Article 43: Géométrie – Solides platoniciens – Partie 4 – Staging, troncature, liaison, solides d'Archimède et de Catalogne Géometrie sacrée

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Nous allons continuer notre discussion sur les solides platoniques ici en abordant le thème des variations des solides platoniques. Celles-ci comprennent les stellations, les troncatures, les rotations, les extensions et les connexions. Ceux-ci incluent, mais ne sont pas limités à, les 13 solides armés et leurs duels les solides catalans.

Solides platoniques

13 solides arkimédiens

4 polyèdres de Kepler-Poinsot

53 polyèdres semi-solides non convexes

Une vue de polyèdres uniformes au Science Museum de Londres. Pour plus d'informations, visitez: https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_star_polyhedron

"Selon le principe de dualité, il existe pour chaque polyèdre un autre polyèdre où les faces et les angles de polyèdre occupent des emplacements complémentaires. Ce polyèdre est appelé dual ou réciproque … Le double d'un champ solide de solide platonique ou d'Archimédien peut être calculé en associant les centres des côtés qui les entourent sommet du polyèdre. "1

Rappelez-vous de l'article 41 que les duels sont les suivants:

  • Tétraèdre – Tétraèdre Inversé

  • Icosaèdre – Dodécaèdre

Les polyèdres composites sont formés à partir des cinq solides platoniques et de leurs duels. La connexion représente également le point milieu ou l’équilibre entre la transition d’un double à l’autre.

Ces connexions incluent:

Tétraèdre étoilé (octaèdre étoilé) – 1440 °

Il consiste en 1 tétraèdre dirigé vers le haut et 1 dirigé vers le bas.

Si vous placez huit tétraèdres sur chacune des 8 faces d'un octaèdre, vous obtenez ici l'octaèdre étoilé ou le tétraèdre étoilé.

1. Cuboctaèdre (équilibre vectoriel) – cube et octaèdre combinés = 3600 °

Il a: 8 faces triangulaires; 6 faces carrées; 14 faces totales; 24 arêtes; 12 coins

C’est la première solidarité armée que nous examinons. Il a des surfaces triangulaires carrées et équilatérales.

Filet de l'unité cubaine:

2. Icosidodécaèdre – isosaèdre et dodécaèdre combinés = 10080 °

Il a: 20 faces triangulaires; 12 faces pentagonales; 32 faces totales; 60 arêtes; 30 coins

Ce sont d'autres solides archimédiens. Il a des faces pentagonales et triangulaires.

Filet du cahedron icosidode:

Il y a 13 solides armés en nombre. Ils sont nommés d'après Archimède (287-212 av. J.-C.) qui en a parlé dans une œuvre perdue.

Les solides d'Archimède sont des polyèdres convexes semi-réguliers. Ils ont une très grande symétrie.

Ils sont constitués de polygones réguliers. (Comme les solides platoniques)

Ils ont des visages réguliers de plus d'un type. (Contrairement aux solides platoniques)

Ils ont des coins identiques. (Comme les solides platoniques)

Ils s’inscrivent tous parfaitement dans une sphère à symétrie tétraédrique, octaédique ou isoscadique. (Comme les solides platoniques)

Chaque solide arkimédique est formé à partir d'un solide platonique. Cela se produit par la jonction (5), l’extension (4), les connexions (2) et l’extension plus la rotation (2). Chacun de ceux-ci sera décrit ci-dessous.

Rotation de l'aire cuboctaédrique de 12 polyèdres archimédiens

Le nombre de croix est 720 º divisé par l'erreur d'angle de sommet.

Chacun a 1 circonférence et 1 médium (intersphère).

Chacun a un cadre pour chaque type de visage.

Les grandes faces ont des caractéristiques plus petites qui affectent leurs centres.

ils circonscrite entoure le solide entier. Les points dans le solide touchent le périmètre sans se projeter à travers eux.

ils midsphere ou Intersphere passe par les centres de chaque bord.

ils insphere s'inscrit parfaitement dans le reste fixe contre les centres de chaque visage.

