Tessellation – Wikipedia | Géometrie sacrée

A tessellation d'une surface plane est le pavage d'un plan utilisant une ou plusieurs formes géométriques, appelées pavés, sans recouvrement ni intervalle. En mathématiques, les mosaïques peuvent être généralisées à des dimensions plus élevées et à une variété de géométries.

Un pavage périodique a un motif répétitif. Certains types spéciaux incluent les pavages réguliers avec des pavés polygonaux réguliers de même forme et les pavages semi-régulaires avec des pavés réguliers de plusieurs formes et avec tous les coins disposés à l'identique. Les motifs formés par les pavages périodiques peuvent être classés en 17 groupes de papiers peints. Une mosaïque qui répète un motif répété est appelée "non périodique". Un mosaïque apériodique utilise un petit ensemble de formes de mosaïques qui ne peuvent pas former de motif répétitif. Dans la géométrie des dimensions supérieures, un remplissage de l'espace ou en nid d'abeille est également appelé un tessellation de l'espace.

Une tessellation physique est faite de matériaux tels que des carrés de céramique ou des hexagones. Ces pavages peuvent être des motifs décoratifs, ou peuvent avoir des fonctions telles que la fourniture de revêtements de revêtements de sols, de sols ou de murs durables et résistants à l'eau. Historiquement, les pavages étaient utilisés dans la Rome antique et dans l’art islamique, comme dans le pavage géométrique décoratif du palais de l’Alhambra. Au XXe siècle, les travaux de M. C. Escher utilisaient souvent des tessellations, à la fois en géométrie euclidienne ordinaire et en géométrie hyperbolique, pour obtenir un effet artistique. Les tesselles sont parfois utilisées pour obtenir un effet décoratif lors de la courtepointe. Les tesselles forment une classe de motifs dans la nature, par exemple dans les réseaux de cellules hexagonales trouvées dans les nids d'abeilles.

histoire(éditer)

Mosaïque de temple de l'ancienne ville sumérienne d'Uruk IV (3400–3100 av. J.-C.), montrant un motif de tessellation en tuiles colorées

Les Sumériens (environ 4000 ans av. J.-C.) utilisaient des tesselles pour la construction de décorations murales formées de motifs de carreaux d'argile.(1)

Les pavages de mosaïque décoratifs faits de petits blocs carrés appelés tesselles ont été largement utilisés dans l’antiquité classique,(2) affichant parfois des motifs géométriques.(3)(4)

En 1619, Johannes Kepler réalisa une première étude documentée sur les mosaïques. Il a écrit sur les pavages réguliers et semi-régulaires dans son livre. Harmonices Mundi; il fut probablement le premier à explorer et à expliquer les structures hexagonales de nid d'abeilles et de flocons de neige.(5)

Quelque deux cents ans plus tard, en 1891, le cristallologue russe Yevgraf Fyodorov prouva que chaque périodique du plan comportait l’un des dix-sept groupes différents d’isométries.(8)(9) Les travaux de Fyodorov ont marqué le début officieux de l'étude mathématique des mosaïques. Aleksei Shubnikov et Nikolai Belov (1964), autres contributeurs importants(10) et Heinrich Heesch et Otto Kienzle (1963).(11)

étymologie(éditer)

En latin, tessellating est un petit morceau d'argile, de pierre ou de verre servant à la fabrication de mosaïques.(12) Le mot "tessella" signifie "petit carré" (de tessère, square, qui vient du mot grec signifiant quatre). Cela correspond au terme de tous les jours carrelage, qui fait référence à des applications de tessellations, souvent en argile émaillée.

vue d'ensemble(éditer)

La tessellation à deux dimensions, également appelée mosaïque plane, est un sujet de géométrie qui étudie comment les formes, connues sous le nom de carrelage, peut être arrangé pour planifier sans aucune interruption, selon un ensemble de règles donné. Ces règles peuvent être variées. Les plus courantes sont qu’il ne doit y avoir aucun espace entre les carreaux et qu’aucun coin de l’un ne peut s’allonger le long du bord d’un autre.(13) Les mosaïques créées par la maçonnerie collée n'obéissent pas à cette règle. Parmi ceux qui le font, une tessellation régulière a les deux identique(A)tuiles régulières et coins réguliers identiques, avec le même angle entre les bords adjacents pour chaque tuile. Seules trois formes peuvent former des mosaïques régulières: le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier. Chacune de ces trois formes peut être dupliquée à l'infini sur un plan sans espace.

Différents types de pavage sont possibles sous différentes contraintes. Par exemple, il existe huit types de pavage semi-régulier, composé de plusieurs types de polygones réguliers, tout en conservant le même agencement de polygones aux quatre coins.(15) Les formes irrégulières peuvent être faites à partir d'autres formes telles que les pentagones, les polyominos et en fait presque n'importe quel type de forme géométrique. L'artiste M. C. Escher est célèbre pour ses mosaïques irrégulières imbriquées, en forme d'animaux et d'autres objets naturels. Si des couleurs contrastantes appropriées sont choisies pour les carreaux de forme différente, des motifs saisissants sont formés, et ceux-ci peuvent être utilisés pour décorer des surfaces physiques telles que les sols d'église.(17)

Les pavages de zell élaborés et colorés de carreaux émaillés à l'Alhambra en Espagne ont attiré l'attention de M. C. Escher

Plus formellement, un pavage ou pavage est une couverture du plan euclidien par un nombre dénombrable d’ensembles fermés, appelés carrelage, qui est que les tuiles ne se croisent que sur leurs limites. Ces tuiles peuvent être des polygones ou d'autres formes.(B) De nombreuses mosaïques sont formées à partir d'un nombre fini de prototypes dans lesquels toutes les mosaïques de la mosaïque sont congruentes avec les prototiles donnés. Si la forme géométrique peut être utilisée comme prototile pour créer une tessellation, on dit que la forme paver ou à tuile l'avion. Le critère de Conway est un ensemble de règles suffisant mais non nécessaire pour décider si une forme donnée donne des tuiles au plan périodiquement sans réflexions: certaines tuiles ne répondent pas au critère mais restent au plan.(19) Aucune règle générale n'a été trouvée pour déterminer si une forme donnée peut être le plan ou non, ce qui signifie qu'il existe de nombreux problèmes non résolus concernant les mosaïques.

