Ensemble convexe – Wikipedia | solides de Platon spirituel

En géométrie, jeu qui croise chaque ligne en un segment de ligne

Illustration d'un ensemble convexe qui ressemble un peu à un cercle déformé. Les points de connexion de segment de ligne (noir) x et y sont complètement compris dans le jeu (vert). Comme cela s'applique aux points x et y dans l'ensemble que nous pouvons choisir, l'ensemble est convexe.

Illustration d'un ensemble non convexe. Depuis la partie (rouge) du segment (noir et rouge) reliant les points x et y se trouve à l'extérieur de l'ensemble (vert), l'ensemble est non convexe.

En géométrie, un ensemble convexe ou un région convexe est un sous-ensemble d'un espace euclidien, ou plus généralement d'un espace affine sur des réels, qui traverse chaque ligne en un segment de ligne (éventuellement vide).(1)(2) De même, il s'agit d'un sous-ensemble qui est fermé lors de combinaisons convexes.(3)
Par exemple, un cube solide est un ensemble convexe, mais tout ce qui est creux ou étiré, tel qu'une forme en croissant, n'est pas convexe.

La limite d'un ensemble convexe est toujours une courbe convexe. A croisé tous les ensembles convexes contenant un sous-ensemble donné FR de l'espace euclidien, le convexe s'appelle la coque FR. C'est l'ensemble le moins convexe qui contient FR.

Une fonction convexe est une fonction véritablement valorisée définie à un intervalle de la propriété que son épigraphie (ensemble de points sur ou au-dessus du graphique de la fonction) est un ensemble convexe. La minimisation convexe est un sous-champ d'optimisation qui étudie le problème de la minimisation des fonctions convexes sur des ensembles convexes. La branche des mathématiques consacrée à l'étude des propriétés des ensembles convexes et des fonctions convexes est appelée analyse convexe.

Le terme ensemble convexe peut être généralisé comme décrit ci-dessous.

En salle des vecteurs(éditer)

Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphie, la région (en vert) au-dessus du graphique (en bleu), est un ensemble convexe.

la S Soit un espace vectoriel au-dessus des nombres réels, ou plus généralement de tout champ ordonné. Cela comprend les chambres euclidiennes. Un ensemble C en S dit être convexe si pour tout le monde x et y en C et tout t dans l'intervalle (0, 1), le point (1 – t)x + ty appartient aussi C. En d'autres termes, chaque point du segment se connecte x et y est en C. Cela signifie qu'un ensemble convexe dans un espace vectoriel topologique réel ou complexe est interconnecté et donc connecté.
De plus, C est strictement convexe si chaque point du segment rejoint x et y autres que les points d'extrémité sont à l'intérieur C.

Un ensemble C s’appelle complètement convexe si elle est convexe et équilibrée.

Les parties convexes R (ensemble de nombres réels) sont des intervalles sur R. Quelques exemples de sous-groupes convexes du plan euclidien sont les polygones fixes fixes, les triangles fixes et les croix de triangles pleins. Quelques exemples de sous-groupes convexes d'un espace tridimensionnel euclidien sont les solides d'archimède et les solides platoniques. Les polyèdres de Kepler-Poinsot sont des exemples d'ensembles non convexes.

Ensemble non convexe(éditer)

"Jeu concave" redirige ici.

Un ensemble non convexe est appelé un ensemble non convexe. Un polygone qui n’est pas un polygone convexe est parfois appelé polygone concave.(4) et certaines sources utilisent généralement le terme ensemble concave pour signifier un ensemble non convexe,(5) mais la plupart des autorités interdisent cet usage.(6)(7)

Le complément d’un ensemble convexe, tel que l’épigraphe d’une fonction concave, est parfois appelé un ensemble convexe inverse, en particulier dans le contexte de l'optimisation mathématique.(8)

propriétés(éditer)

si S est un ensemble convexe n-dimensionnel espace, puis pour toute collection de r, r > 1, nvecteurs tridimensionnels u1, …, ur en S, et pour tout nombre non négatif λ1, …, λr pour que λ1 + … + λr = 1, alors vous avez:

Un vecteur de ce type est appelé un combinaison convexe de u1, …, ur.