Le réseau des solides de l'arkimédée est présenté ci-dessous:

volume type de visage # de visages # d'arêtes # de coins La somme des diplômes
icosidodécaèdre 20 triangles;

12 pentagones

32 60 30 10080
Drèdre du tuba rhombique 12 carrés;

8 hexagones;

6 octaves

26 72 48 16560
grand rhombiicosidodecahedron 30 carrés;

20 hexagones;

12 décagones

62 180 120 42480
cuboctaèdre 8 triangles;

6 carrés

14 24 12 3600
rhombicuboctaèdre 8 triangles;

18 carrés

26 48 24 7920
Snub Cube 32 triangles;

6 carrés

38 60 24 7920
Rhombicosadodecahedron 20 triangles;

30 carrés;

12 pentagones

62 120 60 20880
Dodécaèdre adouci 80 triangles;

12 pentagones

92 150 60 20880
Tétraèdre tronqué 4 triangles;

4 hexagones

8 18 12 3600
Octaèdre raccourci 6 carrés;

8 hexagones

14 36 24 7920
Cube raccourci 8 triangles;

6 octaves

14 36 24 7920
Icosaèdre raccourci 12 pentagones;

20 hexagones

32 90 60 20880
Dodécaèdre tronqué 20 triangles;

12 décagones

32 90 60 20880
La somme de tous 452 984 558 165600

Raccourcir signifie couper les coins pour qu’ils soient remplacés par des surfaces. Les surfaces auront alors des longueurs de bord égales.

Ceci s'appelle uniforme troncature.

"La troncature d'un sommet trivial génère un triangle; les angles d'un quadrilatère deviennent des carrés, etc. Le nombre d'arêtes détermine le nombre de côtés du nouveau polygone." 2 Amy Edmondson

Chaque solide tronqué définit 4 sphères concentriques car les plus grandes faces ont des enregistrements plus petits qui affectent leur centre.

Chacun peut s'asseoir parfaitement dans son original Platonic Solid & Dual.

Nous avons vu les deux premiers solides armés terminés. Nous allons maintenant regarder les cinq abréviations.

Les cinq troncatures des solides platoniques sont des solides arkimédiques.

Ce sont:

3. Tétraèdre tronqué – crée des surfaces triangulaires et hexagonales = 3600 °

Il a: 4 faces triangulaires; 4 faces hexagonales; 8 faces totales; 18 bords; 12 coins

Le réseau du tétraèdre tronqué:

Une réduction peu profonde du tétraèdre:

Une correction complète du tétraèdre. Notez qu'il crée l'octaèdre.

4. Octaèdre tronqué – crée des surfaces carrées et hexagonales = 7920 °

Il a: 6 faces carrées; 8 faces hexagonales; 14 faces totales; 36 bords; 24 coins

Les coins de l'octaèdre (en rouge) sont tronqués pour former l'octaèdre tronqué (en bas, en vert).

C'est la seule solidarité armée qui peut remplir l'espace avec des copies identiques de elle-même, sans laisser de trous. Cela signifie qu'il se tesselle dans l'espace 3D.

Le réseau de l'octaèdre tronqué:

5. Cube tronqué – surfaces triangulaires et octogonales = 7920 °

Il a: 8 faces triangulaires; 6 faces octogonales; 14 faces totales; 36 bords; 24 coins

La matrice archimédienne, fixe et tronquée est vue dans la séquence ci-dessous comme forme centrale:

Le réseau des dés tronqués:

6. Icosaèdre tronqué – surfaces pentagonale et hexagonale = 20880 °

Il a: 12 faces pentagonales; 20 faces hexagonales; 32 faces totales; 90 arêtes; 60 coins

Le réseau de l'icosaèdre tronqué:

7. Dodécaèdre tronqué – faces triangulaires et biseautées = 20880 °

Il a: 20 faces triangulaires; 12 faces inclinées; 32 faces totales; 90 arêtes; 60 coins

Le dodécaèdre (ci-dessous) est tronqué pour former le dodécaèdre tronqué (vu tourner en vert).

Filet du dodécaèdre tronqué:

Il convient de noter que "la troncature seule est incapable de produire ces solides, mais doit être combinée à une distorsion pour transformer les rectangles obtenus en carrés." 3

Il existe d'autres variantes sur les liaisons. Nous avons discuté de l'abréviation uniforme ci-dessus.

Le raccourcissement uniforme consiste à raccourcir les faces d'origine en polygones communs de même longueur. Dans la séquence suivante, la jonction uniforme est égale à la moitié de la jonction.

