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Les plus anciens exemples connus de documents écrits datant d'Égypte et de Mésopotamie datant d'environ 3100 et sans ambiguïté BCE– Démontrer que les peuples anciens avaient déjà commencé à élaborer des règles et techniques mathématiques utiles pour la cartographie des terrains, la construction de bâtiments et la mesure des conteneurs de stockage. À partir du 6ème siècle BCE, les Grecs ont rassemblé et développé ces connaissances pratiques et ont généralisé le sujet abstrait maintenant connu sous le nom de géométrie, à partir de la combinaison des mots grecs géo ("Terre") et Metron ("Cible") pour mesurer la terre.

En plus de décrire certaines des réalisations des Grecs anciens, en particulier l'évolution logique de la géométrie d'Euclide dans éléments, cet article explore certaines applications de la géométrie à l’astronomie, à la cartographie et à la peinture, de la Grèce classique à l’islam médiéval et à l’Europe de la Renaissance. Il se termine par une brève discussion sur les extensions aux géométries non-euclidiennes et multidimensionnelles de l'ère moderne.

Géométrie ancienne: pratique et empirique

Les origines de la géométrie résident dans les soucis quotidiens. Le récit traditionnel, conservé à Hérodote histoire (Ve siècle BCE), l’enquête sur la perception du crédit en Égypte visant à rétablir la valeur des propriétés après les inondations annuelles du Nil. De même, désireux de connaître les volumes de figures solides découlant de la nécessité de prendre en compte l'hommage, de stocker de l'huile et des céréales et de construire des barrages et des pyramides. Même les trois anciens problèmes géométriques, qui consistaient à doubler un cube, à former un angle et à former un carré, dont nous traiterons tous ci-après, provenaient probablement de conditions pratiques, du rituel religieux, de la marée et de la construction, aux communautés pré-grecques, respectivement. de la Méditerranée. Et le principal sujet de la géométrie grecque, la théorie des sections coniques, doit son importance générale, et peut-être aussi son origine, à son application à l'optique et à l'astronomie.

Alors que de nombreuses personnes âgées, connues et inconnues, ont contribué au sujet, aucun des effets d’Euclide et de ses éléments de la géométrie, un livre maintenant 2300 ans et sujet à une étude aussi douloureuse et minutieuse que la Bible. On en sait beaucoup moins sur Euclide, mais à propos de Moïse. En fait, la seule chose connue, avec un certain degré de confiance en soi, est qu'Euclide a enseigné à la bibliothèque d'Alexandrie sous le régime de Ptolémée Ier (323-285 / 283 BCE). Euclid a écrit non seulement sur la géométrie, mais également sur l’astronomie et l’optique et peut-être aussi sur la mécanique et la musique. Juste que éléments, qui a été largement copié et traduit, a survécu intact.

Euclide éléments était si complet et si clair qu'il a littéralement éradiqué le travail de ses prédécesseurs. Ce que l’on sait sur la géométrie grecque avant lui provient principalement d’ouvrages cités par Platon et Aristote, puis de mathématiciens et de commentateurs. Parmi les autres objets de valeur conservés figurent quelques résultats et l’approche générale de Pythagore (c. 580-c. 500 BCE) et ses partisans. ils Les pythagoristes se sont convaincus que tout est ou doit leur relation au nombre. Cet enseignement accordait une grande importance aux mathématiques dans l’étude et la compréhension du monde. Platon a développé une perception similaire et les philosophes influencés par Pythagore ou Platon ont souvent écrit avec enthousiasme à propos de la géométrie en tant que clé de l'interprétation de l'univers. Ainsi, la géométrie ancienne s'est associée au sublime pour compléter son origine terrestre et sa réputation d'exemple de justification précise.


trouver angle droit

Les anciens constructeurs et arpenteurs devaient pouvoir construire des angles droits sur le terrain, au besoin. La méthode utilisée par les Égyptiens leur a valu le nom de "redoublants" en Grèce, apparemment parce qu’ils en employaient un. corde pour établir leurs directives de construction. L'une des façons dont ils auraient pu utiliser une corde pour construire des triangles droits consistait à marquer une boucle de corde avec des nœuds afin que la corde forme un triangle approprié lorsqu'elle est maintenue sur les nœuds et serrée. La meilleure façon de faire est de prendre une corde de 12 cordes, d'attacher 3 unités à une extrémité et 5 unités à l'autre extrémité, puis d'attacher les extrémités pour former une boucle, comme indiqué dans animation. Cependant, les scribes égyptiens ne nous ont pas laissé d'instructions sur ces procédures, encore moins qu'ils sachent qu'ils ont su généraliser pour obtenir la phrase pythagoricienne: le carré de la droite est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. De même, les écrits védiques de l'Inde ancienne contiennent des sections appelées sulvasutras, ou "règles de corde" pour le positionnement précis des animaux sacrificiels. Les angles droits nécessaires étaient en corde marquée pour donner les triades (3, 4, 5) et (5, 12, 13).

En tablettes d’argile babyloniennes (c. 1700-1500 BCE) Les historiens modernes ont découvert des problèmes dont les solutions indiquent que la triade pythagoricienne et certaines triades spéciales étaient connues plus de mille ans avant l’Euclide. Cependant, un vrai triangle aléatoire est très improbable si toutes les pages peuvent être mesurées par le même appareil, c'est-à-dire que chaque page est une perspective entière de toute unité de mesure commune. Ce fait, qui fut un choc lors de sa découverte par les Pythagore, donna naissance au concept et à la théorie de l'incohérence.

Trouver hors de portée

De vieille tradition, Thalès de Milet, qui vivait avant Pythagore au 6ème siècle BCE, a inventé un moyen de mesurer des hauteurs inaccessibles, telles que les pyramides égyptiennes. Même si aucun de ses écrits n’a survécu, il est fort possible que Thales soit au courant d’une observation babylonienne selon laquelle, pour des triangles semblables (des triangles de même forme, mais pas nécessairement de même taille), la longueur de chaque côté correspondant (ou décroissant) est augmentée de la même majorité. Une détermination de la hauteur d'une tour à l'aide de triangles similaires est montrée sur la figure. Les anciens Chinois sont entrés en action avec des hauteurs et des distances inaccessibles sur un autre itinéraire, en utilisant des rectangles "complémentaires", comme indiqué dans le prochain figure, qui peuvent être affichés pour donner des résultats similaires à ceux de la méthode grecque utilisant des triangles.

Estimation de la richesse

Une tablette cunéiforme babylonienne écrite il y a environ 3 500 ans traite des problèmes d'étangs, de puits, de cloches à eau et d'excavations. Il comporte également un exercice sur les enceintes circulaires avec une valeur implicite de π = 3. Le contractant de la piscine du roi Salomonas, qui a créé un étang de 10 coudées de haut et 30 coudées environ (1 Rois 7:23), a utilisé la même valeur. Mais les Hébreux auraient dû prendre leur π aux Egyptiens avant de traverser la mer Rouge Papyrus Rhind (c. 2000 BCE; notre principale source de mathématiques égyptiennes anciennes) signifie π = 3.1605.