Le plan euclidien peut être étendu à des espaces autres que le plan euclidien. Le géomètre suisse Ludwig Schläfli a innové en définissant polyschemes, que les mathématiciens appellent aujourd'hui les polytopes. Ce sont les analogues des polygones et des polyèdres dans des espaces plus vastes. Il a ensuite défini le symbole pour faciliter la description des polytopes. Par exemple, le symbole Schläfli pour un triangle équilatéral est 3, tandis que celui d'un carré est 4.(20) La notation Schläfli permet de décrire les pavages de manière compacte. Par exemple, trois hexagones réguliers ont trois polygones à six côtés à chaque sommet. Son symbole de Schlifli est donc 6.3.(21)

D'autres méthodes existent également pour décrire les pavages polygonaux. Lorsque le pavage est composé de polygones réguliers, la notation la plus courante est la configuration de sommet, qui est simplement une liste du nombre de côtés des polygones autour d'un sommet. La mosaïque carrée a une configuration de sommet de 4.4.4.4, ou 44. Le pavage des hexagones réguliers est noté 6.6.6, ou 63.

En mathématiques(éditer)

Introduction aux tessellations(éditer)

Les mathématiciens utilisent des termes techniques lorsqu'ils discutent des notes. une bord est l'intersection de deux tuiles adjacentes; c'est souvent une ligne droite. A sommet est le point d'intersection de trois tuiles adjacentes ou plus. En utilisant ces termes, un isogonal ou vertex transitif est un pavage où chaque sommet est identique; c'est-à-dire que la disposition des polygones autour de chaque sommet est la même. La région fondamentale est une forme telle qu'un rectangle qui est répété pour former le pavage.(22) Par exemple, une tessellation régulière du plan avec des carrés a une réunion de quatre carrés à chaque sommet.

Les côtés des polygones ne sont pas nécessairement identiques aux bords des carreaux. une carrelage bord à bord est une mosaïque polygonale dans laquelle les mosaïques adjacentes ne partagent qu'une page entière, c'est-à-dire sans part ou côté partiel avec une autre mosaïque. Dans une mosaïque de bord à bord, les côtés des polygones et les bords des mosaïques sont les mêmes. Le carrelage "mur de briques" bien connu n'est pas bord à bord car le long côté de chaque brique rectangulaire est partagé avec deux briques adjacentes.

A carrelage normal est une tessellation pour laquelle chaque mosaïque est topiquement équivalente à un disque, l'intersection de deux mosaïques est un ensemble connecté ou vide, et toutes les mosaïques sont délimitées de manière uniforme. Cela signifie qu’un seul rayon de circonscription et un seul rayon d’inscription peuvent être utilisés pour toutes les tuiles de la mosaïque entière; la condition interdit les carreaux pathologiquement longs ou minces.(23)

A carrelage monoédrique est une tessellation dans laquelle toutes les tuiles sont congruentes; il n'a qu'un seul prototile. Un type particulièrement intéressant de pavage monoédrique est le pavage en spirale monochrome. Le premier carrelage monoédrique en spirale a été découvert par Heinz Voderberg en 1936; la mosaïque de Voderberg a une unité qui est un ennéagon non convexe.(1) la Carrelage Hirschhorn, publié par Michael D. Hirschhorn et D. C. Hunt en 1985, est un pavage pentagone utilisant des pentagones irréguliers: les pentagones réguliers ne peuvent pas paver le plan euclidien en tant qu’angle interne d’un pentagone régulier, 3π/5, n'est pas un diviseur de 2π.(24)(25)(26)

Un mosaïque isoédrique est une variante spéciale d'une mosaïque monoédrique dans laquelle toutes les mosaïques appartiennent à la même classe de transitivité, c'est-à-dire que toutes les mosaïques sont transformées par le même prototype pendant le groupe de symétrie de la mosaïque.(23) Si un prototile est admis, alors l'isohèdre est le prototile appelé anisohèdre et forme des pavages anisohédraux.

Une tessellation régulière est une mosaïque très symétrique bord à bord composée de polygones réguliers de la même forme. Il n'y a que trois mosaïques régulières: celles composées de triangles équilatéraux, de carrés ou d'hexagones réguliers. Tous les trois sont isogonaux et monohédraux.(27)

Une tessellation semi-régulière (ou archimédienne) utilise plus d'un type de polygone régulier dans un arrangement isogonal. Il y a huit pavages semi-réguliers (ou neuf si la paire de pavages en miroir compte pour deux). Ceux-ci peuvent être décrits par leur configuration de sommet; par exemple, un pavage semi-régulier utilisant des carrés et des octogones réguliers a la configuration de sommet 4.82 (chaque sommet a un carré et deux octogones).(29) De nombreux pavages non horizontaux du plan euclidien sont possibles, y compris la famille des pavages de Pythagore, des pavages utilisant deux tailles (paramétrées) de carré, chaque carré touchant quatre carrés de l'autre taille.(30) Une mosaïque de bord est une mosaïque dans laquelle chacune peut être vue sur un bord pour prendre la position d'une tuile voisine, par exemple dans un tableau de triangles équilatéraux ou isocèles.(31)

Groupes de papier peint(éditer)

Ce pavement de rue pavé et monohédral utilise des formes courbes au lieu de polygones. Il appartient au groupe de papier peint p3.

