Leçons de mathématiques perdues: les solides platoniques pierre énergétique

Un commun
polygone est un polygone ayant tous les angles congruents et tous congruents
pages. Par exemple, un carré est un
polygone ordinaire car il a 4 angles congruents et 4 côtés congruents, et un
Le triangle équilatéral est un polygone commun car il a 3 angles congruents et
3 pages congruentes.

Un platonique
solide, ou un polyèdre convexe conventionnel, est un solide convexe tridimensionnel
ont des polygones communs identiques pour chaque face.
Par exemple, un cube est une platonique fixe car il a 6 identiques
visages carrés. Il y a cinq platoniques possibles
solides dans tous: tétraèdre, cube, octaèdre, dodécagone et
l'icosaèdre. Ces cinq platoniques
Les solides sont connus depuis des milliers d'années.

Tout trouver
Les différents solides platoniques possibles constituent un bon exercice de logique. Tout d'abord, il doit y avoir plus de 2 faces
autour d'un seul sommet, sinon un objet en trois dimensions ne sera pas
être formé. Deuxièmement, la somme des angles de
Chaque angle de face interne autour d'un sommet doit être inférieur à 360 °. Il ne peut pas être plus de 360 ​​° car
sinon tous les polygones ne peuvent pas être ajustés et ne peuvent pas non plus être égaux à 360 °,
sinon, un objet en trois dimensions ne sera pas formé. Par exemple, puisque chaque angle intérieur d’un
triangle unilatéral est de 60 °, 6 triangles équilatéraux autour d’un sommet unique
forment une surface carrelée en deux dimensions, car 6 · 60 ° = 360 ° et 7 (ou plus) unilatérales
les triangles ne tiennent pas autour d'un sommet car 7 ·
60 °
> 360 °. Par conséquent, seuls 3, 4 ou 5 triangles
partager un seul sommet et former un polyèdre tétraèdre, il octaèdre,
et icosaèdre.

De même
puisque chaque angle interne d'un carré est égal à 90 °, 4 carrés autour d'un sommet
formerait une surface bidimensionnelle, car 4 · 90 ° = 360 ° et 5 carrés (ou plus)
ne correspondrait pas à un seul sommet car 5 · 90 °> 360 °. Par conséquent, seuls 3 carrés peuvent partager un seul
sommet et forme un polyèdre cube. De plus, étant donné que chaque angle intérieur d’un
le pentagone est de 108 °, 4 pentagones ordinaires (ou plus) ne conviendraient pas à un
sommet unique car 4 · 108 °> 360 °.
Par conséquent, seuls 3 pentagones solides peuvent partager un seul sommet et former un
polyèdre dodécaèdre. Depuis chaque angle intérieur d'un régulier
hexagone est à 120 °, 3 hexagones communs autour d’un sommet constitueraient un
surface bidimensionnelle, car 3 · 120 ° = 360 ° et 4 (ou plus) communes
Les hexagones ne tiennent pas autour d'un sommet car 4 · 120 °> 360 °. Par conséquent, aucun hexagone régulier ne peut être utilisé
forme un polyèdre. Depuis chaque intérieur
l'angle d'un heptagone, d'un octogone ou d'un polygone plus grand est supérieur à 121 °, 3 (ou
plus) Les heptagones, octogones ou polygones plus grands ne s’adapteraient pas à un
sommet unique car 3 · 121 °> 360 °.
Par conséquent, aucun autre polygone commun ne peut être utilisé pour former un polyèdre,
faire le tétraèdre, les dés, l'octaèdre, le dodécagone et le
Les icosaèdres sont les seuls solides platoniques possibles.

Propriétés des solides platoniques

Quand tu vois
Sur les différentes propriétés des solides platoniques, il est utile de les décrire
une avec son symbole Schläfli n, m, où n est le nombre de côtés de chaque
face, et m est le nombre de faces autour de chaque sommet. Par exemple, le symbole Schläfli pour un dé
4, 3, car chaque face a 4 côtés et 3 carrés autour de chaque
sommet. Glissez le symbole du tétraèdre
sont 3, 3, octaèdre 3, 4, dodécagone 5, 3 et icosahedron 3,
5.

