Mathématiques de l'image – Déploiement d'un polyèdre | solides de Platon spirituel

Novembre 2003



Modèle de papier

Modèle de papier



Non seulement les modèles en papier de formes géométriques occupent le département de mathématiques où je travaille, mais ce sont également des représentations visuelles d’inventions géométriques. Par exemple, le modèle de papier illustré à gauche est la version polyédrique de la "surface de garçon" qui comporte au moins le nombre de croix entre tous les triangles polyédriques. Au moment de son
résultats originaux (1), la construction d’un modèle physique en papier était toujours un processus fastidieux: toute inexactitude mineure dans le processus de dessin et de découpage aurait certainement détruit le modèle. Pour imaginer l’effort requis, jetez un coup d’œil au dessin original (2) des lignes de coupe de ce modèle en papier.


Aujourd'hui, le logiciel a évolué et nous permet de produire des "dessins découpés" en calculant automatiquement le déroulement des formes géométriques: à droite, vous pouvez voir le déroulement du modèle Boy ou une animation. Mais même avec les outils logiciels modernes, un certain nombre de problèmes géométriques non résolus subsistent.

déploiement est le processus consistant à découper une surface polyédrique le long de certaines courbes, puis à aplatir la surface de l’avion, sans chevauchement ni déformation des surfaces individuelles. Kantutfolding, comme nous le verrons dans cet article, n'autorisons que les coupes le long des bords et non à l'intérieur des faces. L'auto-croisement est autorisé pendant le déroulement
processus, mais la surface aplatie finale doit être exempte de chevauchements.




origami, le type de papier japonais est l’utilisation la plus connue des plis – le mot signifie littéralement "plier un papier". Il existe de nombreuses références à l'origami, telles que le site Web (15), mais dans cet article, nous nous concentrons sur le pliage, ou plus précisément sur le déploiement de surfaces polyédriques.



Origami géométrique

Filet d'un dodécaèdre

Filet d'un dodécaèdre

Albrecht Dürer (4) a introduit le concept de en ligne d'un solide polyhédral dans l'un de ses traitements de formation. Un maillage de polyèdre est un ensemble de bords dans l’avion qui sont les bords non pliés du solide. Dürer a également donné des instructions explicites pour dessiner le réseau – un exemple est le déploiement d'un dodécaèdre présenté à droite.


Albrecht Dürer

Albrecht Dürer


Depuis l'époque de Durer, les mathématiciens ont fait un usage intensif des modèles en papier pour étudier les surfaces géométriques, à la fois en éducation et en recherche. Par exemple, il est plus facile de comprendre la surface de Boy mentionnée dans l’introduction si vous avez entre les mains un modèle en papier que vous pouvez regarder et voir de différentes directions. Être capable de toucher un modèle – surtout de pouvoir toucher
régions que vous ne pouvez pas voir – facilitent la compréhension d’une structure géométrique complexe.

Le déploiement de solides platoniques et d'archimède est bien connu. Il existe de nombreux jeux pliables qui vous permettent de couper et de plier des modèles de polyèdre en papier. Peut-être la plus grande collection de modèles mathématiques sur papier a-t-elle été produite par le père Magnus Wenninger, mathématicien et prêtre à l'abbaye de St. John's (5).



Les plis sont disponibles pour beaucoup plus de surfaces polyédriques. Par exemple, le tore présenté ci-dessous présente un déploiement planaire en un seul composant, de sorte que deux surfaces ne se chevauchent pas. (Pour les experts, ce tore polyédrique est-il Clifford Torus obtenue à partir d’une paramétrisation non normalisée utilisant les fibres de Hopf dans la sphère à 3).


Clifford Torus est généré par une famille de cercles. Le tore se déroule bien malgré la courbure négative de la région intérieure – Voir la version d'animation

Trouver des modèles polyédriques d'une forme topologique donnée en utilisant le plus petit nombre de faces ou de coins est une tâche ardue en géométrie combinatoire. Clifford Torus ci-dessus utilise environ 200 sommets, ce qui est certainement plus que nécessaire. Un tore avec le moins de points, 7, a été trouvé par Császár (6). F. H. Lutz (7) a produit le modèle pour le déroulement ci-dessous.