Les mosaïques présentant une symétrie de translation dans deux directions indépendantes peuvent être classées par groupes de papiers peints ou parmi lesquelles 17 existent.(32) On a prétendu que tous ces groupes étaient représentés au palais de l'Alhambra à Grenade, en Espagne. Bien que cela soit contesté,(33) La variété et la sophistication des pavages d’Alhambra ont surpris les chercheurs modernes.(34) Sur les trois pavages réguliers, deux sont dans le p6m groupe de papier peint et on est en p4m. Les mosaïques en 2D avec symétrie de translation dans une seule direction peuvent être classées par sept groupes libres décrivant les motifs libres possibles.(35)La notation orbifold peut être utilisée pour décrire des groupes de papier peint du plan euclidien.(36)

Pavages apériodiques(éditer)

Les pavages de Penrose, qui utilisent deux prototiles quadrilatéraux différents. Ils appartiennent à une classe générale de pavages apériodiques, qui utilisent des pavés qui ne peuvent pas former de mosaïque périodiquement. Le processus de substitution récursif est une méthode de génération d'un saignement périodique. Une classe pouvant être générée de cette manière est celle des tuiles de repères; ces pavages ont des propriétés étonnamment autoréplicantes. les carreaux apparaissent dans une infinité d'orientations.(38) On pourrait penser qu'un motif non périodique serait entièrement dépourvu de symétrie, mais ce n'est pas le cas. Les pavages apériodiques, bien que dépourvus de symétrie de translation, présentent des symétries d’autres types, à répétition infinie de tout pavé de pavage délimité et dans certains groupes finis de rotations ou de réflexions de ces pavés.(39) Une règle de substitution peut être utilisée pour générer des motifs au crayon à l’aide d’assemblages de carreaux appelés losanges, symétrie d’échelle.(40) Un mot de Fibonacci peut être utilisé pour construire un périodique et pour étudier des cristaux quasiques, qui sont des structures avec un ordre périodique.(41)

Les carreaux Wang sont des carrés de couleur sur chaque bord et sont placés de manière à ce que les bords adjacents des carreaux adjacents aient la même couleur. c'est pourquoi ils sont parfois appelés dominos Wang. Un ensemble approprié de dominos Wang peut paver l'avion, mais seulement de manière non périodique. Ceci est connu car toute machine de Turing peut être représentée comme un ensemble de dominos Wang qui juxtapose l’avion si et seulement si la machine de Turing ne s’arrête pas. Puisque le problème d’arrêt est indécidable, il est également indécidable de décider si un jeu de dominos peut paver le plan.(42)(43)(44)(45)(46)

Les dalles de truchet sont des dalles carrées avec des motifs, elles n'ont donc pas de symétrie de rotation; En 1704, Sébastien Truchet utilise une tuile carrée divisée en deux triangles ou couleurs contrastantes. Ceux-ci peuvent paver l'avion de manière périodique ou aléatoire.(47)(48)

Tessellations et couleur(éditer)

Si la couleur de cette tuile doit former un motif en répétant ce rectangle comme domaine fondamental, il faut au moins sept couleurs; plus généralement, il faut au moins quatre couleurs.

Parfois, la couleur d'une tuile est comprise comme faisant partie du carrelage; que d'autres fois des couleurs arbitraires peuvent être appliquées plus tard. Lorsque vous parlez de mosaïque qui est affichée en couleurs, pour éviter toute ambiguïté, vous devez spécifier si les couleurs font partie de la mosaïque ou ne représentent qu’une partie de son illustration. Cela a une incidence sur le fait que la même forme, mais des couleurs différentes, soient identiques ou non, ce qui a une incidence sur les questions de symétrie. Le théorème des quatre couleurs stipule que chaque mosaïque d'un plan euclidien normal, avec un ensemble de quatre couleurs disponibles, chaque mosaïque peut être colorée d'une seule couleur de sorte qu'aucune mosaïque de couleur égale ne se mesure sur une courbe de longueur positive. La couleur garantie par le théorème des quatre couleurs ne respecte généralement pas les symétries du pavage. Pour produire une couleur qui le fasse, il est nécessaire de traiter les couleurs dans le cadre du pavage. Ici, sept couleurs peuvent être nécessaires, comme dans l’illustration à droite.(49)

Tessellations avec des polygones(éditer)

Outre les différents pavages de polygones réguliers, les pavages d’autres polygones ont également été étudiés.

Tout triangle ou quadrilatère (même non convexe) peut être utilisé comme prototype pour former une tessellation monohédrique, souvent de plusieurs manières. Les copies d'un quadrilatère arbitraire peuvent être formatées avec une symétrie de translation et une symétrie de rotation 2 fois avec des centres situés au centre de tous les côtés. Pour un quadrilatère asymétrique, ce carrelage appartient au groupe de papiers peints p2. En tant que domaine fondamental, nous avons le quadrilatère. De manière équivalente, nous pouvons construire un parallélogramme sous-tendu par un ensemble minimal de vecteurs de traduction, à partir d'un centre de rotation. On peut diviser cela par une diagonale et prendre une moitié comme domaine fondamental. Un tel triangle a la même surface que le quadrilatère et peut être construit à partir de découpage et de collage.(50)

Si une seule forme de mosaïque est autorisée, il existe des mosaïques avec convexe N-gons pour N égal à 3, 4, 5 et 6. Pour N = 5, voir aussi le carrelage pentagonal N = 6Voir Carrelage hexagonal, pour N = 7, voir carrelage heptagonal et pour N = 8, voir pavage octogonal.