Affichage d'un
sur les variables n et m, ainsi qu'une nouvelle variable F représentant la somme
Le nombre de faces dans le polyèdre, plusieurs propriétés des solides platoniques peuvent être
exprimé. Puisque chaque visage a un nombre n
des bords, et chaque bord est divisé par exactement 2 faces, de sorte que le nombre total
les bords des polyèdres sont

Par exemple
un dé est composé de 6 carrés, donc F = 6 et n = 4, mais chaque bord est divisé par
2 carrés, le nombre total d'arêtes est donc E = n· F/2
= 4· 6/2 = 12.

De plus, étant donné que chaque face a n nombre de points et que chaque sommet
divisé par exactement m faces, donc le nombre total de croix dans
polyeder est

Par exemple
un dé est composé de 6 carrés, donc F = 6 et n = 4, mais chaque sommet est divisé
avec 3 carrés, le nombre total de points est donc V = n· F/m
= 4· 6/3 = 8.

de
remplace E et V dans la formule polyédrique d'Euler

et
Pour simplifier, F peut être écrit en fonction de n et m, et après cela peut aussi être E
et V.

La formule polyédrique d'Euler

Par exemple
un cube a 3 carrés autour d'un sommet, donc n = 4 et m = 3, et donc
doit avoir F = 4 m/(2n + 2m – mn) = 4· 3/(2· 4
+ 2
· 3 – 3· 4) = 12/2
= 6 faces.

remplacer
F à E, E = n· F/2 = n· 4m/2 (2n
+ 2m – mn)
= 2mn/(2n + 2m – mn)alors

Par exemple
un cube a 3 carrés autour d'un sommet, donc n = 4 et m = 3, et donc
doit avoir E = 2mn/(2n + 2m – mn) = 2· 4· 3/(2· 4
+ 2
· 3 – 3· 4) = 24/2
= 12 arêtes.

remplacer
F à V, V = n· F/m = n· 4m/m (2n
+ 2m – mn)
= 4n/(2n + 2m – mn)alors

Par exemple
un cube a 3 carrés autour d'un sommet, donc n = 4 et m = 3, et donc
doit avoir V = 4n/(2n + 2m – mn) = 4· 4/(2· 4
+ 2
· 3 – 3· 4) = 16/2
= 8 coins.

Affichage d'un
de formules:

de
sur les formules et les schémas, il est clair qu'il y a quelque chose de symétrique
propriétés des cinq solides platoniques.
Le cube et l'octaèdre sont appelés une double paire car ils ont
même nombre d’arêtes (12), symboles Schläfli activés (4, 3 et 3, 4), et
changé le nombre de faces et d'angles (6 et 8).
De même, le dodécaèdre et l’icosaèdre sont également appelés un double
paires parce qu’elles ont le même nombre d’arêtes (30), les symboles Schläfli ont basculé
(5, 3 et 3, 5) et a changé le nombre de faces et d'angles (12 et 20). Les mêmes propriétés symétriques s’appliquent à un
tétraèdre et un autre tétraèdre, ainsi tétraèdre est appelé auto-doublant.

Parce que
Le nombre de faces et d’angles est échangé contre une double paire de polyèdres,
Le polyèdre peut être positionné exactement dans son double twin afin que chaque sommet soit éteint.
Le polyèdre interne touche le centre d'une face du polyèdre externe.

Une double paire
polyèdre peut aussi être infiniment imbriqué, en alternant chaque
l'autre.