C'est aussi:

  • ¼ troncature – Couper ¼ du chemin
  • ¾ trunking – couper la route
  • correction – Cela réduit les faces d'origine à des points.
  • Cantellation – Coupe les bords au lieu de la verticale. Cela implique de supprimer les bords d'origine et de les remplacer par des rectangles. Sous le cube est cantellé pour faire le dodécaèdre.

Crédit: Frank Chester

Rappelez-vous que l’importance de ceci est de montrer la séquence ou l’évolution des solides platoniques. Ils ne restent jamais immobiles. Ils oscillent et tournent toujours, changent de forme et se déplacent.

Regardez la séquence ci-dessous. Il montre la séquence de troncature d'un dé. Lorsque le cube est réparé, il devient un cuboctaèdre. Lorsque des troncatures supplémentaires sont effectuées, il se déplace dans toute la séquence pour devenir une octaèdre – deux fois le cube.

Tout est en mouvement et chaque solide peut être remplacé par un autre solide par une variété de mouvements spécifiques.

Chaque solide platonique et ses deux ont le même polyèdre redressé. N'oubliez pas que la correction implique de raccourcir le visage d'origine jusqu'à un point.

Après réparation:

A) Un tétraèdre devient l'octaèdre

Vous pouvez clairement voir comment les coins coupés du tétraèdre jusqu’à mi-chemin créent l’octaèdre.

B) Un octaèdre et un cube deviennent un cuboctaèdre

ils cuboctaèdre:

C) Un icosaèdre et un dodécaèdre deviennent un icosidodécaèdre

ils icosidodécaèdre:

Nous avons vu jusqu'à présent 7 des 13 hommes armés.

Deux sont des polyèdres composites et 5 sont des polyèdres tronqués.

Nous allons examiner 4 autres ici, ce qui en fait 11. Les deux derniers seront abordés ci-dessous.

L'expansion ou la cantellation implique d'éloigner chaque face du centre (à la même distance pour préserver la symétrie du solide platonique) et de prendre la coque convexe.

Celles-ci ont des plans faciaux communs avec le cube, l'octaèdre et le dodécaèdre rhombique, ou l'icosaèdre, le dodécaèdre et le triaconteedron rhombique.

Par conséquent, "rhombi" est dans chaque nom.

8. Rhombicuboctaèdre = 7920 ° – surfaces triangulaires et carrées

Il a: 8 faces triangulaires; 18 faces carrées; 26 faces totales; 48 arêtes; 24 coins

Le réseau de tubohaedron rhombique:

Ceci est formé en faisant exploser les surfaces du cube ou de l'octaèdre vers l'extérieur jusqu'à ce qu'elles soient séparées par une longueur d'arête, comme indiqué ci-dessous.

Il peut être utilisé pour créer une structure similaire à la courbe de gigue (la gigue du cuboctaèdre).

Utiliser une torsion sur cette nouvelle structure crée le cube adoubé, comme indiqué ci-dessous.

9. Rhombicosidodécaèdre = 20880 ° – faces triangulaires, carrées et pentagonales

Il a: 20 faces triangulaires; Surfaces carrées; 12 faces pentagonales; 62 faces totales; 120 arêtes; 60 coins

Le réseau du rhombicosidodécaèdre:

Ceci est formé en faisant exploser les surfaces du dodécaèdre ou de l'icosaèdre jusqu'à ce qu'elles soient séparées par une longueur d'arête, comme indiqué ci-dessous.

En utilisant une torsion sur cela crée le dodécaèdre adouci, comme indiqué ci-dessous.

10. Grand tubaèdre rhombique (a.c.a cuboctaèdre tronqué) = 16560 °

Il a: 12 surfaces carrées; 8 faces hexagonales; 6 faces octogonales; 26 faces totales; 72 bords; 48 coins

Le réseau de la grande démence tubo rhombique:

Ceci est formé en faisant exploser les surfaces octogonales du cube tronqué ou des surfaces hexagonales de l'octaèdre tronqué vers l'extérieur jusqu'à ce qu'elles soient séparées par une longueur d'arête.