Pour des résultats sur le pavage du plan avec des polyominos, voir Polyomino § Utilisations des polyominos.

Carrelage de Voronoï(éditer)

Les mosaïques de Voronoï ou de Dirichlet sont des mosaïques dans lesquelles chaque mosaïque est définie comme l'ensemble des points le plus proche de l'un des points d'un ensemble discret de points de définition. (Pensez aux régions géographiques où chaque région est définie comme tous les points les plus proches d'une ville ou d'un bureau de poste donnés.)(51)(52) la Cellule de Voronoï pour chaque point de définition est un polygone convexe. La triangulation de Delaunay est une désignation qui est le graphe dual d’une tessellation de Voronoï. Les triangulations de Delaunay sont utiles dans la simulation numérique, en partie à cause de toutes les triangulations possibles des points de définition, les triangulations de Delaunay maximisant le minimum des angles formés par les arêtes.(53) Les allotissements avec des points placés au hasard peuvent être utilisés pour construire des pavages aléatoires du plan.(54)

Tessellations dans des dimensions supérieures(éditer)

La tessellation peut être étendue à trois dimensions. Certains polyèdres peuvent être empilés dans un motif cristallin régulier pour remplir un espace tridimensionnel, y compris le cube (seul polyèdre platonique à faire), le dodécaèdre rhombique, l'octaèdre tronqué et les prismes triangulaires, quadrilatéraux et hexagonaux. , entre autres.(55) Tout polyèdre qui répond à ce critère est appelé plésiohèdre et peut comporter entre 4 et 38 faces.(56) Les dodécaèdres rhombiques naturels se trouvent sous forme de cristaux d'andradite (une sorte de grenat) et de fluorite.(57)(58)

Illustration d'un biprisme de Schmitt-Conway, également appelé tuile de Schmitt-Conway-Danzer

Les tesselles de trois dimensions ou plus sont appelées nid d'abeilles. En trois dimensions, il n'y a qu'un seul nid d'abeilles régulier, qui a huit cubes à chaque sommet de polyèdre. De même, dans les trois dimensions, il n’ya qu’un seul quasi-régulateur(C) nid d'abeille, qui a huit tétraèdres et six octaèdres à chaque sommet de polyèdre. Cependant, il existe de nombreuses structures alvéolaires semi-régulaires en trois dimensions.(59) Les polyèdres uniformes peuvent être construits en utilisant la construction Wythoff.(60)

Le biprisme de Schmitt-Conway est un polyèdre convexe avec la propriété de paver l’espace uniquement de manière apériodique.(61)

Un triangle noir est un triangle sphérique qui peut être utilisé pour paver une sphère.(62)

Tessellations dans des géométries non euclidiennes(éditer)

Il est possible de tesseller dans des géométries non euclidiennes telles que la géométrie hyperbolique. Un pavage uniforme dans le plan hyperbolique (qui peut être régulier, quasi-régulier ou semi-régulaire) correspond à un remplissage bord à bord du plan hyperbolique, avec des polygones réguliers comme faces; ceux-ci sont vertex-transitifs (transitifs sur ses sommets) et isogonaux (il existe une isométrie mappant n'importe quel sommet sur un autre).(63)(64)

Un nid d'abeilles uniforme dans un espace hyperbolique est une tessellation uniforme ou une cellule polyhédrale uniforme. Dans l'espace hyperbolique tridimensionnel, il existe neuf familles de groupes de Coxeter ou nids d'abeilles uniformes convexes compacts, générés sous la forme de constructions de Wythoff et représentés par les permutations d'anneaux des diagrammes de Coxeter de chaque famille.(65)

Panneau de sol en mosaïque romaine en pierre, carrelage et verre provenant d'une villa située près d'Antioche en Syrie romaine. 2ème siècle après JC

Architecture, les mosaïques sont utilisées depuis l'Antiquité pour créer des motifs décoratifs. Les pavages de mosaïque ont souvent des motifs géométriques.(4) Les civilisations ultérieures ont également utilisé des carreaux plus grands, simples ou décorés individuellement. Certains des bâtiments les plus décoratifs de l'architecture islamique, utilisant des carreaux de Girih et de Zelike dans des bâtiments tels que l'Alhambra(66) et La Mezquita.(67)

Les tessellations figuraient fréquemment dans l'art graphique de M. C. Escher; Il s'est inspiré de l'utilisation de la symétrie par les maures dans des endroits tels que l'Alhambra lors de sa visite en Espagne en 1936. Escher a réalisé quatre dessins "Limite circulaire" de pavages utilisant une géométrie hyperbolique.(69)(70) Pour sa gravure sur bois "Circle Limit IV" (1960), Escher prépara une étude au crayon et à l'encre montrant la géométrie requise. Escher a expliqué qu '"aucun composant unique de toutes les séries ne disparaissait à l'infini comme des fusées perpendiculaires à la limite et se perdait enfin dans la ligne de démarcation".

Une courtepointe montrant un motif de tessellation régulier

Les dessins en mosaïque apparaissent souvent sur les textiles, qu'ils soient tissés, cousus ou imprimés. Les modèles de tessellation ont été utilisés pour concevoir des motifs imbriqués ou des formes de patch dans les courtepointes.(73)(74)

Les tessellations constituent également un genre principal d'origami (pliage du papier), où les plis sont utilisés pour relier des molécules telles que des plis torsadés de manière répétitive.(75)

Dans la fabrication(éditer)

La tessellation est utilisée dans l'industrie manufacturière pour réduire le gaspillage ou les pertes de matériau, telles que la tôle, lors de la découpe de formes d'objets tels que des portes de voiture ou des canettes de boisson.(76)

La tessellation est apparente dans les fissures ou les films minces ressemblant à de la boue(77)(78) – en observant un degré d'auto-organisation utilisant les micro et nanotechnologies.(79)

Dans la nature(éditer)

Un nid d'abeille est une structure tessellated naturelle.

