La géométrie dorée des solides ou Phi en 3 dimensions Géometrie sacrée

La géométrie dorée des solides ou Phi en 3 dimensions

Après avoir examiné la géométrie plate (bidimensionnelle) du nombre Phi,
Nous trouvons maintenant Phi dans le plus symétrique des
solides tridimensionnels – les solides platoniques.

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Phi et géométrie tridimensionnelle

Les cinq solides (où "régulier" signifie que tous les côtés sont égaux et que tous les angles sont
les mêmes et toutes les faces sont identiques) les cinq solides platoniques sont nommés
le philosophe et mathématicien grec, Platon. Euclid a également écrit à leur sujet.
Pour plus d'informations sur ces deux Grecs célèbres, voir note.

dés formes

Quelles formes donnent les meilleurs dés?

Nous devons nous assurer que toutes les faces ont la même forme et sous tous les angles.
Et les côtés se ressemblent, ou certains visages seront plus favorisés que d’autres, puis nos dés
être "injuste".

Les dés que vous trouvez habituellement aujourd'hui sont en forme de cube – 6 faces carrées,
tous les angles sont des angles droits et
tous les côtés sont également longs.

(Der est d'autres formes qui rendent justice
dés si nous relâchons un peu ces conditions. Pouvez-vous deviner ce qu'ils sont?
regarder
note de bas de page pour les réponses.)

Il n'y a que cinq formes de pensée juste au total
si nous insistons strictement sur les conditions suivantes:

tous les côtés sont également longs et
tous les angles sont les mêmes
Toutes les faces sont identiques en forme et en taille

Coordonnées et autres statistiques de 5 solides platoniques

Ce sont des tétraèdres, des cubes (ou des hexaèdres),
octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre.

Leur nom vient du nombre de faces (hédron = face en grec et ses
la majorité est honorée). tétra = 4, hexa = 6, octa = 8, dodéca = 12 et icosa = 20.

Rappelez-vous que dans ces pages Phi 1 · 61803 .. et phi est 1 / Phi = Phi-1 = 0 · 61803 ….

ils réel les images peuvent être tournées (appuyez sur le bouton) qui peut Vue stéréo.
Pour ces vues auto-stéréographiques, croisez vos yeux ou gardez vos yeux concentrés dans le lointain
deux images se fondent en une seule et vous voyez la forme en profondeur. Si vous
placez la souris sur le bouton "rotation" avant
Vous faites cela, puis un clic rapide le fera tourner en 3 dimensions.
Vous pouvez remarquer une pause lorsque vous voyez pour la première fois un graphique en rotation alors
téléchargé.

Le cadre d'affichage est une vue en plan symétrique du cadre de l'objet
arêtes et faces de lignes manquantes, les lignes en pointillés sont des arêtes
caché des visages solides.

tétraèdre

Vue solide
tétraèdre
Affichage stéréo
stéréo
Vues filaires
vue de tétraèdre

4 coins avec coordonnées:

(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)

6 arêtes de longueur 2sqrt2,
centre pour bord à centre de rapide = 1
4 faces triangulaires,
Surface = 8 √3, volume = 8/3,

Le cube ou l'hexaèdre

Vue solide
hexaèdre
Affichage stéréo
stéréo
Vues filaires
vues de cube

8 coins avec des coordonnées (± 1, ± 1, ± 1), c.-à-d.

(1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1),
(-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

12 côtés de longueur 2, le centre du bord au centre du solide = √2
6 faces carrées par surface 4, surface = 24, volume 8

octaèdre

Vue solide
octaèdre
Affichage stéréo
stéréo
Vues filaires
vue octaèdre

6 coins avec coordonnées (± 1, 0), (0, ± 1, 0), (0, 0, ± 1) c'est-à-dire.

(0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0), (0, 0)

12 côtés de longueur sqrt2,
centre de bord à centre de rapide = 1 /sqrt2
8 faces triangulaires,
surface = 4√3, volume 4/3

Le dodécaèdre

Vue solide
dodécaèdre
Affichage stéréo
stéréo
Vues filaires
vue du dodécaèdre

Angles avec coordonnées (0, ± phi, ± phi), (± phi, 0, ± phi), (± phi, ± phi, 0),
(± 1, ± 1, ± 1), c'est-à-dire.

