Géométrie en art et architecture unité 6 | solides de Platon énergie

SOLIDES PLATONIQUES

"Personne ne devrait être pauvre
la géométrie entre chez moi. "

Platon (ca. 427 – 347 av. J.-C.)


Ecole Raphaels d'Athènes


Diapositive 6-1: RAPHAEL: École d'Athènes

American Catalgo, page 126, n ° 21061. Fresco, Vatican, Stanza della Signurata,
Bibliothèque privée du pape

Nous avançons maintenant dans 150 ans et restons toujours en Grèce,
de Pythagore à Platon, même un pythagoricien.

Dans notre dernière unité, nous avons étudié des polygones et j'ai dit que l'un d'entre eux
Ceux-ci, le triangle, ont été pensés par Platon comme la pierre angulaire
univers. Il a présenté l'idée et d'autres sur la création, tels que
l'univers est créé pour ressembler à une progression géométrique, dans un
de ses livres, le Timée.

en Timée, nous voyons comment Platon décrit comment les triangles
constitue cinq solides, maintenant appelés Solides platoniqueset comment
Ces solides constituent les quatre éléments et le ciel. Nous allons regarder
polyèdre commun en général, et voir pourquoi seulement cinq sont possibles.

Enfin, nous voyons comment les solides platoniques ont été utilisés comme motifs d'art
même avant Platon, comment ils ont été utilisés plus tard et comment ils ont été servis pour lier
ensemble, trois mathématiciens et artistes de la Renaissance, Piero della
Francesca, Luca Pacioli et Leonardo da Vinci.

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projets


Platon

Ecole Raphaels d'Athènes. Partie médiane Diapositive 6-2: RAPHAEL: École d'Athènes. Partie médiane

Profil:

Platon (c.427-347 av. J.-C.) est né à
une famille aristocratique à Athènes. Jeune homme, Platon était politique
ambitions, mais il a été déçu par les dirigeants politiques
Athènes. Finalement, il devint disciple de Socrate et accepta les bases
philosophie et style de débat dialectique, la recherche de la vérité par le biais
questions, réponses et questions supplémentaires. Platon a été témoin de la mort
de Socrate aux mains de la démocratie athénienne en 399 av. en
Raphael École d'Athènes on voit Socrate exposé, avec une tasse
à proximité.

L'étudiant le plus en vue de Platon était Aristote,
montré ici avec Platon à Raphaels École d'Athènes,
Les fêtes d'Aristote éthique et Platon avec son Timée.


Académie de Platon

En 387 avant notre ère, Platon a fondé une académie
Athènes, souvent décrite comme la première université. Il a donné un
programme complet, y compris l’astronomie, la biologie, les mathématiques,
théorie politique et philosophie.

La dernière année de Platon a été consacrée à des conférences à l'académie et à l'écriture.
Il mourut à Athènes, à l'âge de 80 ans, en 348 ou 347.

À travers les portes de son académie se trouvaient les mots


Les mots sur la porte de Platon

sens, "Personne ne devrait être pauvre
la géométrie entre chez moi. "


Platon sur l'art et la géométrie

Bien que Platon aimait la géométrie, il n'aurait pas été
bon à enseigner un cours d'art et de géométrie parce qu'il était faible
opinion sur l'art. Il a appris que puisque le monde est une copie ou une image de
le réel, une œuvre d'art est une copie d'une copie, la troisième est retirée de
réalité.

Il écrit dans sa République (p. 603),
"… pour peindre (et) … tout l'art de l'imitation est occupé avec un travail qui est
loin de la vérité; … et sa maîtresse et amie pour aucune santé ou
vrai but. … (it) est un ami sans valeur pour un ami sans valeur, et
les parents d'une progéniture sans valeur. "

Mais à propos de la géométrie, il a écrit dans sa république (p. 527),

"(La géométrie est). . . persécuté pour le savoir
ce qui existe pour toujours, et non ce qui vient un moment,
et périr, …

(il) doit tirer l'âme vers la vérité et lui donner le dernier point
à l'esprit philosophique. "


Le timée

Platon a laissé de nombreux écrits.
Nous avons mentionné son république dans notre unité de nombres symbolisme il
il a donné les quatre vertus cardinales, mais son amour de la géométrie est spécial
clair dans Timée.

Écrit vers la fin de Platon
la vie, vers 355 avant notre ère Timée décrit une conversation entre
Socrate, professeur de Platon, Critias, arrière-grand-père de Platon,
Hermocrates, homme d'État et soldat sicilien, et Timée, pythagoricien,
philosophe, scientifique, général, contemporain de Platon et l'inventeur
de la poulie. Il fut le premier à distinguer entre harmonique,
avancées arithmétiques et géométriques.