Le nid d'abeilles est un exemple bien connu de tessellation dans la nature avec ses cellules hexagonales.(80)

En botanique, le terme "tessellate" décrit un motif en damier, par exemple sur un pétale de fleur, une écorce d'arbre ou un fruit. Fleurs dont le fritillaire(81) et certaines espèces de colchique sont typiquement pavés.(82)

De nombreux motifs dans la nature sont formés par des fissures dans des feuilles de matériaux. Ces modèles peuvent être décrits par Gilbert Tessellations,(83) également connu sous le nom de réseaux de crack aléatoires.(84) La tessellation de Gilbert est un modèle mathématique pour la formation de fissures de vase, de cristaux en forme d'aiguilles et de structures similaires. Le modèle, nommé d'après Edgar Gilbert, permet la formation de fissures à partir d'une dispersion aléatoire dans l'avion. chaque fissure se propage dans deux directions opposées le long d'une ligne passant par le point d'initiation, sa pente étant choisie au hasard, créant ainsi un pavage ou des polygones convexes irréguliers.(85)Les coulées de lave basaltique présentent souvent des jointures colonnaires résultant des forces de contraction qui provoquent des fissures lors du refroidissement de la lave. Les vastes réseaux de fissures qui développent ou produisent des colonnes ou de la lave hexagonales. La chaussée des géants en Irlande du Nord est un exemple d'un tel ensemble de colonnes.(86)La chaussée tessellée, qui constitue un exemple caractéristique de la formation de Eaglehawk Neck sur la péninsule de Tasman en Tasmanie, est une formation rocheuse sédimentaire rare, dans laquelle la roche s'est fracturée en blocs rectangulaires.(87)

D'autres modèles naturels apparaissent dans les mousses; Ceux-ci sont emballés conformément aux lois de Plateau, qui exigent des surfaces minimales. Par exemple, en 1887, Lord Kelvin a proposé un conditionnement utilisant un seul solide, le nid d’abeilles cubique à corps amorphe avec des faces très légèrement incurvées. En 1993, Denis Weaire et Robert Phelan ont proposé la structure Weaire – Phelan, qui utilise moins de surface pour séparer les cellules ou un volume égal à celui de la mousse de Kelvin.(88)

En puzzles et en mathématiques récréatives(éditer)

Les tesselles ont donné naissance à de nombreux types de casse-tête, allant des casse-tête traditionnels (avec des morceaux de bois irréguliers ou du carton).(89) et le tangram(90) à des énigmes plus modernes qui ont souvent une base mathématique. Par exemple, les polyiamants et les polyominos sont des figures de triangles et de carrés réguliers, souvent utilisés dans les casse-têtes.(91)(92) Des auteurs tels que Martin Gardner et Henry Dudene ont fait de nombreuses utilisations de la tessellation en mathématiques récréatives. Par exemple, Dudeney a inventé la dissection articulée,(93) tandis que Gardner a écrit à propos de la tuile-rep, une forme qui peut être disséquée en copies plus petites de la même forme.(94)(95) Inspirée des articles de Gardner dans Scientific American, la mathématicienne amateur Marjorie Rice a découvert quatre nouvelles mosaïques avec des pentagones.(96)(97)La quadrature du carré pose le problème de la mosaïque d'un carré intégral à l'aide d'autres carrés uniquement.(98)(99) Une extension carrée le plan, en l'ajoutant par des carrés qui sont tous des nombres naturels sans répétition; James et Frederick Henle ont prouvé que c'était possible.(100)

Exemples(éditer)

  1. ^ Le terme mathématique pour les formes identiques est "congru" – en mathématiques, "identique" signifie qu'elles sont la même tuile.
  2. ^ Les tuiles doivent généralement être homéomorphes (équivalentes topologiquement) à un disque fermé, ce qui signifie que les formes bizarres avec des trous, les segments de ligne ou les zones infinies sont exclues.
  3. ^ Dans ce contexte, quasirégulaire signifie que les cellules sont régulières (solides) et les figures de vertex sont semi-régulaires.

références(éditer)