La connaissance de la zone dans un cercle avait une valeur pratique pour les fonctionnaires qui gardaient trace du tribut de Pharaon, ainsi que pour les constructeurs d’autels et de piscines. Ahmes, l'écrivain qui a copié et annoté le papyrus Rhind (c. 1650 BCE), a beaucoup à dire sur les greniers et les pyramides cylindriques, entiers et tronqués. Il pourrait comprendre ses volumes, et comme il ressort de prendre l'Egypte seked, la distance horizontale associée à l'inclinaison verticale d'un alen, telle que la valeur déterminante de la pente de la pyramide, il connaissait des triangles similaires.

Géométrie ancienne: abstraite et appliquée

Les trois numéros classiques

En plus de prouver des théorèmes mathématiques, de vieux mathématiciens ont construit divers objets géométriques. Euclid a arbitrairement limité les outils de construction à une règle (une règle non marquée) et à un compas. Cette limitation rendait très difficiles, voire impossibles, trois problèmes d’intérêt particulier (doubler un dé, poulie un angle arbitraire et arrondir un cercle). Différentes méthodes de construction utilisant d'autres moyens ont été préparées au cours de la période classique et les efforts, toujours vains, utilisant la règle et le compas ont persisté pendant les 2 000 prochaines années. En 1837, le mathématicien français Pierre Laurent Wantzel a montré qu'il était impossible de doubler le cube et de dessiner l'angle. En 1880, le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann a montré que la quadrature est impossible en raison de la preuve que π est un nombre transcendantal.


Doubler cube

Les écrits védiques ont fait du cube la forme d'autel la plus recommandée pour quiconque souhaitait prier deux fois au même endroit. Les règles de la cour exigeaient que l'autel pour la deuxième occasion ait la même forme, mais deux fois le volume de la première. Si les côtés des autels originaux et dérivés sont un et brespectivement b3 = 2un3. Le problème est venu aux Grecs avec leur contenu cérémonial. Un oracle a montré que les citoyens de Délos pouvaient se libérer d'une peste, simplement en remplaçant un autel existant par un double de cette taille. Les Delians ont cherché Platon. Il a répondu que l'oracle ne voulait pas dire que les dieux voulaient un autel plus grand, mais qu'ils allaient "faire honte aux Grecs pour leur négligence envers les mathématiques et leur mépris pour la géométrie". Avec ce mélange de pratiques védiques, de mythes grecs et de manipulations académiques, le problème de la duplication du cube a pris une place prépondérante dans la formation de la géométrie grecque.

Hippocrate de Chios, qui en a écrit un au début éléments environ 450 BCE, a fait les premiers pas pour écraser le problème de l’autel. Il a réduit la duplication pour trouver deux ratios moyens compris entre 1 et 2, c’est-à-dire trouver des lignes x et y en ratio 1:x = x:y = y: 2. Après l'intervention de l'oracle de Delian, plusieurs géométries autour de l'académie de Platon ont trouvé des moyens compliqués de générer des proportions moyennes.

Quelques générations plus tard, Ératosthène de Cyrène (c. 276-c. 194 BCE) préparé un instrument simple avec des pièces mobiles pouvant produire des conditions moyennes approximatives.

Trisecter le angle

Les Égyptiens disaient l'heure du soir par la montée de 12 astérisques (constellations), nécessitant en moyenne deux heures pour que chacun monte. Pour obtenir des intervalles plus pratiques, les Égyptiens divisaient chacun leur astérisme en trois parties, ou doyens. Cela posait le problème de la trisection. On ne sait pas si le second a célébré le problème de la géométrie grecque archaïque, la trisection d'un angle donné, provient de la difficulté du doyen, mais il est probable qu'il proviendra d'un problème de mesure angulaire.

Plusieurs géométries du temps de Platon se sont essayées à la trisection. Bien que personne n'ait réussi à trouver une solution avec règle et compas, ils ont réussi un dispositif mécanique et un tour. L'unité mécanique, peut-être jamais construite, crée ce que les anciennes géométries appelaient une quadratrice. Inventé par un géomètre appelé Hippies of Elis (5ème siècle fleuri) BCE), la grille carrée est une courbe tracée par l’intersection de deux lignes mobiles, l’une tourne régulièrement selon un angle droit, l’autre curseur est également parallèle à elle-même. (regarder Barre latérale: Trisecter l’angle: Hippias quadratrix.)

L'astuce de la trisection est une application de ce que les Grecs ont appelé neusis, une manœuvre d’une longueur mesurée dans une position particulière pour compléter une figure géométrique. Une version tardive de l’utilisation est attribuée à Archimède (c. 285 à 212/211 BCE), illustre la méthode de la trisection angulaire. (regarder Barre latérale: Trisection de l’angle: méthode Archimedes.)

La quadrature du cercle

Les géométries grecques pré-euclidiennes ont transformé le problème pratique de la détermination de la cercle dans un outil de découverte. Trois approches peuvent être distinguées: Hippocrate: éviter de remplacer un problème par un autre; L'application d'un instrument mécanique, comme dans l'unité d'Hippia, pour faire pivoter l'angle; et la technique qui s’est révélée la plus fertile, elle est plus proche d’une taille inconnue difficile à étudier (par exemple une zone de cercle) à un certain nombre de tailles connues plus faciles à étudier (par exemple, des polygones) temps moderne comme "méthode d'épuisement "et attribué par son plus grand praticien, Archimède, à l'étudiant de Platon Eudoxe de Cnide (c. 408-c. 355 BCE).

Bien qu’il n’ait pas été possible de quadriller le cercle, Hippocrate a montré les carrés de lunes; Il s'est avéré que la zone située entre deux arcs de cercle en intersection pouvait être exprimée exactement comme une zone rectiligne, augmentant ainsi l'espoir que le cercle lui-même puisse être traité de la même manière. (regarder Encadré: quadrature de la lune.) Un contemporain d’Hippias a découvert que le prix carré pouvait être utilisé pour corriger des cercles. C'étaient les approches de substitution et mécaniques.

La méthode de fatigue développée par Eudoxus consiste à approximer une courbe ou une surface à l’aide de polygones à périmètres et fourchettes calculables. Au fur et à mesure que le nombre de côtés d’un polygone commun inscrit dans un cercle augmente indéfiniment, sa circonférence et la portée de son "échappement", ou prend, la circonférence et la surface du cercle à l’intérieur de toute erreur transmissible de longueur ou d’intervalle, mais petit. En utilisant Archimède, la méthode de fatigue a produit des limites supérieures et inférieures pour la valeur de π, le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Il y parvint en inscrivant un polygone dans un cercle et en entourant un polygone autour de lui, limitant ainsi la circonférence du cercle entre la circonférence circonférentielle du polygone. Il a utilisé des polygones de 96 pages et a lié π entre 310/71 et 31/7. (regarder animation.)