(0, Phi, Phi), (0, Phi, Phi), (0, Phi, Phi), (0, Phi, Phi),
(Phi, 0, phi), (Phi, 0, -phi), (-Phi, 0, phi), (-Phi, O, -phi),
(phi, phi, 0), (phi, -phi, 0), (-phi, phi, 0), (-phi, -phi, o),
(1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1),
(-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

30 pages de longueur 2 phi, centre pour bord du centre du solide = Phi,
sommet au centre = sqrt3
= sqrt(phi2 + Phi2)
12 faces pentagonales,
surface = 12 5 phi
= 360 (5 – √5)
= 15 5 Phi + 10 ,
volume = 8 + 4 Phi = 10 + 2sqrt5

icosaèdre

Vue solide
icosaèdre
Affichage stéréo
stéréo
Vues filaires
vue d'icosaèdre

12 coins avec les coordonnées (0, ± Phi, ± 1), (± 1, 0, ± 1Pi),
(± Phi, ± 1, 0) c'est-à-dire.

(O, Phi, 1), (O, Phi, -1), (O, -Phi, 1), (O, -Phi, -1),
(1, 0, Phi), (1, 0, Phi), (-1, 0, Phi), (-1, 0, Phi),
(Phi, 1, 0), (Phi, -1,0), (-Phi, 1,0), (-Phi, -1,0)

30 côtés de longueur 2, milieu du bord au centre du solide = (1 + Phi) /sqrt3
20 faces triangulaires,
Surface = 20sqrt3,
volume = 20 (1 + Phi) / 3 = 20 Phi2/ 3 = 10 (3 + sqrt5) / 3

Le duel d'un solide

Il existe deux relations importantes entre le dodécaèdre et l’icosaèdre.
Premièrement, les centres des faces du dodékaédénron définissent les points
sur un icosaèdre et les centres des faces d'un icosaèdre définissent un dodécaèdre.
La même chose s'applique au cube et à l'octaèdre. Si nous essayons avec un tétraèdre, nous sommes juste
Obtenez un autre tétraèdre. Chacun s'appelle double de l'autre fixe où

le nombre d'arêtes dans chaque paire est le même,
mais le nombre de faces d'un est le nombre
points par l'autre et vice versa
.

Les sections d'or dans le dodécaèdre,
Icosaèdre et Octaèdre

dodecarectanglerectangle d'icosaèdre
Si nous allons avec les centres des visages de la dodécah,
nous pouvons obtenir trois rectangles tous à angle droit. En plus, ils sont
Les rectangles d'or puisque les arêtes sont dans le rapport de 1 à Phi.
La même chose se produit si nous rejoignons l’intersection de l’icosaèdre car elle est
Dual du Dodécaèdre.

3 rectangles d'or
Utilisez ces rectangles d'or C'est facile à voir
Les coordonnées de l'icosaèdre sont telles qu'indiquées ci-dessus car elles sont:
(0, ± 1, ± Phi), (± Phi, 0, ± 1), (± 1, ± Phi, 0).

/
Tu fais des maths …
/

  1. Voici un moyen intéressant d'en faire un modèle d'icosaèdre basé sur
    les trois rectangles dorés se croisent comme sur la photo ci-dessus:
  2. Si vous êtes doué en géométrie de coordonnées ou en défi, montrez que
    12 points d’icosaèdre se partagent le bord de l’octaèdre dans le rapport Phi: 1 (ou
    1: phi si vous aimez)
    où l'octaèdre a des coins:
    (± Phi2 , 0), (0, ± Phi2 , 0),
    (0, 0, ± Phi2 )
    (extrait du livre de SS M Coxeter Introduction à la géométrie, 1961, page 163.)