11. Grand rhombicidosidodécaèdre (icosidodécaèdre tronqué en courant alternatif) = 42480 °

Il a: 30 surfaces carrées; 20 faces hexagonales; 12 faces inclinées; 62 faces totales; 180 bords; 120 coins

Le réseau du grand rhombicosidodécaèdre:

Ceci est formé en faisant exploser les surfaces coupées du dodécaèdre tronqué ou les surfaces hexagonales de l'icosaèdre tronqué vers l'extérieur jusqu'à ce qu'elles soient séparées par une longueur de bord.

Les deux derniers tissus d'Archimède se trouvent dans les mains gauche et droite.

Ni ont des miroirs.

Nous avons examiné brièvement ces. Ils sont:

12. Cube adoubé – symétrie octaédrique = 7920 °

Il a: 32 faces triangulaires; 6 faces carrées; 38 faces totales; 60 arêtes; 24 coins

Le web snub-cube:

Nous avons examiné la manière dont il est formé en faisant exploser les faces du cube ou de l'octaèdre jusqu'à ce qu'elles soient séparées par une longueur d'arête, puis tordues.

13. Snod dodecahedron – symétrie icosahèdre = 20880 °

Il a: 80 faces triangulaires; 12 faces pentagonales; 92 faces totales; 150 bords; 60 coins

Le Web Snub Dodecahedron:

Nous avons examiné comment il se forme en faisant exploser les faces du dodécaèdre ou de l'icosaèdre vers l'extérieur jusqu'à ce qu'elles soient séparées par une longueur de bord, puis tordues.

De toutes les masses platoniques et armées, le snubdodeka est le plus proche de la sphère.

Ces deux solides "peuvent être obtenus en déplaçant les faces d'un cube et d'un dodécaèdre vers l'extérieur tandis que chaque face donne une torsion. Les espaces vides qui en résultent sont ensuite remplis avec des rubans de triangles équilatéraux."

Les contrôles de solides consistent à étendre les côtés de certains polygones jusqu'à ce qu'ils se retrouvent. Cela crée des points et crée des solides qui ressemblent à des étoiles à multiples facettes.

Il y a deux options lors de la configuration:

  • étirement des bords
  • plans de visage en expansion

Amy Edmondson dit: "Bien que la troncature coupe les angles, la" stellation "est obtenue par addition d'un coin – imposer une pyramide peu profonde sur une face précédemment plate. Le nombre de pages de la pyramide est déterminé par le nombre d'arêtes du visage à voler … Notez que les pyramides superposées du cube ont quatre côtés alors qu'elles en ont trois.

Les polygones à deux dimensions peuvent également être étoilés. Celles-ci résultent en motifs d'étoiles connus sous forme de pentagrammes et d'hexagrammes.

Pentagone – 1 stellation – pentagramme

hexagone – 1 étoile – La carte de sorcière ou "David Star" # #;

heptagone – 2 stellations – Heptagrammes

octogone – 2 stellations – cartes

ennéagone – 3 stellations – Ennéagrammes

décagone – 3 stellations – Décagrammes

Trois des polyèdres communs, ou solides platoniques, peuvent également être étoilés.

Les arêtes des bords et le tétraèdre, qui sont une fois étendus, ne se rencontrent jamais et ils n'ont pas de stellations.

tétraèdre – 0 stellations

cube – 0 stellations

octaèdre – 1 stellation

  • L'octaèdre étoilé Star Tetrahedron ou Stella Octangula

dodécaèdre – 3 stellations

  • ils petit parsemé d'étoiles dodécaèdre – 12 pyramides sur la face du dodécaèdre

Le réseau du petit dodécaèdre étoilé:

  • ils grand dodécaèdre – 30 cales sur le petit dodécaèdre étoilé

Le réseau du grand dodécaèdre:

  • ils grand parsemé d'étoiles dodécaèdre – 20 pointes sur le grand dodécaèdre

Le réseau du grand dodécaèdre étoilé:

Ces trois stellations sont Solides de Kepler-Poinsot.

icosaèdre – 58 stellations!

  • Ceux-ci comprennent 1 solide de Kepler-Poinsot, 4 composés polyèdres et 1 double polyèdre d'un solide arkimédique.
  • 32 des stellations ont une symétrie icosahédrique complète.
  • 27 sont des formes énantiomères. Cela signifie qu'ils sont des images en miroir d'autres stellations.

