Les solides platoniques et la théorie de Platon de tout pierre énergétique

Les solides platoniques et la théorie de Platon de tout

Les solides platoniques et la théorie de Platon de tout




La tradition socratique n'était pas particulièrement sensible aux mathématiques
(qui peuvent être recueillies dans un atlas plus immortel), mais il semble que
Platon a reçu une gratitude pour les mathématiques après une série de
conversations avec son ami Archytas en 388 av. Une des choses
que la plupart capturant l'imagination de Platon était l'existence et l'unicité
de ce qu'on appelle maintenant les cinq "solides platoniques". Il est incertain qui
décrit pour la première fois ces cinq personnages - c’était peut-être le premier
Pythagoriciens - mais certaines sources (y compris Euclid) indiquent que
Theaetet (un autre ami de Platon) a écrit la première histoire complète
des cinq solides communs. Cela a probablement constitué la base de
constructions de solides platoniques constituant la finale
Livre XIII des Eléments d'Euclide.

En tout cas, Platon a été puissamment impressionné par ces cinq formes particulières
qui constituent les seuls arrangements parfaitement symétriques pour un ensemble
de points (non plans) dans l’espace, et tard dans la vie, il expliqua une
complètement "théorie de tout" (dans la thèse appelée Timaeus) basé
explicite sur ces cinq solides. Fait intéressant, presque 2000 ans
plus tard, Johannes Kepler était également fasciné par ces cinq formes,
et développé leur propre cosmologie à partir d'eux.

Pour obtenir une symétrie parfaite entre les sommets, il est clair que
chaque côté d’un polyèdre régulier doit être un polygone régulier, et tous
Les faces doivent être identiques. Alors Théétète a d'abord examiné ce que
les solides peuvent être construits avec juste des lignes de côté avec des triangles. si
seuls deux triangles se rencontrent au sommet, ils doivent évidemment être coplanaires,
afin de faire un solide, nous devons avoir au moins trois triangles se rencontrent à
chaque sommet. Il est clair quand nous avons arrangé trois pages égales
triangles de cette façon, leurs bases forment un autre triangle équilatéral,
nous avons donc une figure solide vraiment symétrique à quatre faces,
appelé le tétraèdre, illustré ci-dessous.

          

D'autre part, si nous transformons QUATRE triangles en sommet, nous sommes
produire une pyramide carrée, et nous pouvons évidemment en mettre deux
ceux-ci ensemble, de base en base, pour donner un aspect complètement symétrique
arrangement de huit faces triangulaires, appelées octaèdres, montré
ci-dessous.

          

Ensuite, nous pouvons faire en sorte que les FEM comme les triangles latéraux se rencontrent à un moment donné. C'est
moins clair dans ce cas, mais si nous continuons avec ce modèle, vous ajoutez
triangles équilatéraux de sorte que cinq se rencontrent dans chaque sommet, nous arrivons
comme un solide complet avec 20 faces triangulaires. Ceci s'appelle
icosaèdre, montré ci-dessous.

          

Maintenant, nous pouvons essayer de construire six triangles équilatéraux sur une
points, mais le résultat est un arrangement plan de triangles, donc il
ne fournit pas un solide limité. Je suppose que nous pourrions considérer cela comme
un solide platonique de rayon infini, qui peut avoir été
utile dans la cosmologie de Platon, mais il ne semble pas avoir été examiné
de cette façon. Ce n’est peut-être pas surprenant compte tenu de la
réticence des anciens mathématiciens grecs à compléter l'infini.
Dans tous les cas, nous ne pouvons évidemment rien construire de plus parfaitement symétrique
Solides avec triangle des côtés égaux, nous devons donc nous tourner vers les autres
formes de visage possibles.

Le polygone commun suivant est le carré, et nous le retrouvons
Assembler deux carrés ne donne pas un angle solide, c’est-à-dire
nous avons besoin d’au moins trois itinéraires pour nous rencontrer à chaque sommet. Ensembles trois
itinéraires ensemble, nous voyons que nous pouvons ajouter trois pour lui donner le parfait
solide à six faces, appelé l'hexaèdre (également connu sous le cube).
Ceci est montré ci-dessous.

          

Si nous essayons de réunir QUATRE faces carrées à chaque sommet, nous l’avons.
une autre surface plane (donnant un autre "solide platonique infini")
De toute évidence, c’est le seul solide fini parfaitement symétrique avec
faces carrées.

Procédure pour les faces pentagonales, nous constatons que si nous posons
ensemble 12 pentagones pour que trois se rencontrent à chaque sommet, nous arrivons
sur le cinquième solide platonique, appelé le dodécaèdre, illustré
ci-dessous.

