Définition du solide platonicien et des synonymes du solide platonicien (anglais) solides de Platon énergie

En géométrie euclidienne, un solide platonique est un polyèdre convexe commun. Les faces sont des polygones communs congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque sommet. Il y a cinq solides platoniques; Leurs noms viennent de leur nombre de visages.

La beauté esthétique et la symétrie des solides platoniques en ont fait une cible de prédilection pour la géométrie pendant des milliers d'années. Ils portent le nom de l'ancien philosophe grec Platon, qui avait pour théorie que les éléments classiques étaient construits à partir de solides solides.

histoire

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité. On en trouve des modèles ornés parmi les boulons en pierre taillée créés par les peuples néolithiques inférieurs d’Écosse au moins 1000 ans avant Platon (1). Les dés remontent au début de la civilisation avec des formes qui favorisent la cartographie formelle des solides platoniques.

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques de manière approfondie. Certaines sources (comme Proclus) attribuent cette découverte à Pythagore. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécahron, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetetus, un contemporain de Platon. Théétète a dans tous les cas fourni une description mathématique des cinq méthodes et pourrait être à l'origine de la première preuve connue qu'il n'y a pas d'autre polyèdre régulier convexe.

Les solides platoniques occupent une place prépondérante dans la philosophie de Platon. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 av. où il a attaché chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) avec un solide. Le sol était attaché au cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et avare (comme de petits tétraèdres). L'air est fait d'octaèdre; ses composants minces sont si glissants que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, sort de la main quand on la prend, comme si elle était faite de petites balles. Contrairement à un solide sphérique, l'hexaèdre représente le sol (cube). Ces solides solides volumineux font fondre la saleté et l'écraser lorsqu'ils sont absorbés, ce qui contribue beaucoup à la fluidité de l'eau. De plus, on pense que la solidité de la Terre était due au fait que le cube est le seul solide commun qui recouvre l'espace euclidien. Le cinquième solide platonique, le dodécaèdre, note obscure de Platon, "… le dieu arrangeait les constellations de tout le ciel". Aristote a ajouté un cinquième élément, aithêr (éther en latin, "ether" en anglais) et a postulé que le ciel était fait de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre au cinquième jeûne de Platon.(référence nécessaire)

Euclid a donné une description mathématique complète des solides platoniques dans éléments, le dernier livre (livre XIII) consacré à leurs caractéristiques. La proposition 13-17 du livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez la relation entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdre commun convexe. Andreas Speiser a expliqué que la construction des 5 solides solides était l’objectif principal du système déductif canonisé en éléments.(2) Une grande partie des informations contenues dans le livre XIII provient probablement de Theaetetus.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de trouver une relation entre les cinq planètes extraterrestres connues à cette époque et les cinq solides platoniques. en Mystographic Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a publié un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient insérés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et réécrites. Kepler a suggéré que les distances entre les six planètes connues à ce moment-là puissent être comprises par rapport aux cinq solides platoniques, enfermés dans une balle représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondent chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides ont été commandés avec l'octaèdre le plus interne, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et enfin du cube. De cette manière, la structure du système solaire et les distances entre les planètes ont été dictées par les solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais ses recherches ont abouti à ses trois lois de la dynamique orbitale, la première étant que les orbites de la planète sont des ellipses plutôt que des cercles, modifiant ainsi l'évolution de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Au 20ème siècle, les tentatives d'association de solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de "Modèle de Moon".(3)

Combinaison de propriétés

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones ordinaires convexes congruents,
  2. Aucune des faces ne coupe sauf sur les bords, et
  3. Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses coins.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p = nombre d'arêtes de chaque face (ou nombre d'angles de chaque face) et
q = nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).