Le tableau ci-dessous montre toutes les stellations, y compris l'icosahédron original (n ° 1).

losange dodécaèdre – 5 stellations

Le dodécaèdre rhombique est un solide catalan, constitué de deux parties de la couronne cuboïde (solide archimédien) et d’une forme importante de regroupement galactique.

À l'instar de l'octaèdre tronqué, il remplit les pavés de dodécaèdres rhombiques – il remplit l'espace 3D sans trous.

La première stellation du dodécaèdre rhombique est connue. Les quatre derniers sont moins connus.

La première stellation est montrée ci-dessous:

Comme le dodécaèdre rhombique, les pavillons dans l’espace 3D:

L'animation ci-dessous montre la construction d'un dodécaèdre en forme de losange étoilé en inversant les pyramides du centre du visage d'un dodécaèdre en forme de losange.

"Un polyèdre de Kepler-Poinsot est l’un des quatre polyèdres en étoile communs. Ils peuvent être obtenus en dérobant le dodécaèdre convexe commun et l’icosaèdre.

Le polythène Kepler-Poinsot est disponible en deux paires:

  • Dodécaèdre étoilé et grand dodécaèdre

  • Grand dodécaèdre étoilé et grand icosahedron. « 6

Ces figures étaient célèbres par Johannes Kepler (1571-1630) et Louis Poinsot (1777-1859), mais "la plupart sinon la totalité" du polythène de Kepler-Poinsot étaient connues sous une certaine forme avant Kepler. Un petit dodécaèdre étoilé apparaît dans un tarsia en marbre (incrustation) sur le sol de Markus Basiclica, Venise, Italie. Il date du 15e siècle et est parfois attribué à Paolo Uccello. Dans son Perspective corporum regularium (Perspectives of Solid Solides), un livre de gravures sur bois publié dans 16e siècle, Wenzel Jamnitzer montre le grand dodécaèdre et le grand dodécaèdre étoilé. « 7

Ces quatre solides sont créés en prolongeant les bords du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Cela se traduit par les deux premières stellations du dodécahron:

  • dodécaèdre étoilé
  • grand dodécaèdre étoilé

Chacune de celles-ci est composée de 12 faces de pentagramme.

ils parsemé d'étoiles dodécaèdre a 3 faces à chaque sommet.

ils grand parsemé d'étoiles dodécaèdre a 5 faces à chaque sommet.

Chacune a une symétrie icosaédrique.

Ceux-ci ont encore des duels qui sont des polyèdres de Kepler-Poinsot.

La double off petit parsemé d'étoiles dodécaèdre est le grand Dodécaèdre.

La double off grand parsemé d'étoiles dodécaèdre est le grand icosaèdre.

ils grand dodécaèdre et grand icosaèdre les deux ont 5 faces au sommet.

ils grand dodécaèdre a 12 faces pentagonales. C'est 3e Stellation de Dodécaèdre.

ils grand icosaèdre a 20 faces triangulaires. Il y a 1 des 58 stellations de l'icosaèdre.

"En géométrie, le processus de phasage consiste à supprimer des parties d’un polygone, d’un polyèdre ou d’un polytope sans créer de nouveaux points.

De nouvelles arêtes d'un polyèdre à facettes peuvent être créées le long des diagonales des faces ou des diagonales de l'espace intérieur. Un polyèdre à facettes aura deux faces sur chaque bord et créera de nouveaux composés de polyèdre ou de polyèdre.

Facettage est le processus mutuel ou deux processus de stellation. « 8

Le processus de phasage fournit:

Composé tétraédrique

Composé tétraédrique

Connexion de 5 cubes

4 polyèdres de Kepler-Poinsot (discutés ci-dessus)

Il existe d’autres connexions formées par les relations entre les solides platoniques imbriqués: voir page 157 i quadrivium.

octaèdres peut être placé autour d'un icosaèdre fixe de 5 manières différentes.

Il en résulte que le composé contient 5 octaèdres (1 sur 58 stellations de l'icosaèdre).

cubes peut être placé dans un dodécaèdre fixe de 5 manières différentes.

Il en résulte que le composé a 5 cubes.

FR tétraèdre peuvent être placés dans un cube de deux manières différentes (page 146).

Il en résulte un composé de 2 tétraèdres étoiles tétraèdres.