Idéalisation et évidence

Le dernier grand commentateur platonique et euclidien des temps anciens, Proclus (c. 410-485 CE), attribuée à l'inépuisable Thales, à la découverte d'une proposition loin d'être évidente et nécessitant même des preuves apparemment évidentes. Proclus a fait spécifiquement référence au théorème, connu au Moyen Âge sous le nom de pont d'Asses, selon lequel, dans un triangle infini, les angles opposés des mêmes côtés sont égaux. Le théorème peut avoir gagné son surnom de la figure euclidienne, ou du concept d'ordre que seul un âne exigerait la preuve d'une déclaration aussi évidente. (regarder Encadré: Ass of Bridge.)

Les anciennes géométries grecques suivirent bientôt Thalès sur le pont de l'Asses. Au 5ème siècle BCE philosophe-mathématicien critiqué démocratiquement (c. 460-c. 370 BCE) a déclaré que sa géométrie montrait toute la connaissance de la corde de remorquage égyptienne, car il pouvait prouver ce qu'il prétendait. À l'époque de Platon, les géométries ont montré leurs suggestions. La coercition et la multiplication des théories ainsi produites s’accordent parfaitement à la question sans fin de la logique intransigeante de Socrate et d’Aristote. Peut-être que l'origine, et certainement l'exercice, de la méthode grecque particulière de preuve mathématique devraient être recherchées dans le même contexte social qui a donné lieu à la pratique de la philosophie – c'est-à-dire de la politique grecque. Où les citoyens ont appris les compétences d’une classe dirigeante, et les plus riches d’entre eux ont eu le temps libre de s’engager comme résultat escompté, mais inutile, pendant que les esclaves participaient aux nécessités de la vie. La communauté grecque pourrait soutenir la transformation de la géométrie d'un art pratique à une science déductive. Malgré sa sévérité, la géométrie grecque ne répond pas aux exigences de la systématique moderne. Euclid lui-même fait parfois appel à des influences tirées d'une compréhension intuitive de concepts tels que point et ligne ou intérieur et extérieur, en utilisant la superposition, etc. Il a fallu plus de 2000 ans pour nettoyer éléments dont les purement déductivistes considéraient qu’il manquait.

Synthèse euclidienne

Euclide, en ligne avec la logique de conscience d'Aristote, a commencé le premier de ses 13 livres éléments avec des ensembles de définitions ("une ligne est sans largeur"), des croyances communes ("tout est supérieur à la pièce") et des axiomes ou postulats ("les angles droits sont égaux"). Le cinquième et dernier postulat de cette relation préliminaire, qui énonce une condition suffisante pour que deux droites se rencontrent s’elles sont suffisamment étendues, a fait l’objet de beaucoup d’attention. En réalité, il définit le parallélisme. Beaucoup de géométries ultérieures ont essayé de prouver le cinquième postulat par d’autres éléments. Euclide si longtemps, on peut produire des géométries continues (connues sous le nom de géométries non euclidiennes) en remplaçant le cinquième postulat par d'autres postulats qui s'opposent au choix d'Euclid.

Les six premiers livres contiennent la plupart des informations fournies par Euclid sur la géométrie du vol. Le livre présente de nombreuses propositions qui ont sans aucun doute été découvertes par leurs prédécesseurs, à partir de l'égalité d'égalité des angles opposés d'un côté à l'autre d'un trio égal à la phrase de Pythagore, que le livre termine effectivement. (regarder Encadré: Moulin d'Euclide.)

Le livre VI utilise la théorie des proportions du livre V à des figures similaires et présente la solution géométrique aux équations du second degré. Comme d’habitude, certains d’entre eux sont plus anciens que Euclid. Les livres VII-X, qui traitent de divers types de nombres, en particulier des primates et de divers types de relations, sont rarement étudiés à présent, malgré l’importance du livre magistral X, avec sa classification élaborée de tailles invincibles, pour l’évolution ultérieure de la géométrie grecque. (regarder Encadré: incommensurable.)

Les livres XI-XIII traitent des solides: XI contient des théorèmes sur l'intersection de plans et de lignes et de plans et des théorèmes sur les volumes de bips parallèles (solides avec des parallélogrammes parallèles comme surfaces opposées); XII utilise la méthode de la fatigue introduite par Eudoxus pour les volumes de figures solides, y compris la sphère; XIII, un analogue tridimensionnel du livre IV, décrit les solides platoniques. Parmi les bijoux du livre XII, on trouve une preuve de la recette utilisée par les Égyptiens pour le volume d'une pyramide.

Gnomonics et le cône

Au cours de son parcours quotidien au-dessus de l’horizon, le soleil semble décrire un cercle. L'astronome grec pouvait imaginer que son véritable oeil était au sommet d'un cône, où la surface était définie par les rayons du soleil à différentes heures de la journée et dont la base était définie par la journée apparente du soleil. Nos astronomes, utilisant le pointeur vers un soleil, connu sous le nom de gnomon, produiraient, comme son œil, un second cône d’ombre qui s’étend vers le bas. Le croisement entre ce deuxième cône et une surface horizontale, telle que la surface du soleil, tracerait l'image du soleil (ou de l'ombre) pendant la journée comme un avion représentant un cône. (Les intersections possibles d'un plan avec un cône, appelées parties coniques, sont les suivantes: cercle, ellipse, point, ligne droite, parabolique et hyperbolique.)

Les doxographes attribuent cependant la découverte de sections coniques à un élève d’Eudoxe, Menaechmus (milieu du 4ème siècle BCE), qui les a utilisés pour résoudre le problème de la duplication des dés. Son approche limitée des coniques, il a travaillé avec des cônes circulaires simplement rouges et a fait ses sections à angle droit par rapport à l’une des lignes droites qui composaient ses surfaces – était la norme jusqu’à Archimède. Euclide a adopté l'approche de Menaechmus dans son livre de coniques égaré, et Archimède a suivi. Sans aucun doute, les deux savaient que tous les cycles économiques peuvent être obtenus à partir du même cône droit en autorisant la section sous tous les angles.

La raison pour laquelle la thèse d'Euclide sur les coniques a disparu est que Apollonius de Perga (c. 262-c. 190 BCE) a fait ce qu'Euclide avait fait avec la géométrie du temps de Platon. Apollonius a reproduit des résultats connus beaucoup plus généralement et a découvert de nombreuses nouvelles caractéristiques des personnages. Il a d'abord montré que tout le cognac faisait partie d'un cône circulaire, droit ou oblique. Apollonius a introduit les termes ellipse, hyperboleet parabole pour les courbes faites en coupant un cône circulaire avec un plan d'angle inférieur, égal et supérieur à l'angle d'ouverture du cône.

