Octaèdre – Wikipedia | solides de Platon énergie

Polyèdre à 8 faces

Octaèdre commun
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(Cliquez ici pour voir le modèle en rotation)
type Solide platonique
éléments fa = 8, E = 12
V = 6 (x = 2)
Visages sur les côtés 8 3
Notation de Conway O
sur
Symboles Schläfli 3,4
r 3.3 ou
Configuration du visage V4.4.4
symbole Wythoff 4 | 2 3
Diagramme de Coxeter CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node 1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23
symétrie Oh, BC3(4.3), (* 432)
Groupe rotation O, (4.3)+, (432)
références U05, C17, W2
propriétés deltaèdre convexe commun
Angle dièdre 109,47122 ° = arccos (-1/3)
Octahedron vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Octahedron_vertfig.png/100px-Octahedron_vertfig.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "100" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Octahedron_vertfig.png/150px-Octahedron_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ a / ab / Octahedron_vertfig.png / 200px-Octahedron_vertfig.png 2x "fichier de données width =" 600 "fichier de données height =" 599
3.3.3.3
(Figure de sommet)
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cube
(double polyèdre)
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nett

En géométrie, une octaèdre (pluriel: octaèdres) est un polyèdre à huit faces, douze arêtes et six angles. Le terme est le plus couramment utilisé pour désigner régulièrement octaèdre, solide platonique composé de huit triangles équilatéraux, dont quatre se rencontrent à chaque sommet.

Un octaèdre ordinaire est le double polyèdre d'un cube. C'est un tétraèdre dirigé. C'est une bipyramide carrée dans certaines des trois orientations orthogonales. Il existe également un antiprisme triangulaire dans quatre directions.

Un octaèdre est le cas tridimensionnel du terme plus général de polytope croisé.

Un octaèdre ordinaire est un 3 balles à Manhattan (1) métrique.

Octaèdre commun(éditer)

dimensions(éditer)

Si la longueur de l'arête d'un octaèdre régulier est un, le rayon d’une sphère circonférentielle (celle qui touche l’octaèdre à tous les coins) est

et le rayon d’une sphère inscrite (tangente à chacune des faces de l'octaèdre) est

tandis que le rayon moyen, qui touche le centre de chaque bord, est

Saillies orthogonales(éditer)

ils octaèdre a quatre protubérances orthogonales spéciales, centrées, sur un bord, un sommet, un visage et normales à un visage. Les deuxième et troisième correspondent à B2 et un2Coxeter voler.

Saillies orthogonales
Centré par Kant face
normal
sommet face
image Cube t2 e.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Cube_t2_e.png/100px-Cube_t2_e.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "114" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Cube_t2_f.png/150px-Cube_t2_f.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons { /4/4f/Cube_t2_f.png/200px-Cube_t2_f.png 2x "fichier de données width =" 839 "fichier de données height =" 957 Cube t2 fb.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Cube_t2_fb.png/100px-Cube_t2_fb.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "87" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Cube_t2_fb.png/150px-Cube_t2_fb.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons { /3/31/Cube_t2_fb.png/200px-Cube_t2_fb.png 2x "fichier de données width =" 781 "fichier de données height =" 677 3-kube t2 B2.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/3-cube_t2_B2.svg/100px-3-cube_t2_B2.svg.png "decoding =" async "width =" 100 "height =" 100 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/3-cube_t2_B2.svg/150px-3-cube_t2_B2.svg.png 1.5x , //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/3-cube_t2_B2.svg/200px-3-cube_t2_B2.svg.png 2x "data-file-width =" 1600 "hauteur du fichier de données =" 1600 3-kube t2.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/3-cube_t2.svg/100px-3-cube_t2.svg.png "decoding =" async "width =" 100 "height =" 100 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/3-cube_t2.svg/150px-3-cube_t2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/3-cube_t2.svg/200px-3-cube_t2.svg.png 2x "data-file-width =" 1600 "hauteur du fichier de données = « 1600
projective
symétrie
(2) (2) (4) (6)

Carrelage sphérique(éditer)

L'octaèdre peut également être représenté sous la forme d'une tuile sphérique et projeté sur le plan via une projection stéréographique. Cette projection est conformable, conserve les angles, mais pas les zones ni les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur l'avion.