  1. ^ un b Pickover, Clifford A. (2009). Le livre de mathématiques: de Pythagore à la 57e dimension, 250 étapes de l'histoire des mathématiques. Sterling. p 372. ISBN 9781402757969.
  2. ^ Dunbabin, Katherine M. D. (2006). Mosaïques du monde grec et romain. Cambridge University Press. p 280..
  3. ^ "Les mosaïques géométriques de Brantingham". Conseil municipal de Hull. 2008. récupéré 26 mai 2015.
  4. ^ un b Field, Robert (1988). Motifs géométriques des mosaïques romaines. Tarquin. ISBN 978-0-906-21263-9.
  5. ^ Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi (Harmonie des mondes).
  6. ^ Djibouti, Hristo; Potkonjak, Miodrag (2012). "Problèmes de couverture dynamique dans les réseaux de capteurs" (PDF). Laboratoire national de Los Alamos. p. 2. récupéré 6 avril 2013.
  7. ^ Fyodorov, Y. (1891). "Symétrie dans l'avion". Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva (Actes de la Société de minéralogie impériale de Saint-Pétersbourg). 2 (en russe). 28: 245–291.
  8. ^ Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich; Belov, Nikolaĭ Vasilʹevich (1964). Symétrie colorée. Macmillan.
  9. ^ Heesch, H .; Kienzle, O. (1963). Volet de surface: Le système des formes est un émetteur sans fin (en allemand) Springer.
  10. ^ "Tessellate". Merriam-Webster en ligne. récupéré 26 mai 2015.
  11. ^ Conway, R .; Burgiel, H .; Goodman-Strauss, G. (2008). Les symétries des choses. Peters.
  12. ^ Cundy et Rollett (1961). Modèles mathématiques (2e éd.). Oxford. pp. 61-62.
  13. ^ "Basilique Saint Marc". Section: Sol Tessellé. Basilique Saint-Marc. récupéré 26 avril 2013.
  14. ^ Trésorier, Doris (septembre 1980). "Est-ce que ça va carrelage? Essayez le critère de Conway!" Magazine de mathématiques. Vol 53 no. 4. pp. 224–233. doi: 10,2307 / 2689617.
  15. ^ Coxeter, H.S.M. (1948). Polytopes Réguliers. Methuen. pp. 14, 69, 149. ISBN 9780486614809.
  16. ^ Weisstein, Eric W. "Tessellation". MathWorld.
  17. ^ Seau, Michèle; Trésorier, Doris (8 mai 2007). M.C. Escher's Legacy: célébration du centenaire. Berlin Heidelberg: Springer. p. 325. ISBN 978-3-540-28849-7.
  18. ^ un b Horne, Clare E. (2000). Symétrie géométrique dans les motifs et les pavages. Éditions Woodhead. pp. 172, 175. ISBN 9781855734920.
  19. ^ Dutch, Steven (29 juillet 1999). "Quelques pavages spéciaux radiaux et en spirale". Université du Wisconsin. récupéré 6 avril 2013.
  20. ^ Hirschhorn, M.D .; Hunt, D.C. (1985). "Pentagones convexes équilatéraux qui recouvrent le plan". Journal of Combinatorial Theory, série A. 39 (1): 1–18. doi: 10.1016 / 0097-3165 (85) 90078-0. récupéré 29 avril 2013.
  21. ^ Weisstein, Eric W. "Carrelage du Pentagone". MathWorld.
  22. ^ Weisstein, Eric W. "Tessellations régulières". MathWorld.
  23. ^ NRICH (Millennium Maths Project) (1997-2012). "Schläfli Tessellations". Université de Cambridge. récupéré 26 avril 2013.
  24. ^ Wells, David (1991). "pavage deux places". Le Dictionnaire Pingouin de Géométrie Curieuse et Intéressante. New York: Penguin Books. pp. 260-261. ISBN 978-0-14-011813-1.
  25. ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011). "Tessellations de bord et timbres se pliants de timbre". Magazine de mathématiques. 84 (4): 283–89. doi: 10,4169 / math.mag.84.4.283.
  26. ^ Armstrong, M.A. (1988). Groupes et symétrie. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-96675-3.
  27. ^ Grünbaum, Branko (juin – juillet 2006). "Quels groupes de symétrie sont présents dans l'Alhambra?" (PDF). Avis de la société mathématique américaine. 53 (6): 670 à 673.
  28. ^ Lu, Peter J; Steinhardt (23 février 2007). "Carrelages décagonaux et quasi-cristallins dans l'architecture islamique médiévale". science. 315 (5815): 1106-10. Bibcode: 2007Sci … 315.1106L. doi: 10.1126 / science.1135491. PMID 17322056.
  29. ^ Weisstein, Eric W. "Frieze Group". MathWorld.
  30. ^ Huson, Daniel H. (1991). Mutation de symétrie bidimensionnelle. CiteSeer. CiteSeerX 10.1.1.30.8536.
  31. ^ Radin, C. (mai 1994). "Le Tilage Pinwheel de l'avion". Annales de Mathématiques. 139 (3): 661-702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723. doi: 10,2307 / 2118575. JSTOR 2118575.
  32. ^ Austin, David. "Les tuiles de Penrose parlent à travers des milles". American Mathematical Society. récupéré 29 mai 2015.
  33. ^ Harriss, E. O. "Pavage Apériodique" (PDF). Université de Londres et EPSRC. récupéré 29 mai 2015.
  34. ^ Dharma Wardana, M.W.C .; MacDonald, A. H .; Lockwood, D.J.; Baribeau, J.-M. Houghton, D.C. (1987). "La diffusion Raman dans les super-réseaux de Fibonacci". Lettres d'examen physique. 58 (17): 1761-1765. Bibcode: 1987PhRvL..58.1761D. doi: 10.1103 / physrevlett.58.1761.
  35. ^ Wang, Hao (1961). "Prouver des théorèmes par reconnaissance de forme – II". Journal technique du système Bell. 40 (1): 1–41. doi: 10.1002 / j.1538-7305.1961.tb03975.x.
  36. ^ Wang, Hao (novembre 1965). "Jeux, logique et ordinateurs". Scientifique américain. pp. 98-106.
  37. ^ Berger, Robert (1966). "L'indécidabilité du problème des dominos". Mémoires de la société mathématique américaine. 66 (66): 72. doi: 10.1090 / memo / 0066.
  38. ^ Robinson, Raphael M. (1971). "Indécidabilité et non périodicité pour les pavages de l'avion". Mathematicae inventé. 12 (3): 177-209. Bibcode: 1971InMat..12..177R. doi: 10.1007 / bf01418780. M. 0297572.
  39. ^ Culik, Karel, II (1996). "Un ensemble apériodique de 13 tuiles Wang". Mathématiques discrètes. 160 (1-3): 245-251. doi: 10.1016 / S0012-365X (96) 00118-5. M. 1417576.
  40. ^ Browne, Cameron (2008). "Truchet courbes et surfaces". Ordinateurs et graphiques. 32 (2): 268–281. doi: 10.1016 / j.cag.2007.10.001.
  41. ^ Smith, Cyril Stanley (1987). "Les modèles de carrelage de Sebastian Truchet et la topologie de la hiérarchie structurelle". Leonardo. 20 (4): 373-385. doi: 10,2307 / 1578535. JSTOR 1578535.
  42. ^ Hazewinkel, Michiel, éd. (2001) (1994), "Problème de quatre couleurs", Encyclopédie de Mathématiques, Springer Science + Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  43. ^ Jones, Owen (1910) (1856). La grammaire de l'ornement (folio éd.). Bernard Quaritch.
  44. ^ Aurenhammer, Franz (1991). "Diagrammes de Voronoï – Étude d'une structure de données géométriques fondamentales". ACM Computing Surveys. 23 (3): 345–405. doi: 10,1145 / 116873,116880.
  45. ^ Okabe, Atsuyuki; Bottes, Barry; Sugihara, Kokichi; Chiu, Sung Nok (2000). Tessellations spatiales – Concepts et applications des diagrammes de Voronoï (2e éd.). John Wiley. ISBN 978-0-471-98635-5.
  46. ^ George, Paul Louis; Borouchaki, Houman (1998). Triangulation et maillage de Delaunay: application aux éléments finis. Hermes. pp. 34-35. ISBN 978-2-86601-692-0.