Astronomie et trigonométrie

calcul

Dans une utilisation inspirée de leur géométrie, les Grecs ont fait ce qu'aucun peuple antérieur ne semble avoir fait: le ciel géométrique en supposant que le soleil, la lune et les planètes se déplacent autour d'une terre immobile sur un cercle ou un ensemble de cercles en rotation. la vitesse de rotation de ces suppositoires entoure les mouvements observés. Ainsi, ils assignèrent au Soleil un cercle excentrique par rapport à la Terre pour rendre compte des différentes saisons.

Ptolémée (fleuri 127-145 CE (Alexandrie, Egypte) a compilé des ensembles complets de cercles pour toutes les planètes. Pour rendre compte des phénomènes résultant des mouvements de la Terre autour du Soleil, le système ptolémaïque comprenait un cercle secondaire appelé épicélium, dont le centre se déplaçait le long du cercle primaire, appelé le déférent. Ptolémée & # 39; Grande compilationou Almageste Après sa traduction en arabe, l’astronomie était ce qu’Euclide est éléments était pour la géométrie. En revanche, élémentscependant, Almageste utilise la géométrie pour les besoins du calcul. Parmi les éléments que Ptolémée avait calculés, il y avait un tableau d'accord qui correspondait à la fonction sinus trigonométrique, introduite plus tard par les mathématiciens indiens et islamiques. Le tableau d'affichage aidait à calculer les distances à partir des mesures d'angle qu'un astronome moderne pourrait faire avec la loi des sinus.

épistémologie

L'application de la géométrie à l'astronomie a permis de recadrer la poursuite pérenne par la Grèce de la nature de la vérité. Si une description mathématique correspond aux faits, l'explication de Ptolémée sur les longueurs inégales des saisons de l'excentricité de l'orbite solaire a-t-elle été considérée comme une description fidèle à la nature? La réponse, avec un poids croissant, était "non". Les astronomes ont noté que la trajectoire excentrique représentant le mouvement annuel du Soleil pourrait être remplacée par une paire de cercles, un déférent centré sur la terre et un épicycle centré autour du périmètre du déférent. Il a donné deux théories solaires d'observation similaires basées sur deux mécanismes très différents. La géométrie était trop bonne pour que les options révèlent les vrais principes de la nature. Les Grecs, qui avaient élaboré une science sublime à partir de recettes pratiques, ont découvert qu'en inversant le processus, lorsqu'ils utilisaient à nouveau leurs mathématiques pour le monde, ils ne revendiquaient pas plus la vérité que les répétitions égyptiennes.

Géométrie ancienne: cosmologique et métaphysique

Les Pythagoriciens ont utilisé des figures géométriques pour illustrer leur slogan selon lequel tout est un nombre, d'où leur "nombre triangulaire" (n(n-1)/2), "Nombres Carrés" (n2) et "alternateurs" (n3), dont certains sont indiqués dans figure. Ce principe trouve une application sophistiquée dans l’histoire de la création de Platon, The Timée, qui présente les plus petites particules, ou les "éléments" de la matière sous forme de figures géométriques communes. Étant donné que les plus anciens reconnaissaient quatre ou cinq éléments, Platon recherchait un petit ensemble d’objets géométriques définis de manière unique pour fonctionner en tant que constituants élémentaires. Il les a trouvés dans les seules structures tridimensionnelles dont les faces sont assimilées à des polygones réguliers se faisant face selon des angles également solides: le tétraèdre ou la pyramide (à 4 faces triangulaires); le cube (avec 6 surfaces carrées); octaèdre (avec 8 faces triangulaires équilatérales); Dodécaèdre (avec 12 faces pentagonales); et l'icosaèdre (avec 20 faces triangulaires équilatérales). (regarder animation.)

Cosmologie à Timée avait une conséquence de première importance pour le développement de l'astronomie mathématique. Il a conduit Johannes Kepler (1571-1630) à sa découverte de les lois du mouvement planétaire. Kepler n'a pas distribué les cinq solides platoniques fixes en tant qu'indicateurs de la nature et du nombre de l'élément, mais en tant que modèle de la structure céleste. En 1596, il publia Prodromus Dissertationum Mathematicarum Le mystère du continent cosmographique ("Mystographic Cosmery"), où chacun des six plans connus a déchiré autour du Soleil des balles séparées par les cinq solides platoniques, comme indiqué sur la photo. Bien que Tycho Brahe (1546-1601), le plus grand astronome d'observation au monde avant l'invention du télescope, ait rejeté le modèle copernicien du système solaire, il a invité Kepler à l'aider dans son nouvel observatoire situé en dehors de Prague. Pour tenter de résoudre les incohérences entre sa théorie initiale et les observations de Brahe, Kepler a fait la découverte de la capitale que les planètes se concentrent sur des ellipses autour du Soleil.

Mesurer la terre et les cieux

La géométrie a offert aux cosmologues grecs non seulement un moyen de spéculer sur la structure de l'univers, mais également le moyen de la mesurer. Au sud d'Alexandrie et à peu près à la même longitude, se trouve le village de Syene (Aswān moderne), où le soleil est directement au-dessus à midi, le jour de l'été. En même temps à Alexandrie, les rayons du soleil forment un angle α avec la pointe d’une barre verticale, comme indiqué dans figure. Puisque les rayons du soleil tombent presque parallèlement à lui Terre, l'angle sous-tendu par la voûte l (représentant la distance entre Alexandrie et Syène) au centre de la Terre est également un; ainsi la relation entre la circonférence de la terre, C, au loin, l, le rapport doit être compris entre 360 ​​° et l’angle α-in des symboles, C:l = 360 °: a. Eratosthenes a fait les mesures et a obtenu une valeur d'env. 5000 étapes pour l, ce qui donne une valeur pour la circonférence de la Terre d’environ 250 000 étapes. Étant donné que la longueur acceptée du stade grec variait localement, nous ne pouvons pas déterminer avec précision la marge d'erreur d'Eratosthenes. Mais si nous attribuons la supposition de l'ancien historien à la longitude d'Eratosthène, nous obtenons une valeur de la circonférence de la Terre d'environ 46 250 km, remarquablement proche de la valeur moderne (environ 15% trop grande), compte tenu de la difficulté de mesurer avec précision l et a. (regarder Sidebar: Earth, Classic et Arabic.)

Aristarque de Samos (c. 310-230 BCE) a été honoré d'étendre la silhouette de la figure jusqu'au soleil. Utilisant la Lune comme règle et notant que les magnitudes apparentes du soleil et de la lune sont à peu près identiques, il calcula les valeurs de sa thèse «Sur les tailles et les distances du soleil et de la lune». La grande difficulté à effectuer les observations a entraîné une sous-estimation de la distance solaire environ 20 fois – il a réalisé une ligne solaire, σ, environ 1200 fois le rayon de la Terre, r. Peut-être que la demande d'Aristarcho concernant les tailles relatives du Soleil, de la Lune et de la Terre l'a amené à rejeter le premier modèle héliocentrique ("centré sur le Soleil") de l'univers.

