En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique et en combinatoire polyhédrique, Caractéristique d'Euler (ou Numéro d'Eulerou Caractéristique d'Euler-Poincaré) est un invariant topologique, un nombre qui décrit la forme ou la structure d’une pièce topologique, quelle que soit sa courbure. Il est souvent noté par
La caractéristique d'Euler a été définie à l'origine pour le polyèdre et utilisée pour démontrer divers théorèmes à leur sujet, notamment la classification des solides platoniques. Leonhard Euler, pour qui le concept est appelé, l'a introduit au polyèdre, mais n'a pas réussi à prouver de manière stricte qu'il s'agit d'un invariant. En mathématiques modernes, Euler est caractéristique de l'homologie et de l'algèbre homologue plus abstraite.
polyèdres(éditer)
ils Caractéristique d'Euler
Classiquement défini pour les surfaces de polyèdre, selon la formule
où V, Eet fa sont les nombres respectivement coins, arêtes et faces du polyèdre donné. Toute surface de polyèdre convexe a la caractéristique d’Euler
Cette équation est connue sous le nom de Formule polyèdre d'Euler.(1) Il correspond à la caractéristique d'Euler de la sphère (x = 2) et est identique au polyèdre sphérique. Une illustration de la formule sur certains polyèdres est donnée ci-dessous.
Les surfaces des polyèdres non convexes peuvent avoir différentes propriétés d'Euler:
Pour le polyèdre ordinaire, Arthur Cayley a dérivé une forme modifiée de la formule d'Euler en utilisant la densité ré, densité maximale révet densité du visage
:
Cette version contient des polyèdres convexes (où les densités sont toutes égales à 1) et des non-convexes Polyeder de Kepler-Poinsot.
Les polyèdres en projection ont tous la caractéristique d'Euler 1, véritable plan projectif, tandis que les surfaces des polyèdres toroïdaux ont toutes la caractéristique d'Euler 0, en tant que tore.
Flydiagrammer(éditer)
La caractéristique d'Euler peut être définie immédiatement pour les cartes de vol connectées
formule comme pour les surfaces polyédriques, où fa est le nombre de faces dans le graphique, y compris la face externe.
La caractéristique d'Euler de tout graphe G lié à un plan est 2. Cela est facile à prouver par induction du nombre de faces déterminées par G, en commençant par un arbre comme l'ensemble de base. Pour les arbres,
et
. Si G a des composantes C (graphes déconnectés), le même argument apparaît par induction de F it
. Une des rares théories de graphes de Cauchy montre également ce résultat.
Par le biais de projections stéréographiques, la planète mappe la sphère à deux dimensions, de sorte qu’un graphe connexe mappe une dégradation polygonale de la sphère, qui a la caractéristique d’Euler 2. Cette vue est implicite dans la preuve de Cauchy de la formule d’Euler donnée ci-dessous.
Formule d'Euler(éditer)
Première étape dans la preuve d'un dé
Il y a beaucoup de preuves de la formule d'Euler. L'une a été donnée par Cauchy en 1811, comme suit. Elle s'applique à tout polyèdre convexe, et plus généralement à tout polyèdre dont la limite est topologiquement équivalente à une sphère et dont les faces sont topologiquement équivalentes à des disques.
Retirez une face de la surface polyédrique. En séparant les bords de la face manquante, tout le reste se déforme en un graphique plat de points et de courbes, de sorte que le périmètre de la face manquante soit placé à l'extérieur, entourant le graphique obtenu, comme illustré par le Premier des trois graphiques de cube. cas particulier. (La prémisse selon laquelle la surface polyhédrique est homomorphe à la sphère au début est ce qui rend cela possible.) Après cette déformation, les faces communes ne sont généralement plus communes. Le nombre de croix et d'arêtes est resté le même, mais le nombre de faces est réduit de 1. Par conséquent, la formule d'Euler pour le polyèdre montre V – E + fa = 1 pour cet objet plan déformé.
S'il existe une face de plus de trois pages, tracez une diagonale, c'est-à-dire une courbe à travers la face qui relie deux coins non encore connectés. Cela ajoute un bord et une face et ne change pas le nombre de croix, donc cela ne change pas la quantité V – E + fa. (Il est nécessaire ici de supposer que toutes les faces sont des disques pour montrer à travers la déclaration de la courbe de Jordan que cette opération augmente le nombre de faces de un.) Continuez à ajouter des arêtes de cette manière jusqu'à ce que toutes les faces soient triangulaires.
Répétant l’une des deux transformations suivantes à plusieurs reprises, l’invariant maintient que la limite extérieure correspond toujours à un seul cycle:
- Supprimez un triangle avec un seul bord à côté de l'extérieur, comme illustré par l'autre graphique. Cela réduit le nombre d'arêtes et de faces avec une seule et ne modifie pas le nombre de croisements pour qu'il soit maintenu V – E + fa.
- Supprimez un triangle à deux bords divisé par l'extérieur du réseau, comme illustré par le troisième graphique. Chaque suppression de triangle supprime un sommet, deux arêtes et une face, de sorte qu'elle soit maintenue V – E + fa.
Ces transformations réduisent finalement le graphe en un seul triangle. (Sans le cycle simple, la suppression d'un triangle peut déconnecter les autres triangles et invalider le reste de l'argument. Un ordre de suppression valide est un exemple élémentaire de rognage.)
