Beautiful losers: la géométrie des éléments de Platon | NOVA Géometrie sacrée

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Cet essai fait partie de la série

Beaux perdants

.

Platon pensait pouvoir décrire l'univers en utilisant cinq formes simples. Ces formes, appelées solides platoniques, ne sont pas originaires de Platon. En fait, ils remontent des milliers d'années avant Platon; Vous pouvez trouver des modèles de pierre (peut-être des cubes?) De chacun des solides platoniciens dans le musée Ashmolean d'Oxford, datant de l'an 2000 environ avant JC, comme le montre l'image ci-dessous. Mais Platon a placé ces solides au cœur d’une vision du monde physique qui se connecte idéalement au réel et du microcosme au macrocosme dans un style original et véritablement remarquable.

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AN1927.2727-31 Perles néolithiques en grès sculptées, Copyright Ashmolean Museum, Université d’Oxford.

Permettez-moi d’abord d’expliquer ce que sont les solides platoniques. Pour commencer, considérons quelque chose de plus simple: les polygones réguliers. Les polygones ordinaires, par définition, sont des formes à deux dimensions délimitées par des côtés de même longueur, faisant les mêmes angles avec les voisins. Les triangles équilatéraux, les carrés, les pentagones réguliers, etc. sont tous des polygones communs. Les solides platoniques sont l'analogue tridimensionnel des polygones ordinaires et s'avèrent beaucoup plus intéressants. Les solides platoniques sont délimités par des polygones ordinaires, tous de la même taille et de la même forme. On peut prouver mathématiquement qu'il existe exactement cinq solides platoniques. Les voici:

Le tétraèdre a quatre faces triangulaires, le cube six faces carrées, les huit faces triangulaires octaédriques, le dodécaèdre douze faces pentagonales et l'icosaèdre vingt faces triangulaires. Platon a suggéré que quatre de ces solides construisent les quatre éléments: les tétraèdres pointus fournissent des bâtons de feu, les octaèdres glissant lisses fournissent de l'air légèrement divisé, les icosaèdres en gouttelettes fournissent de l'eau et les cubes volumineux non emballés fournissent la terre. Enfin, la chaîne de la mort est la forme de l'univers dans son ensemble. Plus tard, Aristote a envoyé le système de Platon, ce qui implique que le Dodécaèdre donne une cinquième essence – l'éther rempli d'espace.

Les idées de Platon conféraient dignité et grandeur à l'étude de la géométrie et stimulaient le développement. Le treizième et dernier livre d'Euclid

éléments

, la synthèse magnifique de la géométrie grecque, texte de base de la mathématique axiomatique, aboutit à la construction des cinq solides platoniciens et montre qu'ils épuisent les possibilités. Les scientifiques spéculent que Euclid prévu

éléments

avec cet apogée en tête dès le départ.

Bien sûr, d’un point de vue scientifique moderne, la mise en correspondance de Platon des idéaux mathématiques à la réalité physique semble totalement fausse. Les quatre (ou cinq) "éléments" anciens ne sont pas de simples substances, ni des blocs de construction utilisables pour la construction du monde matériel. L'analyse riche et réussie de la matière aujourd'hui implique des concepts complètement différents. Et encore …

Dans son approche générale et son ambition, la théorie complètement fausse de Platon prédit l'esprit de la physique théorique moderne. Son programme pour décrire le monde matériel en analysant ("le réduisant") en quelques substances atomiques, chacune avec des propriétés simples, trouvées dans un grand nombre de copies identiques, coïncide avec la compréhension moderne.

Plus profond pénètre encore sa compréhension que

la symétrie définit la structure

. Platon a senti un potentiel énorme en demandant une symétrie parfaite pour découvrir un petit nombre de structures possibles. Sur la base de ces fondements et de quelques indices tirés de l’expérience, il est possible d’obtenir la synthèse farfelue qui, selon sa philosophie, devrait être possible pour que le monde soit une réalité. Et des indices ont été trouvés: Quasi-coïncidence entre le nombre de solides parfaits (cinq) et le nombre d’éléments suspectés (quatre); suggestions sur la manière dont les qualités observées peuvent refléter les formes sous-jacentes (par exemple, gravure au feu à partir des points tranchants des tétraèdres). Il faut aussi admirer l’audace du génie de voir un défaut apparent en théorie – cinq solides pour quatre éléments – comme une occasion de couronner la création, soit avec l’univers dans son ensemble (Platon), soit avec l’espace lui-même (Aristote).

Lorsque les physiciens modernes cherchent des équations pour décrire les lois inconnues du microcosme, ils doivent deviner en se basant sur des informations fragmentaires. Optimistes – et manquant de solutions constructives -, comme Platon, ils se sont tournés vers la symétrie. La symétrie des équations est peut-être une idée moins connue que la symétrie des formes, mais elle n’a rien d’éclairci ni de mystérieux. Nous disons qu'une équation, en tant que forme, montre une symétrie quand elle le permet

changements qui ne font aucun changement

. Ainsi, par exemple, l'équation

X = Y

a une belle symétrie, parce que l'échange

X

à

Y

le change en ceci:

Y = X

et cette équation transformée exprime exactement le même contenu que l'original. D'autre part

X = Y + 2

disons, est né

Y = X + 2

, qui exprime complètement autre chose. Comme le montre cet exemple, les équations symétriques peuvent être rares et spéciales, même lorsque la symétrie implique des transformations assez simples.

Les équations d’intérêt en physique sont, bien entendu, considérablement plus riches, et les «changements qui ne font aucun changement», nous l’espérons, sont beaucoup plus vastes et élaborés. Mais l'idée centrale reste l'inspiration, comme chez Platon, l'espoir que la symétrie définisse quelques structures intéressantes et que la nature choisisse l'une (ou toutes!) Des plus belles possibilités.

Beautiful Loser de Platon est par la suite un produit d'ambition prématurée et immature. Il tenta de passer directement de belles mathématiques, de la numérologie imaginative et d'observations primitives à la cherry à une théorie de tout. En cela, son ambition était prématurée. Platon n'a pas non plus réussi à tirer des conséquences spécifiques de ses idées ou à les tester de manière critique. Il a dessiné un modèle mondial inspirant, mais se contentant de "déclarer la victoire" sans s'engager dans aucune lutte sérieuse. La forme ambitieuse et ambitieuse de l’ambition scientifique, qui vise à comprendre les particularités du monde avec précision et précision, est apparue des siècles plus tard.

durant votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En termes simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther

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