Császár torus est un tore polyhédral intégré (c'est-à-dire sans auto-croisement) comportant le moins de croix – voir la version animée

Nous sommes maintenant prêts à comprendre un déroulement encore plus compliqué. La surface de garçon mentionnée dans l’introduction est un modèle de plan de projection. Un modèle du plan en saillie peut être obtenu en prenant l’hémisphère supérieur d’une balle et en identifiant les points opposés de l’équateur. Alternativement, vous pouvez prendre un disque plat et identifier par paires les points opposés sur la bordure
cercle. Comme il s’agit de constructions topologiques, vous pouvez utiliser n’importe quelle pièce de l’avion limitée par une seule courbe fermée – par exemple, le déploiement de la surface de Boy.


La surface discrète de Boy se déroule en un seul disque connecté. Les limites opposées de la frontière sont identifiées lors du repliement – voir version d'animation

Si vous examinez très soigneusement le remplissage de la surface Boy, vous pouvez voir comment les points opposés de la courbe de bordure noire sont appariés par paires. Par conséquent, la surface de Boy est un modèle polyédrique du plan projectif. La particularité du modèle polyédrique présenté (trouvé par U. Brehm (1)) est qu’il utilise le moins de croix possible entre tous les modèles polyédriques consistant en
triangles.

Comment la courbure discrète affecte un pliage

courbure est une manière mathématique de décrire combien une surface "se plie" ou "se courbe" en chaque point. Par exemple, une feuille plate ne se courbe pas autour d’un point et a donc une courbure nulle, mais une balle ronde est courbée positivement à chaque point. La géométrie différentielle utilise une calculatrice pour calculer différents types de courbure pour les surfaces lisses, mais la courbure de polyhèdre
les surfaces peuvent être traitées de manière beaucoup plus élémentaire.


Le solide le plus important du monde. Le football a une courbure positive à chaque sommet – Voir la version d'animation

ils courbure gaussienne discrète mesure la flexion d'une surface polyédrique à chacun de ses coins. À chaque sommet, nous considérons les angles formés sur les faces adjacentes de ce coin. Si la somme de ces angles est exactement 3600 Ensuite, la collection de faces peut devenir plate sur le plan sans espace ni chevauchement. Par conséquent, il a courbure nulle. Si la somme de
les angles sont inférieurs à 3600 alors la situation est comme à la pointe d'un cône ou dans le coin d'un polyèdre convexe. Ici, la courbure devrait être positif puisqu'un tel polyèdre ressemble à une balle ronde. La courbure négative se produit si la somme des angles est supérieure à 3600 qui, par exemple, se produit à un point de place.

En général, la courbure de Gauss discrète d’un sommet est définie par la différence de 3600 et la somme des angles entre les surfaces adjacentes adjacentes au sommet:

K (sommet) = 3600un1un2 – un3 -…- unn,

n est le nombre de faces adjacentes au sommet, et un1, …,unn sont les angles des faces.

La figure suivante montre les trois types de sommets de la rangée supérieure et le déroulement du sommet, c'est-à-dire l'ensemble des faces se rejoignant en sommet, dans la rangée inférieure. En raison du rapport entre les puces et la courbure positive et de l’espace hyperbolique sur la courbure négative, nous appelons les types de nœuds. sphérique, euclidienneet hyperbolique respectivement.



Le déploiement de surfaces polyédriques a deux conséquences immédiates:

  • À chaque sommet sphérique, il doit y avoir au moins une coupe;
  • À chaque sommet hyperbolique, il doit y avoir au moins deux coupures qui décollent une ou plusieurs faces pendant le déroulement. Cochez l'applet interactif pour déplier un sommet incurvé négatif.

En guise de guide heuristique, nous notons que trop de courbure de Gauss négative peut rendre impossible son déroulement, car trop de coupes seraient nécessaires. Par exemple, des surfaces minimales discrètes, telles que le katénoïde présenté, peuvent avoir une courbure gaussienne négative à chaque sommet. Ici, il n'y a pas de déploiement vers un seul composant de plan, mais l'algorithme trouve un dépliant à quatre plans
composants.


Le caténoïde est une surface minimale avec "trop" de courbure négative. Le développement consiste donc en plusieurs composants de plan – Voir la version d'animation

Lors du pliage d'un modèle en papier en origami, la courbe de Gauss à zéro est préservée. Par conséquent, les modèles d'origami ont une courbure gaussienne à zéro constant à chaque sommet interne.

