Juin 2007
Leonhard Euler, 1707 – 1783
Commençons par présenter le protagoniste de cette histoire – la formule d'Euler:
Simple si elle peut paraître, cette petite formule encapsule une caractéristique de base des solides en trois dimensions que nous appelons polyèdresqui fascine les mathématiciens depuis plus de 4000 ans. En fait, je peux continuer et dire que la formule d'Euler nous dit quelque chose de très profond sur la forme et l'espace. La formule porte le nom du célèbre mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 – 1783), qui aurait fêté ses 300 ans cette année.
Qu'est-ce qu'un polyèdre?
Avant d'examiner ce que dit la formule d'Euler, examinons un peu plus en détail les polyèdres. Un polyèdre est un objet solide dont la surface est composée de plusieurs surfaces. visages qui sont eux-mêmes des limites de lignes droites. Chaque visage est en fait un poly, une forme fermée dans le plan plat bidimensionnel constitué de points reliés par des lignes droites.
Figure 1: Le triangle et le carré connus sont tous deux des polygones, mais les polygones peuvent également avoir plusieurs formes irrégulières comme celle illustrée à droite.
Les polygones ne sont pas autorisés à comporter des trous, comme l'illustre la figure ci-dessous: La forme de gauche est ici un polygone, alors que la forme de droite ne l'est pas.
Figure 2: La forme à gauche est un polygone, mais celle de droite ne l’est pas parce qu’elle a un "trou".
Un polygone s'appelle régulièrement si tous les côtés ont la même longueur et que tous les angles entre eux sont les mêmes; Le triangle et le carré de la figure 1 et le pentagone de la figure 2 sont communs.
Un polyèdre est ce que vous obtenez lorsque vous déplacez une dimension. C'est un objet fermé et fixe dont la surface est constituée d'une série de faces polygonales. Nous appelons les côtés de ces visages bords – Deux faces se rejoignent sur chacune de ces arêtes. Nous appelons les coins des visages sommetsde sorte que chaque sommet se trouve sur au moins trois faces différentes. Pour illustrer cela, voici deux exemples
polyèdre bien connu.
Figure 3: Le cube connu à gauche et icosaèdre à droite. Un polyèdre est constitué de polygonale visages, leurs pages sont appelées bordset les coins comme sommets.
Un polyèdre est constitué d'une seule pièce. Par exemple, il peut ne pas être composé de deux (ou plus) parties fondamentalement séparées connectées à un seul bord ou à un sommet. Cela signifie qu'aucun des objets suivants n'est un véritable polyèdre.
Figure 4: Ces objets ne sont pas des polyèdres, car ils sont constitués de deux parties distinctes qui ne se rencontrent que dans un bord (à gauche) ou un sommet (à droite).
Que nous dit la formule?
Nous sommes maintenant prêts à voir ce que la formule d'Euler nous dit à propos des polyèdres. Regardez un polyèdre, tel que le cube ou l'icosaèdre ci-dessus, comptez le nombre de croix dont il dispose et composez ce nombre. V. Par exemple, le cube a 8 coins, donc V = 8. Puis comptez le nombre d’arêtes du polyèdre et appelez-le. E. Le cube a 12 bords, donc dans le cas de
cube E = 12. Enfin comptez le nombre de faces et appelez-le fa. Dans le cas des dés, F = 6. Maintenant, la formule d'Euler nous dit que
ou en mots: le nombre de croix moins le nombre d'arêtes, plus le nombre de faces, est égal à deux.
Quant au cube, nous l’avons déjà vu V = 8, E = 12 et F = 6. puis,
C'est ce que la formule d'Euler nous dit, cela devrait être. Si nous regardons l'icosaèdre, nous le trouvons V = 12, E = 30 et F = 20. maintenant,
comme on s'y attendait.
La formule d'Euler est vraie pour les dés et l'icosahédron. Il s'avère très beau que c'est vrai pour à peu près tous les polyèdres. Les seuls polyèdres pour lesquels il ne fonctionne pas sont ceux qui sont traversés par des trous, comme indiqué dans la figure ci-dessous.
Figure 5: Ce polyèdre est percé d’un trou. La formule d'Euler ne tient pas dans ce cas.
