Polyèdre de Platon | pierre énergétique

Polyèdre de Platon

Les polyèdres communs se trouvent dans les analogues de pièce des polygones communs de l’avion; leurs visages sont ordinaires et ressemblent à des polygones et leurs jaquettes appartiennent au même nombre de visages (ils sont régulièrement et identiquement distribués sur une sphère). Leurs quatre analogues sont les polytopes communs.

Un polygone est convexe si toutes ses diagonales (segments associés à deux coins et qui ne sont pas des côtés) sont à l'intérieur. De même, nous en connaissons encore une polyèdre convexe par le fait que toutes ses diagonales (segments à deux angles et non aux arêtes) appartiennent à son intérieur ou à sa surface.

Bien qu'il existe une infinité de polygones convexes communs, les polyèdres convexes communs ne sont que cinq.

preuve: Chaque face a p côtés (p> 2), donc la valeur de chaque angle de p-gon est (p-2) × 180 ° / p

Chaque sommet est entouré de q faces (q> 2) et la somme de q angles doit vérifier q ((p-2) / p) × 180 ° <360 °.

ce qui équivaut à (p-2) (q-2) <4 avec p et q strictement supérieurs à 2. La symétrie de p et q permet de supposer qu'il s'agit d'une dualité.

Les cinq solutions (3.3), (3,4), (4,3), (3,5) et (5,3) conduisent au tétraèdre, à l'octaèdre, au cube, à l'icosaèdre et au dodécaèdre.
remarque: Ces cinq polyèdres vérifient p x f = 2 x e = q x v et la formule d'Euler s + f = a + 2
polyèdre commun
nom

f faces communes

s sommets (ordre)

un bord

angle facial

cube


6 carrés
8 (3)
12
90 °

octaèdre


8 triangles
6 (4)
12
109 ° 28 & # 39;

tétraèdre


4 triangles
4 (3)
6
70 ° 32 & # 39;

icosaèdre


20 triangles
12 (5)
30
138 ° 11 & # 39;

dodécaèdre


12 pentagones
20 (3)
30
116 ° 34 & # 39;

plus d'informations

• Les arêtes de l'octaèdre ordinaire sont les côtés de trois carrés de même centre orthogonaux par paires.

• Deux bords opposés d’un cube définissent un format Un rectangle. Les 8 verticales d'un cube sont celles de trois de ces rectangles qui se coupent à 60 ° sur un axe à triple symétrie; ainsi, il y a 4 tels événements.
Les bords d'un icosaèdre ordinaire définissent 15 rectangles d'or (côtés dans le nombre d'or). Les 12 sommets d'un icosaèdre ordinaire se présentent de deux manières dans trois rectangles d'or:

• des rectangles avec le même centre et orthogonaux par paires; ainsi, il y a 5 arrangements de ce type classique bien connu (notez que les 12 pics de l'icosaèdre appartiennent aux faces d'un cube, le rapport entre le bord du cube et celui de l'icosaèdre est)

• rectangles se croisant à 60 ° sur un axe de symétrie à 3 axes; Ainsi, il existe 10 arrangements de ce type décrits par Sylvester (1844).

• Les 30 arêtes d'un dodécaèdre ordinaire définissent 15 rectangles dont les côtés ont le rapport 1 + φ = φ² (le rapport entre l'arête du cube et l'arête du dodécaèdre est).

Les 12 coins d'un dodécaèdre commun sont les coins de trois de ces rectangles ayant le même centre et orthogonaux par paires; Les 8 autres croix sont celles d'un dé. Il y a 5 événements de ce type.

• Les 20 sommets sont aussi ceux avec cinq rectangles qui se coupent à 36 ° sur un axe de symétrie à 5 côtés; il y a donc 6 arrangements de ce type.

• Quatre dés d'un dé sont les arêtes d'un tétraèdre régulier; afin que nous puissions faire un tétraèdre régulier en coupant quatre "coins" d’un cube.

Les points médians des arêtes d'un tétraèdre ordinaire sont les arêtes d'un octaèdre ordinaire.

• Huit coins d'un dodécaèdre commun sont les coins du cube; afin que nous puissions construire un dodécaèdre ordinaire en collant six pentaèdres "en forme de toit" sur les faces d'un dé (chaque pentagone est constitué d'un trapézoïde et d'un triangle, à la fois de soles et de plans). Pour obtenir un dodécaèdre avec le bord 1, nous devons régler le plafond avec la hauteur 1/2 sur les faces du cube avec le bord le nombre d'or. Ensuite, 12 des 20 sommets du dodécaèdre appartiennent à un cube de bord + 1.

Les arêtes d'un icosaèdre ordinaire sont divisées en cinq groupes de 6 arêtes dont deux parallèles ou orthogonaux; Les centres des arêtes d'un groupe sont les sommets d'un octaèdre ordinaire.

Si nous convertissons cet octaèdre en utilisant une homothèse en ratio, le nombre d'or nous obtenons un second octaèdre faisant face pour contenir 8 faces de l'icosaèdre; De plus, les 12 sommets de l'icosaèdre partagent les arêtes de cet octaèdre dans le rapport.