  47. ^ Moller, Jesper (1994). Conférences sur des Tessellations de Voronoï aléatoires. Springer. ISBN 978-1-4612-2652-9.
  48. ^ Grünbaum, Branko (1994). "Les pavages uniformes de 3 espaces". Geombinatorics. 4 (2): 49–56.
  49. ^ Engel, Peter (1981). "À propos des fonctionnalités de symétrie cubique". Zeitschrift für Kristallographie, Géométrie du cristal, Physique du cristal, Chimie du cristal. 154 (3-4): 199-215. Bibcode: 1981ZK …. 154..199E. doi: 10,1524 / zkri.1981.154.3-4.199. M. 0598811..
  50. ^ Oldershaw, Cally (2003). Firefly Guide to Gems. Livres Firefly. p 107. ISBN 978-1-55297-814-6.
  51. ^ Kirkaldy, J. F. (1968). Minéraux et roches en couleur (2e éd.). Blandford. pp. 138-139.
  52. ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald; Sherk, F. Arthur; Société mathématique du Canada (1995). Kaléidoscopes: Écrits sélectionnés ou S.S.M. Coxeter. John Wiley & Sons. page 3 et passim. ISBN 978-0-471-01003-6.
  53. ^ Weisstein, Eric W. "Construction de Wythoff". MathWorld.
  54. ^ Sénéchal, Marjorie (26 septembre 1996). Quasicristaux et géométrie. CUP Archive. p.209. ISBN 978-0-521-57541-6.
  55. ^ Schwarz, H. A. (1873). "Ueberigen Fälle dans lequel la série hypergéométrique gaussienne des fonctions algébriques entend quatre éléments". Journal pour les mathématiques pures et utilisées. 1873 (75): 292-335. doi: 10,1515 / crll.1873.75.292. ISSN 0075-4102.
  56. ^ Margenstern, Maurice (4 janvier 2011). "Coordonnées pour un nouveau pavage triangulaire du plan hyperbolique". ArXiv:1101.0530 (Cs.FL).
  57. ^ Zadnik, Gašper. "Basculement du plan hyperbolique avec des polygones réguliers". wolfram. récupéré 27 mai 2015.
  58. ^ Coxeter, S.S.M. (1999). Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. pp. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1.
  59. ^ "Mathematics in Art and Architecture". National University of Singapore. Retrieved 17 May 2015.
  60. ^ Whittaker, Andrew (2008). Speak the Culture: Spain. Thorogood Publishing. p. 153. ISBN 978-1-85418-605-8.
  61. ^ Gersten, S. M. "Introduction to Hyperbolic and Automatic Groups" (PDF). University of Utah. Retrieved 27 May 2015. Figure 1 is part of a tiling of the Euclidean plane, which we imagine as continued in all directions, and Figure 2 (Circle Limit IV) is a beautiful tesselation of the Poincaré unit disc model of the hyperbolic plane by white tiles representing angels and black tiles representing devils. An important feature of the second is that all white tiles are mutually congruent as are all black tiles; of course this is not true for the Euclidean metric, but holds for the Poincaré metric
  62. ^ Leys, Jos (2015). "Hyperbolic Escher". Retrieved 27 May 2015.
  63. ^ Porter, Christine (2006). Tessellation Quilts: Sensational Designs From Interlocking Patterns. F+W Media. pp. 4–8. ISBN 9780715319413.
  64. ^ Beyer, Jinny (1999). Designing tessellations: the secrets of interlocking patterns. Contemporary Book. pp. Ch. 7. ISBN 9780809228669.
  65. ^ Gjerde, Eric (2008). Origami Tessellations. Taylor and Francis. ISBN 978-1-568-81451-3.
  66. ^ "Reducing yield losses: using less metal to make the same thing". UIT Cambridge. Retrieved 29 May 2015.
  67. ^ Thouless, M. D. (1990). "Crack Spacing in Brittle Films on Elastic Substrates". J. Am. Chem. Soc. 73 (7): 2144–2146. doi:10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x.
  68. ^ Z. C. Xia, J. W. Hutchinson "Crack patterns in thin films" J. Mech. Phys. Solids 48, 1107 (2000). doi:10.1016/S0022-5096(99)00081-2
  69. ^ Seghir, R.; Arscott, S. (2015). "Controlled mud-crack patterning and self-organized cracking of polydimethylsiloxane elastomer surfaces". Sci. Rep. 5: 14787. Bibcode:2015NatSR…514787S. doi:10.1038/srep14787. PMC 4594096. PMID 26437880.
  70. ^ Ball, Philip. "How honeycombs can build themselves". Nature. Retrieved 7 November 2014.
  71. ^ Shorter Oxford English dictionary (6th ed.). United Kingdom: Oxford University Press. 2007. p. 3804. ISBN 978-0199206872.
  72. ^ Purdy, Kathy (2007). "Colchicums: autumn's best-kept secret". American Gardener (September/October): 18–22.
  73. ^ Schreiber, Tomasz; Soja, Natalia (2010). "Limit theory for planar Gilbert tessellations". arXiv:1005.0023 (math.PR).
  74. ^ Gray, N. H.; Anderson, J. B.; Devine, J. D.; Kwasnik, J. M. (1976). "Topological properties of random crack networks". Mathematical Geology. 8 (6): 617–626. doi:10.1007/BF01031092.
  75. ^ Gilbert, E. N. (1967). "Random plane networks and needle-shaped crystals". In Noble, B. (ed.). Applications of Undergraduate Mathematics in Engineering. New York: Macmillan.
  76. ^ Weaire, D.; Rivier, N. (1984). "Soap, cells and statistics: Random patterns in two dimensions". Contemporary Physics. 25 (1): 59–99. doi:10.1080/00107518408210979.
  77. ^ Branagan, D.F. (1983). Young, R.W.; Nanson, G.C. (eds.). Tesselated pavements. Aspects of Australian sandstone landscapes. Special Publication No. 1, Australian and New Zealand Geomorphology. University of Wollongong. pp. 11–20. ISBN 978-0-864-18001-8.
  78. ^ Ball, Philip (2009). Shapes. Oxford University Press. pp. 73–76. ISBN 978-0-199-60486-9.
  79. ^ McAdam, Daniel. "History of Jigsaw Puzzles". American Jigsaw Puzzle Society. Archived from the original on 11 February 2014. Retrieved 28 May 2015.
  80. ^ Slocum, Jerry (2001). The Tao of Tangram. Barnes & Noble. p. 9. ISBN 978-1-4351-0156-2.
  81. ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02444-8.
  82. ^ Martin, George E. (1991). Polyominoes: A guide to puzzles and problems in tiling. Mathematical Association of America.
  83. ^ Frederickson, Greg N. (2002). Hinged Dissections: Swinging and Twisting. Cambridge University Press. ISBN 978-0521811927.
  84. ^ Gardner, Martin (May 1963). "On 'Rep-tiles,' Polygons that can make larger and smaller copies of themselves". Scientifique américain. Vol. 208 no. May. pp. 154–164.
  85. ^ Gardner, Martin (14 December 2006). Aha! A Two Volume Collection: Aha! Gotcha Aha! Insight. MAA. p. 48. ISBN 978-0-88385-551-5.
  86. ^ Suri, Mani (12 October 2015). "The Importance of Recreational Math". New York Times.
  87. ^ Schattschneider, Doris (1978). "Tiling the Plane with Congruent Pentagons" (PDF). Mathematics Magazine. MAA. 51 (1): 29–44. doi:10.2307/2689644. JSTOR 2689644.
  88. ^ Tutte, W. T. "Squaring the Square". Squaring.net. Retrieved 29 May 2015.
  89. ^ Gardner, Martin; Tutte, William T. (November 1958). "Mathematical Games". Scientifique américain.
  90. ^ Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2008). "Squaring the plane" (PDF). American Mathematical Monthly. 115 (1): 3–12. doi:10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR 27642387. Archived from the original (PDF) on 2006-06-20.

