Polyèdre double – Wikipedia Géometrie sacrée

Le double d'un cube est un octaèdre. Les verticales de l’un correspondent aux faces de l’autre et les arêtes se correspondent.

En géométrie, tout polyèdre est associé à une seconde double figure, où les sommets de l'un correspondent aux faces de l'autre et les bords entre les paires de sommets de l'une correspondent aux bords entre les paires de faces de l'autre.(1) Ces doubles figures restent des polyèdres combinatoires ou abstraits, mais ne sont pas tous des polyèdres géométriques.(2) De tout polyèdre donné, le dual de son dual est le polyèdre d'origine.

La dualité préserve les symétries d'un polyèdre. Par conséquent, pour de nombreuses classes de polyèdres définis par leurs symétries, le dual appartient également à une classe symétrique. Ainsi, les polyèdres ordinaires – les solides platoniques (convexes) et (les étoiles) Kepler – le polyèdre de Poinsot – forment des paires doubles où le tétraèdre habituel est dual. Le double d'un polyèdre isogonal ayant des sommets équivalents en est un qui est isohédral, avec des surfaces similaires. Le double d'un polyèdre isotoxique (avec des bords similaires) est également isotoxique.

La dualité est étroitement liée réciprocité ou polarité, transformation géométrique utilisée lorsqu’il est appliqué à un polyèdre convexe, réalise le double polyèdre comme un autre polyèdre convexe.

Types de dualité(éditer)

Il existe de nombreux types de dualité. Les types les plus pertinents pour les polyèdres élémentaires sont la réciprocité polaire et la dualité topologique ou abstraite.

Représailles polaires(éditer)

Le double de polyèdre P est souvent défini sous la forme de rétribution polaire d'une sphère. Ici, chaque sommet (pôle) est associé à un plan de face (plan polaire ou juste polaire) tel que le faisceau du centre au sommet soit perpendiculaire au plan et que le produit des distances du centre à chacun soit égal au carré du rayon.(3)

Quand la sphère a un rayon r et est centré sur l'origine, c'est-à-dire défini par l'équation

x2+y2+z2=r2, displaystyle x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2,

et P est un polyèdre convexe et son dual polaire est défini comme

y·x dénote la norme produit scalaire de y et x. Lorsqu'aucune sphère n'est spécifiée dans la construction du dual, la sphère de périphérique est utilisée, ce qui signifie r = 1 dans la définition ci-dessus.(4)

Pour chaque visage de P décrit par l'équation linéaire

le double polyèdre P° veux un pic (x0,y0,z0). De même, chaque sommet de P correspond à un visage de P° et chaque bord P correspond à un bord de P°. La correspondance entre les sommets, les arêtes et les faces de P et P° inverse l'inclusion. Par exemple, si un bord hors tension P contient un sommet, le bord correspondant de P° sera contenu dans la face correspondante.

Pour les polyèdres plus symétriques ayant un centre de gravité évident, il est courant de concentrer le polyèdre et la sphère, comme dans la construction de Dorman Luke décrite ci-dessous.
Cependant, il est possible d’alterner un polyèdre autour d’une sphère quelconque, et la forme du double qui en résulte dépendra de la taille et de la position de la sphère; comme la sphère est variée, la double forme l'est aussi. Le choix du centre de la sphère est suffisant pour définir deux fois l’égalité. Si plusieurs axes de symétrie sont présents, ils se croiseront nécessairement en un seul point, généralement supposé centroïde. Si vous ne pouvez pas le faire, une sphère réécrite, une sphère inscrite ou la sphère du milieu est souvent utilisée (une avec toutes les arêtes comme clés).

Si un polyèdre dans l'espace euclidien a un élément passant par le centre de la sphère, l'élément correspondant dans le double ira à l'infini. Etant donné que l’espace euclidien n’atteint jamais l’infini, son équivalent projectif, appelé espace euclidien élargi, peut être formé en ajoutant le "plan à l’infini" nécessaire. Certains théoriciens préfèrent s'en tenir à l'espace euclidien et dire qu'il n'y a pas de double. Pendant ce temps, Wenninger (1983) a trouvé un moyen de représenter ces duels infinis de manière à créer des modèles (d’une certaine partie limitée!).

