La formule d'Euler et les cinq solides platoniques solides de Platon spirituel

Formule d'Euler

La formule d'Euler est une affirmation de polyèdres convexes, c'est un solide dont la surface est constituée de polygones, appelés ses faces, de sorte que n'importe quel côté d'une face se trouve exactement sur une autre face, et ainsi pour deux points du solide, La ligne droite qui les relie se situe complètement dans le solide. Chaque polyèdre convexe contient certaines données, par exemple le nombre de faces F, le nombre d'arêtes E et le nombre de croix V. La formule d'Euler donne une relation entre ces données, à savoir

V-E + F = 2

pour tous les polyèdres convexes. L'idée que cette somme alternative alternative doit rester constante, quel que soit le polyèdre convexe que vous alimentez, n'est pas tout à fait claire. Nous allons essayer de le prouver par induction, la question évidente est l'induction de quoi? Pour répondre à cela, nous faisons d’abord une douce observation. Nous pouvons facilement transférer ces données relatives à notre polyèdre à toutes les données d’un graphe connecté. Pour voir comment nous regardons l'exemple d'un dé.

Si vous envisagez de regarder à travers l'un des visages comme une fenêtre et de tracer ce que vous voyez, vous pourriez vous retrouver avec quelque chose comme ceci:

L'observation importante est qu'il s'agit d'une force aérienne liée ayant le même nombre d'arêtes et de coins que les dés, ainsi qu'un visage plus petit (nous perdons le visage que nous avons observé). Nous pouvons voir que c'est en fait le cas pour tous les polyèdres convexes. De cette façon, nous traduisons les données sur les polyèdres (V, E, F) dans les données d'un graphe connecté (V, e, f)V = v, E = e, F = f + 1. La formule d’Euler montre donc que c’est pour prouver la déclaration très similaire que

v-e + f = 1

pour toute carte de vol connectée. Nous le faisons par induction.

preuve: Si nous avons un avantage, c'est juste une éventuelle carte de vol connectée,

et aussi pour deux bords il n'y a qu'une seule possibilité,

et dans les deux cas, la formule souhaitée peut être vérifiée, dans le cas e = 1 nous avons v-e + f = 2-1 + 0 = 1 et dans le cas e = 2 nous avons v-e + f = 3-2 + 0 = 1. Avec trois arêtes, plusieurs graphiques sont possibles, mais nous n’avons pas à nous en préoccuper. Prouvons le pas inductif: supposons que la formule tienne quand elle est n bords. Supposons maintenant que nous avons un graphique Gamma avec n + 1 bords, maintenant sommets et m visages.

si Gamma a m> 0, effacez une bordure d'un visage pour obtenir un nouveau graphe Gamma & # 39; avec (v, e, f) = (n, n, n-1). Maintenant, avec notre hypothèse inductive, nous l'avons depuis Gamma & # 39; a n bords, il répond à la formule souhaitée, donc v-e + f = maintenant - (n + 1) + m = 1et c'est exactement ce que nous devions montrer.

si Gamma ne pas avoir m = 0 alors il doit avoir un sommet de point final (un sommet qui n'est joint que par une arête). puis Gamma a maintenant sommets et n + 1 bords. Si nous supprimons un point final et le bord, nous obtenons un nouveau graphique Gamma & # 39; & # 39; avec De temps en temps coins et n bords. Par conséquent, par l'hypothèse inductive v-e + f = (nu-1) -n + 0 = maintenant - (n + 1) = 1, ce qui est exactement ce que nous voulions montrer. Et ceci complète l'évidence de la formule d'Euler.  Box

Les cinq solides platoniques

Nous disons qu'un polyèdre est commun s'il est constitué d'une sorte de polygone ordinaire, de sorte que chaque sommet a le même nombre d'arêtes. Cela nous permet de définir le degré de visage p, qui est le nombre de pages que chaque visage a, et le sommet q Quel nombre d'arêtes se rencontrent à chaque sommet. Nous avons donc les données suivantes relatives au polyèdre régulier, V, E, F, p, q. Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'Euler pour prouver le résultat remarquable, à savoir qu'il n'y a que 5 polyèdres solides, appelés solides platoniques. Ce sont des tétraèdres, des cubes, des octaèdres, des dodécaèdres et des icosaèdres. Nous enregistrons les données dans une tablette ci-dessous:

théorème: Ce sont les seuls polyèdres communs.