Ces polyèdres sont appelés non facile, contrairement à ceux qui n'ont pas de trous, appelés facile. Les polyèdres non simples ne sont peut-être pas les premiers à penser, mais bon nombre d'entre eux existent et nous ne pouvons pas ignorer le fait que la formule d'Euler ne fonctionne pour aucun d'entre eux. Mais même ce fait difficile fait maintenant partie d’une toute nouvelle théorie de l’espace
et forme.
Le pouvoir de la formule d'Euler
Lorsque les mathématiciens activent une fonction invariante, une propriété qui s'applique à toute une classe d'objets, ils savent qu'ils se trouvent sur quelque chose de bien. Ils l'utilisent pour rechercher les propriétés qu'un seul objet peut avoir et pour identifier les propriétés que tout le monde doit posséder. Par exemple, la formule d'Euler peut nous dire qu'il n'y a pas de polyèdre simple avec
exactement sept bords. Vous n'avez pas besoin de s'asseoir avec du carton, des ciseaux et de la colle pour comprendre cela: la formule est tout ce dont vous avez besoin. L'argument selon lequel il n'y a pas de polyèdre à sept côtés est assez simple, alors jetez un coup d'œil si cela vous intéresse.
En utilisant la formule d'Euler de manière similaire, nous pouvons constater qu'il n'existe pas de polyèdre simple à dix faces et dix-sept angles. Le prisme montré ci-dessous, qui a un octogone comme base, a dix faces, mais le nombre de croix est ici de seize. La pyramide, qui a une base à 9 côtés, a également 10 faces, mais 10 angles. Mais la formule d’Euler nous dit qu’aucun polyèdre unique n’a
exactement dix visages et dix-sept coins.
Figure 6: Ces deux polyèdres ont dix faces, mais aucun d'entre eux n'a dix-sept angles.
De telles considérations nous amènent à ce qui est probablement la plus belle découverte de toutes. Cela implique Solides platoniques, une classe bien connue de polyèdres nommée d'après l'ancien philosophe grec Platon, dans les écrits de laquelle ils ont paru pour la première fois.
Figure 7: Les solides platoniques. De gauche à droite, nous avons le tétraèdre à quatre faces, le cube à six faces, l'octaèdre à huit faces, le dodécahron à douze faces et l'icosaèdre à vingt faces.
Bien que leur élégance symétrique soit immédiatement apparente lorsque l’on regarde les exemples ci-dessus, le couper en mots n’est pas si facile. Il s'avère qu'il est décrit par deux fonctions. La première est que les solides platoniques ne contiennent ni pointes ni creux, leur forme est donc fine et arrondie. En d'autres termes, cela signifie que lors du choix de deux points d'un solide platonicien et de son dessin
ligne droite entre eux, ce morceau de ligne droite sera complètement contenu dans le solide – un solide platonique est ce qu'on appelle convexe. L'autre fonctionnalité, appelée régularitéest que toutes les faces du soleil sont des polygones communs avec exactement le même nombre de côtés et que le même nombre d'arêtes sort de chaque sommet du solide.
Le cube est commun car toutes les faces sont des carrés et exactement trois arêtes sortent de chaque sommet. Vous pouvez vérifier par vous-même que le tétraédrone, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre sont également courants.
Maintenant, vous pouvez vous demander combien il existe de solides platoniques différents. Depuis la découverte des dés et du tétraèdre, les mathématiciens étaient tellement attirés par l'élégance et la symétrie des solides platoniques qu'ils recherchaient et tentaient de tous les énumérer. C'est ici qu'intervient la formule d'Euler. Vous pouvez l'utiliser pour trouver toutes les possibilités pour le nombre de faces, d'arêtes et
coins d'un polyèdre régulier. Ce que vous allez découvrir, c'est qu'il n'y a en réalité que cinq polyèdres convexes communs différents! C'est très surprenant. Après tout, il n'y a pas de limite au nombre de polygones communs différents, alors pourquoi devrions-nous nous attendre à une limite ici? Les cinq masses platoniques sont le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre présentés ci-dessus.
la preuve
René Descartes,
(1596-1650)
Jouer avec divers polyèdres simples vous montrera que la formule d'Euler est toujours présente. Mais si vous êtes mathématicien, cela ne suffit pas. Vous voulez une preuve, un argument logique étanche qui montre que cela fonctionne vraiment tous polyèdre, y compris ceux que vous n'avez jamais le temps de vérifier.