Le symbole p, q, appelé symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli pour les cinq solides platoniques sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de croisements (V), bords (E) et les visages (fa) peut être déterminé à partir de p et q. Puisqu'un bord est attaché à deux coins et a deux faces adjacentes, nous devons avoir:

pF = 2E = qV. ,

L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler:

V - E + F = 2.  t

Ce fait désagréable peut être détecté de différentes manières (dans la topologie algébrique, il s'ensuit qu'Euler est caractéristique de la sphère est 2). Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, Eet fa:

V = frc 4p 4 - (p-2) (q-2), quadrilatère E = frc 2pq frac 4q 4 - (p-2) (q-2) .

Notez que permuter p et q nœuds fa et V en partant E inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres doubles ci-dessous).

classification

Le résultat classique est qu’il n’ya que cinq polyèdres communs convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Ces deux arguments montrent seulement qu'il ne peut y avoir plus de cinq solides platoniques. Le fait que les cinq existent réellement est une question distincte à laquelle on peut répondre de manière explicite.

Preuve géométrique

L’argument géométrique suivant est très similaire à ce que Euclid a donné dans éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet d'au moins trois surfaces.
  2. À chaque sommet du solide, la somme entre les surfaces adjacentes des angles entre leurs côtés adjacents respectifs doit être inférieure à 360 °.
  3. Les angles dans tous les coins de toutes les surfaces d’un solide platonique sont identiques, de sorte que chaque sommet de chaque face doit avoir une contribution inférieure à 360 ° / 3 = 120 °.
  4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus. Le sujet commun doit donc être un triangle, un carré ou un pentagone. Et pour:
    • Faces triangulaires: chaque sommet avec un triangle régulier mesure 60 °, ainsi une forme peut avoir 3, 4 ou 5 triangles qui se rejoignent sur un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Surfaces carrées: Chaque sommet d'un carré mesure 90 °. Un seul arrangement est donc possible avec trois faces au sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet est à 108 °; De nouveau, un seul arrangement de trois faces au sommet est possible, le dodécaèdre.

Preuves topologiques

Une preuve purement topologique peut être faite en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler en tant que V - E + F = 2et le fait que pF = 2E = qVp représente le nombre d'arêtes de chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. La combinaison de ces équations vous donne l'équation

frc 2E q - E + frc 2E p = 2.

La manipulation algébrique simple donne alors

1 sur q + 1 sur p = 1 sur 2 + 1 sur E.

depuis E est strictement positif, nous devons avoir

frc 1 q + frc 1 p> fra 1 2. "src =" http://bin.sensegates.com/s/a/5/6/a56f874402f061c5ca1bb95af0a5ca5a .png "/></dd>
</dl>
<p>Utilisez le fait que <i>p</i> et <i>q</i> doivent être au moins 3, on peut facilement voir qu’il n’ya que cinq possibilités (<i>p</i>, <i>q</i>):</p>
<dl>
<dd><img class=

Propriétés géométriques

angles

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle interne entre les deux surfaces. L'angle dièdre, θ, du fixep,q est donné par la formule

est heta sur 2 = fra cos (pi / q) sin (pi / p).

C’est parfois plus pratique en termes de clé de

un th 2 = fra cs (pi / q) sin (pi / h).

la quantité h sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour tétraèdre, cube, octèdre, dodécaèdre et icosaèdre.

L'angle gel au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles des faces à ce sommet et 2π. Le défaut, 5, à chaque coin des solides platoniques p,q est

delta = 2 pi - q en gauche (1- 2 sur p droite).

Dans un théorème de Descartes, il est égal à 4π divisé par le nombre de croix (c'est-à-dire que le défaut total dans tous les angles est de 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle de plan est un angle solide. L'angle fixe, Ω, au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

Oméga = qheta - (q-2) pi. ,

Cela découle de la formule en excès sphérique pour un polygone sphérique et du fait que le sommet du polystyrène p,q est un commun q-Gon.

