Polygones et polyèdres | Corps platoniques | solides de Platon énergie

Au début de ce cours, nous avons polygones ordinaires définis comme des polygones spéciaux "symétriques", où tous les côtés et tous les angles sont égaux. Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour les polyèdres.

Dans un polyèdre simple est tout le monde surfaces polygones communs de la même espèce et pour tous coin rencontre le même nombre de surfaces. On appelle les polyèdres ayant ces deux propriétés Corps platoniques désigné, nommé d'après le philosophe grec Platon,

Alors à quoi ressemblent les corps platoniques – et combien y en a-t-il? Pour obtenir une forme en trois dimensions, il faut au moins Les surfaces qui se rencontrent à chaque tour. Commençons systématiquement par le polygone le moins commun: comme les triangles latéraux:

Si nous construisons un polyèdre, donc à chaque coin de rue trois triangles équilatéraux nous obtenons le corps à gauche. Il s'appelle tétraèdre désigné et ont Surfaces. ("Tetra" en grec signifie "quatre").

Lorsque quatre triangles équilatéraux se rencontrent à chaque coin, nous obtenons un autre corps platonicien. Il va octaèdre appelé et ont Surfaces. ("Octa" en grec signifie "huit." Tout comme "octogone" signifie une figure à huit faces, "octaèdre" signifie un corps à huit faces.)

Si à tous les coins Rencontrez les triangles, on en a un icosaèdre, Il l'a Surfaces. ("Icosa" signifie "vingt" en grec.)

quand Les triangles convergent à chaque coin, quelque chose d'autre se passe: nous obtenons juste un carrelageun carréun autre icosaèdre. au lieu d'un polyèdre à trois dimensions.

Et sept triangles ou plus à chaque coin ne produisent pas de nouveaux polyèdres: il n’ya pas assez d’espace autour d’autant de triangles pour un coin.

Cela signifie que nous Des corps platoniques trouvés de triangles ont été trouvés. Passons au prochain polygone régulier: les carrés.

quand Les carrés convergent à chaque coin, on en a un coupé en désTout comme un dé il a Surfaces. Le cube devient parfois trop Hexaeder nommé d'après le mot grec "sorcière" pour "six".

Si à tous les coins Les carrés se rencontrent, on en a un autre carrelageun tétraèdreun autre cube, Et comme auparavant, cela ne fonctionne pas ici avec cinq carrés ou plus.

Ensuite, nous essayons avec des pentagones réguliers (Pentagone):

quand Les pentagones se rencontrent à chaque coin, nous en avons un dodécaèdre, Il l'a Surfaces. ("Dodeca" signifie "douze" en grec.)

Comme auparavant, il y a quatre pentagones ou plus pas possiblepossible. parce qu'il n'y a pas assez d'espace.

Le prochain polygone commun que nous souhaitons étudier est Hexagon:

S'il y a trois hexagones à chaque coin, on l'obtient immédiatement un carrelageun polyèdreun hexaèdre, Comme il n'y a pas de place pour plus de trois personnes, il semble y avoir des hexagones platoniciens.

La même chose s'applique à tous les polygones ordinaires ayant plus de six côtés. Ils ne peuvent pas être combinés pour la mosaïque et vous n’obtenez aucun polygone tridimensionnel.

Cela signifie simplement que Les corps platoniques existent! Regardons une fois:

tétraèdre

surfaces
coins
bord

coupé en dés

surfaces
coins
bord

octaèdre

surfaces
coins
bord

dodécaèdre

surfaces
20 coins
30 bords

icosaèdre

surfaces
12 coins
30 bords

Notez que le nombre de faces et d'angles est activé Dés et octets ainsi qu'à Dodécaèdres et icosaèdres échangéesest le même. tandis que le nombre d'arêtes est deux reste le mêmeest différent, Ces paires de corps platoniques sont appelées double corps référencé.

Nous pouvons transformer un polyèdre en un double en "remplaçant" chaque face par un angle et chaque angle par une face. Ces animations montrent comment cela fonctionne:

Le tétraèdre est double avec lui-même. Puisqu'il a le même nombre de faces et d'angles, la commutation ne changera rien.

Platon croyait que toute la matière dans l'univers se composait de quatre éléments: l'air, la terre, l'eau et le feu. Il croyait que chaque élément correspond à l'un des solides platoniciens, tandis que le cinquième représenterait l'univers dans son ensemble. Aujourd'hui, nous savons qu'il existe plus de 100 éléments différents constitués d'atomes sphériques au lieu de polyèdres.

Images du livre de Johannes Kepler "Harmonices Mundi" (1619)

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou cône ). n Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même dimension. n 3D veut dire que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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