Intersections et syndicats(éditer)

La collection de sous-groupes convexes d'un espace vectoriel présente les caractéristiques suivantes:(9)(10)

  1. L'ensemble vide et l'ensemble du verre vectoriel sont convexes.
  2. La jonction entre toute collection d'ensembles convexes est convexe.
  3. ils union d’une série non décroissante de sous-groupes convexes est un ensemble convexe. Pour le trait précédent des unions avec des séquences non décroissantes d'ensembles convexes, la contrainte des ensembles imbriqués est importante: L'union de deux ensembles convexes nécessite pas être convexe.

Ensembles convexes fermés(éditer)

Les ensembles convexes fermés sont des ensembles convexes contenant toutes leurs valeurs limites. Ils peuvent être qualifiés de croix espaces fermés (ensemble de points dans des espaces situés sur et à côté d’un hyperplan).

D'après ce qui vient d'être dit, il est clair que ces passages à niveau sont convexes et qu'ils seront également fermés. Pour prouver le contraire, c’est-à-dire que chaque ensemble convexe peut être représenté sous la forme d’une telle intersection, il faut utiliser le ver hyperplanet de support en forme qui, pour un ensemble convexe fermé donné C et pointez sur P à l'extérieur, il y a une moitié fermée H contenant C et non P. Le test de soutien de l'hyperplanet est un cas particulier de la théorie de l'analyse fonctionnelle de Hahn-Banach.

Ensemble convexe et rectangles(éditer)

la C être un corps convexe dans le plan. On peut écrire un rectangle r en C donc une copie homosexuelle R de r est entouré de C. Le rapport d’homothétie positif est au maximum de 2 et:(11)

Coque convexe et montant de Minkowski(éditer)

Coque convexe(éditer)

Chaque sous-ensemble FR de l’espace vectoriel est contenu dans un ensemble le moins convexe (appelé coque à convexe) FR), à savoir l'intersection de tous les ensembles convexes contenant FR. L'opérateur de coque convexe Conv () présente les caractéristiques d'un opérateur de coque:

complet S V Conv (S),
non décroissante ST implique que Conv (S) V Conv (T)et
idempotent Conv (Conv (S)) = Conv (S).

L’exploitation de la coque convexe est requise pour que l’ensemble d’ensembles convexes forme un réseau où "rejoindre"opération est la coque convexe de l'union de deux ensembles convexes

Conv (S) V Conv (T) = Conv (ST) = Conv (Conv (ConvS) V Conv (T)).

L'intersection de toute collection d'ensembles convexes est elle-même convexe, de sorte que les parties convexes d'un espace vectoriel (réel ou complexe) forment une grille complète.

Minkowski plus(éditer)

Trois carrés sont représentés dans le quadrant non négatif du plan cartésien. Le carré Q1 = (0, 1) × (0, 1) est vert. Le carré Q2 = (1, 2) × (1, 2) est brun et se trouve à l'intérieur du carré turquoise Q1 + Q2 = (1,3) × (1,3). "Src =" http: // upload .wikimedia.org/wikipedia / commons / thumb / 3 / 3e / Minkowski_sum_graph _-_ vektor_version.svg / 220px-Minkowski_sum_graph _-_ vector_version.svg.png "decoding =" async "width = "220" height = "176" class = "thumbimage" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Minkowski_sum_graph_-_vector_version.svg/330px-Minkowski_sum_graph_-_vector_version.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/ Commons / thumb / 3 / 3e / Minkowski_sum_graph _-_ vector_version.svg / 440px-Minkowski_sum_graph _-_ vector_version.svg.png 2x "fichier de données width =" 720 "data hauteur du fichier = "576

Minkowski ajout d'ensembles. La somme des carrés Q1= (0,1)2 et Q2= (1.2)2 est le carré Q1+ Q2= (1,3)2.

Dans un espace vectoriel réel, il Somme de Minkowski de deux ensembles (non vides), S1 et S2, est défini comme l'ensemble S1 + S2 formé en ajoutant des vecteurs élémentaires à partir des ensembles de sommandes

S1 + S2 = x1 + x2 : x1S1, x2S2 .