La valeur d'Aristarko pour le soleil a été confirmée par une étonnante coïncidence. Ptolémée a profité de la distance maximale séparant la Lune de son chemin excentrique avec l’approche la plus proche du mercure de son épicycle; La plus longue distance de Mercure avec Vénus la plus proche; et le plus éloigné de Vénus avec le plus proche du Soleil. Ainsi, il pourrait calculer la distance solaire par rapport à la distance de la lune et de là le rayon terrestre. Sa réponse était d'accord avec Aristarchus. La notion ptolémaïque d'ordre et de machines de la planète, la plus puissante application de la géométrie grecque au monde physique, a ainsi confirmé le résultat de la mesure directe et établi les dimensions du cosmos pendant plus de mille ans. Comme l'ont dit les anciens philosophes, il n'y a pas de vérité en astronomie.

La période postclassique

Passage à travers l'islam

Deux siècles après leur sortie du désert autour de la Mecque, les disciples de Mahomet occupèrent les terres de la Perse en Espagne et s'installèrent pour maîtriser l'art et la science des peuples qu'ils avaient conquis. Ils ont particulièrement admiré les travaux des mathématiciens et médecins grecs et la philosophie d'Aristote. À la fin du IXe siècle, ils étaient déjà en mesure d'ajouter la géométrie d'Euclide, Archimède et Apollonius. Au 10ème siècle, ils vont au-delà de Ptolémée. Stimulé par le problème de la recherche d’une orientation efficace pour la prière (Le Qibla, ou direction du lieu de culte à la Mecque) Les géométries islamiques et les astronomes ont développé la projection stéréographique (inventée pour projeter la sphère céleste sur une carte ou un instrument à deux dimensions), ainsi que la trigonométrie plane et sphérique. Ici, ils ont incorporé des éléments venant d'Inde et de Grèce. Leurs performances en géométrie et en astronomie géométrique se sont matérialisées dans des instruments permettant de tracer des sections fuselées et surtout dans les superbes astrolabes en laiton qu’ils ont réduites au tour à tourner pour calculer des montants astronomiques.

Thābit ibn Qurrah (836-901) avait précisément les attributs nécessaires pour amener la géométrie des Arabes à la terre par les Grecs. En tant que membre d'une secte religieuse proche mais hostile à la fois aux juifs et aux chrétiens, il connaissait le syrien et le grec, ainsi que l'arabe; En tant que changeur de monnaie, il savait calculer. Comme il le recommandait à Banū Mūsā, un ensemble de frères mathématiques dérivés d'un voleur s'étant répandu dans l'astrologie. Banū Mūsā dirigea une maison de sagesse à Bagdad parrainée par le calife. Là, ils ont effectué des traductions des classiques grecs. Thabbit est devenu un ornement de la maison de la sagesse. Il a traduit Archimède et Apollonius. Certains de ses livres ne sont plus connus que dans ses versions. Dans un ajout remarquable à Euclid, il tenta en toute sécurité de prouver le postulat parallèle (discuté plus tard dans les géométries non euclidiennes).

Parmi les pièces de l'astronomie géométrique grecque que les Arabes ont fabriquées sont les planètes astrolabe, qui intègre l'une des méthodes de projection de la sphère céleste sur une surface à deux dimensions inventée dans la Grèce antique. L’une des propriétés mathématiques souhaitables de cette méthode (la projection stéréographique) est qu’elle convertit les cercles en cercles ou en lignes droites, propriété indiquée dans les premières pages du livre de Apollonius. conique. Comme l'a montré Ptolémée dans son PlanisphaeriumLe fait que les cartes de projection stéréographiques tournent autour de cercles ou de lignes droites fait de l'astrolabe un instrument très pratique pour calculer le temps et représenter les mouvements des corps célestes. Les premiers astrolabs arabes connus et les manuels pour leur construction datent du 9ème siècle. Le monde islamique a amélioré l'astrolabe en ce qu'il aide à déterminer l'heure des prières, à trouver la direction de la Mecque et de la divination astrologique.

L'Europe reprend les classiques

Les contacts entre chrétiens, juifs et arabes en Catalogne ont amené la connaissance astrolabe à l’Ouest avant l’an 1000. Au cours du XIIe siècle, de nombreux manuels d’utilisation et de construction ont été traduits en latin, ainsi que des œuvres géométriques de Banū Mūsā, Thâbit et autres. Certaines des réalisations des géométries arabes ont été redécouvertes en Occident à la suite d'une étude approfondie et approfondie d'Euclids éléments, qui a été traduit à plusieurs reprises de l’arabe et une fois du grec en 12 et 13 siècles. ils éléments (Venise, 1482) fut l’un des premiers ouvrages techniques jamais imprimés. Archimède est également venu à l’ouest au XIIe siècle, traduit en latin par des sources grecques et arabes. Apollonius est venu seulement pour des morceaux. Ptolémée & # 39; Almageste est apparu dans un manuscrit en latin en 1175. Ce n'est que lorsque les humanistes de la Renaissance ont transformé leur apprentissage classique en mathématiques, mais les Grecs sont sortis dans des éditions imprimées standard en latin et en grec.

Ces textes affectent leurs lecteurs latins avec force de révélation. Les Européens ont découvert la notion de preuve, le pouvoir de généralisation et l'habileté surhumaine des Grecs; ils se sont empressés de maîtriser les techniques qui leur permettraient d'améliorer leurs calendriers et leurs horoscopes, de créer de meilleurs instruments et d'élever les mathématiques chrétiennes au niveau des infidèles. Il a fallu plus de deux siècles aux Européens pour s'approprier leur patrimoine inattendu. Au 15ème siècle, cependant, ils étaient prêts à aller au-delà de leurs sources. Les développements les plus originaux sont ceux où la créativité était la plus forte, dans l’art de la Renaissance italienne.

The theory of linear perspective, the brainchild of the Florentine architect-engineers Filippo Brunelleschi (1377–1446) and Leon Battista Alberti (1404–72) and their followers, was to help remake geometry during the 17th century. The scheme of Brunelleschi and Alberti, as given without proofs in Alberti’s De pictura (1435; On Painting), exploits the pyramid of rays that, according to what they had learned from the Westernized versions of the optics of Ibn Al-Haytham (c. 965–1040), proceeds from the object to the painter’s eye. Imagine, as Alberti directed, that the painter studies a scene through a window, using only one eye and not moving his head; he cannot know whether he looks at an external scene or at a glass painted to present to his eye the same visual pyramid. Supposing this decorated window to be the canvas, Alberti interpreted the painting-to-be as the projection of the scene in life onto a vertical plane cutting the visual pyramid. A distinctive feature of his system was the “point at infinity” at which parallel lines in the painting appear to converge, as shown in the photograph.