Dans ce livre, Timaeus en fait l'essentiel
parler, avec beaucoup d'hommage à Pythagore et faire écho harmonie de
chapelet
tout en décrivant la création géométrique de
monde.


La musique des sphères

Platon, à travers Timaeus, dit le créateur fait âme du monde
à partir de différents ingrédients et formé dans une longue bande.
La bande a ensuite été marquée à intervalles.


Tout d'abord (le créateur) a pris une partie de l'ensemble (1 unité)
et puis certains doublent le premier (2 unités)
une troisième moitié reste autant que l'autre (3 unités)
la quatrième partie double de l'autre (4 unités)
le cinquième trois fois le troisième (9 unité)
le sixième huit fois le premier (8 unité)
et le septième 27 ème le premier (27 unité)

Ils donnent les sept entiers; 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27.
Ceux-ci contiennent la monade, la source de tous les nombres,
le premier lisse et le premier impair, ainsi que leurs carrés et leurs dés.


Platon lambda

Arithmétique personnifiée en femme Diapositive 8-72: L'arithmétique personnifiée en tant que femme

Lawlor, Robert. Géométrie sacrée NY: Thames & Hudson, 1982. p.

Ces sept numéros peuvent être arrangés
comme deux avances

Monade 1 point

Première ligne lisse et impair 2 3

Routes 4 9 Fly

Cubes 8 27 fixes

Ceci s'appelle Platons Lambdacar il a la forme de la lettre grecque lambda.


Divisions de l'âme du monde
comme intervalles musicaux

Rapportez cela à la musique, si nous commençons
à faible C et en laissant ces intervalles, nous obtenons 4 octaves plus un sixième. la
ne ressemble pas encore à une gamme musicale. Mais Platon continue à Remplir
chaque intervalle avec un agent arithmétique et un agent harmonique. prise
le premier intervalle, de 1 à 2, par exemple,

Arithmétique signifie =
(1 + 2) / 2 = 02/03

ils Moyens harmoniques
de deux nombres, il est réciproque pour la moyenne arithmétique de leur réciproque.

Pour 1 et 2, les réciprocités sont 1 et 1/2,
dont la moyenne arithmétique est 1+ 1/2 ÷ 2 ou 3/4. Et ainsi

Harmonique signifie = 4/3

Ainsi nous obtenons quatrième ou 4/3,
et cinquième ou 3/2, aux mêmes intervalles, les pythagore semblent à l'aise.
De plus, les quatre premiers chiffres sont composés de 1, 2, 3, 4 de
tétractys.


Pour combler les lacunes

Il a pris l'intervalle entre le quatrième et le
le cinquième comme un ton plein. C'est

3/2 ÷ 4/3 = 3/2 x 3/4 =
9/8

Platon demande alors à son créateur de remplir
échelle avec intervalles de 9/8, ton. Cela laisse des intervalles de
256/243 en tant que résidus, égaux à la demi-teinte.

Ainsi Platon a construit la balance de
calculs arithmétiques seulset non pas en expérimentant
avec des cordes tendues pour trouver ce qui sonnait le mieux, comme le firent les pythagore.

projet: Répéter Platon
calculs et voir si vous obtenez vraiment une échelle musicale.


Former des cercles célestes

Après avoir marqué la bande dans ces
intervalles, le créateur coupe ensuite longitudinalement en deux bandes qui sont
placés à un angle les uns des autres et façonnés en cercles. ces
correspond à l'équateur céleste et l'écliptique, le début d'un
sphère armillaire.

sphère armillaire Diapositive 10-121: Sphère armillaire

Turner, Gérard. Instruments scientifiques antiques. Dorset: Blandford, 1980. page 61

Rappelez-vous notre citation de Platon
république, où, dans Mythe à propos de vous il a écrit,

". . . Sur chacun des cercles
se tenait une sirène qui a été transportée avec ses mouvements et l'a prononcé
sondages sur une échelle. "
(République p. 354)

C'est l'origine de l'expression,
La musique des sphères.


les éléments

L'idée est que toutes les choses sont
composé de quatre éléments principaux:
sol, air, feu et eau, attribué
Empédocle (vers 493-433 av. J.-C.), philosophe grec,
Homme d'État et poète. Il est né à Agrigentum (maintenant Agrigente),
Sicile, et était un disciple de Pythagore et de Parménide.