Ce tétraèdre étoilé (Stella octangula) est également une façade du cube.

Remplace chaque cube par 5 cube dodécaèdre avec 2 tétraèdres.

Il en résulte que le composé contient 10 tétraèdres (une autre mise en scène de l'icosaèdre).

Remplacer 5 off tétraèdres du composé tétraédrique.

Il en résulte que le composé possède 5 tétraèdres (une autre mise en scène de l'icosaèdre).

FR dodécaèdre peut être placé autour d'un dé fixe.

Il en résulte la connexion de 2 dodécaèdres.

ils octaèdre et icosaèdre les couples peuvent être réunis.

Cela se traduit par la connexion de 2 icosahedra.

Le composé de tétraèdre ci-dessus peut être:

  • main droite (dextro)
  • gaucher (laevo)

Les uns sur les autres, ils sont les "énantiomorphes" les uns des autres. Cela signifie que ce sont des images en miroir.

Rappelez-vous que 27 des stellations de l’icosaèdre sont des énantiomorphes.

chirale – la propriété d'un polyèdre qui a la main gauche et droite

Rappelez-vous que 2 des solides archimédiens sont le chiral – snub cube et le snubdodekahedron.

Les solides catalans ont été décrits pour la première fois en tant que groupe par Eugène Catalan (1814-1894).

Les lignes perpendiculaires s'étendent des points centraux du bord, qui sont tangentiels à la sphère centrale de Solid.

Les lignes sont les doubles arêtes.

Les points où ils se croisent pour la première fois sont ses coins.

Les duels ont un type de visage, mais différents types se croisent.

Les couples archimédiens-catalans sont les suivants:

1. Tétraèdre Triakis – 2160 °

Il a: 12 faces; 18 bords; 8 coins

  • tétraèdre triacis: tétraèdre tronqué

Filet de Triakis Tetrahedron:

2. Hexaèdre de Tetrakis – 4320 °

Il a: 24 faces; 36 bords; 14 coins

  • tetrakis hexahedron: octaèdre tronqué

Filet d’hexaèdre de Tetrakis:

3. Dodécaèdre rhombique – 2160 °

Il a: 12 faces; 24 arêtes; 14 coins

  • dodécaèdre rhombique: cuboctaèdre

    • L'explosion de l'un de ces duels crée un polyèdre convexe uniforme de 50 faces.
    • Le dodécaèdre rhombique peut tesseller l’espace 3D.
    • Le seul autre solide à faire cela est le cube et l'octaèdre tronqué.

Filet de dodécaèdre rhombique:

4. Octaèdre de Triakis – 4320 °

Il a: 24 faces; 36 bords; 14 coins

  • Octaèdre de Triakis: cube tronqué

Filet de Triakis octaédrique:

5. Icositétraèdre trapézoïdal (c'est-à-dire l'icositétraèdre deltoïde) – 8640 °

Il a: 24 faces; 48 arêtes; 26 coins

  • icositétraèdre trapézoïdal: rhombicuboctaèdre

Filet d'icositétraèdre trapézoïdal:

6. Dodécaèdre Disdyakis – 8640 °

Il a: 48 faces; 72 bords; 26 coins

  • disdyakis dodecahedron: le grand rhombicuboctaèdre

Filet de Dodécaèdre Disdyakis:

7. Icositetrahedron Pentagonal – 12960 °

Il a: 24 faces; 60 arêtes; 38 coins

  • icositythrahedron pentagonal: cube adouci

Filet d'icositétraèdre pentagonal:

8. Dodécaèdre Pentakis – 10800 °

Il a: 60 faces; 90 arêtes; 32 coins

  • dodécaèdre pentakis: icosaèdre tronqué

Filet de Pentakis Dodécaèdre:

9. Triacontahedron rhombique – 10800 °

Il a: 30 faces; 60 arêtes; 32 coins

  • triacontaèdre rhombique: icosidodécaèdre

    • Une explosion de l'un de ces duels crée une poudre pour le visage 122.
    • Le tricontahedron rhombique est composé de 30 φ: 1 diamants.

