MATHÉMATIQUES HELLENISTIQUES – EUCLID
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Euclid (c. 330-275 av. J.-C., 300 av. J.-C.) |
Le mathématicien grec Euclid a vécu et a prospéré à Alexandrie, en Égypte, vers 300 av. longue barbe flottante et couverture en tissu) dans les œuvres d'art est nécessairement le produit de l'imagination de l'artiste.
Il a probablement étudié pendant un certain temps à l'Académie Platonas à Athènes, mais après Euclid, Alexandrie était déjà devenue, lors du bombardement des Ptolémées et avec sa bibliothèque vaste et prestigieuse, un rival digne de la Grande Académie.
Euclide est souvent appelé le "père de la géométrie" et il a écrit le manuel mathématique le plus important et le plus abouti de tous les temps, "Stoicheion" ou "Eléments", qui représente l'aboutissement de la révolution mathématique survenue en Grèce à cette époque. Il a également écrit des travaux sur la division des figures géométriques en parties dans des conditions données, sur les dessins de chat (théorie mathématique des miroirs et de la réflexion) et sur l'astronomie sphérique (la détermination de la position de l'objet sur la "sphère céleste"), ainsi que des textes importants sur l'optique et la musique. .
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La méthode d'Euclide consistant à construire un triangle équilatéral à partir d'un segment de droite AB avec un seul compas et une arête droite était la proposition 1 du livre 1 de "Elements". |
"Elements" est une compilation et une explication claires et complètes de toutes les mathématiques connues de son époque, y compris les travaux de Pythagore, d'Hippocrate, de Theudius, de Theaetet et d'Eudoxus. Au total, il contient 465 théorèmes et preuves, décrits dans un style clair, logique et élégant, utilisant uniquement un compas et une règle. Euclid a retravaillé les concepts mathématiques de ses prédécesseurs en un tout cohérent, plus tard connu sous le nom de géométrie euclidienne, qui est toujours aussi valable aujourd'hui qu'il y a 2 300 ans, même dans les mathématiques supérieures qui englobent un espace de dimension supérieure. Ce n'est qu'avec les travaux de Bolyai, Lobachevski et Riemann dans la première moitié du XIXe siècle que toute forme de géométrie non euclidienne a été envisagée.
"Elements" reste le manuel final sur la géométrie et les mathématiques pendant plus de deux millénaires et a survécu à l'éclipse de l'apprentissage classique en Europe à l'époque sombre grâce aux traductions en arabe. Il définit toujours le modèle d'argument mathématique pour les déductions logiques à partir d'hypothèses initiales (appelées "axiomes" et "postulats" par euclide) afin d'établir des phrases prouvées.
Les cinq axiomes généraux d'Euclide étaient:
- Les choses qui sont similaires sont les mêmes.
- Si égal est ajouté, les totaux (sommes) sont égaux.
- Si égal est soustrait de égal, les restes sont les mêmes.
- Les choses qui coïncident les unes avec les autres sont similaires.
- Le tout est plus gros que la partie.
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Postulats d'Euclide (1 – 5) |
Ses cinq postulats géométriques étaient:
- Il est possible de tracer une ligne droite de n'importe quel point à n'importe quel point.
- Il est possible d’étirer une dernière ligne droite de manière continue en ligne droite (c’est-à-dire qu’un segment de ligne peut être prolongé au-delà de l’un de ses points extrêmes pour former un segment de grande taille).
- Il est possible de faire un cercle avec n'importe quel centre et toute distance (rayon).
- Tous les angles droits sont égaux (c.-à-d. "La moitié" d'un angle droit).
- Si une ligne droite croisant deux lignes droites fait que les angles intérieurs d'un même côté sont inférieurs à deux angles droits, les deux droites se rejoignent, si elles sont indéfinies, du côté où les angles sont plus petits que les deux angles droits.
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Une partie de la preuve d'Euclide de la théorie de Pythagore |
Parmi de nombreux autres joyaux mathématiques, ils contiennent treize volumes de formules "Eléments" permettant de calculer des volumes de solides tels que des cônes, des pyramides et des cylindres; preuves de séries géométriques, de nombres parfaits et de primates; des algorithmes pour trouver le plus grand commun diviseur et au moins le multiple commun de deux nombres; une preuve et une généralisation des théories de Pythagore, et la preuve qu'il existe un nombre infini de voyages pythagoriciens; et une dernière preuve finale qu'il ne peut y avoir que cinq solides platoniques réguliers possibles.
Cependant, "Eléments" contient également un certain nombre de théorèmes sur les propriétés des nombres et des entiers, marquant le premier début réel de la théorie des nombres. Par exemple, Euclid a montré ce que l’on appelle désormais le théorème fondamental de l’arithmétique (ou théorème de factorisation unique), selon lequel chaque entier positif supérieur à 1 peut être écrit sous la forme d’un produit de nombres premiers (ou même d’un nombre premier). Ainsi, par exemple: 21 = 3 x 7; 113 = 1 x 113; 1 200 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5; 6 936 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 x 17; etc. Son témoignage est le premier exemple connu d'une preuve de contradiction (où certains contre-exemples, qui montreraient autrement une idée fausse, ne s'avèrent pas logiques).
Il fut le premier à réaliser – et à prouver – qu'il y avait une infinité de nombres premiers. Le fondement de sa preuve, souvent connu sous le nom de théorème d'Euclide, est que, pour un ensemble donné (final) de primates, si vous les multipliez tous puis que vous en ajoutez un, un nouveau nombre premier est ajouté à l'ensemble (par exemple, 2 x 3 x 5 = 30 et 30 + 1 = 31, un nombre premier), processus qui peut être répété indéfiniment.
Euclid a également identifié les quatre premiers "nombres parfaits", qui sont la somme de tous leurs diviseurs (à l'exception du nombre lui-même):
6 = 1 + 2 + 3;
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248; et
8128 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1,016 + 2,032 + 4,064.
Il a noté que ces chiffres présentent également de nombreuses autres caractéristiques intéressantes. Par exemple:
Même si les Pythagoriciens connaissaient le ratio d’or (omtrent, approximativement égal à 1 618), Euclid fut le premier à le définir en fonction des conditions (AB: AC = AC: CB) et en démontra l’apparence sous de nombreuses formes géométriques.
durant votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des conversations étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les composants principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été appellé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n



