Un cube dans un dodécaèdre

cube dans un pot de dodecage
Nous pouvons voir un dé dans un dodécaèdre si nous utilisons une diagonale sur chaque face. depuis
Les diagonales d’un dodécaèdre sont des temps Phi aussi longs que les côtés (voir
Pentagones et Pentagrammes sur Phi et Géométrie 2D
page sur ce site), puis cube
les pages et les pages de dodécaèdre sont dans la relation en or.

Merci à Prof Susan Susan Goldstine.


En fait, cinq cubes distincts peuvent être montés dans le dodécaèdre, avec les croix
des cubes qui se rencontrent au sommet du dodécaèdre, comme indiqué dans les images ci-dessous.
Avis:

  1. Les cubes sont rouge,
    vert,
    jaune,
    bleu et
    magenta.
  2. Chacun des 5 cubes a 12 bords, un total de 60 dans le dodécaèdre, puis chacun des 12
    Les faces du dodécaèdre auront 5 bords.
    En fait, chaque visage du dodécahron aura un
    pentacle sur elle formée de juste un des bords de chacun des 5 cubes.
  3. Aucun bord ne se chevauchera dans aucun des cubes, mais chaque bord de cube traversera un bord
    de 2 des autres cubes.
  4. Chacun des 5 cubes a 8 coins qui font 40 coins de cube à partager entre
    20 coins du dodécaèdre.
    Chaque sommet du dodécaèdre est divisé par exactement 2 des 5 cubes.

Un icosaèdre dans un octaèdre

droit en m²droit en octa
En utilisant les mêmes trois rectangles dorés les uns par rapport aux autres, on peut aussi faire
et octaédrique.
Si nous ajoutons un carré comme indiqué autour de chaque rectangle,
les carrés seront également perpendiculaires les uns aux autres et formeront les bords d'un
octaèdre.
icosa en oct
Maintenant nous formons les coins
nos trois rectangles (et maintenant sur les deux bords d'un octaèdre
et formant également les coins d'un icosaèdre que nous avons examiné)
voir comment adapter un icosaèdre à un octaèdre – et le processus implique
sections d'or!

Voici quelques autres solides platoniques dans les solides de platon:
tétra dans le cube
Un tétraèdre dans un cube

Choisissez un coin de cube et rejoignez-le
à opposé coin sur chaque face.
octa dans tetra

Un octaèdre dans un tétraèdre

Joindre le centre de chaque bord à quelqu'un d'autre
bord du centre où la ligne de jonction est située sur un côté du tétraèdre.

octa en cube

Un octaèdre dans un cube

Joindre le centre des faces: si deux faces sont
côte à côte, les centres peuvent être fusionnés.

Grecs, Kepler et les cinq éléments


Kepler
Les Grecs ont vu tant d’importance dans l’existence de seulement 5 solides platoniques et de
les a liés aux 4 ÉLÉMENTS (feu, terre, air et eau) qu’ils pensaient
tout était fait de. Avec UNIVERSE, ils sont chacun associés à un solide particulier.

Astronome et mathématicien

Kepler (1571-1630), présenté ici comme un lien vers le site Web d'histoire de mathématiques
L'Université de St Andrews, en Écosse, a justifié cela comme suit:

Parmi les 5 solides, tétraèdre a le plus petit volume pour la surface
et icosaèdre le plus grand; ils ont donc
montrer les propriétés de sécheresse et mouillure respectivement
et correspond donc au feu et à l'eau.
ils cube, debout sur sa base, correspond
Terre stable mais octaèdre qui tourne librement lorsqu'il est tenu
de deux verticales opposées, correspond à l'air mobile.
ils dodécaèdre correspond à UNIVERSE car le zodiac a 12 caractères
(les constellations que traversent les étoiles.)
dans l’année), ce qui correspond aux 12 faces du dodécaèdre.

Kepler a appelé la partie dorée
"la division d'une ligne dans des conditions extrêmes et moyennes", comme l'ont fait les Grecs.
Il a écrit ce qui suit à ce sujet:

"La géométrie a deux grands trésors: l’une est la phrase de Pythagore, l’autre est
partager une ligne dans des conditions extrêmes et moyennes.
La première chose que nous pouvons comparer à une mesure d'or;
L'autre que nous pouvons mentionner est un bijou précieux. "

Johannes Kepler, (1571-1630)

  • Raoul Martens recommande un article en allemand chez Kepler
    intérêt pour les solides platoniques:

    La fonction cosmique des schnittes d'or par Theodor Landscheidt i Sterne, bouche, comète, Bremen
    et meurt astronomie
    à 75. Jahrestag der Olbers-Gesell-schaft Bremen e.V.
    Verlag H. M. Hauschild, Bremen 1995.

