Polygones et polyèdres | Solides platoniques | Géometrie sacrée

Au début de ce cours, nous avons défini Polygones communs en particulier des polygones "symétriques", où tous les côtés et les angles sont les mêmes. Nous pouvons faire quelque chose de similaire au polyeder.

Dans un polyèdre commun tous visages sont tous la même forme de polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent à chaque fois sommet. Les polyèdres ayant ces deux propriétés sont appelés Solides platoniques, nommé d'après le philosophe grec Platon.

Alors, à quoi ressemblent les substances platoniques – et combien y en a-t-il? Pour obtenir une forme en trois dimensions, nous avons besoin du moins faces se rencontrer à chaque sommet. Commençons systématiquement par le polygone le moins régulier: les triangles équilatéraux:

Si nous fabriquons un polyèdre où trois triangles équilatéraux se rencontrer à chaque sommet, nous obtenons la forme à gauche. Ça s'appelle un tétraèdre et ont visages. ("Tetra" signifie "quatre" en grec).

Si quatre triangles de même contour se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons un autre solide platonique. Ça s'appelle octaèdre et ont visages. ("Octa" signifie "huit" en grec. Comme "Octagon", on entend une forme à 8 côtés, "Octaèdre" signifie un solide à 8 phases.)

si les triangles se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons icosaèdre. Il a visages. ("Icosa" signifie "vingt" en grec.)

si les triangles se rencontrent à chaque sommet, quelque chose d'autre se passe: nous obtenons seulement , au lieu d'un polyèdre à trois dimensions.

De plus, sept triangles ou plus à chaque sommet ne produisent pas non plus de nouveaux polyèdres: il n'y a pas assez d'espace autour d'un sommet pour contenir autant de triangles.

Cela signifie que nous avons trouvé Solides platoniques composés de triangles. Passons au prochain polygone commun: les carrés.

si les carrés se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons cube. Comme des dés, il a visages. Le cube est aussi parfois appelé hexaèdre, après le mot grec "hexa" pour "six".

si les carrés se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons . Et comme auparavant, cinq carrés ou plus ne fonctionneront pas non plus.

Essayons ensuite les pentagones réguliers:

si les pentagones se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons dodécaèdre. Il a visages. ("Dodeca" signifie "douze" en grec.)

Comme auparavant, quatre pentagones ou plus parce qu'il n'y a pas assez d'espace.

Le prochain polygone commun à essayer est les hexagones:

Si trois hexagones se rencontrent à chaque sommet, nous obtenons immédiatement un . Comme il n'y a pas de place pour plus de trois personnes, il semble qu'il n'y ait pas de solides platoniques composés d'hexagones.

Il en va de même pour tous les polygones communs de plus de six pages. Ils ne tessellent pas et nous n’obtenons absolument aucun polygone tridimensionnel.

Cela signifie que c'est seulement Solides platoniques! Regardons-les tous:

tétraèdre

visages
sommets
bords

cube

visages
sommets
bords

octaèdre

visages
sommets
bords

dodécaèdre

visages
20 verticales
Bords

icosaèdre

visages
12 verticales
Bords

Remarquez combien de faces et de coins sont à dés et octaèdre, en plus de dodécaèdre et icosaèdretandis que le nombre d'arêtes . Ces paires de solides platoniques sont appelées deux solides.

On peut transformer un polyèdre en dual en "remplaçant" chaque face par un sommet et chaque sommet par une face. Ces animations montrent comment:

Le tétraèdre est double avec lui-même. Puisqu'il a le même nombre de faces et d'angles, la commutation entre eux ne changera rien.

Platon croyait que toute la matière dans l'univers se composait de quatre éléments: l'air, la terre, l'eau et le feu. Il croyait que chaque élément correspond à l'un des solides platoniques, tandis que le cinquième représente l'univers dans son ensemble. Nous savons aujourd'hui qu'il existe plus de 100 éléments différents constitués d'atomes sphériques et non de polyèdres.

Images du livre de Johannes Kepler "Harmonices Mundi" (1619)

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou cône ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les critères, et tous les rives sont de la même longueur. n 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme verrouillée dans une est plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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