preuve: Tout d'abord, observez les deux relations suivantes,

pF = 2E

qV = 2E

Premièrement, si nous comptons toutes les arêtes d'une face et que nous le faisons pour chaque face, nous comptons chaque arête exactement deux fois. De même, pour la deuxième relation, si nous comptons chaque arête se réunissant à un sommet et le faisons pour tous les coins, nous comptons chaque arête deux fois. Nous pouvons maintenant remplacer V = frc 2E q et F = frc 2E p dans la formule d'Euler V-E + F = 2 pour atteindre frc 2E q -E + frc 2E p = 2 ce sera

frc 1 q + frc 1 p = frc 1 2 + frc 1 E

De cette équation, on peut déduire les seules possibilités pour le couple (p, q) dans hbb N ^ 2 est (3.3), (3.4), (4.3), (3.5) et (5.3). Il est clair géométriquement que ces 5 paires mènent aux 5 solides platoniques énumérés ci-dessus et à aucun autre!  Box

Double polyèdre

Nous pouvons décrire les solides platoniques par leurs coordonnées:

Tétraèdre: (1,1,1), (1, -1, -1), (-1, -1,1), (-1,1, -1)

Cube: (1,1,1), (1,1, -1), (-1,1,1), (1, -1,1), (1, -1, -1), 1, -1), (-1, -1.1), (-1, -1, -1)

Octaèdre: (1.0.0), (0.0.1), (0.1.0), (-1.0.0), (0, -1.0), (0.0, – 1)

Dodécaèdre: (0 Ami dans 1, Pm Phi), (Ami dans 1, Pm Phi, 0), (Pm Phi0 Ami dans 1), (M1, M1, M1)

Ikosahedron: (1.0,phi), (1.0, –phi), (-1,0,phi), (-1,0, –phi), (0,phi, 1), (0,phi, -1), (0, –phi, 1), (0, –phi, -1), (phi, 1,0), (phi, -1,0), (-phi, 1.0), (-phi-1,0)

Étant donné un solide platonique, un sommet au centre de chaque face ajoute deux côtés du double polyèdre. Il ne faut pas trop sauter pour croire que ce duel est en soi un solide platonique. Eh bien, nous venons de classer les solides platoniques, et ils ne sont que cinq, donc en prendre deux fois plus ne donne pas une "nouvelle" forme, mais une des cinq que nous avons déjà. Étant donné les données (V, E, F, p, q) d’un solide platonique, disons P, que pouvons-nous dire au sujet des données associées de ses deux, P & # 39; Eh bien, chaque face de P donne un sommet dans P & # 39 ;, par définition de la structure dual. Encore une fois, il est géométriquement clair que chaque sommet correspond à une face dans le double, nous l’avons donc. F leftrightarrow V, nous obtenons que le nombre d’arêtes reste le même, et que p leftrightarrow q. Cela signifie que (& # 39;) & # 39; = P. En fait, nous voyons sur la table ci-dessus nous obtenons les deux paires suivantes: cube leftrightarrow octaèdre, dodécaèdre leftrightarrow icosaèdre, tétraèdre leftrightarrow tétraèdre. Il peut être amusant de voir un double P assis à l’intérieur de la forme originale P, puis assis deux fois son P "= P est à l’intérieur de P" et ainsi de suite, devenant de plus en plus petit et indéfiniment! Cette image à l’esprit est que deux formulaires partagent les mêmes groupes de symétrie.

Les robustes platoniques marchent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme insolite. Chaque cellule unitaire contient un volume spécifique de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes à côté des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est la raison pour laquelle certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des zones musculaires, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en dorénavant l’intégrité d’un corps homme de 3ème dimension. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui propose et maintient la conscience humaine dans la 3ème superficie. C’est aussi la raison pour laquelle l’humanité, en tant que forme de vie de 3ème dimension, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas distinguer la signature énergétique des êtres de la septième surface. Cependant, à mesure que notre planète se développe vers la cinquième superficie, l’humanité avance vers notre prochaine expression physique en tant qu’êtres de cinquième superficie sur Terre. A travers nos yeux de cinquième surface, nous ferons l’expérience de nous-mêmes à l’intérieur de notre nouveau monde dans une perspective d’amour incontournable, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces véhicules de la création pour célébrer tout ce que vous soyez

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