Est-il toujours possible de se dévoiler?

Dans les mots à Problèmes avec des problèmes ouverts (8):

Chaque polyèdre convexe peut-il être coupé le long des bords et aplati à plat en un seul polygone simple ne se chevauchant pas?

Cette question a été soulevée en mathématiques dans (9), mais revient en réalité à Dürer (4). Plusieurs tentatives, y compris des expériences de logiciel, ont été faites pour confirmer ou infirmer cette hypothèse.

Le tétraèdre hérissé (10)

Le tétraèdre hérissé (10)

Le tétraèdre en épi droit (non convexe) (10) ne peut se déployer sans générer des zones de chevauchement dans l’avion. Cela signifie que le mot "convexe" ne peut être omis de la présomption. En dépit de tels exemples, on pense généralement que si vous vous limitez à regarder des polygones convexes, cette question répond positivement.


Une étoile qui se déroule (14)

Une étoile qui se déroule (14)

Une autre classe de dépliement, différente des développements de bords pris en compte dans cet article, est obtenue si vous autorisez les coupes non seulement le long des bords, mais également à l'intérieur des faces. Un tel déploiement est l'étoile se dévoile en ce qui concerne un point source. Cela coupe le polyèdre le long de tous les chemins les plus courts du point source aux autres coins du polyèdre; ces chemins habituellement
marcher sur l'intérieur des visages. Aronov et O & R Rourke (14) ont montré que le déploiement de l'étoile est possible pour chaque polyèdre convexe.

Dépliage automatique

Nous avons vu qu'il existe des surfaces telles que le dodécaèdre qui ont des formes différentes et des surfaces telles que le tétraèdre à pointes qui ne peuvent pas se déplier en une seule pièce liée. Par conséquent, tout algorithme automatique de recherche de plis doit imposer des limitations supplémentaires.


Exploitation d'une forme non convexe car ce modèle de cheval nécessite une recherche numérique intensive – Voir la version d'animation

Voici des exemples de telles restrictions:

  • Minimiser le nombre de composants connectés dans le polyèdre non plié;
  • Réduisez la taille du rectangle de délimitation sur le polyèdre résultant.
  • Minimiser la longueur totale de la limite du polygone résultant;
  • Évitez les composants minces et les composants avec une petite surface.

En pratique, le déploiement automatique de surfaces polyhédriques arbitraires vise principalement à ce que le réseau déplié ne se chevauche pas. Néanmoins, il est surprenant de constater combien de surfaces non convexes peuvent se déplier en un seul composant connecté, tel que le modèle de cheval présenté ci-dessus ou le torse polyédral de Vénus présenté ci-dessous.


Le torse de Vénus est une forme très complexe à dévoiler. Étonnamment, il y a un dépliant composé d'un seul composant – voir la version d'animation

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De nombreuses formes utilisées en infographie sont polyédriques
surfaces, par exemple masques triangulaires.
Quelque chose lié au déroulement des masques est
mapper des formes polyédriques pour planifier des domaines dans l'ordre
assigner des images de texture aux surfaces.
De telles cartes de texture doivent également minimiser la distorsion
entre l'image de texture et la surface optimisée
par dépliage isométrique.

Un exemple pratique est
la combinaison des plaques d'étain dans la production industrielle.
Bien qu'il y ait encore beaucoup d'autres considérations
Le mathématique, il est toujours utile de
Comprendre les mathématiques des processus de pliage.

->

Développez et construisez vos propres modèles en papier

Exploitation du tore de Császár

Exploitation du tore de Császár avec l'applet Unfolder de JavaView. Les joints facilitent le collage du modèle en papier.

JavaView est un dossier

ils distributeur Le module, écrit par Klaus Hildebrandt, du logiciel JavaView permet de déplier toutes les surfaces polyédriques. Il tente d'optimiser le développement en fonction de plusieurs critères, dont certains ont été mentionnés dans une section précédente.

L'ajout de cormorans au filet plié simplifie la construction d'un modèle en papier. Commencez par déplier une surface avec des cormorans, puis envoyez l’image à un imprimeur et collez enfin le modèle en papier plié le long des joints.