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Un octaèdre avec une longueur d'arête 2 peut être placé avec son centre à l'origine et ses angles sur les axes de coordonnées; les coordonnées cartésiennes des pics sont alors

(± 1, 0, 0);
(0, ± 1, 0);
(0, 0, ± 1).

Dans un xyz Système de coordonnées cartésien, octaédrique avec coordonnées centrales (un, b, c) et le rayon r est l'ensemble de tous les points (x, y, z) de sorte que

Surface et volume(éditer)

la surface FR et le volume V d'un octaèdre ordinaire avec une longueur d'arête un sont les suivants:

Ainsi, le volume est quatre fois celui d'un tétraèdre ordinaire avec la même longueur d'arête, alors que la surface est deux fois (car nous avons 8 triangles au lieu de 8).

Si un octaèdre a été étiré pour obéir à l'équation

les formules surface et volume se développent pour devenir

De plus, l'inertie est le tenseur de l'octaèdre étiré

Celles-ci se réduisent aux équations de l'octaèdre commun lorsque

Conditions géométriques(éditer)

L'octaèdre représente l'intersection centrale de deux tétraèdres

L'intérieur de la connexion de deux doubles tétraèdres est un octaèdre, et ce composé, appelé stella octangula, est sa première et unique stellation. De manière similaire, un octaèdre ordinaire est le résultat de la séparation d'un tétraèdre ordinaire, de quatre tétraèdres communs de taille semi-linéaire (c'est-à-dire la correction du tétraèdre). La section transversale de l'octaèdre est située au milieu des arêtes du tétraèdre et, dans ce sens, elle se rapporte au tétraèdre de la même manière que le cuboacedron et la chaîne d'icosidode sont les autres solides platoniques. On peut également diviser les arêtes d’un octaèdre en un rapport du nombre d’or pour définir les croix d’un icosaèdre. Cela se fait en plaçant d’abord des vecteurs le long des arêtes de l’octaèdre de manière à ce que chaque face soit limitée par un cycle, puis chaque arête se répartit dans le moyen doré dans la direction du vecteur. Il y a cinq octaèdres qui définissent un icosaèdre donné de cette manière, et ensemble ils définissent un connexion régulière.

Les octaèdres et les tétraèdres peuvent être échangés pour former une tessellation d'espace au sommet, aux bords et au visage uniformes, appelée octet en treillis par Buckminster Fuller. Il s’agit du seul mélange de carreaux qui sauve les mosaïques de cubes habituelles. C’est l’un des 28 nids d’abeilles convexes et uniques. Une autre est une tessellation d’octaèdres et de cuboctaèdres.

L'octaèdre est unique parmi les substances platoniques en ce qu'il a un nombre pair de faces se rejoignant à chaque sommet. Par conséquent, le seul membre de ce groupe est d'avoir des miroirs qui ne traversent aucune des faces.

En utilisant la nomenclature standard pour les solides de Johnson, un octaèdre serait appelé un bipyramide carrée. La troncature de deux coins opposés crée une pièce de dérivation carrée.

L'octaèdre est connecté à 4, ce qui signifie qu'il supprime quatre coins pour connecter les coins restants. C'est l'un des quatre polyèdres simpliciaux bien couverts à 4 connexions, ce qui signifie que tous les ensembles maximum indépendants de ses angles ont la même taille. Les trois autres polyèdres présentant cette propriété sont le dipyramide pentagonal, le diphénoïde adouci et un polyèdre irrégulier à 12 angles et surfaces triangulaires.(1)

Colorants uniformes et symétrie(éditer)

Il existe 3 colorants uniformes de l'octaèdre, appelés par les couleurs faciales triangulaires entourant chaque sommet: 1212, 1112, 1111.