Adrien-Marie Legendre, (1752-1833)
Malgré le nom de la formule, ce n'est pas Euler qui a fourni la première preuve complète. L’histoire est complexe et couvre 200 ans et implique quelques-uns des plus grands noms des mathématiques, dont René Descartes (1596 – 1650), Euler lui-même, Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) et Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857).
Augustin-Louis Cauchy, (1789 – 1857)
Il est intéressant de noter que tous ces mathématiciens ont utilisé des approches très différentes pour prouver la formule, chacun frappant d'ingéniosité et de perspicacité. C'est la preuve de Cauchy que j'aimerais vous donner un avant-goût d'ici. Sa méthode comporte plusieurs étapes et étapes. La première phase consiste à construire ce qu'on appelle un réseau.
Former un réseau
Imaginez tenir le polyèdre avec le visage vers le haut. Maintenant, imaginez que vous "enlevez" uniquement ce visage, en laissant les bords et en le croisant pour obtenir une "boîte" ouverte. Ensuite, imaginez que vous puissiez tenir la boîte et séparer les bords de la face manquante. Si vous les tirez jusqu’à présent, la boîte s’aplatira et deviendra un réseau de points et de lignes.
dans le plat La série de graphiques ci-dessous illustre ce processus appliqué à un cube.
Figure 8: Transformez le cube en réseau.
Comme vous pouvez le voir sur le diagramme ci-dessus, chaque face du polyèdre devient une zone du réseau entourée d'arêtes, ce que nous appelons une face du réseau. Ce sont intérieur faces du réseau. Il y a aussi un extérieur face composée de la zone en dehors du réseau; Cela correspond au visage que nous avons retiré du polyèdre. Donc, le réseau a des sommets,
bords droits et faces polygonales.
Figure 9: Le réseau a des faces, des arêtes et des angles.
Lorsque vous formez le réseau, vous n'avez également ajouté ou supprimé aucun angle. Le réseau a donc le même nombre de croix que le polyèdre. V. Le réseau a aussi le même nombre d’arêtes – E – en polyèdre. Maintenant pour les visages; Toutes les faces du polyèdre, sauf "manquantes", apparaissent "à l'intérieur" du réseau. La face manquante est devenue la face extérieure qui s'étend
tout ce qui est sur le réseau. Donc, y compris la face extérieure, le réseau fa visages. Ainsi, vous pouvez utiliser réseau, au lieu du polyèdre lui-même, pour trouver la valeur de V – E + F. Nous allons maintenant continuer à transformer notre réseau pour rendre cette valeur plus facile à calculer.
Transformer le réseau
Nous pouvons effectuer trois types d'opérations sur notre réseau. Nous présentons trois étapes qui impliquent ces.
Étape 1 Nous commençons par examiner les faces polygonales du réseau et à nous demander: existe-t-il un visage de plus de trois pages? Si tel est le cas, on trace une diagonale comme indiqué dans le diagramme ci-dessous et on divise la face en deux faces plus petites.
Figure 10: Partage de visages.
Nous répétons cela avec notre face à face choisi a été divisé en triangles.
Figure 11: Enfin, il nous reste des faces triangulaires.
S'il existe une autre face de plus de trois côtés, nous utilisons l'étape 1 sur cette face jusqu'à ce qu'elle soit également divisée en faces triangulaires. De cette façon, nous pouvons jeter chaque face vers le haut en faces triangulaires, et nous obtenons un nouveau réseau, toutes les faces sont triangulaires. Nous illustrons ce processus en montrant comment nous transformerions le réseau que nous avons créé à partir d’un cube.
Figure 12: Cela se produit avec le réseau de cubes que nous effectuons à plusieurs reprises à l'étape 1.
Nous revenons à l'étape 1 et examinons le réseau que nous obtenons après avoir effectué l'étape 1 une seule fois. Maintenant, en traçant une diagonale, nous avons créé une arête. Notre visage d'origine est devenu deux visages, nous en avons donc ajouté un au nombre de visages. Nous n'avons pas changé le nombre de croix. Le réseau a maintenant V sommets, E + 1 bords et F + 1 visages. Alors, comment ça marche?