Plus généralement, il Somme de Minkowski d'une dernière famille d'ensembles (non vides) Sn est l'ensemble formé par l'addition élémentaire de vecteurs

Pour l'addition de Minkowski, il ensemble zéro 0 contient seulement vecteur nul 0 a une signification particulière: pour tous les sous-ensembles non vides S d'un espace vectoriel

S + 0 = S;

en terminologie algébrique, 0 est l'élément d'identité de l'add-on Minkowski (sur la collection d'ensembles non vides).(12)

Coque convexe de l'été de Minkowski(éditer)

L'ajout de Minkowski fonctionne bien en ce qui concerne le fonctionnement des coques convexes, comme le montrent les suggestions suivantes:

la S1, S2 être un sous-ensemble d'un espace vectoriel réel, la coque convexe de leur somme de Minkowski est la somme de leurs enveloppes convexes

Conv (S1 + S2) = Conv (S1) + Conv (S2).

Ce résultat vaut plus généralement pour chaque collection finale d'ensembles non vides:

En terminologie mathématique, il La sommation de Minkowski et la formation de coques convexes sont des opérations de navettage.(1. 3)(14)

Minkowski somme d'ensembles convexes(éditer)

La somme de deux ensembles convexes compacts de Minkowski est compacte. La somme d'un ensemble convexe compact et d'un ensemble convexe fermé est fermée.(15)

Généralisations et extensions pour la convexité(éditer)

Le concept de convexité dans l'espace euclidien peut être généralisé en modifiant la définition de certains ou d'autres aspects. Le nom commun "convexité généralisée" est utilisé car les objets résultants conservent certaines propriétés des ensembles convexes.

Ensemble en forme d'étoile(éditer)

la C être un ensemble dans un espace vectoriel réel ou complexe. C est étoile convexe (en forme d'étoile) s'il y en a un x0 en C de sorte que le segment de ligne x0 à un moment donné y en C est contenu dans C. Par conséquent, un ensemble convexe non vide est toujours convexe en étoile, mais un ensemble en étoile convexe n'est pas toujours convexe.

Convexité orthogonale(éditer)

Un exemple de convexité générale est convexité orthogonale.(16)

Un ensemble S dans la salle euclidienne est appelée orthogonalement convexe ou ortho-convexe, si un segment parallèle à certains des axes de coordonnées relie deux points S est complètement à l'intérieur S. Il est facile de prouver qu’une intersection de toute collection d’orthoconvexes vue est orthoconvexe. Certaines autres propriétés des ensembles convexes sont également valides.

Géométrie non euclidienne(éditer)

La définition d'un ensemble convexe et d'une coque convexe s'étend naturellement aux géométries non euclidiennes en définissant un ensemble géodésique convexe comme étant celui qui contient les géodésiques associés à certains deux points de l'ensemble.

Topologie d'ordre(éditer)

La convexité peut être étendue pour un espace X Equipé de la topologie de la commande, utilisez la commande totale < de la chambre.(17)

la YX. en chambre Y est un ensemble convexe si pour chaque paire de points un, b en Y pour que un < b, l'intervalle (un, b) = xX : un < x < b est contenu dans Y. C'est, Y est convexe si et seulement si pour tout le monde un, b en Y, un < b moyens (un, b) Y.

espace de convection(éditer)

Le terme convexité peut être généralisé à d'autres objets si certaines propriétés de convexité sont choisies comme axiomes.

Étant donné un ensemble X, un convexité sur X est une collection 𝒞 de sous-groupes de X répond aux axiomes suivants:(9)(10)(18)

  1. L'ensemble vide et X est en 𝒞
  2. L'intersection de toute collection de 𝒞 est en 𝒞.
  3. Association d'une chaîne (en ce qui concerne les conditions d'inclusion) d'éléments de 𝒞 est en 𝒞.

Les articles à 𝒞 sont appelés ensembles convexes et la paire (X, 𝒞) est appelé un espace de convection. Pour la convexité habituelle, les deux premiers axiomes tiennent, et le troisième est trivial.

Pour une autre définition de la convexité abstraite, plus adaptée à la géométrie discrète, voir géométries convexes associé aux antimatroïdes.