Le groupe de symétrie de l'okahedron est Oh, dans l’ordre 48, le groupe hypertacétique tridimensionnel. Les sous-groupes du groupe incluent D3d (ordre 12), le groupe de symétrie d'un antiprisme triangulaire; 4h (séquence 16), le groupe de symétrie d'un bipyramide carré; et t (séquence 24), le groupe de symétrie d'un tétraèdre dirigé. Ces symétries peuvent être soulignées par différentes couleurs des faces.

nom octaèdre Tétraèdre rectifié
(Tetratetrahedron)
Antiprisme triangulaire Bipyramide carrée Fusil rhombique
image
(Coloration Face)
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(1111)
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(1212)
Antiprism trigonal.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Trigonal_antiprism.png/100px-Trigonal_antiprism.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "107" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Trigonal_antiprism.png/150px-Trigonal_antiprism.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 2 "2e fichier largeur =" 869 "hauteur fichier" = 932 "2 / 2e / Trigonal_antiprism.png / 200px-Trigonal_antiprism.png
(1112)
Square bipyramid.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Square_bipyramid.png/100px-Square_bipyramid.png "decoding =" async "largeur =" 100 "hauteur = "138" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Square_bipyramid.png/150px-Square_bipyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 3/37 / Square_bipyramid.png / 200px-Square_bipyramid.png 2x "fichier de données width =" 867 "height fichier =" 1200
(1111)
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(1111)
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CDel node f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données- width = "5" data-file-height = "23CDel 2x.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données- width = "5" data-file-height = "23CDel 4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23 CDel node f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données- width = "5" data-file-height = "23CDel 2x.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données- width = "5" data-file-height = "23CDel 2x.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node f1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/CDel_node_f1.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données- width = "5" data-file-height = "23
Symbole Schläfli 3,4 r 3.3 s 2.6
sr 2,3
ft 2,4
+ 4
ftr 2,2
+ +
symbole Wythoff 4 | 3 2 2 | 4 3 2 | 6 2
| 2 3 2
symétrie Oh(4.3), (* 432) T(3,3), (* 332) 3d, (2+, 6), (2 * 3)
3, (2.3)+, (322)
4h, (2.4), (* 422) 2h(2.2), (* 222)
ordre 48 24 12
6
16 8

Nets(éditer)

Il a onze arrangements de fil.

double(éditer)

L'octaèdre est le double polyèdre du cube.

Dual Cube-Octahedron.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Dual_Cube-Octahedron.svg/240px-Dual_Cube-Octahedron.svg.png "decoding =" async "width =" 240 "height =" 242 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Dual_Cube-Octahedron.svg/360px-Dual_Cube-Octahedron.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Dual_Cube-Octahedron.svg/480px-Dual_Cube-Octahedron.svg.png 2x "fichier de données width =" 744 "data file height =" 749

face(éditer)

L'hexaèdre uniforme de tétrahémi est une facette tétraédrique de symétrie de l'octaèdre commun, de son bord de division et de son arrangement de vertex. Il a quatre des faces triangulaires et 3 carrés centraux.

Octaèdres Irréguliers(éditer)

Les polyèdres suivants sont combinatoires du polyéther conventionnel. Ils ont tous six angles, huit faces triangulaires et douze arêtes qui correspondent à un pour un avec les fonctions d’un octaèdre ordinaire.

  • Antiprismes triangulaires: Deux faces sont parallèles, reposent sur des plans parallèles et ont un axe de symétrie commun. Les six autres triangles sont solitaires.
  • Les bipyramides tétragonales, où au moins l’un des carrés équatoriaux est situé sur un aéronef. L'octaèdre commun est un cas particulier où les trois carrés sont des carrés plans.
  • Polyèdre de Schönhardt, polyèdre non convexe qui ne peut pas être divisé en tétraèdres sans introduire de nouveaux angles.
  • Bricard octédrone, polyèdre flexible auto-chargeant non convexe

Autres octades convexes(éditer)

Plus généralement, un octaèdre peut être un polyèdre à huit faces. L'octaèdre commun a 6 coins et 12 arêtes, le minimum pour un octaèdre; Les octaèdres irréguliers peuvent avoir jusqu'à 12 coins et 18 arêtes.(2)
C'est 257 topologiquement différent convexe octaèdres, à l'exclusion des images en miroir. Spécifiquement, il est de 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 pour les octaèdres à 6 et 12 coins, respectivement.(3)(4) (Deux polyèdres sont "topologiquement distincts" s'ils ont des arrangements de faces et d'angles fondamentalement différents, de sorte qu'il n'est pas possible de se déformer l'un l'autre, il suffit de changer la longueur du bord ou les angles entre les arêtes ou les faces.)