           

Il va sans dire que 12 pentagones réguliers identiques viendraient
ensemble parfaitement comme cela pour former un solide fermé, mais cela fonctionne,
comme le prouve Théétète et qu'Euclide démontre à la fin
des éléments. Si nous acceptons que icoshedron fonctionne,
puis le dodécaèdre suit automatiquement, parce que ces deux formes
sont des "duels" les uns des autres. Cela signifie que l'icosaèdre a 20
faces et 12 angles, tandis que le dodécaèdre a 12 faces et 20
sommet, et les positions angulaires de ses visages correspondent
les positions des sommets de l'autre. Alors, quand on l'a
icosaèdre, nous pouvons simplement mettre un point au milieu de chaque visage, connecter
les points, et brach!, nous avons un dodécaèdre. De même, le cube
et l'octaèdre sont des duels les uns des autres. Aussi le tétraèdre est
le double de soi (pour ainsi dire).

Il est évidemment impossible pour quatre (ou plus) faces pentagonales de se rencontrer à
un pinacle, parce qu'ils ont posé plus de 360 ​​degrés. Pour l'hexagone
(six faces) faces, trois hexagones qui se rencontrent en un point constituent un autre
"infiniment solide", c'est à dire surface si plate. Il est également évident que pas
Un polygone d'ordre supérieur peut donner un solide, donc les cinq solides déjà
mentionné (tétraèdre, hexaèdre, octaèdre, icédèdre et
dodécaèdre) sont les seuls polyèdres communs.

Thétète n'a pas seulement prouvé que ces solides existaient et qu'ils étaient
les seuls solides parfaitement symétriques, il a également donné les conditions réelles
de la longueur des arêtes E au diamètre D des billes circonscrites
pour chacun de ces solides. Ceci est résumé dans la proposition 13
à travers 17 des éléments d'Euclide.

solide E / D
----------- --------------------
tétraèdre carré (2/3) 0.81649 ...

octaèdre sqrt (1/2) 0.70710 ...

hexaèdre carré (1/3) 0.57735 ...

icosahedron sqrt ((5 sqrt (5)) / 10) 0,52573 ...

dodécaèdre (sqrt (5) -1) / (2sqrt (3)) 0.35682 ...


Dans Timaeus, Platon a en fait choisi de fabriquer chacun de ces solides
des triangles rectangles, qui ont joué le rôle de "subatomique"
paticles "dans sa théorie de tout. À leur tour, ces triangles
les particules constituaient les trois jambes (que l'on peut comparer aux quarks),
mais ces jambes n'étaient généralement jamais séparées. Les triangles droits
qu'il a choisi comme base, les particules étaient de deux types. On est
Le triangle d'isoceler "1.1, sqrt (2)" formé en coupant un carré dans
l'autre moitié est le triangle "1,2, sqrt (3)" formé par
couper un triangle équilatéral en deux. Ceux-ci il construisait
les faces des quatre premiers solides, mais étrangement, il ne l'a pas fait
mis deux ensemble, il a utilisé six "1.2, carrés (3) triangles pour faire un
face triangulaire et quatre triangles "1,1, sqrt (2)" pour former un carré
comme indiqué ci-dessous.

     

Bien sûr, il n’est pas possible de construire un pentagone à partir de ces deux
types de base de triangles droits, et Platon n’élabore pas réellement
comment construire les faces du dodécaèdre, mais de
nous savons d’autres sources qu’il pensait que chaque visage devrait être composé
de 30 triangles rectangles, probablement comme dans la figure de droite
ci-dessus, de sorte que la chaîne de la mort était composée de 360 ​​triangles. ils
tétraèdre, octaèdre et icosaèdre était composé de 24, 48 et
120 triangles (de type 1.2, carré (3)), respectivement
L'hexaèdre était composé de 24 triangles (de type 1.1, carré (2)).

Si les triangles de base étaient les particules subatomiques, Platon
considéré les solides comme les "atomes" ou les corps des différents
formes de tissu. En particulier, il a fait ce qui suit
identifications

nombre de triangles
type 1 type 2
------ ------
tétraèdre = plasma ("feu") 24 0
octaèdre = gaz ("air") 48 0
icosaèdre = liquide ("eau") 120 0
hexaèdre = solide ("terre") 0 24