V – E + F changé après avoir effectué l'étape 1 une fois? Utilisez ce que nous savons des changements dans V, E et fa on peut le voir V – E + F est devenu V – (E + 1) + (F + 1). Maintenant nous avons
puis V – E + F a pas changé après l'étape 1! parce que chaque utilisation des lames de l'étape 1 V – E + F inchangé, il est toujours inchangé quand nous arrivons à notre nouveau réseau de triangles! L'effet sur V – E + F Lorsque nous transformons le réseau créé par les dés, cela apparaît dans le tableau ci-dessous.
| rond | V | E | fa | V – E + F |
| (En) | 8 | 12 | 6 | 2 |
| (B) | 8 | 1. 3 | 7 | 2 |
| (C) | 8 | 14 | 8 | 2 |
| (D) | 8 | 15 | 9 | 2 |
| (E) | 8 | 16 | 10 | 2 |
| (F) | 8 | 17 | 11 | 2 |
Nous introduisons maintenant les étapes 2 et 3. Ils supprimeront les visages de l'extérieur du réseau et réduiront le nombre de visages de manière incrémentielle. Lorsque nous commencerons à faire cela, le réseau ne représentera probablement plus un polyèdre, mais la fonctionnalité importante du réseau restera.
Étape 2 Nous vérifions si le réseau a une face qui ne partage qu'un bord avec la face externe. Si c'est le cas, nous supprimons cette face en supprimant l'un des bords fendus. La zone qui avait été couverte par notre face choisie devient une partie de la face externe et le réseau a une nouvelle limite. Ceci est illustré par le schéma ci-dessous pour le réseau créé par les dés.
Figure 13: Supprimer les faces avec un bord extérieur.
Maintenant, nous allons prendre V, E et fa soit le nombre de croix, d’arêtes et de faces que le réseau constitué de faces triangulaires avait avant l’étape 2. Nous allons maintenant voir comment le nombre V – E + F a changé après avoir effectué l'étape 2 une fois. Nous avons supprimé un bord afin que notre nouveau réseau a E – 1 bords. Nous n'avons pas touché les croix
tout ce que nous avons encore V sommets. Le visage que nous avons utilisé pour l’étape 2 a été fusionné avec le visage extérieur, nous avons donc maintenant F – 1 visages. puis V – E + F est devenu V – (E – 1) + (F – 1) et
Puis encore V – E + F n'a pas changé.
Étape 3 Nous vérifions si notre réseau a une face qui partage deux bords avec la face externe. Si cela est fait, nous supprimons cette face en supprimant ces deux arêtes scindées et leur sommet scindé, de sorte que la zone appartenant à notre face choisie redevienne une partie de la face externe. Ceci est illustré ci-dessous dans le cas du réseau constitué des dés, comme après l’étape 2.
deux fois.
Figure 14: Enlevez les faces avec deux bords extérieurs.
Comme nous le faisions avant V, E et fa soit le nombre de croix, d’arêtes et de faces du réseau avec lequel nous commençons. Eh bien, comment est le nombre V – E + F été touché par l'étape 3? Nous avons supprimé un sommet – un entre les deux arêtes – il est donc maintenant V – 1 sommets. Nous avons supprimé deux bords de sorte qu'il est maintenant
E – 2 bords. Enfin, notre visage choisi a fusionné avec la face extérieure de sorte que nous avons maintenant F – 1 visages. puis V – E + F est devenu (V – 1) – (E – 2) – (F – 1) et
Puis encore V – E + F n'a pas changé.
Le secret de la preuve réside dans l'exécution d'une séquence d'étapes 2 et 3 pour obtenir un réseau très simple. N'oubliez pas que nous avons utilisé à plusieurs reprises l'étape 1 pour créer un réseau constitué uniquement de faces triangulaires. Ce réseau aura certainement une face qui partage exactement un bord avec la face externe. Nous prenons donc cette face et effectuons l’étape 2. Nous pouvons effectuer l’étape 2 sur plusieurs faces, une à la fois, une à la fois.