Sources(edit)

External links(edit)

  • Wolfram MathWorld: Tessellation (good bibliography, drawings of regular, semiregular and demiregular tessellations)
  • Tilings Encyclopedia (extensive information on substitution tilings, including drawings, people, and references)
  • Tessellations.org (how-to guides, Escher tessellation gallery, galleries of tessellations by other artists, lesson plans, history)
  • Eppstein, David. "The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling". (list of web resources including articles and galleries)


Les robustes platoniques marchent comme des cellules unitaires qui se répètent sur elles-mêmes afin de maintenir l’intégrité de leur forme insolite. Chaque cellule unitaire a un volume spécialisé de conscience, ou lien énergétique, qu’elle exprime par sa forme unique. Les cellules unitaires se développent les unes à côté des autres et se soutiennent les unes les autres. c’est pourquoi certaines cellules deviennent des nerfs, d’autres des groupes musculaires, d’autres encore des organes. Chacun suit une directive qui se répète sur lui-même tout en aujourd’hui l’intégrité d’un corps humain de 3ème surface. Drunvalo Melchizédek note que l’icosaèdre et le dodécaèdre tournent microscopiquement à l’intérieur de la double hélice de notre ADN qui transmet et maintient la conscience des humains dans la troisième superficie. C’est aussi la raison pour laquelle l’humanité, en tant que forme de vie de 3ème surface, ne peut pas voir physiquement des êtres dimensionnels supérieurs. Nos yeux physiques ne peuvent pas distinguer la signature énergétique des êtres de la septième surface. Cependant, à mesure que notre planète se développe vers la cinquième dimension, l’humanité évolue vers notre prochaine expression réel en tant qu’êtres de cinquième surface sur Terre. A travers nos yeux de cinquième superficie, nous ferons l’expérience de nous-mêmes à l’intérieur de notre nouveau monde dans une perspective d’amour inconditionnel, de pardon compatissant et de grande paix. Travaillez avec ces véhicules de la fabrication pour célébrer tout ce que vous soyez. n

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