Certains octaèdres irréguliers plus connus sont les suivants:

  • Prisme Hexagonal: Deux faces sont des hexagones réguliers parallèles; Six carrés relient des paires correspondantes de bords hexagonaux.
  • Pyramide heptagonale: Un visage est un heptagone (généralement commun) et les sept autres visages sont des triangles (généralement des célibataires). Il n'est pas possible que toutes les faces triangulaires soient équilatérales.
  • Tétraèdres tronqués: Les quatre faces du tétraèdre sont tronquées pour devenir des hexagones communs. Il existe quatre autres faces triangulaires équilatérales où chaque sommet de tétraèdre est tronqué.
  • Trapezoidron tétragonal: Les huit faces sont des cerfs-volants congruents.

Octaèdres dans le monde physique(éditer)

Octaèdres dans la nature(éditer)

Octaèdres dans l'art et la culture(éditer)

  • Surtout dans le jeu de rôle, ceci est solidement connu sous le nom de "d8", l'un des dés polyhédral les plus courants.
  • Dans le film Tron (1982), le signe Bit a pris cette forme sous la forme d'un "Oui".
  • Si chaque arête d’un octaèdre est remplacée par une résistance ohm, la résistance entre les coins opposés est 1/2 ohm, et entre les coins adjacents 5/12 ohms.(5)
  • Six notes de musique peuvent être disposées sur un octaèdre de telle manière que chaque bord représente une dyade de consonnes et que chaque face représente une triade de consonnes. voir hexany.

Botte tétraédrique(éditer)

Buckminster Fuller a inventé dans les années 50 une trame répétitive de tétraèdre et d'octaèdre, connue sous le nom de cadre spatial, qui est souvent considérée comme la structure la plus résistante pour résister aux tensions en porte-à-faux.

Polythène apparenté(éditer)

Un octaèdre ordinaire peut être amplifié en un tétraèdre en ajoutant 4 tétraèdres à des faces en alternance. L'ajout de tétraèdre aux 8 faces crée l'octaèdre étoilé.

L'octaèdre fait partie d'une famille de polyèdres uniformes liés au cube.

It is also one of the simplest examples of a hypersimplex, a polytope formed by certain intersections of a hypercube with a hyperplane.

The octahedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols 3,n, continuing into the hyperbolic plane.

Tetratetrahedron(éditer)

The regular octahedron can also be considered a rectified tetrahedron – and can be called a tetratetrahedron. This can be shown by a 2-color face model. With this coloring, the octahedron has tetrahedral symmetry.

Compare this truncation sequence between a tetrahedron and its dual:

The above shapes may also be realized as slices orthogonal to the long diagonal of a tesseract. If this diagonal is oriented vertically with a height of 1, then the first five slices above occur at heights r, 3/8, 1/2, 5/8, and s, where r is any number in the range 0 < r1/4, and s is any number in the range 3/4s < 1.

The octahedron as a tetratetrahedron exists in a sequence of symmetries of quasiregular polyhedra and tilings with vertex configurations (3.n)2, progressing from tilings of the sphere to the Euclidean plane and into the hyperbolic plane. With orbifold notation symmetry of *n32 all of these tilings are Wythoff constructions within a fundamental domain of symmetry, with generator points at the right angle corner of the domain.(6)(7)

Trigonal antiprism(éditer)

As a trigonal antiprism, the octahedron is related to the hexagonal dihedral symmetry family.

Square bipyramid(éditer)

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  1. ^ Finbow, Arthur S.; Hartnell, Bert L.; Nowakowski, Richard J.; Plummer, Michael D. (2010). "On well-covered triangulations. III". Discrete Applied Mathematics. 158 (8): 894–912. doi:10.1016/j.dam.2009.08.002. MR 2602814.
  2. ^ (1)
  3. ^ Counting polyhedra
  4. ^ "Copie déposée". Archived from the original on 17 November 2014. récupéré 14 August 2016.CS1 maint: copie archivée en tant que titre (lien)
  5. ^ Klein, Douglas J. (2002). "Resistance-Distance Sum Rules" (PDF). Croatica Chemica Acta. 75 (2): 633–649. récupéré 30 September 2006.
  6. ^ Coxeter Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff&#39;s construction)
  7. ^ Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson

Liens externes(éditer)


Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes conviennent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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