ils
Les propriétés symétriques des polyèdres doubles peuvent être expliquées par les formules de
le nombre de faces, d'arêtes et de coins mentionnés ci-dessus. Les polyèdres doubles ont changé les symboles de Schläfli,
signifie m (nombre de faces autour de chaque sommet) et n (nombre de pages
de chaque face) est allumé. Commutation m
et n dans la formule du nombre de faces F = 4 m/(2n + 2m –
mn)
résultats dans 4n/(2m + 2n-nm), ce qui simplifie
à la formule pour le nombre d'angles V = 4n/(2n + 2m – mn),
et changez m et n dans la formule pour le nombre d'angles V = 4n/(2n
+ 2m – mn)
résultats dans 4 m/(2m + 2n-nm)lequel
simplifie la formule pour le nombre de faces F = 4 m/(2n +
2m – mn)
. Cela prouve que l’échange de symboles Schläfli dans des polyèdres doubles
entraîne nécessairement le changement du nombre de faces et d'angles. De plus, m et n changent dans la formule
pour le nombre d'arêtes E = 2mn/(2n + 2m – mn) résultats dans
2nm/(2m + 2n-nm), qui se simplifie, E = 2mn/(2n
+ 2m – mn)
. Cela le montre
les symboles Schläfli modifiés en polyèdres doubles entraînent nécessairement la même chose
nombre d'arêtes.

la formule
pour le nombre d'arêtes dans un polyèdre E = 2mn/(2n + 2m – mn)
peut également être réorganisé algébriquement en tant que somme des inverses. Trouver la réciproque des dividendes électroniques 1/E
= (2n + 2m – mn)/2mn, et distribuez les résultats de chaque terme
en 1/E = 1/m + 1/n
1/2Et ajouter ½ de chaque côté lui donne assez élégant
équation

Ou écrit
avec des exposants négatifs,

Exemples de solides platoniques

platonique
Les solides peuvent être trouvés à la fois naturellement et artificiellement. Certains composés chimiques, y compris les cristaux,
former des solides platoniques. Les squelettes
divers protozoaires radiomarqués ont la forme de divers solides platoniques,
y compris l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre. En outre, l'enveloppe extérieure de plusieurs
les virus forment des solides platoniques, tels que le virus VIH en forme d’icosaèdre.

Icosaèdres Circogonia,
une espèce de radiolaria (Wikipedia)

C'est
ainsi que de nombreux exemples de solides platoniques artificiels. Le cube de Rubik est évidemment un dé, bien que
Il existe des variations de ce qui inclut le tétraèdre et le dodécaèdre. La plupart des dés utilisés dans les jeux de société sont des dés, cependant
Il y a aussi des cubes en forme de tétraèdres, octaèdres, dodécaèdres et
icosaèdre.

Dés en forme de
Solides platoniques

Et bien
pas un vrai solide platonique car il est constitué de deux polygones communs différents,
Le modèle connu de football (ou football) des hexagones et des pentagones est
en fait un icosaèdre tronqué. Le 12
Les pentagones formés étaient à l'origine les 12 pics de l'icosaèdre et les 20 pics de l'icosaèdre, et les 20 pics de l'icosaèdre.
Les hexagones formés étaient à l’origine les 20 surfaces triangulaires de l’icosaèdre.

C'est aussi
Il convient de mentionner qu’il n’ya que deux cas dans la Bible où
Les solides platoniques sont décrits et les deux sont des cubes. Le premier cube peut être dérivé de
description du temple sacré dans 1 Rois 6:20, "L'intérieur
Le sanctuaire avait une longueur de vingt coudées, une largeur de vingt coudées et une hauteur de vingt coudées.
et (Salomon) le recouvrir d'or pur. "
Le deuxième cube peut être déduit de la description du nouveau
Jérusalem dans Apocalypse 21:16, "La ville est une foursquare, sa longueur est la même
comme largeur. … La longueur, la largeur et la hauteur sont les mêmes. "La description du même formulaire se connecte
deux places; Le lieu saint dans le temple et la nouvelle Jérusalem sont tous deux
la maison du Dieu suprême.

Le paramètre simple
du solide platonique, un solide convexe ayant des polygones réguliers identiques
chaque face ne donne que cinq polyèdres différents possibles: le tétraèdre,
dés, octaèdre, dodécagone et icosaèdre. Chaque solide platonique suit une formule
nombre de faces, d’arêtes et de coins, et présente des caractéristiques doubles symétriques. Enfin, les solides platoniques peuvent être trouvés à la fois dans
la nature et dans les objets fabriqués par l'homme, ainsi que dans la Bible.

Les solides de Platon sont des formes qui font partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les quatre premières formes correspondent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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