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Quasicristals et Phi

sur Côté Phi plat, on l'a vu
les deux triangles comme
figurant dans le pentagramme et le pentagone a été utilisé par Roger Penrose pour concevoir
motifs de tuiles avec une symétrie de cinq fois
appelé carrelages Penronse. Y at-il un analogue en trois dimensions de la bidimensionnelle
pavages? On pense que la réponse était impossible avant les travaux de Penrose au début des années 1970
a montré qu'il pouvait y avoir des structures qui remplissaient des espaces (de la même manière que les tuiles remplissaient les avions)
qui a cinq fois la symétrie.

Certains solides platoniques sont-ils remplis?

Le cube

Oui, puisque des copies identiques d'un cube peut être empilé pour remplir un volume d'espace
aussi gros que nous aimons sans trous. Tous les enfants jouent avec des briques cubiques
apprend à construire un mur ou un cube plus grand avec les plus petits, et le processus
peut être poursuivi indéfiniment pour remplir toute la pièce.

Tétraèdres et octaèdres

ils tétraèdre et octaèdre
Utilisé ensemble remplira l'espace sans trous
puisque vous remplissez les lacunes laissées par l'autre.
Mais ni
tétraèdre seul ou en octaèdre à votre gré
Espace de paquet sans donner des trous.

Pour voir cela, regardez l'image "Tetrahedron In A Cube" ci-dessus. On peut imaginer
une sorte de "papier graphique" 3D rempli de dés et dans un cube
Nous allons placer un tétraèdre.
Il utilise seulement 4 des 8 coins du cube, donc dans chacun de ces sommets
Dans tous les cubes situés sur ces sommets, nous plaçons davantage de tétraèdres. On répète
sur les cubes environnants et ainsi nous partageons
tous les sommets dans deux ensembles – ceux sur un tétraèdre et ils ne sont pas sur un. Chaque sommet qui n'est pas sur un tétraèdre est le centre d'un octaèdre.
Pour voir ça
Visitez le site Web de Mark Somer par le livre d'Amy C. Edmondson
Une explication complète
à propos de la géométrie de R Buckminster Fuller,
Chapitre 12 Figure 12.2
pour un graphique utile. (Le livre électronique est
Il vaut la peine de parcourir car il a une géométrie beaucoup plus intéressante sur le remplissage de l'espace
Figures.)

Icosaèdres, Dodécaèdres

De même, soit ne sera pas icosaèdre non plus dodécaèdre,
il est analogue d'essayer de fusionner un avion avec des pentagones – ils laissent des trous bizarres comme
est pas pentagonal et les deux dodécaèdre et icosahedron montrent cinq fois
symétrie aussi. Pour voir cela, regardez les sections ci-dessus à Icosahedron et
Dodécaèdre et vous constaterez que dans les "autres vues", chacune a une vue à cinq reprises
symétrie. Ces vues correspondent à regarder le long d'un axe à travers le centre
solides ayant une symétrie de cinq fois.

quasicristaux

Penrose a découvert qu'il existe deux formes simples que vous pouvez utiliser pour:
Remplissez un espace plat aussi grand que vous le souhaitez et ayez cinq axes de symétrie.
La forme est construite à partir de 6 surfaces plates rhombusesc'est-à-dire des chiffres
avec tous les côtés de la même longueur (comme un carré) et ayant des côtés opposés
parallèles (à nouveau comme un carré), mais pas tous les angles égaux – ils ont vu
sont en forme de losange (losanges, losanges). Les carreaux de Penrose apparaissent du côté de Phi plat
est également composé de deux losanges et remplit le plan avec un motif cinq fois symétrique.