L'idée que tous les constituants de la nature sont constitués de mélanges d'un
petit nombre d’articles, et surtout le choix des quatre
Des éléments de terre, d'eau, d'air et de feu sont attribués à un élément antérieur
Le philosophe grec Empedocles of Agrigentum (495-435 av. J.-C.). Empédocle
croyait que même ces éléments (qu'il appelait "les racines de tous".
choses ") pourraient être mélangés dans des proportions différentes, les éléments
elle-même était inviolable et ne pourrait jamais être changée. En revanche, un
des aspects intrigants de la théorie de Platon était qu'il pensait que c'était
possible pour les particules subatomiques de se séparer et se combinent en d'autres
sorte d'atomes. Par exemple, il pensait qu'un corpus de fluide,
composé de 120 triangles "type 1", peut être divisé en cinq
corpuscules plasmatiques, ou en deux corpuscules gazeux et un plasma.
Il pensait également que les "plus petits" corps pourraient se fondre dans des corps plus grands
similaire, de sorte que (par exemple) deux atomes de plasma puissent fusionner pour former
un seul atome de gaz. Mais puisque les triangles de base constituent la "terre"
(dés) ne sont pas similaires aux autres substances
que les triangles constitués de cubes ne peuvent être combinés en aucun des
d'autres formes. Si une particule de la terre se trouvait brisée en son
triangles de base, ils vont "dériver - autour de la fracture
dans le feu lui-même, ou dans beaucoup d'air ou d'eau - jusqu'à ce que son
les pièces se retrouvent quelque part, se rassemblent et se rectifient
une fois de plus ".

Lorsque Platon prétend que (1,1 sqrt (2)) les triangles ne peuvent pas être combinés
dans autre chose qu'un cube, il est concevable qu'il se fonde
cela sur quelque chose de plus que la disparité géométrique entre
ce triangle et (1,2, sqrt (3)) le triangle. Il pourrait avoir aussi
avait en tête une certaine notion de l'immortalité de la grandeur
sqrt (2) et sqrt (3), non seulement avec l'unité 1, mais entre eux.
En fait, le même théâtre qui a donné le premier récit complet de
on se souvient aussi de cinq solides "platoniques" pour reconnaître le général
le fait que la racine carrée d'un entier non carré est irrationnelle,
c'est-à-dire incompatible avec l'appareil 1. Ce n'est pas clair
à propos de Théétète (ou Platon) savait que deux racines carrées, par exemple
sqrt (2) et sqrt (3) sont également incompatibles, cependant
Karl Popper (dans sa polémique anti-Platon "La société libre et ses
Ennemis ") ont spéculé que cela aurait pu être connu, et que Platon
choisissant ces deux triangles comme composants de base de sa théorie
était une tentative de fournir une base (au sens mathématique) pour
tous les nombres possibles. En d'autres termes, l'idée de Popper est de Platon
pour le moment, les nombres 1, sqrt (2) et sqrt (3) sont tous
mutuellement invariable, mais qu'il peut être possible de construire
tous les autres nombres, y compris sqrt (5), pi, etc., en tant que fonctions rationnelles
de ceux-ci.

Bien sûr, le livre X des éléments d’Euclide (cf. Prop. 42) efface cette
espoir, mais il est possible que les propositions qui y ont été enregistrées aient été
développé après le temps de Platon. Popper fait aussi beaucoup de
coïncidence numérique que sqrt (2) + sqrt (3) est approximativement égale
pi, spéculant que Platon a pu penser que ces chiffres étaient
exactement la même chose, mais cela ne me semble pas crédible. Pour une chose,
cela fournirait un moyen de quadriller le cercle, ce qui ferait certainement
été mentionné si quelqu'un l'avait pensé. Plus important encore
l'idée de base de Théétète était de reconnaître la symétrie
tous l'infiniment d'innombrables racines carrées irrationnelles, et ça ne marche pas
semble probable que lui (ou Platon) serait induit en erreur
que seulement deux d'entre eux (avec l'unité 1) peuvent constituer la base
pour tous les autres. C’est une idée très peu naturelle, une idée qui ne serait pas
se produire probablement avec un mathématicien. (Toujours imaginatif
un interprète pourrait probablement discerner des correspondances entre les quatre
vecteurs de base de "The Platonic Field", c'est-à-dire des nombres sur le formulaire
A + Bsqrt (2) + Csqrt (3) + Dsqrt (6) et les quatre éléments de Platon, non ajoutés
mentionner les composants des quartiers de Hamilton.)

Il est également intéressant que Platon décrive le triangle "1.1, sqrt (2)"
comme le plus "stable" et le plus susceptible de conserver sa forme, c’est-à-dire
tenant compte de la qualité inerte et immuable des éléments solides.
Il n’a pas précisé son critère de "stabilité", bien que nous ayons
peut imaginer qu'il avait à l'esprit les longueurs presque égales de
bords, être plus proche de l'équilibre. D'autre part, cela serait
suggère que le triangle équilatéral (qui est la face de celle de Platon)
"éléments moins stables") étaient très stables. Platon n'a pas mentionné
le cube est en fait le seul solide platonique instable,
dans le sens de la rigidité de la structure de bord. aussi bien
Le cube est le seul solide platonique qui n'est PAS un équilibre
configuration pour les sommets à la surface d’une sphère avec
respect d'une répulsion inversée. Pourtant, l'idée de
la stabilité de la structure solide subatomique est quelque peu liée
comptes modernes de la stabilité des éléments inertes.