Alberti’s procedure, as developed by Piero della Francesca (c. 1410–92) and Albrecht Dürer (1471–1528), was used by many artists who wished to render perspective persuasively. At the same time, cartographers tried various projections of the sphere to accommodate the record of geographical discoveries that began in the mid-15th century with Portuguese exploration of the west coast of Africa. Coincidentally with these explorations, mapmakers recovered Ptolemy’s Geography, in which he had recorded by latitude (sometimes near enough) and longitude (usually far off) the principal places known to him and indicated how they could be projected onto a map (voir photograph).

The discoveries that enlarged the known Earth did not fit easily on Ptolemy’s projections. Cartographers therefore adopted the stereographic projection that had served astronomers. Several projected the Northern Hemisphere onto the Equator just as in the standard astrolabe, but the most widely used aspect, popularized in the world maps made by Gerardus Mercator’s son for later editions of his father’s atlas (beginning in 1595), projected points on the Earth onto a cylinder tangent to the Earth at the Equator. After cutting the cylinder along a vertical line and flattening the resulting rectangle, the result was the now-familiar Mercator map shown in the photograph.

The intense cultivation of methods of projection by artists, architects, and cartographers during the Renaissance eventually provoked mathematicians into considering the properties of linear perspective in general. The most profound of these generalists was a sometime architect named Girard Desargues (1591–1661).

Transformation

French circles

Desargues was a member of intersecting circles of 17th-century French mathematicians worthy of Plato’s Academy of the 4th century BCE or Baghdad’s House of Wisdom of the 9th century CE. They included René Descartes (1596–1650) and Pierre de Fermat (1601–65), inventors of analytic geometry; Gilles Personne de Roberval (1602–75), a pioneer in the development of the calculus; and Blaise Pascal (1623–62), a contributor to the calculus and an exponent of the principles set forth by Desargues.


Projective geometry

Two main directions can be distinguished in Desargues’s work. Like Renaissance artists, Desargues freely admitted the point at infinity into his demonstrations and showed that every set of parallel lines in a scene (apart from those parallel to the sides of the canvas) should project as converging bundles at some point on the “line at infinity” (the horizon). With the addition of points at infinity to the Euclidean plane, Desargues could frame all his propositions about straight lines without excepting parallel ones—which, like the others, now met one another, although not before “infinity.” A farther-reaching matter arising from artistic perspective was the relation between projections of the same object from different points of view and different positions of the canvas. Desargues observed that neither size nor shape is generally preserved in projections, but collinearity is, and he provided an example, possibly useful to artists, in images of triangles seen from different points of view. The statement that accompanied this example became known as Desargues’s theorem.

Desargues’s second direction was to “simplify” Apollonius’s work on conic sections. Despite his generality of approach, Apollonius needed to prove all his theorems for each type of conic separately. Desargues saw that he could prove them all at once and, moreover, by treating a cylinder as a cone with vertex at infinity, demonstrate useful analogies between cylinders and cones. Following his lead, Pascal made his surprising discovery that the intersections of the three pairs of opposite sides of a hexagon inscribed in a conic lie on a straight line. (regarder figure.) In 1685, in his Sectiones Conicæ, Philippe de la Hire (1640–1718), a Parisian painter turned mathematician, proved several hundred propositions in Apollonius’s Conics by Desargues’s efficient methods.

Cartesian geometry

In 1619, as part of the great illumination that inspired Descartes to assume the modest chore of reforming philosophy as well as mathematics, he devised “compasses” made of sticks sliding in grooved frames to duplicate the cube and trisect angles. Descartes esteemed these implements and the constructions they effected as (to quote from a letter of 1619) “no less certain and geometrical than the ordinary ones with which circles are drawn.” By the use of apt instruments, he would bring ancient mathematics to perfection: “scarcely anything will remain to be discovered in geometry.”

What Descartes had in mind was the use of compasses with sliding members to generate curves. To classify and study such curves, Descartes took his lead from the relations Apollonius had used to classify conic sections, which contain the squares, but no higher powers, of the variables. To describe the more complicated curves produced by his instruments or defined as the loci of points satisfying involved criteria, Descartes had to include cubes and higher powers of the variables. He thus overcame what he called the deceptive character of the terms torget, rektangelet cube as used by the ancients and came to identify geometric curves as depictions of relationships defined algebraically. By reducing relations difficult to state and prove geometrically to algebraic relations between coordinates (usually rectangular) of points on curves, Descartes brought about the union of algebra and geometry that gave birth to the calculus.

Geometrical calculus

The familiar use of infinity, which underlay much of perspective theory and projective geometry, also leavened the tedious Archimedean method of exhaustion. Not surprisingly, a practical man, the Flemish engineer Simon Stevin (1548–1620), who wrote on perspective and cartography among many other topics of applied mathematics, gave the first effective impulse toward redefining the object of Archimedean analysis. Instead of confining the circle between an inscribed and a circumscribed polygon, the new view regarded the circle as identical to the polygons, and the polygons to one another, when the number of their sides becomes infinitely great.

This revitalized approach to exhaustion received a preliminary systematization in the Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; “A Method for the Determination of a New Geometry of Continuous Indivisibles”) by the Italian mathematician Bonaventura (Francesco) Cavalieri (1598–1647). Cavalieri, perhaps influenced by Kepler’s method of determining volumes in Nova Steriometria Doliorum (1615; “New Stereometry of Wine Barrels”), regarded lines as made up of an infinite number of dimensionless points, areas as made up of lines of infinitesimal thickness, and volumes as made up of planes of infinitesimal depth in order to obtain algebraic ways of summing the elements into which he divided his figures. Cavalieri’s method may be stated as follows: if two figures (solids) of equal height are cut by parallel lines (planes) such that each pair of lengths (areas) matches, then the two figures (solids) have the same area (volume). (regarder figure.) Although not up to the rigorous standards of today and criticized by “classicist” contemporaries (who were unaware that Archimedes himself had explored similar techniques), Cavalieri’s method of indivisibles became a standard tool for solving volumes until the introduction of integral calculus near the end of the 17th century.

A second geometrical inspiration for the calculus derived from efforts to define tangents to curves more complicated than conics. Fermat’s method, representative of many, had as its exemplar the problem of finding the rectangle that maximizes the area for a given perimeter. Let the sides sought for the rectangle be denoted by un et b. Increase one side and diminish the other by a small amount ε; the resultant area is then given by (un + ε)(b − ε). Fermat observed what Kepler had perceived earlier in investigating the most useful shapes for wine casks, that near its maximum (or minimum) a quantity scarcely changes as the variables on which it depends alter slightly. On this principle, Fermat equated the areas unb and (un + ε)(b − ε) to obtain the stationary values: unb = unb − εun + εb − ε2. By canceling the common term unb, dividing by ε, and then setting ε at zero, Fermat had his well-known answer, un = b. The figure with maximum area is a square. To obtain the tangent to a curve by this method, Fermat began with a secant through two points a short distance apart and let the distance vanish (voir figure).

