Solides platoniques (polytopes communs en 3D) pierre énergétique

Publié par Paul Bourke
Décembre 1993

Voir aussi Solides platoniques en 4D

Un solide platonique (également appelé polyèdre simple)
est un polyèdre convexe qui a des verticales et des faces
sont du même type.

En deux dimensions, il existe un nombre infini de polygones réguliers.

En trois dimensions, il n'y a que cinq polyèdres communs.

  • Tétraèdre – constitué de 4 triangles équilatéraux
  • Cube – composé de 6 carrés
  • Octaèdre – composé de 8 triangles équilatéraux
  • Dodécaèdre – composé de 12 pentagones solides
  • Icosaèdre – composé de 20 triangles équilatéraux

En 4 dimensions il y a 6 polytopes communs

  • 4 simplex – composé de 5 tétraèdres, 3 réunions dans un bord
  • Hypercube – composé de 8 cubes, 3 réunions dans un bord
  • 16 cellules – composées de 16 tétraèdres, 4 réunions dans un bord
  • 24 cellules – composées de 24 octaèdres, 3 réunions dans un bord
  • 120 cellules – 120 dodécaèdres, 3 réunions sur un côté
  • 600 cellules – 600 tétraèdres, 5 réunions sur un bord

Ils ont mesuré les propriétés du polyèdre régulier tridimensionnel

tétraèdre

Vertical: 4
Bords: 6
Visages: 4
Bords par face: 3
Bords par sommet: 3
Sin par angle dans le bord: 2 * sqrt (2) / 3
Surface: sqrt (3) * edgelength ^ 2
Volume: sqrt (2) / 12 * edgelength ^ 3
Rayon réécrit: sqrt (6) / 4 * edgelength
Rayon enregistré: sqrt (6) / 12 * edgelength

Les coordonnées

    1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Diviser chaque coordonnée par 2

octaèdre

Vertical: 6
Bords: 12
Visages: 8
Bords par face: 3
Bords par sommet: 4
Sin par angle dans le bord: 2 * sqrt (2) / 3
Surface: 2 * sqrt (3) * edgelength ^ 2
Volume: sqrt (2) / 3 * edgelength ^ 3
Rayon réécrit: sqrt (2) / 2 * edgelength
Rayon enregistré: sqrt (6) / 6 * edgelength

Les coordonnées

-a 0 a -a 0-a 0 b 0
-a 0-a-a 0 b 0
et 0-a a 0 a 0 b 0
a 0 a -a 0 a 0 b 0
et 0-a-a 0-a 0-b 0
-a 0-a-a 0 a 0-b 0
a 0 a a 0-a 0 -b 0
-a 0 a a 0 a 0 -b 0

Où a = 1 / (2 * sqrt (2)) et b = 1/2

Hexaèdre (cube)

Vertical: 8
Bords: 12
Visages: 6
Bords par face: 4
Bords par sommet: 3
Péché d'angle en bord: 1
Surface: 6 * edgelength ^ 2
Volume: Edgelength ^ 3
Rayon réécrit: sqrt (3) / 2 * edgelength
Rayon enregistré: 1/2 * étendu

Les coordonnées

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1
-1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1
1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1

Diviser chaque sommet par 2

icosaèdre

Vertical: 12
Bords: 30
Visages: 20
Bords par face: 3
Bords par sommet: 5
Péché par angle dans le bord: 2/3
Surface: 5 * sqrt (3) * edgelength ^ 2
Volume: 5 * (3 + sqrt (5)) / 12 * edgelength ^ 3
Rayon réécrit: sqrt (10 + 2 * sqrt (5)) / 4 * edgelength
Rayon enregistré: sqrt (42 + 18 * sqrt (5)) / 12 * edgelength

Les coordonnées

    0 b-a b a 0-b a 0
0 b a-b a 0 b a 0
0 b a 0-b a-a 0 b
0 b a a 0 b 0 -b a
0 b-a 0-b-a a-b
0 b-a-a 0-b 0-b-a
0-b a b-a 0 -b-a 0
0-b-a-b-a 0 b-a 0
-b et 0-a 0 b-a 0-b
-b-a 0-a 0-b-a 0 b
b a 0 a 0 -b a 0 b
b -a 0 a 0 b a 0 -b
0 b a-a 0 b-b a 0
0 b a b a 0 a 0 b
0b -a-b a 0-a 0 -b
0 b-a a 0-b b a 0
0-b-a-a 0-b-b-a 0
0-b-a b-a 0 a 0-b
0-b a-b-a 0-a 0 b
0-b a a 0 b b-a 0

Où a = 1/2 et b = 1 / (2 * phi)
phi est le nombre d'or = (1 + sqrt (5)) / 2

Contributions de Craig Reynolds: coins et faces
pour l'icosaèdre. Avec le code C ++ pour créer une sphère basée sur
icosahedron: sphere.cpp, voir aussi
amélioration de la surface pour les idées connexes.

dodécaèdre

Vertical: 20
Bords: 30
Visages: 12
Bords par page: 5
Bords par sommet: 3
Péché par angle dans le bord: 2 / sqrt (5)
Surface: 3 * sqrt (25 + 10 * sqrt (5)) * longueur du bord ^ 2
Volume: (15 + 7 * sqrt (5)) / 4 * longueur du bord ^ 3
Rayon réécrit: (sqrt (15) + sqrt (3)) / 4 * edgelength
Rayon enregistré: sqrt (250 + 110 * sqrt (5)) / 20 * edgelength

Les coordonnées

    c 0 1 -c 0 1 -b b b 0 1 c b b b
-c 0 1 c 0 1 b -b b 0 -1 c -b-b b
c 0-1-c-1-b-b-b 0-1-cb-b-b
-c 0-1 c 0 -1 b b -b 0 -1 -c-b b-b
0 1 -c 0 1 c b b b 1 c 0 b b-b
0 1 c 0 1 -c -b b -b -1 c 0 -b b b
0-1-c 0-1 c-b-bb-1-c 0-b-b-b
0 -1 c 0 -1-c b-b-b 1-c 0 b-b b
1 c 0 1 -c 0 b -b b c 0 1 b b b
1-c 0 1 c 0 b b-b c 0 -1 b-b-b
-1 c 0-1-c 0-b-b-b-c 0-1-b b-b
-1-c 0-1 c 0-b b b-c 0 1-b-b b

Où b = 1 / phi et c = 2 – phi
Diviser chaque coordonnée par 2.

Les solides sont dessinés dans le Mysterium Cosmographicum de Kepler

et représenté dans la pierre d'un règlement néolithique

Solides platoniques (taille d'unité) au format POVRay:
tetrahedron.pov,
octahedron.pov,
cube.pov,
icosahedron.pov,
dodecahedron.pov.

Versions solides, adaptées au CSG
tetrahedron.pov,
octahedron.pov,
(box ),
icosahedron.pov,
dodecahedron.pov.

Les solides de Platon sont des formes qui déterminent partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les quatre premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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