Filet de Triacontahedron Rhombique:

10. Icakèdre de Triakis – 10800 °

Il a: 60 faces; 90 arêtes; 32 coins

  • Icosaèdre de Triakis: dodécaèdre tronqué

Filet d'icosaèdre Triakis:

11. Hexécontaèdre trapézoïdal (c’est-à-dire, hexécontaèdre deltoïde) – 21600 °

Il a: 60 faces; 120 arêtes; 62 coins

  • hexéketétron trapézoïdal: rhombicosidodécaèdre

Filet d'hexécontaèdre trapézoïdal:

12. Triacontahedron Disdyakis – 21600 °

Il a: 120 faces; 180 bords; 62 coins

  • disdyakis triacontahedron: grand rhombicosidodécaèdre

Filet de Triacontahedron Disdyakis:

13. Hexécontaèdre pentagonal – 32400 °

Il a: 60 faces; 150 bords; 92 coins

  • cône de sorcière pentagonal: Dodécaèdre adouci

Filet d'hexecontahedron pentagonal:

Solide catalan Dual Archimedean visages bords sommets La somme des angles
Triakis Tetrahedron Tétraèdre tronqué 12 18 8 2160
Hexaèdre de Tetrakis Octaèdre raccourci 24 36 14 4320
Octaèdre de Triakis Cube raccourci 24 36 14 4320
Dodécaèdre Pentakis Icosaèdre raccourci 60 90 32 10800
Triakis Icosahedron Dodécaèdre tronqué 60 90 32 10800
Dodécaèdre rhombique cuboctaèdre 12 24 14 2160
Icositetrahedron trapézoïdal rhombicuboctaèdre 24 48 26 8640
Dodécaèdre Disdyakis Grand rhombicuboctaèdre 48 72 26 8640
Triacontahedron Rhombique icosidodécaèdre 30 60 32 10800
Hexécontaèdre trapézoïdal Rhombus-icosidodécaèdre 60 120 62 21600
Triacontahedron Disdyakis Icosidodécaèdre rhombique 120 180 62 21600
Icositetrahedron pentagonal Snub Cube 24 60 38 12960
Hexécontaèdre pentagonal Dodécaèdre adouci 60 150 92 32400
La somme de tous 151200

Des doubles paires platoniques (tétraèdre en étoile, cuboctaèdre, icosidodécaèdre) définissent les diagonales du visage de ces polyèdres rhombiques.

Ils sont en relation avec:

  • √2 pour les dodécaèdres rhombiques (√2: 1)

  • phi pour le triacontaèdre rhombique

Il est intéressant de noter que Kepler a remarqué que les abeilles terminent leurs cellules hexagonales en nid d'abeille avec 3 tels losanges √2 (du dodécaèdre rhombique).

Kepler a écrit: "Si vous demandiez aux géométries sur lesquelles les abeilles sont construites, elles répondent à un plan hexagonal. La réponse est claire d'un seul coup d'œil aux ouvertures ou aux entrées et aux côtés qui forment les cellules. Chaque cellule est entourée de six autres, et est divisé à partir de la suivante par un côté divisé, mais si vous voyez le bas de chaque cellule, vous remarquerez qu’elle s’incline dans un angle arrondi formé par trois plans, ce fond (que vous pouvez appeler la "chaudière") est: reliées aux six côtés de la cellule par six autres angles, trois plus élevés trilatéraux, tout comme l’angle inférieur et trois inférieurs, intermédiaires, quadruplés, on peut également observer que les cellules sont disposées en deux couches, les ouvertures se faisant face les dos sont contigus et serrés, et les angles de chaque chaudière forment une couche montée aux trois angles des trois chaudières de l’autre … Les trois plans de la chaudière sont identiques, et leur forme est appelée géométrie. et losange. "9

"En géométrie élémentaire, un polytope est un objet géométrique à côtés" plats ". C'est une généralisation à un nombre quelconque de dimensions du polyèdre à trois dimensions."

C'est un sujet mathématiquement complexe. Nous voulons juste toucher ici.

Il existe 6 généralisations communes en 4 dimensions du polyèdre. Les 4-polytopes sont des analogues à quatre dimensions d'un solide platonique.