Nous pouvons également voir des échos des descriptions de Platon dans Isaac Newton
théorie corpusculaire. Les commentaires de Newton sur les "côtés" de la lumière
les particules sont très similaires à la langue de Platon dans Timaeus. C'est
également intéressant de comparer certains passages de Timaeus, par exemple

Et toutes ces choses ont été prises en main, leur nature
est déterminé par nécessité de la manière que nous avons décrite,
par l'artisan du plus parfait et excellent parmi
les choses à venir ...

avec des phrases dans Principia de Newton, qui

... Toute la diversité des choses créées, chacune à sa place
et le temps, ne pouvait découler des idées et
volonté à un être nécessairement existant ...
... tous les phénomènes peuvent dépendre de certaines forces telles que
particules de corps ... soit poussées les unes contre les autres
et se confond en chiffres ordinaires, ou est repoussé par un
un autre et décliner ...
... Si quelqu'un pouvait travailler avec une précision parfaite, il
soyez le mécanicien le plus parfait de tous ...

Platon a explicitement assumé le rôle de * nécessité * dans la conception
l'univers (si bien illustré par les cinq et seulement cinq platoniciens
solides), comme Einstein a toujours dit que ce qui intéressait vraiment
pour lui était si Dieu avait le choix dans la création du monde.
Mais Platon n'était pas naïf. Il a écrit

Bien que (Dieu) ait profité des causes d’aide pertinentes,
ce fut lui-même qui donna leurs desseins justes à tout ce qui allait venir
être. Par conséquent, nous devons distinguer deux raisons,
le divin et le nécessaire. Tout d'abord, le divin, comme nous
doit chercher en toutes choses si nous voulons avoir une vie de bonheur
dans la mesure où notre nature le permet, et deuxièmement ce qui est nécessaire,
que nous devons rechercher le divin. Notre raison
est-ce sans le nécessaire, les autres objets
nous sommes sérieux, impossible à distinguer, et donc
ne peut être compris ou partagé d'aucune autre manière.

Le cinquième élément, à savoir la quintessence, selon Platon était
identifié avec la chaîne de la mort. Il dit simplement «Dieu a utilisé cela
solide pour tout l’univers, des figures brodées dessus ". Alors je
supposons que c’est une bonne chose que les triangles rectangles se composent de cette
quintessence n’est compatible avec aucun des quatre autres éléments,
puisque nous ne voulons certainement pas que le quintet de l'univers soit
commencer à transférer aux suppresseurs de base eux-mêmes!

Timaeus contient un compte-rendu très détaillé de pratiquement tous les aspects
de l'existence physique, y compris la biologie, la cosmologie, la géographie,
chimie, physique, croyances psychologiques, etc., toutes exprimées en
les termes de ces quatre éléments de base et leurs transformations en un
à un autre en brisant les triangles constitutifs
à part et mis ensemble dans d'autres formes. Dans l'ensemble c'est très
théorie intéressante et impressionnante, et étonnamment similaire à celle-ci
aspects combinatoires (et numérologiques) de certains spéculateurs modernes
"théories de tout", ainsi que d'exprimer des idées qui ont
collègues évidents dans la théorie moderne de la chimie et
tableau de la période des éléments, et ainsi de suite.

Quitte Timée

Et maintenant, nous pouvons dire que notre compte de l'univers l'a
atteint sa conclusion. Ce monde a reçu et
grouillant de créatures vivantes, mortelles et immortelles. Un visible
des êtres vivants contenant des objets visibles et une percussion
Dieu, l'image de l'être vivant intelligible. Sa grandeur,
la bonté, la beauté et la perfection sont omises. notre
L’univers, en fait le seul du genre, est devenu.

Les détails spéculatifs du "récit de l'univers" de Platon sont
pas très satisfaisant d'un point de vue moderne, mais c'est tout
Nul doute que - du moins dans sa portée et son ambition en tant que projet
pour représenter "tout ce qui est" sous la forme d'un petit nombre de simples
opérations mathématiques - la "théorie de tout" de Platon a laissé une
impression durable sur la science occidentale.

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Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ) Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les critères, et tous les bords sont de la même dimension 3D sous-entend que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. Un polygone est une forme verrouillée dans une est plane avec au moins cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

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