Solide platonicien expliqué | Géometrie sacrée

Dans un espace tridimensionnel, un Solide platonique est un polyèdre convexe commun. Il est constitué de faces polygonales communes (de forme et de taille identiques) identiques (tous les angles étant égaux et tous les côtés égaux) avec le même nombre de faces se rejoignant à chaque sommet. Cinq solides répondent à ces critères:

tétraèdre cube octaèdre dodécaèdre icosaèdre
Quatre visages Six visages Huit faces Douze visages Vingt visages
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Les géomètres ont étudié les solides platoniques pendant des milliers d'années.(1) Ils portent le nom de l’ancien philosophe grec Platon qui a émis une hypothèse dans son dialogue. Timée, que les éléments classiques ont été fabriqués à partir de ces solides solides.(2)

histoire

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité. Il a été suggéré que certaines vis en pierre de taille créées par le peuple néolithique inférieur d’Ecosse représentent ces figures; Cependant, ces boules ont des boutons arrondis au lieu d'être polyédriques. Le nombre de boutons variait souvent du nombre de verticales des solides platoniques, il n'y a pas de boule dont les boutons correspondent aux 20 coins du dodécaèdre et la disposition des boutons n'était pas toujours symétrique.

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques de manière approfondie. Certaines sources (comme Proclus) attribuent cette découverte à Pythagore. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetetus, un contemporain de Platon. Théétète a donné au moins une description mathématique des cinq méthodes et pourrait être à l'origine de la première preuve connue de l'absence d'autres polyhèdres communs convexes.

Les solides platoniques occupent une place de choix dans la philosophie de Platon. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée 360 av. J.-C. où il a attaché chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) avec un solide. Le sol était attaché au cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et avare (comme de petits tétraèdres). L'air est fait d'octaèdre; ses composants minces sont si glissants que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, sort de la main quand on la prend, comme si elle était faite de petites balles. Au contraire, l'hexaèdre (cube) représente une solide "terre" non sphérique. Ces solides solides volumineux font fondre et écrasent les saletés quand ils sont absorbés dans une grande distinction par rapport à la fluidité de l'eau. De plus, on pense que le seul solide solide du cube tessellant l'espace euclidien provoque la solidité de la Terre.

Platon dit, du cinquième solide platonique, le dodecah, "… que le dieu s'en est servi pour arranger les constellations de tout le ciel". Aristote a ajouté un cinquième élément, aithēr (éther en latin, "ether" en anglais) et a postulé que le ciel était fait de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre au cinquième jeûne de Platon.(3)

Euclide décrit mathématiquement les solides platoniques dans éléments, le dernier livre (livre XIII) consacré à leurs caractéristiques. La proposition 13-17 du livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez la relation entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres réguliers convexes. Anders Speiser a expliqué que la construction des 5 solides solides était l’objectif principal du système déductif, canonisé en éléments. Une grande partie des informations contenues dans le livre XIII provient probablement de Theaetetus.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de traiter les cinq planètes extraterrestres connues à l'époque comme les cinq solides platoniques. en Mystographic Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a proposé un modèle du système solaire où les cinq solides étaient insérés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et réécrites. Kepler a suggéré que les distances entre les six planètes connues à ce moment-là puissent être comprises par rapport aux cinq solides platoniques enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondent chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides ont été ordonnés avec l'octaèdre le plus interne, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les espacements entre les planètes des solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais ses recherches ont abouti à ses trois lois de la dynamique orbitale, la première étant les orbites de la planète plutôt que les cercles, modifiant le cours de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Au 20ème siècle, les tentatives d'association de solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de "Modèle de Moon".

Coordonnées cartésiennes

Pour les solides platoniques centrés sur l'origine, les coordonnées cartésiennes simples des pics sont données ci-dessous. La lettre grecque φ utilisé pour représenter la relation d'or ≈ 1,6180.

tétraèdre
octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
visages 4 8 6 20 12
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
orientation
vu
1 2 1 2 1 2
valign = center sommet
Les coordonnées
(1, 1, 1)
(1, -1, -1)
(-1, 1, -1)
(-1, -1, 1)
(-1, -1, -1)
(-1, 1, 1)
(1, -1, 1)
(1, 1, -1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ±φ)
(± 1, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1)
(0, ±φ± 1)
φ, ± 1, 0)
(± 1,0, ±φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±, ±φ)
(±, ±φ, 0)
φ, 0, ±)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ, ±)
φ, ±, 0)
(±, ±, ±φ)
image

Les coordonnées du tétraèdre, de l'icosaèdre et du dodécaèdre sont données dans deux ensembles d'orientation contenant chacun la moitié de la signature et la permutation de position des coordonnées.

Ces coordonnées révèlent certaines relations entre les solides platoniques: les sections du tétraèdre représentent la moitié du cube, ce qui

Notes et références

  1. Gardner (1987): Martin Gardner a écrit un compte rendu populaire des cinq solides dans sa rubrique Mathematical Games en décembre 1958 dans Scientific American.
  2. Encyclopédie: Zeyl. Donald. L'encyclopédie de philosophie de Stanford. Platon est Timée.
  3. Wildberg (1988): Wildberg discute de la correspondance des solides platoniques avec des éléments de Timée mais notez que cette correspondance semble avoir été oubliée Epinomis, comme il appelle «un grand pas en avant vers la théorie d’Aristote», et souligne que l’éther d’Aristote se situe au-dessus des quatre autres éléments, et non pas comme eux, rendant la correspondance moins approximative.

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ). n Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les rives sont de la même longueur. n 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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