Remarque: les huit faces de l'icosaèdre ont des pages qui n'appartiennent pas au groupe des six bords représentés en gris gras; Les centres de ces faces sont les coins d'un cube (non représentés pour ne pas surcharger la figure).

Dans le livre XIV (Hypsicles attribués) d'Euclide éléments nous trouvons une curiosité:

Soit un dodécaèdre ordinaire et un icosaèdre commun inscrits dans des sphères de même rayon, car les cercles entourés de leurs faces (pentagones et triangles) ont également le même rayon et leurs surfaces ont le même rapport que leurs volumes.

En voici trois autres:

Les coins d'un dodécaèdre n'appartenant pas à deux surfaces opposées définissent deux pentagones parallèles à ces faces; ils ont coupé le dodécane en trois solides du même volume.

Robin Chapman fournit une preuve élémentaire de ce résultat: il suffit de prouver que l’un des troncs de pyramide pentagonale a un volume qui est le tiers de celui du dodécaèdre.

Si nous avons scindé pour la dernière fois en 12 pyramides pentagonales ayant pour base une face de surface A et de hauteur h / 2, le volume n’est que de 2Ah. Le volume de tronc est la différence entre les volumes des deux pyramides; Le rapport des surfaces des bases est φ² (voir que dans un pentagone le rapport est diagonal / côté φ) et le rapport des hauteurs est. Vous devez juste compléter le calcul …


Il y a un octaèdre ordinaire dont les angles sont situés sur les bords d'un cube.

(problème de Tournoi des villes la concurrence)

Sur les trois arêtes commençant au sommet du cube, laissez trois points distants de ce sommet; De même, nous définissons trois points à partir du sommet opposé. Ainsi, nous avons les six coins d'un antiprisme triangulaire peu commun avec uniquement des bases d'équilibre (les six autres faces sont solitaires). En variant d, nous pouvons déformer les mêmes triangles jusqu’à ce qu’ils deviennent parallèles, nous obtenons ainsi un octaèdre ordinaire. Il est facile de vérifier que ceci est réalisé pour d qui est égal aux trois quarts du bord du cube.

Il y a un cube "inscrit" dans un cube (seulement six de ses coins appartiennent aux faces du cube "réécrit").

Deux verticales divisent la diagonale d du grand cube dans le rapport 1: 3: 1, et les six autres divisent les diagonales de la face provenant des extrémités de d dans le rapport 3: 2. Le rapport des arêtes est de 1,2.

Rien ne remplace le plaisir de construire soi-même ces cinq polyèdres élémentaires. Voici leurs nuits:

• tétraèdre simple: un triangle à côtés égaux et un triangle de points médians; quel est l'autre réseau de ce tétraèdre?

• Cube: Six carrés disposés en "croix", mais il en existe d'autres; pouvez-vous trouver toutes les nuits des dés?

• octaèdre ordinaire: deux fils de tétraèdre communs (les triangles centraux sont les faces opposées de l'antiprisme triangulaire),

• dodécaèdre régulier: il est facile de dessiner le demi-peintre (six pentagones communs) à l’aide d’un grand pentagone régulier,

• Icosaèdre commun: dix des vingt triangles forment une bande.

Ces nuits ne sont évidemment pas uniques; Voici une belle vidéo (trouvée sur YouTube, 4:40 – 7.3 Mo) qui donne une idée de la variété des icosahedronets (vous pouvez continuer la visite pendant le chargement, ce qui peut être long avec une connexion lente).

fil (polyèdre commun)

Ces cinq polyèdres peuvent également être construits en fusionnant des bandes de papier droites avec des bacs appropriés. Si vous en avez besoin

• chaque bord et sommet doivent être recouverts d’au moins une épaisseur de la bande,

• les bandes utilisées sur un modèle donné doivent être des images identiques ou en miroir;

• et que les zones des parties visibles doivent être les mêmes pour toutes les bandes,

Ensuite, vous avez besoin de 2, 3, 4, 5 et 6 bandes, respectivement, pour tresser un tétraèdre, un cube, un octaèdre, un icosaèdre et un dodécaèdre.

(prouvé par J. Pedersen lors du congrès Escher, en 1985, à Rome).

Voici deux modèles qui peuvent être tressés comme des cheveux. tresse et icosaèdre
tresser un cube Pour commencer à prendre "o" sur "x".

Le motif de gauche mène à un cube (pour renforcer le résultat, collez le dernier carré de la collection).

La droite donne un icosaèdre (maintenez deux bouts de deux triangles dans la collection pour le renforcer).

Platon relie les polyèdres communs convexes aux "éléments": l'octaèdre et le tétraèdre avec air et feu, le cube et l'icosaèdre avec terre et eau, et le dodécaèdre, le plus près de la sphère, avec l'univers (éther).


Novembre 1998
à jour le 17-11-2015



au cours de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des échanges étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En termes simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n

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