L'angle fixe d'une face sous-tendue depuis le centre d'un solide platonique est égal à l'angle fixe d'une sphère entière (4π stéradians) divisé par le nombre de faces. S'il vous plaît noter que cela est égal au double angle à deux fois.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont résumés ci-dessous. Les valeurs numériques pour les angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = (1 + √5) / 2 est le nombre d'or.

Radi, surface et volume

Un autre avantage de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces balles sont appelés cercle circonscrit, il midradiuset inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les coins, les points médians du bord et les centres de la face, respectivement. Le circumradius R et le rayon r du jeûne p, q avec longueur d'arête un est dégagé

R = left (un sur 2 right) frc p q fra } 2
r = left (a sur 2 right) coc frc p p frc f 2

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est dégagé

rho = left (a sur 2 right) frc cos (pi / p) sin (pi / h)

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que le rapport entre le rayon et le rayon est symétrique dans p et q:

R sur r = un fra f dans f q.

La surface, FR, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme la surface d’un p– fois le nombre de faces fa. C'est:

A = left (a plus de 2 right) ^ 2 fp coc frc pi p.

Le volume est calculé comme fa fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est rayon r. C'est,

V = 1 sur 3 rA.

Le tableau suivant montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille totale est fixée en prenant la longueur du bord, un, être égal à 2.

Les constantes φ et ξ dans ce qui précède sont données par

pi de 5} = frc 1+ sqrt 5 2 qquad xi = 2 sin pi de 5 = qrt fra 5crt 5  2 = 5 ^ 1/4 varphi ^ - 1/2.

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l’icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre sa sphère inscrite sur la plus dense, et son rapport surface sur volume est le plus proche de celui d'une sphère de même taille (c'est-à-dire, la même surface ou volume). Le dodécaèdre, d'autre part, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle fixé sommet, et remplit le plus la sphère circonférentielle.

symétrie

Polyèdre double

Une double paire: cube et octaèdre.

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec faces et angles alternés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, de sorte que nous pouvons organiser les cinq solides en deux paires.

  • Le tétraèdre est auto-doublant (son double est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a un symbole Schläfli p, q, alors le double symbole a q, p. En fait, toutes les propriétés combinatoires d'un solide platonique peuvent être interprétées comme une autre caractéristique combinatoire du dual.

On peut construire le double polyèdre en prenant les doubles points de ceux qui sont les centres des faces de la figure originale. Le bord du double est formé en reliant les centres aux faces adjacentes de l'original. De cette manière, le nombre de faces et d'angles est échangé, tandis que le nombre d'arêtes reste le même.

Plus généralement, on peut dualiser un solide platonique par rapport à une sphère de rayon concentrique au solide. Radii (R, p r) d'un solide et ceux de ses deux (R*, ρ *, r*) lié à

d  t

Il est souvent commode de dédoubler l’espace médian ( = ρ) puisqu'il a le même rapport aux deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec le même circumradius et en rayon (ie. R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie

En mathématiques, le terme symétrie est étudié avec le terme groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) laissant l'invariant du polyèdre. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent entre groupe de symétrie complet, qui inclut les réflexions, et bon groupe de symétrie, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes de symétrie dans les solides platoniques sont connus sous le nom de groupes polyédriques (qui constituent une classe particulière des groupes de points en trois dimensions). Le degré élevé de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les verticales de chacun sont égales sous l'effet du groupe de symétrie, ainsi que des arêtes et des surfaces. On dit que l'action dans le groupe de symétrie est transitive sur les croix, les arêtes et les faces. En fait, c’est une autre façon de définir la régularité d’un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si c'est l'uniforme du sommet, l'uniforme du bord et l'uniforme du visage.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie de tout polyhèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facile à voir en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie de dual et vice versa. Les trois groupes polyédriques sont:

Les ordres pour les groupes corrects (rotation) sont respectivement 12, 24 et 60, soit deux fois plus d’arêtes dans le polyèdre correspondant. Les ordres des groupes de symétrie complets sont deux fois plus nombreux (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques, sauf les tétraèdres, sont symétrique centrale, ce qui signifie qu'ils sont conservés lors de la réflexion à travers l'origine.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (de la même manière pour le nombre de symétries). La construction de kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de ses groupes de symétrie. Nous nous référons au symbole de référence de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

Dans la nature et la technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont naturellement présents dans les structures cristallines. Celles-ci n'excluent jamais le nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre habituel, ni le dodécaèdre habituel ne sont parmi eux. L'une des formes, appelée pyritohèdre (du nom du groupe de minéraux typique), a douze faces pentagonales, disposées dans le même motif que les faces du dodécaèdre commun. Cependant, les faces du pyritohèdre n'étant pas communes, le pyritohèdre ne l'est pas non plus.

Circogonia icosahedra, une espèce de Radiolaria, en forme d’icosaèdre commun.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) a décrit un certain nombre d'espèces de radiolaires, dont certaines ont des squelettes en forme de polyèdres communs. Les exemples incluent Sirkoporus octaèdre, Icosahedra de Circogonia, Lithocubus geometricus et Dodécaèdres de Circorrhegma. La forme de ces créatures devrait être évidente à partir de leurs noms.

De nombreux virus, tels que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre commun. Les structures virales sont construites à partir de sous-unités protéiques identiques répétées, et l'icosahédron est la forme la plus simple à assembler à l'aide de ces sous-unités. Un polyèdre ordinaire est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule unité de base de protéine utilisée à plusieurs reprises; Cela économise de l'espace dans le génome du virus.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux de flux atmosphériques présentant un intérêt croissant utilisent une grille basée sur un icosaèdre (affiné par triangulation) au lieu de la latitude / longitude plus communément utilisée. Cela présente l’avantage d’une résolution spatiale espacée de manière égale, sans singularités (c’est-à-dire avec des pôles), aux dépens de difficultés numériques un peu plus grandes.

La géométrie des cadres est souvent basée sur les solides platoniques. Dans le système MERO, les solides platoniques sont utilisés pour nommer la convention de différentes configurations de trame spatiale. Par exemple, ½ O + T fait référence à une configuration composée d'un demi-octaèdre et d'un tétraèdre.

Plusieurs hydrocarbures platoniques ont été synthétisés, notamment les grues cubaine et dodécane.

Les solides platoniques sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes, car ces derniers peuvent être équitablement construits. Les dés à 6 faces sont très courants, mais les autres numéros sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. Ces cubes sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir la notation des dés pour plus de détails.

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Un puzzle qui ressemble à un cube de Rubik se présente sous les cinq formes – voir polyèdres magiques.

Cristaux liquides avec symétries de solides platoniques

Pour la phase intermédiaire, appelée cristaux liquides, l’existence de telles symétries a été proposée pour la première fois en 1981 par H. Kleinert et K. Maki, et leur structure a été analysée en.(4) Voir l'article de revue ici. En aluminium, la structure icosaédrique a été découverte trois ans plus tard par Dan Shechtman, qui l’a fait remporter le prix Nobel en 2011.

Polyèdres et polytopes associés

Polyèdres uniformes

Il existe quatre polyèdres communs non convexes, appelés polyèdres de Kepler-Poinsot. Celles-ci ont toutes une symétrie icosaédrique et sont disponibles en tant que stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Le polyèdre convexe le plus fréquent pour les solides platoniques est le cuboctaèdre, une correction du cube et de l'octaèdre, et l'anneau d'icosidodécène, une correction du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la correction du tétraèdre auto-dopant est une octaèdre commune). Ce sont les deux quasi-régulière, c’est-à-dire qu’ils sont uniformes sur le dessus et sur les bords et ont des faces fixes, mais que les faces ne sont pas toutes congruentes (elles appartiennent à deux classes différentes). Ils forment deux des treize tissus d'Archimède, qui sont la symétrie polyhédrique polyhédrale convexe uniforme.