Parfois, il est plus pratique de télécharger l'application JavaView et de laisser le logiciel s'exécuter en dehors d'un navigateur. De cette manière, il est plus facile de redimensionner la fenêtre et vous avez également accès au disque dur local pour stocker et charger des fichiers.

remarques

  • K. Fukuda résume les résultats de base et les questions en suspens relatives au déroulement polyédral de son site (11).

  • Un ensemble de problèmes ouverts liés au déploiement de polyèdres et, plus généralement, de géométrie combinatoire est présenté à la page TOPP administrée par J. O & Rourke (8).

  • hypergamie est un logiciel de conception et de construction de sculptures en papier utilisant des polyèdres et des variantes personnalisées du polyèdre. Le programme est disponible en tant que logiciel commercial à partir de (12).

  • ils distributeur est un service Web mathématique du projet JavaView. Vous pouvez déplier toutes vos propres géométries (13).

Lectures complémentaires

  1. U. Brehm, Comment construire des modèles polyédriques minimaux de la surface de Boy. Matte. Intelligencer 12 (4): 51-56 (1990).

  2. E.-H. Tjaden, Maquette en papier de Brehms Boy Surface. TU-Berlin (1987), tjaden@tu-berlin.de.

  3. W. Schlickenrieder, Le filet de polyèdres. Diplomarbeit à la TU-Berlin (1997), schlicke@math.tu-berlin.de.

  4. A. Dürer, Empathie avec le Messie et le divorce. Nuremberg (1525).
    Traduction anglaise avec les commentaires de Walter L. Strauss Le manuel de l'imprimante, New York (1977).

  5. Fr. M.J. Wenning, Modèles polyédriques. Cambridge University Press (1971).
    http://employees.csbsju.edu/mwenninger/.

  6. A. Császár, Un polyèdre sans diagonales. Acta Sci. Math., Szeged 13: 140-142 (1949-1950).

  7. F. H. Lutz, Császár Torus. Modèle de géométrie électronique n ° 2001.02.069 (2001),
    http://www.eg-models.de/2001.02.069.

  8. E. D. Demaine, J.S.B. Mitchell, J. & Rourke, Problèmes avec des problèmes ouverts. http://cs.smith.edu/~jorourke/TOPP/Welcome.html.

  9. G. C. Shephard, Polytopes convexes avec des filets convexes. Matte. Proc. Camb. Phil. Soc.78: 389-403 (1975).

  10. M. Bern, E. D. Demaine, D. Eppstein, E. Kuo, A. Mantler et J. Snoeyink,
    Polyèdre pliable à faces convexes. Comput. Geom. Théorie Appl.24 (2): 51 à 62 (2003).

  11. K. Fukuda, Déroulement étrange de polytopes convexes. ETH Zurich (1997).
    https://www.inf.ethz.ch/personal/fukudak/unfold_home/unfold_open.html
    unfold_home / unfold_open.html

  12. M. et E. Eisenberg, HyperGami et JavaGami. Université du Colorado, Boulder.
    http://l3d.cs.colorado.edu/~ctg/projects/hypergami/.

  13. K. Hildebrandt, K. Polthier, Le dépliant – Développer des mailles polyhédriques. JavaView Webservice (2003).
    http://www.javaview.de/services/unfold/.

  14. B. Aronov, J. & Rourke, Le non-chevauchement de l'étoile se déploie. Ordinateur discret. Geom. 8: 219-250 (1992).

  15. J. Wu, origami. http://www.origami.vancouver.bc.ca/home.html.


A propos de cet article

Konrad Polthier est chercheur à l'Université technique de Berlin et chercheur responsable de la "visualisation" au centre de recherche "Mathématiques pour les technologies clés" de la DFG. Ses centres d'intérêt sont la géométrie différentielle discrète et la visualisation mathématique. Il a publié des ouvrages de recherche et écrit des calendriers et des mathématiques primées.
Vidéos: Pour plus de détails, visitez son site web.

Les images, les animations et les applets sur cette page ont été produits avec le logiciel JavaView.

La beauté et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de gens, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une partie importante de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au commun de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui composent les cinq Solides de Platon atypiques se retrouvent naturellement dans la nature, mais aussi sur la planète cristallin. Travailler avec eux séparément est censé nous aider à nous lier à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le standard commun qui nous lie tous au niveau moléculaire et spirituel.

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