The world system

Part of the motivation for the close study of Apollonius during the 17th century was the application of conic sections to astronomy. Kepler not only replaced the many circles of the old planetary system with a few ellipses, he also substituted a complicated rule of motion (his “second law”) for the relatively simple Ptolemaic rule that all motions must be compounded of rotations performed at constant velocity. Kepler’s second law states that a planet moves in its ellipse so that the line between it and the Sun placed at a focus sweeps out equal areas in equal times. His astronomy thus made pressing and practical the otherwise merely difficult problem of the quadrature of conics and the associated theory of indivisibles.

With the methods of Apollonius and a few infinitesimals, an inspired geometer showed that the laws regarding both area and ellipse can be derived from the suppositions that bodies free from all forces either rest or travel uniformly in straight lines and that each planet constantly falls toward the Sun with an acceleration that depends only on the distance between their centres. The inspired geometer was Isaac Newton (1642 (Old Style)–1727), who made planetary dynamics a matter entirely of geometry by replacing the planetary orbit by a succession of infinitesimal chords, planetary acceleration by a series of centripetal jerks, and, in keeping with Kepler’s second law, time by an area.

Besides the problem of planetary motion, questions in optics pushed 17th-century natural philosophers and mathematicians to the study of conic sections. As Archimedes is supposed to have shown (or shone) in his destruction of a Roman fleet by reflected sunlight, a parabolic mirror brings all rays parallel to its axis to a common focus. The story of Archimedes provoked many later geometers, including Newton, to emulation. Eventually they created instruments powerful enough to melt iron.

The figuring of telescope lenses likewise strengthened interest in conics after Galileo Galilei’s revolutionary improvements to the astronomical telescope in 1609. Descartes emphasized the desirability of lenses with hyperbolic surfaces, which focus bundles of parallel rays to a point (spherical lenses of wide apertures give a blurry image), and he invented a machine to cut them—which, however, proved more ingenious than useful.

A final example of early modern applications of geometry to the physical world is the old problem of the size of the Earth. (regarder Sidebar: Measuring the Earth, Modernized.) On the hypothesis that the Earth cooled from a spinning liquid blob, Newton calculated that it is an oblate spheroid (obtained by rotating an ellipse around its minor axis), not a sphere, and he gave the excess of its equatorial over its polar diameter. During the 18th century many geodesists tried to find the eccentricity of the terrestrial ellipse. At first it appeared that all the measurements might be compatible with a Newtonian Earth. By the end of the century, however, geodesists had uncovered by geometry that the Earth does not, in fact, have a regular geometrical shape.

Relaxation and rigour

The dominance of analysis (algebra and the calculus) during the 18th century produced a reaction in favour of geometry early in the 19th century. Fundamental new branches of the subject resulted that deepened, generalized, and violated principles of ancient geometry. The cultivators of these new fields, such as Jean-Victor Poncelet (1788–1867) and his self-taught disciple Jakob Steiner (1796–1863), vehemently urged the claims of geometry over analysis. The early 19th-century revival of pure geometry produced the discovery that Euclid had devoted his efforts to only one of several comprehensive geometries, the others of which can be created by replacing Euclid’s fifth postulate with another about parallels.


Projection again

Poncelet, who was an officer in the French corps of engineers, learned scraps of Desargues’s work from his teacher Gaspard Monge (1746–1818), who developed his own method of projection for drawings of buildings and machines. Poncelet relied on this information to keep himself alive. Taken captive during Napoleon’s invasion of Russia in 1812, he passed his time by rehearsing in his head the things he had learned from Monge. The result was projective geometry.

Poncelet employed three basic tools. One he took from Desargues: the demonstration of difficult theorems about a complicated figure by working out equivalent simpler theorems on an elementary figure interchangeable with the original figure by projection. The second tool, continuity, allows the geometer to claim certain things as true for one figure that are true of another equally general figure provided that the figures can be derived from one another by a certain process of continual change. Poncelet and his defender Michel Chasles (1793–1880) extended the principle of continuity into the domain of the imagination by considering constructs such as the common chord in two circles that do not intersect.

Poncelet’s third tool was the “principle of duality,” which interchanges various concepts such as points with lines, or lines with planes, so as to generate new theorems from old theorems. Desargues’s theorem allows their interchange. So, as Steiner showed, does Pascal’s theorem that the three points of intersection of the opposite sides of a hexagon inscribed in a conic lie on a line; thus, the lines joining the opposite vertices of a hexagon circumscribed about a conic meet in a point. (regarder figure.)

Poncelet’s followers realized that they were hampering themselves, and disguising the true fundamentality of projective geometry, by retaining the concept of length and congruence in their formulations, since projections do not usually preserve them. Similarly, parallelism had to go. Efforts were well under way by the middle of the 19th century, by Karl George Christian von Staudt (1798–1867) among others, to purge projective geometry of the last superfluous relics from its Euclidean past.

Non-Euclidean geometries

The Enlightenment was not so preoccupied with analysis as to completely ignore the problem of Euclid’s fifth postulate. In 1733 Girolamo Saccheri (1667–1733), a Jesuit professor of mathematics at the University of Pavia, Italy, substantially advanced the age-old discussion by setting forth the alternatives in great clarity and detail before declaring that he had “cleared Euclid of every defect” (Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, 1733). Euclid’s fifth postulate runs: “If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the straight lines, if produced indefinitely, will meet on that side on which are the angles less than two right angles.” Saccheri took up the quadrilateral of Omar Khayyam (1048–1131), who started with two parallel lines FRB et C, formed the sides by drawing lines FR et BC perpendicular to FRB, and then considered three hypotheses for the internal angles at C et : to be right, obtuse, or acute (voir figure). The first possibility gives Euclidean geometry. Saccheri devoted himself to proving that the obtuse and the acute alternatives both end in contradictions, which would thereby eliminate the need for an explicit parallel postulate.

On the way to this spurious demonstration, Saccheri established several theorems of non-Euclidean geometry—for example, that according to whether the right, obtuse, or acute hypothesis is true, the sum of the angles of a triangle respectively equals, exceeds, or falls short of 180°. He then destroyed the obtuse hypothesis by an argument that depended upon allowing lines to increase in length indefinitely. If this is disallowed, the hypothesis of the obtuse angle produces a system equivalent to standard spherical geometry, the geometry of figures drawn on the surface of a sphere.

As for the acute angle, Saccheri could defeat it only by appealing to an arbitrary hypothesis about the behaviour of lines at infinity. One of his followers, the Swiss-German polymath Johann Heinrich Lambert (1728–77), observed that, based on the acute hypothesis, the area of a triangle is the negative of that of a spherical triangle. Since the latter is proportional to the square of the radius, r, the former appeared to Lambert to be the area of an imaginary sphere with radius enr, where en = Square root of−1.