Rappelez-vous les forces opposées, Yin
et Yang, homme et femme, dont l'interaction a tout créé
univers? Empedocles croyait que les puissances actives et contradictoires, l’amour et la
la haine ou l'appartenance et l'antipathie, agir sur ces éléments, combiner et
Séparez-les en formes infiniment variées.

Il a également estimé que pas de changement
impliquant la création de nouvelle matière est possible; juste des changements dans
Des combinaisons des quatre éléments existants peuvent se produire.

Empédocle est décédé environ 6 ans auparavant
Platon est né.


L'univers géométrique
progression

Platon déduit
la nécessité des quatre éléments. Timée, 31B-32C

1. Premièrement, nous devons avoir le feu, pour faire
le monde visible et la terre pour le rendre résistant au toucher.
Ce sont les deux extrême éléments, le feu appartenant au ciel et
sol à sol. Il écrit,

. . . Il faut que
la nature doit être visible et tangible …

et rien ne peut être visible sans feu ni tangible sans terre …

2. Mais deux ne peuvent pas rester ensemble
sans tiers comme un lien. (comme colle)

. . . Mais il est impossible que deux choses s'enchaînent sans l'intervention d'une troisième …

3. Et le lien le plus parfait est la proportion géométrique associée.

… (et) la plus belle analogie est quand il est à l'intérieur
trois chiffres,

le milieu est au dernier comme le premier au milieu,. . .
ils deviennent identiques les uns aux autres.

4. Mais les corps primaires
sont des solides et doivent être représentés par des nombres fixes (cubes).
Pour connecter deux numéros de plan (carrés) est un signifie assez
mais pour connecter deux numéros fixes, Deux fonds sont nécessaires.

Mais si l'univers allait
n'ayant pas de profondeur, un support suffirait à lier toute la nature qu'il
contient. Mais . . Le monde devrait être un solide, et les solides ne sont jamais
harmonisé par un, mais toujours par deux médias.

Par conséquent, la divinité a placé de l'eau et
l'air au milieu du feu et de la terre, et les produire dans la même proportion
l'un à l'autre; ainsi l'a fait Le feu peut être à l'air comme l'air est à l'eau
et cette eau est sur la terre.

feu / air = air / eau = eau / sol

Ainsi, le rapport est constant entre
éléments successifs, donnant une progression géométrique.



Les solides platoniques

Les solides platoniques appartiennent au groupe des
figures géométriques appelées polyèdres.

FR polyèdre est l'un
fixé par des polygones plans. Les polygones s'appellent
visages; ils se croisent bords, il
les points où trois arêtes ou plus se coupent sont appelés
sommets.

FR régulièrement polyèdre est celui dont les faces sont identiques
polygones communs. Seulement cinq solides communs est possible

octaèdre cube tétraèdre
dodécaèdre d'icosaèdre

Ceux-ci sont devenus connus comme les solides platoniques


Les éléments attachés à
les solides platoniques

Platon relie quatre Solide platonique avec les quatre éléments.
Il écrit,

Nous devons continuer à distribuer
les figures (solides) que nous venons de décrire entre feu, terre,
l'eau et l'air. . .

Attribuons le cube au sol, car c’est le plus
immobile des quatre corps et le plus réticent de la forme

le plus petit mobile du reste
figures (icosaèdre) pour l'eau

le plus mobile (tétraèdre)
se faire virer

produit intermédiaire (octaèdre)
à l'air

Sachez que la terre est associée au cube,
avec ses six faces carrées. Cela a soutenu la notion de carré
de la terre.


Kosmos

Mais c'est cinq régulièrement
polyèdre et seulement quatre éléments. Platon écrit:

"Il restait encore un cinquième
construction, que le dieu a utilisé pour la broderie des constellations
sur tout le ciel. "

La déclaration de Platon est vague,
et il ne donne aucune autre explication. Plus tard, les philosophes grecs assignent
dodécédèdre de l'éther ou du ciel ou du cosmos.

Le dodecah a 12 visages, et le nôtre
le symbolisme numérique relie 12 avec le zodiaque.

Cela peut être le sens de Platon quand il écrit « broderie
les constellations "
sur le dodécaèdre.

Notez que les 12 faces du dodécaèdre sont des pentagones. commémorer
que le pentathlon contient relation en or.

Peut-être cela a-t-il quelque chose à voir avec l'assimilation de cette figure au cosmos.


Autres polyèdres

Les solides archimédiens

Solides arkimédiens "vspace =" 10

Diapositive 6-4: Solides archimédiens
Wenniger, Magnus J. Modèles en polyèdre pour la classe. NCTM 1966, p

D'autres ensembles de solides peuvent être
obtenu à partir de solides platoniques. Nous pouvons obtenir un jeu en coupant
coins de solides platoniques et peu tronqué polyèdres.