Le concept de dualité ici est étroitement liée à la dualité de la géométrie projective, où les lignes et les arêtes sont interchangées. La polarité projective fonctionne assez bien pour les polyèdres convexes. Mais pour les figures non convexes telles que les polyèdres en étoile, lorsque nous essayons de définir cette forme de dualité polyhédrique en termes de polarité projective, différents problèmes se posent.(5)
En raison des problèmes définitifs de la dualité géométrique des polyèdres non convexes, Grünbaum (2007) soutient que toute définition correcte d'un polyèdre non convexe devrait contenir la notion de double polyèdre.

Duels canoniques(éditer)

Double composé canonique de cuboctaèdre (lumière) et de dodécédèdre rhombique (noir). Les paires d'arêtes se rejoignent sur leur interspère commune.

Tout polyèdre convexe peut être déformé en une forme canonique, dans laquelle une unité de la mi-sphère (ou interspère) existe de manière tangente à chaque arête, de sorte que la position moyenne des pointes soit le centre de la sphère. Cette forme est unique aux congruences.

Si nous appliquons un tel polyèdre canonique autour de la sphère médiane, le double polyèdre partagera le même bord et il devra également être canonique. C'est le double canonique, et les deux ensemble forment une double paire canonique.(6)

Dualité topologique(éditer)

Même lorsqu'une paire de polyèdres ne peut pas être obtenue en se réciproquant, ils peuvent être qualifiés de duels les uns des autres tant que les sommets de l'un correspondent aux faces de l'autre, et que les arêtes de l'un correspondent aux arêtes de l'autre, de manière à préserver l'instance. Ces paires de polyèdres sont encore doubles, topologiquement ou abstraites.

Les têtes et les arêtes d'un polyèdre convexe forment un graphe (1 squelette du polyèdre), incrusté dans une sphère topologique, la surface du polyèdre.
Le même graphique peut être projeté pour former un diagramme de Schlegel sur un plan plat. Le graphe formé par les arêtes et les angles du double polyèdre est son double graphe. Plus généralement, pour tous les polyèdres dont les surfaces forment une surface fermée, les sommets et les arêtes du polyèdre forment un graphe intégré à cette surface, et les sommets et les arêtes du double polyèdre (abstrait) forment le graphe double.

Un polyèdre abstrait est un certain type d'éléments partiellement disposés (ensachés), de sorte que les ajustements ou les connexions entre les éléments de l'ensemble correspondent à des ajustements entre des éléments (surfaces, arêtes, etc.) d'un polyèdre. Chaque sac a un double sac, formé en inversant toutes les relations de commande. Si le poset est visualisé sous la forme d'un diagramme de Hasse, le double poset peut être visualisé simplement en faisant pivoter le diagramme de Hasse à l'envers.
Chaque polyèdre géométrique correspond à un polyèdre abstrait de cette manière et possède un double polyèdre abstrait. Cependant, pour certains types de polyèdres géométriques non convexes, le double polyèdre ne peut pas être réalisé géométriquement.

Construction Dorman Luke(éditer)

Pour un polyèdre uniforme, la face du double polyèdre peut être trouvée à partir du sommet du polyèdre original en utilisant Dorman Luke construction.(7)

À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre la figure au sommet (en rouge) de l'octaèdre cubique utilisé pour dériver une face (en bleu) du dodécaèdre rhombique.

DormanLuke.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons récemment / 0 / 0f / DormanLuke.svg / 502px-DormanLuke.svg.png "decoding =" async "width =" 502 "height = "235" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons plus tard / 0 / 0f / DormanLuke.svg / 753px-DormanLuke.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons / boutiques /0/0f/DormanLuke.svg/1004px-DormanLuke.svg.png 2x "data-file-width =" 502 "data-file-height =" 235

Avant le début de la construction, le sommet ABCD est obtenu en coupant chaque bord connecté en (dans ce cas) son point milieu.