Ceux-ci ont été prouvés par Ludwig Schlafi (1814-1895) et comprennent:

Tétraèdres à 5 cellules

  • La cellule 5 est analogue au tétraèdre en trois dimensions et au triangle en deux.
  • Il se dédouble lui-même et son chiffre de pointe est un tétraèdre.
  • La 5-cellule est essentiellement une pyramide à 4 dimensions avec une base tétraédrique

8 cellules de dés (Tesseract)

  • Le dodécaèdre rhombique est une ombre 3D du tesseract 4D.
  • C'est analogue à l'hexagone en tant qu'ombre 2D du cube 3D.
  • Dans un cube, deux carrés se rejoignent sur chaque bord.
  • Dans un tesseract, trois carrés se rejoignent sur chaque bord.

  • Chaque sommet d'un tesseract est adjacent à quatre arêtes.
  • La figure de sommet est un tétraèdre commun. Double est la cellule 16.
  • Au total, il se compose de 8 cubes, 24 carrés, 32 arêtes et 16 angles.

Tétraèdres à 16 cellules

  • La cellule 16 est délimitée par 16 cellules, qui sont toutes des tétraèdres communs.
  • Il a 32 faces triangulaires, 24 arêtes et 8 angles.
  • Les 24 arêtes délimitées 6 carrés situés dans les 6 plans de coordonnées.
  • Son en-tête est un octaèdre ordinaire.
  • Il y a 8 tétraèdres, 12 triangles et 6 arêtes qui se rejoignent sur chaque sommet.
  • La figure de bord est un carré. Il y a 4 tétraèdres et 4 triangles qui se rejoignent sur chaque bord.
  • Les 16 cellules peuvent être disséquées en deux pyramides octaédriques.12

24 cellules d'octaèdres

  • La cellule 24 est constituée de 24 cellules octaédriques avec 6 rencontres à chaque sommet et 3 à chaque bord.
  • Ensemble, ils ont 96 faces triangulaires, 96 arêtes et 24 angles. C'est auto-dual.13

Dodécaèdres à 120 cellules

  • La cellule 120 est constituée de 120 cellules dodécaédriques avec 4 réunions à chaque sommet.
  • C'est l'analogue 4D du dodécaèdre.
  • Il y a 120 cellules, 720 surfaces pentagonales, 1200 arêtes et 600 angles.
  • Il y a 4 dodécaèdres, 6 pentagones et 4 arêtes qui se rencontrent à chaque sommet.
  • Il y a 3 dodécaèdres et 3 pentagones qui font face à chaque bord.
  • La figure de sommet est un tétraèdre. Double est le 600 cellules.14

600 tétraèdres

  • La cellule 600 est l’analogue 4D de l’icosaèdre.
  • Il a cinq réunions de tétraèdres sur chaque bord.
  • Il est constitué de 600 cellules tétraédriques avec 20 réunions à chaque sommet.
  • Ensemble, ils forment 1200 surfaces triangulaires, 720 arêtes et 120 angles.
  • Les bords forment une carafe régulière et plate. Chaque sommet est un sommet de 6 de ces décagons.15

Les polytopes à cinq dimensions ont également été prouvés par Schlafi.

Il existe trois classes principales de polytopes réguliers qui se produisent dans n'importe quel nombre n de dimensions:

  • simplex – Y compris le triangle équilatéral et le tétraèdre simple
  • hypercube – y compris le carré et le cube
  • orthoplex – incluant l'octaèdre carré et régulier

  1. Monde des mathématiques de tungstène, Double polyèdre, http://mathworld.wolfram.com/DualPolyhedron.html
  2. Edmondson, Amy, Une explication plus complète: la géométrie synergétique de R. Buckminster FullerBurkhauser Boston, 1987
  3. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html
  4. ibid.
  5. Edmondson, Amy, Une explication plus complète: la géométrie synergétique de R. Buckminster FullerBurkhauser Boston, 1987
  6. https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron
  7. ibid.
  8. https://en.wikipedia.org/wiki/Faceting
  9. Matematicas Visuales, http://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/rhombicdodecahedron/honeycomb.html
  10. https://en.wikipedia.org/wiki/Polytope
  11. https://en.wikipedia.org/wiki/5-cell
  12. https://en.wikipedia.org/wiki/16-cell
  13. https://en.wikipedia.org/wiki/24-cell
  14. https://en.wikipedia.org/wiki/120-cell
  15. https://en.wikipedia.org/wiki/600-cell

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Les solides de Platon sont des formes qui font partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les 4 premières formes correspondent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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