Ils ne sont plus communs; ils
s'appelle demi -regelmessig; Toutes les faces sont des polygones réguliers, cependant
Il y a plus d'un polygone dans un solide particulier et dans tous les vertices
sont identiques.

On les appelle aussi
Solides archimédiens, nommé d'après Archimède, (287-212), le grec
mathématicien vivant à Syracuse dans le coin inférieur droit de
Sicilia.

Mini-projet:
Créer des solides archimédiens.


Polyèdres étoiles

Les quatre solides de Kepler-Poinsot

Diapositive 6-5: Les quatre solides de Kepler-Poinsot
Wenniger, Magnus J. Modèles en polyèdre pour la classe. NCTM 1966, p

Gravure de Harmonices Mundi

Diapositive 6-6: Gravure Harmonices Mundi1619.
Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT
Press, 1993. 218

L'autre moyen évident d'en obtenir un autre
Ensemble de solides consiste à élargir les faces de chacun pour former une étoile,
donne ce qu'on appelle Polyèdres en étoile.

Polyèdre à deux étoiles a été découvert
par Poinsot en 1809. Les autres ont été découverts environ 200 ans avant
celle de Johannes Kepler (1571-1630), l'astronome allemand et naturel
philosophe connu pour formuler les trois lois du mouvement de la planète,
maintenant connu comme lois de Kepler, y compris la loi que les corps célestes ont
chemins elliptiques et non circulaires.

Mini-projet:
Faites des étoiles polir.



Polyèdres dans l'art et l'architecture

polyèdres
y a rien de nouveau

Polyhedra a servi de
motifs d'art de la préhistoire jusqu'à nos jours.

pyramides Diapositive 6-7: Les pyramides

Tompkins, Peter. Secrets de la grande pyramide. NY: Harper, 1971. Couverture

Les Egyptiens, bien sûr,
connaissait le tétraèdre, mais aussi l'octaèdre et le cube.
Et c'est des dés icosaédriques
de la dynastie ptolomaic au British Museum de Londres.

Dodécron étrusque Diapositive 6-8: Dodécaèdre étrusque

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT
Press, 1993. p

Des solides néolithiques ont été trouvés
en Écosse, et des fouilles près de Padoue ont révélé un étrange
dodécaèdre, ca. 500 avant JC, probablement utilisé comme un jouet.


Kepler

Le modèle de Kepler de l'univers Diapositive 3 à 6: Le modèle de Kepler de l'univers

Lawlor, p

En 1596, Kepler a publié un traité
appelé Le mystère cosmique où il a envisagé l'univers
constitué de solides platoniques imbriqués dont les sphères inscrites
Déterminer les plans, tous enfermés dans une sphère
représentant le ciel extérieur. Bien sûr, ses observations ne correspondaient pas
ce schéma. Nous retrouverons Kepler dans notre unité le céleste
Les thèmes de l'art.


Polyèdres et plagiat
à la Renaissance

Luca Pacioli, Jacopo le Barberi Diapositive 14-10: JACOPO DE BARBERI: Luca Pacioli,
1499 environ

Ce tableau montre Fra Luca
Pacioli et son élève, Guidobaldo, duc d'Urbino. En haut à gauche
est un cuboctaèdre losange, et sur la table est un dodécédèdre au-dessus de
une copie d'Euclids Éléments.

Illustrations de Leonardo pour le livre de Luke Diapositive 15-11: Illustrations de Leonardo pour le livre de Luke.

Puis Divina Proportione

Luca Pacioli a écrit un livre intitulé
Puis Divina Proportione (1509) qui contenait un paragraphe sur
Solides platoniques et autres solides comportant 60 plaques de solides sans aucun
autre que son élève Léonard de Vinci. Nous allons raconter toute l'histoire
comment ce matériel a été volé à Piero della Francesca, professeur de Lucas
dans notre unité sur Polyèdres et plagiat dans
Renaissance
.


Solides platoniques tels que
Objets d'art

UCELLO: Mosaïque Diapositive 6-12: UCELLO: Mosaïque de la cathédrale Saint-Marc,
Venise,
1425-1430 assiette J2

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT
Press, 1993.