Pour les personnages permanents, les visages sont tous des diamants (losanges), mais pas ceux utilisés
tuiles et pentagones et pentagrammes de Penrose.
losange doré
La relation surprenante
Ce qui est valable pour ces nouveaux losanges est que

La relation entre les deux diagonales (losanges) du diamant est Phi!

Donc, ceci est un autre losange des losanges de Penrose et
nous devrions l'appeler losange doré.


Cela fait les demi-angles (la moitié des angles à l'intérieur du losange)
avoir les clés de Phi et phi de sorte que les angles de losange sont
2×31 · 717474 .. ° = 2×0 · 55357435889r
et 2×58 · 282525588 ° = 2×1 · 0172219674r.

(Les angles des diamants dans les carreaux de Penrose sont 2/5 pi et 3/5 pi
(72 ° et 108 °) en une et 1/5 pi et 4/5 pi
(36 ° et 144 °) dans l'autre.)

Les deux solides ressemblent à un cube, mais les faces sont des losanges dorés.
La première forme consiste à attacher trois losanges dorés à des losanges plus courts
angles de la même manière que trois carrés se rencontrent
un coin de dés. Un duplicata est fait et les deux ajustement
ensemble pour former une forme à six côtés comme un cube oblique.
Ceci s'appelle un rhomboèdre prolate.

La deuxième forme est faite en réunissant trois losanges dorés de la même manière, cependant
à des angles plus grands cette fois. Un duplicata de celui-ci est à nouveau équipé pour en faire un autre
forme de cube à six côtés. Ceci s'appelle un rhomboèdre oblat.

Les deux personnages ressemblent à des cubes qui se penchent de côté.

Prenez un grand nombre de ces caractères et vous pouvez réellement remplir un aussi grand
Placez ce que vous aimez avec eux.
Lors de l'empilement de cubes ou d'octaèdres, toutes les phases sont alignées
identique (voir identique, avec la même orientation).
Lorsque vous utilisez un rhomboèdre, vous devez vous retourner pour vous adapter aux autres.
Celles-ci sont également présentes dans la nature, mais ne sont découvertes que depuis les années 1950.
et parce qu'ils ne sont pas aussi symétriques que des cristaux appelés
quasi-cristaux.

Les quasi-cristaux existent-ils aussi dans la nature?

Oui, et un grand nombre de médicaments ont maintenant été identifiés avec de telles structures.

Cristaux, structures les plus symétriques (à orientation identique pour l’ensemble du bâtiment
blocs) sont présents dans le sucre et le sel, ainsi que dans les diamants et le quartz.
Quasicrystals est un nouvel état de la matière inaperçu et partage certaines des propriétés
de cristaux et également sur des matériaux non cristallins (par exemple du verre). En 1984, c'est devenu "impossible"
cinq fois la symétrie a été observée dans un alliage aluminium manganèse (Al6n)
et le terme
quasicrystal a été inventé pour cela dans:
article: D Shechtman, I Blech, D Gratias, J W Cahn métallique
phase avec ordre d'orientation à longue portée et pas de traduction
symétrie
Lettres d'examen de physique 1984, Vol 53, pages 1951-1953.

Références et liens


notes

Grecs de

Euclide (environ 300 avant JC)
et avant cela savait qu'il n'y avait que 5 chiffres fixes avec tous les côtés
De même, tous les angles sont égaux, les faces sont donc des polygones réguliers.

Platon

Ils ont également été mentionnés par le philosophe grec

Platon (428BC-348BC).
Il a établi une académie en Grèce et la devise de l'entrée était

Ne laissez personne venir ici sans connaissance de la géométrie

En tant que philosophe, il estimait que les objets mathématiques existaient "réellement"
alors ils sont découvert des mathématiciens (de la même manière que les nouveaux
Les explorateurs découvrent les continents inventé
dans la manière dont la télévision ou l'ordinateur a été inventé. Platon croyait que les mathématiques
étant donné la meilleure formation possible pour penser à la science et à la philosophie.
Les cinq solides sont appelés «solides platoniques» aujourd'hui, après Platon.

