraux se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons un autre solide platonique. Ça s'appelle octaèdre et ont visages. ("Octa" signifie "huit" en grec. Tout comme "Octagon" signifie une forme à 8 faces, "Octaèdre" signifie un solide à 8 faces.)
si les triangles se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons icosaèdre. Il a visages. ("Icosa" signifie "vingt" en grec.)
si les triangles se rencontrent à chaque sommet, quelque chose d'autre se produit: nous obtenons simplement une tessellationun quadrupléun autre icosaèdre,au lieu d'un polyèdre à trois dimensions.
Et sept triangles ou plus dans chaque sommet ne produisent pas non plus de nouveaux polyèdres: il n'y a pas assez d'espace autour d'un sommet pour contenir autant de triangles.
Cela signifie que nous avons trouvé Solides platoniques composés de triangles. Passons au prochain polygone régulier: les carrés.
si les itinéraires se rencontrent à chaque sommet nous obtenons cube. Tout comme les dés, il l'a visages. Le cube est parfois appelé aussi hexaèdre, après le mot grec "sorcière" pour "six".
si les carrés se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons une autre tessellationun tétraèdreun autre cube.Et comme auparavant, pas plus de cinq itinéraires ne fonctionneront.
Essayons ensuite les pentagones réguliers:
si les pentagones se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons dodécaèdre. Il a visages. ("Dodeca" signifie "douze" en grec.)
Comme auparavant, quatre pentagones ou plus ne fonctionne pasest possible parce qu'il n'y a pas assez d'espace.
Le prochain polygone commun à essayer est les hexagones:
Si trois hexagones se rencontrent à chaque sommet, nous en obtenons immédiatement un carrelagepolyèdrehexaèdre. Comme il n'y a pas de place pour plus de trois personnes, il semble qu'il n'y ait pas de solides platoniques composés d'hexagones.
La même chose se produit pour tous les polygones ordinaires ayant plus de six côtés. Ils ne tessellent pas, et nous n’obtenons absolument aucun polygone tridimensionnel.
Cela signifie que c'est juste Solides platoniques! Regardons tous:
tétraèdre
visages sommets bords
cube
visages sommets bords
octaèdre
visages sommets bords
dodécaèdre
visages 20 verticales 30 bords
icosaèdre
visages 12 verticales 30 bords
Remarquez le nombre de faces et de coins commutéle même à cube et octaèdre, en plus de dodécédèdre et icosaèdre, tandis que le nombre d'arêtes reste le mêmeest différent. Ces paires de solides platoniques sont appelées double solides.
On peut transformer un polyèdre en son double en "remplaçant" chaque face par un sommet et chaque sommet par une face. Ces animations montrent comment:
Le tétraèdre est double avec lui-même. Puisqu'il a le même nombre de faces et d'angles, les échanger ne changera rien.
Platon croyait que toute la matière dans l'univers se composait de quatre éléments: l'air, la terre, l'eau et le feu. Il croyait que chaque élément correspond à l'un des solides platoniciens, tandis que le cinquième représenterait l'univers dans son ensemble. Nous savons aujourd'hui qu'il existe plus de 100 éléments différents constitués d'atomes sphériques, et non de polyèdres.
Images du livre de Johannes Kepler «Harmonices Mundi» (1619)
Les solides de Platon sont des formes qui déterminent partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes 4 premières formes correspondent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.