Durer, Melancolia I Diapositive 16-08: DURER:
Melancolia I, 1514

citation

Albrech Durer (1471-1528) en avait un
grand intérêt pour la géométrie, que nous verrons dans une unité ultérieure. Ce fameux
La gravure montre un polyèdre irrégulier, ainsi qu’une sphère, une magie
carré et boussole. Les personnes qui ont analysé ce polyèdre ont
a décidé qu'il y avait en fait un cube avec des coins opposés coupés.

Johannes Neudorfer et son fils Diapositive 6-13: NEUFCHATEL, Nicolaus:
Photo de Johannes Neudorfer et de son fils,1561.

Kemp, Martin. Leonardo sur la peinture. New Haven: Yale U. Press, 1989. p

Lion plaqué or de la porte de la pureté céleste Diapositive 6-14: Lion plaqué or de l'avant Porte de la pureté céleste,
Gros plan du ballon

Cité Interdite, Beijing. De la dynastie Qing (1736-1796)

Cette balle a des hexagones entrecoupés
avec cinq bords.


Les polyèdres dans l'art dans
le vingtième siècle

Le travail de Giacometti

Diapositives 6-15, 6-16, 6-17:
Le travail de Giacometti

Hohl, Reinhold. Alberto Giacometti. NY: Abrams, 1972.

Artiste suisse Alberto Giacometti
(1901-1966) a souvent inclus des polyèdres dans son ancien style surréaliste
fonctionne comme ces deux dessins et une sculpture.

Escher's Stars Diapositive 21-5:
Escher:étoiles

1948 (# 123)

Nous parlerons de M.C. Escher
(1902-1972) en détail quand nous arrivons au 20ème siècle mais ne laissons que
regardez sa gravure de 1948, Étoiles. Notez la similitude entre
ce polyèdre et les illustrations de Leonardo pour Paciolis
livre.

Escher évalue son ensemble imbriqué de solides platoniques Diapositive 21-06: Escher
Considérez leur ensemble imbriqué de solides platoniques

citation

Escher fait un ensemble de niché
Solides platoniques. Quand il a déménagé dans un nouveau studio, il en a perdu la majeure partie
Ses biens, cependant, ont pris son modèle bien-aimé.

Autres artistes du XXème siècle
Harriet Brisson, Paul Calter et Lucio utilisent des polyèdres
Saffaro.

Pack d’octaèdres, rhombidodécaèdres et cubes raccourcis Diapositive 6-18:plafonnés
Gros plan, octaèdre, rhombidodécaèdre et cubes.
Ligne en plexiglas, tube en aluminium et nylon, 1976

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel:
Art et mathématiques
. Cambridge: MIT Press, 1993. planche B3

Trois solides platoniques du cercle de sorciers de Calter

Diapositives 6-19, 6-20, 6-21: Solides platoniques

Calter s Cercle sorcier

Infographie: formes platoniques Diapositive 6-22: LUCIO SAFFARO:
Formes platoniques. Infographie, 1989.

Seau, Michele, Ed. L'esprit visuel: art et mathématiques. Cambridge: MIT
Press, 1993. Plaque A3

projet:
Faire une oeuvre d'art avec polyèdre.


résumé

Nous avons donc vu l'origine
Platonic Solids commence déjà avant Plato et a la courte piste
l'influence des polygones dans l'art jusqu'à aujourd'hui.

Nous avons également vu un premier regard sur quelqu'un
sujets que nous examinerons plus tard.

Pour les sujets mathématiques, nous avons
si court sur les séquences et les séries et la géométrie de
polyèdres.




lecture

Lecture Affectation:

Platon, Timée,
votre choix dans votre lecteur.

Emmer, L'esprit visuel,
de votre lecteur

Calter, sélection de
Mathématiques techniques avec calcul, Donne le

Références supplémentaires
de votre bibliographie:

Wenninger Pedoe Kappraf Irma Richter Lawlor Euclid

Ivins Newman, Ghyka Wittkower Critchlow

projets

Projet: Répétez les calculs de Platon et voyez si vous en avez vraiment un
échelle musicale.

Créer des solides archimédiens

Faites des étoiles polir.

Faire une oeuvre d'art avec polyèdre

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© Paul Calter, 1998. Tous droits réservés. Collège Dartmouth

Les anciennes cultures néolithiques ont gravé des photos des éléments de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous l’appelation de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont analysé l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs origines à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constituants de la vie représentés par les 4 composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son livre Elements. Ce large corpus de connaissances est passé pratiquement sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un conteneur pour chacun des cinq solides de Platon. Il a également essayé de raccorder les robustes aux six planètes connues de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre annuel et convexe, dont les faces sont des polygones constants et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’amour comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la lutte les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la méthode et la gestion de la classe de notre univers. n

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