Euclide

Le plus vieux livre sur la géométrie a été radié

Euclide (prononcé "U – son") qui a vécu environ 300 ans avant JC et a travaillé
à la bibliothèque d'Alexandrie en Égypte, premier centre d'apprentissage du monde
à cette époque.
En fait, le livre était une collection de 13 volumes, appelés les éléments et était
La connaissance générale de la géométrie, bien agencée et présentée logiquement.
C'était le manuel de mathématiques habituel en Europe pendant des siècles
Parce qu'il a formé le lecteur à penser de manière logique, il suffit de compter sur les résultats
ce qui pourrait être prouvé logiquement à partir de points de départ évidents (axiomes).
Voici quelque chose axiomes:

Les choses qui sont similaires sont les mêmes.
Le tout est plus gros que la partie.
Il est possible de dessiner un cercle avec n'importe quel point comme centre et avec n'importe quel rayon.
Il est possible de tracer une ligne droite entre quelques deux points.

Euclid est arrivé théorèmes comme par exemple

Les angles d'un triangle totalisent deux angles droits.

Un des objectifs d'Euclide dans son éléments semble être
pour prouver qu'il n'y avait que 5 objets fixes (c.-à-d. en trois dimensions) avec tous les côtés
égaux et tous les angles égaux, et cela prend le dernier livre (13) des éléments.

Les 13 livres – maintenant disponibles en anglais dans un set de 3 volts –
Les classiques sont tout sens!

Cet ensemble de 3 volumes est
pas cher et a été la version standard depuis de nombreuses années:

livre:
Les 13 livres des éléments d'Euclide, livres 1 et 2

livre:
Les treize livres des articles d'Euclide, livres 3 à 9

livre:
Les treize livres des articles d'Euclide, les livres 10 à 13

Tout est de Thomas L Heath qui traduit et étiqueté
Le travail d'Euclid, chacun environ 464 pages, publié par
Dover in paperback, deuxième édition, 1956.


Formulaires pour des dés équitables

cubes
Nous avons vu que les Grecs étaient au courant des 5 personnages qui ne font que des dés.
Les Romains utilisaient un cube, et c'est ce que nous utilisons le plus aujourd'hui.

Disons une porte ou un cube?

Le dictionnaire dit que le dé est singulier et que les dés sont au pluriel,
alors nous devrions en parler jette une porte ou deux dés.
Ces jours la majorité cubes est souvent utilisé pour un dé et
le dictionnaire le reconnaît également.
Un jeu de hasard populaire datant d'au moins l'époque romaine consistait à lancer des dés
et aussi appelé dés moulés. Certains soldats romains ont "jeté beaucoup" pour cela
Les vêtements de Jésus lors de sa crucifixion. Aujourd'hui, nous utilisons encore
expression les dés sont jetés. Je croyais que cette phrase signifiait un moule
(US orthographe = moisissure) avait été fait depuis que nous lisons aussi si quelqu'un est
Jeter dans le moule héroïque comme si elles avaient été fondues en métal versé
une forme qu'ils solidifient en une forme héroïque.
Mais je me suis trompé et il n'y a qu'une autre utilisation du mot mourir.
Le vrai sens de la phrase les dés sont jetés est
qu'un dé (un!) est jeté ce qui signifie que, comme dans un jeu
Par chance, "le résultat est maintenant résolu, la décision est prise".

Sur ces pages, je dois m'en tenir à l'usage populaire et commun,
et des couches cubes se réfère au singulier ainsi que la majorité.

Des solides platoniques que nous avons examinés, nous avons dés

4 côtés: tétraèdre
6 pages: le cube (ou hexaèdre)
8 pages: octaèdre
12 pages: Dodécaèdre
20 pages: icosaèdre

Il existe d'autres formes si nous n'insistons pas pour que toutes les pages aient la même longueur OU
Nous autorisons les formes 2D, mais cela reste bons dés – c’est-à-dire chaque numéro sur un visage
est aussi probable que tout autre nombre qui apparaît.