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  1. ^ Morris, Carla C.; Stark, Robert M. Mathématiques Finies: Modèles et Applications. John Wiley & Sons. p. 121. ISBN 9781119015383. récupéré 5 avril 2017.
  2. ^ Kjeldsen, Tinne Hoff. "Histoire de convection et programmation mathématique" (PDF). Négociations du Congrès international des mathématiciens (ICM 2010): 3233-3257. doi: 10,1142 / 9789814324359_0187. récupéré 5 avril 2017.
  3. ^ Bachem, Ahim; Core, Walter. Dualité de programmation linéaire: introduction aux matroïdes orientés. Springer Science & Business Media. 13. ISBN 9783642581526. récupéré 5 avril 2017.
  4. ^ McConnell, Jeffrey J. (2006), Infographie: la théorie en pratique, p.130, ISBN 0-7637-2250-2.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Konkave". MathWorld.
  6. ^ Takayama, Akira (1994), Méthodes analytiques en économiePresses de l'Université du Michigan, p. 54, ISBN 9780472081356, Une confusion souvent constatée est un "ensemble concave". Les fonctions concaves et convexes désignent certaines classes de fonctions, non vues, tandis qu'un ensemble convexe spécifie un ensemble de classes particulier et non une classe de fonctions. Un "ensemble concave" confond les ensembles de fonctionnalités.
  7. ^ Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B .; Zeman, Juraj (2009), Introduction à l'analyse mathématique pour la théorie économique et l'économétrie, Princeton University Press, p. 347, ISBN 9781400833085, Il n'y a pas de concave.
  8. ^ Meyer, Robert (1970), "La validité d'une famille de méthodes d'optimisation", Journal SIAM sur le contrôle et l'optimisation, 8: 41-54, MR 0312915.
  9. ^ un b Soltan, Valeriu, Introduction à la théorie axiomatique de la convexitéIntiinţa, Chişinău, 1984 (en russe).
  10. ^ un b Sanger, Ivan (1997). Analyse convexe abstraite. Série de monographies et de textes avancés de la Société mathématique du Canada. New York: John Wiley & Sons, Inc., page Xxii + 491. ISBN 0-471-16015-6. MR 1.461.544.
  11. ^ Lassak, M. (1993). "Approche de corps convexes avec des rectangles". Geometriae Dedicata. 47: 111. doi: 10.1007 / BF01263495.
  12. ^ Le jeu vide est important en plus de Minkowski, car le jeu vide se détruit: un sous-ensemble: Pour chaque sous-ensemble S d'un espace vectoriel, la somme de l'ensemble vide est vide: S + ∅ = ∅.
  13. ^ Position 3 (p. 562-563): Kérine, M .; Šmulian, V. (1940). "Sur des ensembles convexes réguliers dans la pièce, conjugués à une pièce de Banach". Annales de Mathématiques. Deuxième série. 41. pp. 556-583. doi: 10,2307 / 1 968 735. JSTOR 1.968.735.
  14. ^ Pour la commutativité de l'addition et de la convection de Minkowski, voir le théorème 1.1.2 (page 2-3) dans Schneider; Cette référence traite en grande partie de la littérature sur les enveloppes convexes des sommes de Minkowski dans son "Chapitre 3 Compléments de Minkowski" (page 126-196): Schneider, Rolf (1993). Corps convexes: la théorie de Well Minkowski. Encyclopédie des mathématiques et ses applications. 44. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv + 490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1 216 521.
  15. ^ Lemme 5.3: Aliprantis, C.D .; Border, K.C. (2006). Analyse dimensionnelle infinie, Guide de l'auto-stoppeur. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.
  16. ^ Rawlins G.J.E. et Wood D, "Ortho-convexité et ses généralisations", dans: Beregningsmorfologi137-152. Elsevier, 1988.
  17. ^ Moines, James; topologiePrentice Hall; 2e édition (28 décembre 1999). ISBN 0-13-181629-2.
  18. ^ Van De Vel, Marcel L. J. (1993). Théorie des structures convexes. Bibliothèque mathématique de Hollande du Nord. Amsterdam: Nord-Holland Publishing Co., pp. Xvi + 540. ISBN 0-444-81505-8. MR 1 234 493.

Liens externes(éditer)


En observant les relations entre les robustes de Platon, on peut noter que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les points centraux des 12 pentagones qui composent l’élément éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant parce que ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se inclus effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est avérée assez difficile jusqu’à présent, en raison de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les critiques artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles le font. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n

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