La construction de Dorman Luke se poursuit alors:

  1. Dessine la figure de sommet ABCD
  2. Dessiner la circoncision (tangente à chaque coin) FR, B, C et ).
  3. Tracez des lignes tangentes au périmètre dans chaque coin FR, B, C, .
  4. Marquer les points E, fa, sol, H, où chaque ligne tangente rencontre la tangente adjacente.
  5. le polygone EFGH est un visage sur le double polyèdre.

Dans cet exemple, la taille de la figure apex a été choisie de manière à ce que sa circonférence se situe à l'intersection du cuboctaèdre, qui est également intersectée entre le dodécaèdre à double rhombique.

La construction Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre possède une telle interspère et que son sommet est cyclique. Par exemple, il peut être appliqué au polyèdre uniforme.

Polyèdre auto-double(éditer)

Topologiquement, un polyèdre auto-dual est un polyèdre dont le dual a exactement la même connexion entre les angles, les arêtes et les faces. Résumé a le même diagramme de Hasse.

Une géométrique polyèdre auto-double n’est pas seulement topologiquement dupliqué, mais sa réciproque polaire autour d’un point particulier, typiquement son centre de gravité, est similaire. Par exemple, le double d'un tétraèdre régulier est un autre tétraèdre commun, reflété par l'origine.

Chaque polygone est topologiquement dualiste (il a le même nombre de sommets que les arêtes, et ils sont interchangés par la dualité), mais ne sera généralement pas géométriquement dualiste (par exemple, pour un mouvement rigide). Chaque polygone a une forme régulière géométriquement auto-duelle autour de son interspère: tous les angles sont congruents, de même que tous les bords, de sorte que sous la dualité ces congruences changent.

De même, chaque polyèdre à topologie autonome peut être réalisé par un polyèdre à géométrie automatique, son polyèdre canonique, réciproquement autour du milieu de la mi-sphère.

Il existe d'innombrables polyèdres géométriques à auto-duel. La famille infinie la plus simple est les pyramides canoniques n pages. Une autre famille infinie, les pyramides allongées, est constituée de polyèdres que l’on peut en gros décrire comme une pyramide située au sommet d’un prisme (avec le même nombre de côtés). Ajouter un tronc (pyramide avec le haut coupé) sous le prisme génère une autre famille infinie, et ainsi de suite.

Il existe de nombreux autres polyèdres convexes et auto-dupliqués. Par exemple, il y a 6 différents avec 7 coins et 16 avec 8 coins.(8)

Un duel(clarification nécessaire) Un icosaèdre non convexe à faces hexagonales a été identifié par Brückner en 1900.(9)(10)(11) D'autres polyèdres auto-duels non convexes se trouvent dans certaines définitions des polyèdres non convexes et de leurs duals.(clarification nécessaire)

Polyèdre composite auto-double(éditer)

Essentiellement, la connexion à un polyèdre et à son dual est une figure duelle.

Si un polyèdre est dual dual, la connexion au polyèdre avec son dual sera constituée de polyèdres congruents. Le composé commun de deux tétraèdres, connu sous le nom de Stella octangula, est le seul composé commun avec cette propriété.

Deux polytopes et tessellations(éditer)

La dualité peut être généralisée à n– espace dimensionnel et double polytoper; dans les deux dimensions, on parle de doubles polygones.

Les têtes d’un polytope correspondent (n – 1) – éléments dimensionnels, ou facettes, de l'autre et j points qui définissent un (j – 1) l'élément de dimension correspondra j les hyperplans qui se croisent pour en donner un (nj) – élément dimensionnel. Le double d'un n-Tessellation dimensionnelle ou pain d'épice peut être définie de manière similaire.

En général, les facettes du double d'un polytope seront les duals topologiques des sommets des polytopes. Pour les inverses polaires des polytopes communs et uniformes, les doubles facettes seront des inverses polaires de la figure de sommet originale. Par exemple, dans les quatre dimensions, le sommet de la cellule 600 est l’icosaèdre; le double de la cellule 600 est la cellule 120, dont les facettes sont en dodécaèdre, qui est le double de l'icosaèdre.