Although both Saccheri and Lambert aimed to establish the hypothesis of the right angle, their arguments seemed rather to indicate the unimpeachability of the alternatives. Several mathematicians at the University of Göttingen, notably the great Carl Friedrich Gauss (1777–1855), then took up the problem. Gauss was probably the first to perceive that a consistent geometry could be built up independent of Euclid’s fifth postulate, and he derived many relevant propositions, which, however, he promulgated only in his teaching and correspondence. The earliest published non-Euclidean geometric systems were the independent work of two young men from the East who had nothing to lose by their boldness. Both can be considered Gauss’s disciples once removed: the Russian Nikolay Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), who learned his mathematics from a close friend of Gauss’s at the University of Kazan, where Lobachevsky later became a professor; et János Bolyai (1802–60), an officer in the Austro-Hungarian army whose father also was a friend of Gauss’s. Both Lobachevsky and Bolyai had worked out their novel geometries by 1826.

Lobachevsky and Bolyai reasoned about the hypothesis of the acute angle in the manner of Saccheri and Lambert and recovered their results about the areas of triangles. They advanced beyond Saccheri and Lambert by deriving an imaginary trigonometry to go with their imaginary geometry. Just as Desargues’s projective geometry was neglected for many years, so the work of Bolyai and Lobachevsky made little impression on mathematicians for a generation and more. It was largely the posthumous publication in 1855 of Gauss’s ideas about non-Euclidean geometry that gave the new approaches the cachet to attract the attention of later mathematicians.

A grand synthesis

Another of the profound impulses Gauss gave geometry concerned the general description of surfaces. Typically—with the notable exception of the geometry of the sphere—mathematicians had treated surfaces as structures in three-dimensional Euclidean space. However, as these surfaces occupy only two dimensions, only two variables are needed to describe them. This prompted the thought that two-dimensional surfaces could be considered as “spaces” with their own geometries, not just as Euclidean structures in ordinary space. For example, the shortest distance, or path, between two points on the surface of a sphere is the lesser arc of the great circle joining them, whereas, considered as points in three-dimensional space, the shortest distance between them is an ordinary straight line.

The shortest path between two points on a surface lying wholly within that surface is called a geodesic, which reflects the origin of the concept in geodesy, in which Gauss took an active interest. His initiative in the study of surfaces as spaces and geodesics as their “lines” was pursued by his student and, briefly, his successor at Göttingen, Bernhard Riemann (1826–66). Riemann began with an abstract space of n dimensions. That was in the 1850s, when mathematicians and mathematical physicists were beginning to use n-dimensional Euclidean space to describe the motions of systems of particles in the then-new kinetic theory of gases. Riemann worked in a quasi-Euclidean space—“quasi” because he used the calculus to generalize the Pythagorean theorem to supply sufficient flexibility to provide for geodesics on any surface.

When this very general differential geometry came down to two-dimensional surfaces of constant curvature, it revealed excellent models for non-Euclidean geometries. Riemann himself pointed out that, merely by calling the geodesics of a sphere “straight lines,” the maligned hypothesis of the obtuse angle produces the geometry appropriate to the sphere’s surface. Similarly, as shown by Eugenio Beltrami (1835–1900), who ended his teaching career in Saccheri’s old post at Pavia, the geometry defined in the plane by the hypothesis of the acute angle fits perfectly a surface of revolution of constant negative curvature now called a pseudosphere (voir figure)—again, provided that its geodesics are accepted as the straight lines of the geometry.

Since the hypothesis of the obtuse angle correctly characterizes Euclidean geometry applied to the surface of a sphere, the non-Euclidean geometry based on it must be exactly as consistent as Euclidean geometry. The case of the acute angle treated by Lobachevsky and Bolyai required a sharper tool. Beltrami found it in a projection into a disc in the Euclidean plane of the points of a non-Euclidean space, in which each geodesic from the non-Euclidean space corresponds to a chord of the disc. Geometry built on the hypothesis of the acute angle has the same consistency as Euclidean geometry.

The key role of Euclidean geometry in proofs of the consistency of non-Euclidean geometries exposed the Elements to ever-deeper scrutiny. The old blemishes—particularly appeals to intuition and diagrams for the meaning of concepts like “inside” and “between” and the use of questionable procedures like superposition to prove congruency—became intolerable to mathematicians who laboured to clarify the foundations of arithmetic and the calculus as well as the interrelations of the new geometries. The German mathematician Moritz Pasch (1843–1930), in his Vorlesungen über neuere Geometrie (1882; “Lectures on the New Geometry”), identified what was wanting: undefined concepts, axioms about those concepts, and more rigorous logic based on those axioms. The choice of undefined concepts and axioms is free, apart from the constraint of consistency. Mathematicians following Pasch’s path introduced various elements and axioms and developed their geometries with greater or lesser elegance and trouble. The most successful of these systematizers was the Göttingen professor David Hilbert (1862–1943), whose The Foundations of Geometry (1899) greatly influenced efforts to axiomatize all of mathematics. (regarder Sidebar: Teaching the Elements.)

The real world

Euclid’s Elements had claimed the excellence of being a true account of space. Within this interpretation, Euclid’s fifth postulate was an empirical finding; non-Euclidean geometries did not apply to the real world. Bolyai apparently could not free himself from the persuasion that Euclidean geometry represented reality. Lobachevsky observed that, if there were a star so distant that its parallax was not observable from the Earth’s orbit, his geometry would be indistinguishable from Euclid’s at the point where the parallax vanished. By his calculation, based on stellar parallaxes then just detected, his geometry could be physically meaningful only in gargantuan triangles spanning interstellar space.

In fact, non-Euclidean geometries apply to the cosmos more locally than Lobachevsky imagined. In 1916 Albert Einstein (1879–1955) published “The Foundation of the General Theory of Relativity,” which replaced Newton’s description of gravitation as a force that attracts distant masses to each other through Euclidean space with a principle of least effort, or shortest (temporal) path, for motion along the geodesics of a curved space. Einstein not only explained how gravitating bodies give this surface its properties—that is, mass determines how the differential distances, or curvatures, in Riemann’s geometry differ from those in Euclidean space—but also successfully predicted the deflection of light, which has no mass, in the vicinity of a star or other massive body. This was an extravagant piece of geometrizing—the replacement of gravitational force by the curvature of a surface. But it was not all. In relativity theory time is considered to be a dimension along with the three dimensions of space. On the closed four-dimensional world thus formed, the history of the universe stands revealed as describable by motion within a vast congeries of geodesics in a non-Euclidean universe.

au cours de votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les solides de Platon ? En termes simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, air, feu et eau ) étaient directement liés aux robustes. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent appelé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n

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