La face divise deux bords, la face extérieure étant illustrée. Nous pouvons ensuite effectuer l'étape 3 en utilisant ce visage. Nous continuons à effectuer les étapes 2 et 3 et continuons à supprimer les visages de cette façon.
Il y a deux règles importantes à suivre pour ce faire. Tout d'abord, nous devons toujours effectuer l'étape 3 chaque fois que cela est possible. si vous avez le choix entre les étapes 2 et 3, vous devez toujours sélectionner l'étape 3. Si ce n'est pas le cas, le réseau peut être scindé en plusieurs parties. Deuxièmement, nous devons simplement supprimer les visages un à la fois. Si nous ne le faisons pas, nous pouvons nous retrouver avec les bords qui dépassent à l'extérieur
face, et nous n’avons plus de réseau adéquat. Pour illustrer le processus, nous effectuons plusieurs étapes sur le réseau de cubes. Nous continuons à partir du dernier graphique.
Figure 15: Utilisez notre algorithme pour le réseau de cubes.
Maintenant, nous pouvons nous poser une ou deux questions. Ce processus d'élimination des visages cessera-t-il un jour, et si oui, que reste-t-il? Une petite évaluation vous montrera qu’il faut s’arrêter – il ne reste plus qu’un grand nombre de faces et d’arêtes à éliminer – et, une fois terminé, il ne nous reste plus qu’un triangle. Vous pouvez voir des tableaux décrivant le processus complet pour le réseau formé à partir d'un dodécaèdre (rappelez-vous que c'était l'un des solides platoniques présentés précédemment).
Voyons maintenant le nombre de croix, d'arêtes et de faces présentes dans notre réseau final – le seul triangle. Nous avons V = 3, E = 3et F = 2 – Nous devons encore inclure la face extérieure. maintenant
Tout au long du processus, en commençant par le polyèdre complet et en terminant par un triangle, la valeur de V – E + F n'a pas changé. Donc si V – E + F = 2 Pour le réseau final, nous devons également avoir V – E + F = 2 pour le polyèdre lui-même! La preuve est complète!
Au-delà du polyèdre
Je conclurai en évoquant certaines conséquences de la formule d'Euler en dehors du monde du polyèdre. Je vais commencer par quelque chose de très petit: le processus informatique. Les licences de données sont des circuits intégrés, composés de millions de composants minutieux associés à des millions de pistes de premier plan. Celles-ci rappellent nos nuits ci-dessus, sauf Il n'est généralement pas possible de les mettre dans un avion
sans aucune des pistes principales – les bords – croisés. Les croisements sont une mauvaise chose dans la conception des circuits, leur nombre doit donc être réduit, mais trouver un événement approprié n’est pas une tâche facile. La formule polyèdre d'Euler, avec les informations de réseau, est un ingrédient important dans la recherche de solutions.
Passons maintenant au grand: notre univers. À ce jour, les cosmologues ne se sont pas mis d’accord sur leur forme exacte. Important pour leur évaluation est topologie, l'étude mathématique de la forme et de l'espace. Au 19ème siècle, les mathématiciens ont découvert que toutes les surfaces dans un espace tridimensionnel sont principalement caractérisées par le nombre de trous qu'elles ont: notre polyèdre simple n'a pas de trous,
Donut a un trou, etc. La formule d'Euler ne fonctionne pas pour les trous avec des polyèdres, mais les mathématiciens ont découvert une généralisation intéressante. Pour certains polyèdres, V – E + F est exactement 2 moins 2 fois le nombre de trous! Il s’avère que ce numéro, appelé Caractéristique d'Euler, est essentiel pour l’étude de toutes les surfaces tridimensionnelles, et pas seulement des polyèdres.
La formule d'Euler peut être considérée comme un catalyseur pour une toute nouvelle façon de penser la forme et l'espace.
À propos de l'auteur

Abi a grandi dans le nord de l'Angleterre et s'est ensuite dirigé vers le sud pour étudier les mathématiques à l'Imperial College de Londres et à l'Université Queen Mary de Londres. Elle enseigne maintenant les mathématiques à Open University. Le principal intérêt mathématique d'Abi est la théorie des groupes. Elle aime vraiment explorer la formule d'Euler lors de la rédaction de cet article.
Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les 4 premières formes correspondent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.