Double polytopes et tessellations(éditer)

Le carrelage carré, 4.4, est autonome, comme illustré avec ces carreaux rouges et bleus

La première classe de polytopes auto-dupliqués est constituée de polytopes courants avec des symboles palindromiques de Schläfli. Tous les polygones communs, a sont des polyèdres auto-duels de la forme a, a, des 4-polytopes de la forme a, b, a, des 5-polytopes de la forme a, b, b, a, etc.

Les doubles polytopes communs sont:

  • Tous les polygones communs, a.
  • Tétraèdre régulier: 3.3
  • De manière générale, tout ordinaire nimplexes, 3.3, …, 3
  • L'habituel 24 cellules en 4 dimensions, 3,4,3.
  • Le magnifique 5.5 / 2.5 à 120 cellules et le 5 / 2.5.5 / 2 à 120 cellules

Les nids d'abeilles euclidiens communs auto-duels (infinis) sont:

Les pains d’épices hyperboliques communs duels (infinis) communs sont:

  • Mosaïques hyperboliques compactes: 5.5, ​​6.6, … p, p.
  • Pavage hyperbolique para compact: ∞, ∞
  • Pain d'épice hyperbolique compact: 3,5,3, 5,3,5 et 5,3,3,5
  • Pain d'épice hyperbolique para compacte: 3,6,3, 6,3,6, 4,4,4 et 3,3,4,3,3

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

remarques(éditer)

  1. ^ Wenninger (1983), "Notions de base de la posture et de la dualité", p. 1.
  2. ^ Grünbaum (2003)
  3. ^ Cundy & Rollett (1961), 3.2 Duality, pp. 78–79; Wenninger (1983), pages 3-5. (Remarque, la discussion de Wenninger inclut les polyèdres non convexes.)
  4. ^ Barvinok (2002), page 143.
  5. ^ Voir, par exemple, Grünbaum et Shephard (2013) et Gailiunas & Sharp (2005). Wenninger (1983) aborde également certaines questions sur la manière de dériver leurs duels infinis.
  6. ^ Grünbaum (2007), théorème 3.1, p 15 449.
  7. ^ Cundy & Rollett (1961), p. 117; Wenninger (1983), p. 30.
  8. ^ Modèles Java 3D sur les symétries de polyèdres auto-doubles canoniques, basés sur l'article de Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Génération rapide de graphes plats PDF (1)
  9. ^ Anthony M. Cutler et Egon Schulte; "Polyèdres réguliers d'index deux", I; Contributions à l'algèbre et à la géométrie / Contributions à l'algèbre et à la géométrie Avril 2011, Volume 52, Numéro 1, p. 133–161.
  10. ^ N. J. Bridge; "Faire face au dodécaèdre", Acta Crystallographica, Volume A 30, 4 juillet 1974, fig. 3c et texte associé.
  11. ^ Brückner, M .; Velecke und Versflflache: théorie et histoire, Teubner, Leipzig, 1900.

bibliographie(éditer)

  • Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Modèles mathématiques (2e éd.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
  • Gailiunas, P .; Sharp, J. (2005), "Dualité de polyèdres", Revue internationale d'éducation mathématique en science et technologie, 36 (6): 617–642, doi: 10.1080 / 00207390500064049.
  • Grünbaum, Branko (2003), "Votre polyèdre est-il identique à mon polyèdre?", In Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha (ed.), Géométrie discrète et computationnelle: The Goodman – Pollack Festschrift, Algorithmes et combinatoire, 25, Berlin: Springer, p. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, doi: 10.1007 / 978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
  • Grünbaum, Branko (2007), "Graphes of polyedra; polyhedra as graphs", Mathématiques discrètes, 307 (3-5): 445–463, doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.037, MR 2287486.
  • Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), "Duality of polyhedra", dans Sénéchal, Marjorie (ed.), Shaping Space: explorez les polyèdres dans la nature, les arts et l'imagination géométrique, New York: Springer, p. 211-216, doi: 10.1007 / 978-0-387-92714-5_15, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226.
  • Wenninger, Magnus (1983), Deux modèles, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208.
  • Barvinok, Alexander (2002), Un cours de convexité, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.

Liens externes(éditer)

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ) Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les critères, et tous les abords sont de la même taille 3D veut dire que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. Un polygone est une forme verrouillée dans une est plane avec au moins cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

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