Le polyèdre uniforme forme une classe beaucoup plus large de polyèdres. Ces nombres sont le sommet et ont un ou plusieurs types de polygones communs ou en étoile pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec un ensemble infini de prismes, un ensemble infini d'antiprismes et 53 autres formes non convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces solides mais qui ne sont pas uniformes.

pavages

Les trois mosaïques courantes dans l’avion sont étroitement liées aux solides platoniques. En fait, on peut voir les solides platoniques comme les cinq mosaïques communes de la balle. Ceci est fait en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces font saillie sur des polygones sphériques ordinaires qui recouvrent exactement la sphère. On peut montrer que chaque pavage ordinaire de la sphère est caractérisé par une paire d’entiers p, q avec 1 /p + 1 /q > 1/2. De même, une tessellation commune de l'aéronef est caractérisée par l'état 1 /p + 1 /q = 1/2. Il y a trois possibilités:

De la même manière, on peut envisager des pavages réguliers du plan hyperbolique. Celles-ci sont caractérisées par la condition 1 /p + 1 /q <1/2. C'est une famille infinie de telles mosaïques.

Dimensions supérieures

Dans plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent en polytopes, les polytopes à corps solide convexe de dimension supérieure équivalant aux solides platoniques à trois dimensions.

Au milieu des années 1800, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a découvert les analogues à quatre dimensions des solides platoniques, appelés 4-polytopes communs convexes. Il y a exactement six de ces nombres; cinq sont analogues aux solides platoniques, tandis que la sixième, la cellule à 24 cellules, a un analogue de dimension inférieure (raccourcissement d'un polyèdre à une facette simplifiant les champs et auto-doublant): Hexagone.

Dans toutes les dimensions supérieures à quatre, il n'y a que trois polytopes fixes convexes: le simplex, l'hypercube et le polytope croisé. En trois dimensions, celles-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.

Voir aussi

remarques

  1. ^ Atiyah & Sutcliffe 2003
  2. ^ Weyl H. (1952). symétrie. Princeton. p 74.
  3. ^ Hecht & Stevens 2004
  4. ^ Kleinert, H. et Maki, K. (1981), "Textures de réseau dans des cristaux liquides cholestériques", Fortschritte der Physik 29 (5): 219-259, DOI: 10.1002 / prop.19810290503, http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/75/75.pdf

références

  • Atiyah, Michael; et Sutcliffe, Paul (2003). "Polyèdres en physique, chimie et géométrie". Milan J. Math 71: 33-58. DOI: 10 1007 / s00032-003-0014-1.
  • Carl, Boyer; Merzbach, Uta (1989). Une histoire de mathématiques (2ème édition). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
  • Coxeter, H.S.M. (1973). Polytopes réguliers (Troisième édition). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
  • Euclid (1956). Heath, Thomas L. ed. Les treize livres des articles d'Euclide, livres 10-13 (2nd un. Ed.). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
  • Haeckel, E. (1904). La forme d'art de la nature. Disponible sous la référence Haeckel, E. (1998); Formes d'art dans la nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6, ou en ligne à l'adresse (1).
  • Weyl, Hermann (1952). symétrie. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
  • "String seu de nive sexangula" (sur des flocons de neige à six angles), article de Kepler datant de 1611 ans, qui traitait de la cause des formes à six angles du cristal de neige, ainsi que des symétries dans la nature. En parlant de solides platoniques.
  • Hecht, Laurence; Stevens, Charles B. (automne 2004), "New Explorations with the Moon Model", Science et technologie du 21ème siècle: page 58, http://www.21stcenturysciencetech.com/Articles%202005/MoonModel_F04.pdf

Liens externes

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ) Régulier sous-entend que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les critères, et tous les bords sont de la même longueur 3D veut dire que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. Un polygone est une forme fermée dans une est plane avec au moins cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

Laisser un commentaire