Si nous laissons les pages de longueurs différentes, nous pouvons en avoir un prisme qui est comme un
Nouveau crayon (non traité) à côtés plats.
crayon
Souvent, les crayons n’ont que 6 côtés plats, et on roule le crayon pour que tout côté
est susceptible de se lever Nous pouvons imaginer un crayon de 8 pages, voire 7.
Si nous avons un nombre impair de pages, aucune face n'est "en haut" (considérons une section triangulaire
crayon avec seulement trois choix de page). Ici, nous pouvons accepter d'utiliser la page comme
Le crayon se pose.

Le second spectre de formes est fileur cela vient avec des jeux de boxe.
fileur
Ici nous avons un polygone plat avec tous les côtés de la même longueur (pour le rendre juste). C'était
pas dans notre liste de solides platoniques parce que ce n'est pas un entreprise – C'est juste un appartement bidimensionnel
forme.
Mais nous peut avoir un certain nombre de pages et chacune est aussi susceptible d'être
Depuis que la roulette atterrit, c'est donc juste.


Bi-pyramides comme des dés

Cube à 10 côtés
Lorsque nous mettons ensemble les deux chiffres ci-dessus, nous obtenons un dé qui est deux n-gon-al
pyramides, ont rejoint leurs bases (n-gons) pour former une double pyramide ou
bi-pyramidale.
La photo montre un cube à 12 côtés formé
de deux pyramides à 6 côtés réunis avec leurs bases hexagonales.
Peut-être devrions-nous l'appeler un bi-hexaédrique dés.

Si nous utilisions des pentagones, les dés bi-pyramidaux seraient à 10 faces.
Il serait utile de générer des nombres aléatoires allant jusqu'à 10.

En utilisant deux d'entre eux,
si un rouge un pour des dizaines de nombres et un
vert un pour nombre d'unités,
Nous pouvons rouler des nombres aléatoires de la centaine de valeurs entre
00 et
99.
Si on en ajoutait un bleu un aussi
alors nous pouvons venir jusqu'à
999et ainsi de suite.

L’avantage des dés bi-pyramidaux est que
il y a toujours un côté sur le dessus
peu importe comment les dés atterrissent.

Formes iso-hédales

Voici Ed Pegg Jr.s
Liste complète de toutes les formes de dés 3D
qui a toutes les faces identiques.
Il contient tous nos 5 Solides platoniqueset
car il contient aussi ceux où tous les bords ne sont pas aussi longs,
Il comprend bi-pyramides aussi. Chaque face est identique à
toutes les autres faces, donc toutes les faces ont exactement la même forme polygonale,
mais certaines arêtes ont des longueurs différentes des autres. Il y en a d'autres sauf
les solides platoniques et bi-pyramides et sont certains assez bizarre aussi!
La caractéristique commune est que tout le monde ferait de bons dés.
Comme chaque visage est identique, on les appelle iso-hedral.

Merci à Robert Popa pour avoir recommandé ce qui suit:
Cube plus isohédral (même visage)
où les longueurs des arêtes ne sont pas égales, mais les faces sont toutes identiques.

Vous pouvez acheter certains de ces dés non standard dans les magasins de jeu ou en ligne, par exemple
Crystal Caste.

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© 1996-2016 Dr. Ron Knott

mis à jour le 26 septembre 2016

Les robustes platoniques marchent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme originale. Chaque cellule unitaire contient un volume spécialisé de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes au travers des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est la raison pour laquelle certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des zones musculaires, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en maintenant l’intégrité d’un corps homme de troisième dimension. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui transmet et maintient la conscience humaine dans la 3ème superficie. C’est aussi la raison pour laquelle l’humanité, en tant que forme de vie de 3ème surface, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas reconnaître la signature énergétique des êtres de la septième surface. Cependant, à mesure que notre planète évolue vers la cinquième superficie, l’humanité évolue vers notre prochaine expression physique en tant qu’êtres de cinquième surface sur Terre. A travers nos yeux de cinquième dimension, nous ferons l’expérience de nous-mêmes à l’intérieur de notre nouveau monde dans une perspective d’amour inconditionnel, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces automobiles de la création pour célébrer tout ce que vous devenez

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