A ce point a le triangle solitaire V = 3, E = 3 et fa = 1 pour que V – E + fa = 1. Puisque chacune des deux étapes de transformation ci-dessus a conservé cette quantité, nous avons montré V – E + fa = 1 pour l'objet plat et déformé qui illustre V – E + fa = 2 pour le polyèdre. Cela montre le théorème.
Pour plus de preuves, voir Vingt preuves de la formule d'Euler par David Eppstein.(2) Plus de preuves, y compris des erreurs et des limitations, sont utilisées comme exemples Preuves et réfutations par Imre Lakatos.(3)
Définition topologique(éditer)
Les surfaces polyhédrales mentionnées ci-dessus sont, dans les langages modernes, des complexes CW finis en deux dimensions. (Lorsque seules des faces triangulaires sont utilisées, il s'agit de complexes simplicial finis à deux dimensions.) En général, pour tout complexe CW final, Caractéristique d'Euler peut être défini comme somme alternante
où kn indique le nombre de cellules de dimension n dans le complexe.
De même, pour un complexe simpliste, Caractéristique d'Euler correspond au montant d'échange
où kn indique le nombre n-complexes dans le complexe.
Plus généralement, pour certains espaces topologiques, on peut définir nnuméro de Betti bn comme le classement de nun groupe d'homologues singulier. ils Caractéristique d'Euler peut alors être défini comme somme alternante
Ce montant est bien défini si les nombres de Betti sont tous finaux et s’ils sont nuls au-delà d’un indice particulier n0. Pour les complexes simples, ce n'est pas la même définition que dans le paragraphe précédent, mais un calcul d'homologie montre que les deux définitions donneront la même valeur pour
.
propriétés(éditer)
La caractéristique d'Euler se comporte comme suit pour de nombreuses opérations de base sur les espaces topologiques.
Invariance de l'homotopie(éditer)
L'homologie est un invariant topologique et, en outre, un invariant d'homotopie: Deux compartiments topologiques équivalents d'homotopie possèdent des groupes homologues isomorphes. Il s'ensuit que la caractéristique d'Euler est également un invariant d'homotopie.
Par exemple, tout espace contractible (c’est-à-dire une homotopie correspondant à un point) a une homologie triviale, ce qui signifie que le nombre 0 Betti est 1 et l’autre 0. La caractéristique d’Euler est donc 1. Cette matière inclut l’espace euclidien.
de toute dimension, ainsi que la boule unitaire fixe de tout espace euclidien – l’intervalle unidimensionnel, le disque bidimensionnel, la balle tridimensionnelle, etc.
Pour un autre exemple, tout polyèdre convexe est homomorphe à la sphère tridimensionnelle, la surface est donc homomorphe (donc son équivalent homotope) à la sphère bidimensionnelle possédant la caractéristique d'Euler 2. Ceci explique pourquoi le polyèdre convexe a la caractéristique d'Euler 2.
principe d'inclusion-exclusion(éditer)
si M et N Il existe deux espaces topologiques. Euler se caractérise donc par la somme de leurs propriétés d’Euler, car leur homologie est additive lors d’une union disjointe:
Plus généralement, si M et N fait partie d'un espace plus grand Xil en va de même de leur union et de leur intersection. Dans certains cas, la caractéristique d'Euler obéit à une version de principe d'inclusion-exclusion:
Ceci s'applique dans les cas suivants:
En général, le principe d'exclusion d'inclusion est faux. Un exemple de mode est donné en prenant X être la vraie ligne, M un sous-ensemble constitué d'un point et N complément à M.
Somme associée(éditer)
Pour deux n-collecteurs fermés connectés
on peut obtenir un nouveau collecteur connecté
via l'opération de somme connectée.
Euler est typiquement lié à la formule (6)
caractéristiques du produit(éditer)
Aussi les caractéristiques d'Euler pour les domaines de produits M x N est
Ces fonctionnalités supplémentaires et de diffusion sont également appréciées par cardinalité des ensembles. De cette manière, la caractéristique d'Euler peut être considérée comme une généralisation de la cardinalité; voir (1).
Couvre les espaces(éditer)
De même, pour un kespace de pont durci
et a
Plus généralement, pour un zone de pont ramifié, la caractéristique d'Euler de la couverture peut être calculée à partir de ce qui précède, avec un facteur de correction pour les points de ramification, donnant la formule de Riemann-Hurwitz.
Attributs Anneau fibre(éditer)
La caractéristique du produit est beaucoup plus générale, pour les fibrilles avec certaines conditions.
si
est une fibre de vibration F, avec la base B Web lié et le fibrage est orientable sur un champ K, vu Euler caractéristique des coefficients sur le terrain K satisfaire les caractéristiques du produit:(7)
Cela inclut les salles de produits et les aires de pont en tant que cas particuliers,
et peut être détecté par la séquence spectrale de Serre sur l'homologie d'une fibration.
Pour les faisceaux de fibres, cela peut également être compris sous la forme d’une carte de transmission.
– Notez qu'il s'agit d'un lifting et va "dans le mauvais sens" – dont la composition avec la carte de projection
est la multiplication de la classe Euler de la fibre:(8)
exemples(éditer)
surfaces(éditer)
La caractéristique d'Euler peut facilement être calculée pour les surfaces générales en trouvant une polygonisation de la surface (c'est-à-dire une description en tant que complexe CW) et par les définitions ci-dessus.
football(éditer)
Il est courant de construire des ballons de football en assemblant des pièces pentagonales et hexagonales, avec trois pièces qui se rejoignent à chaque sommet (voir, par exemple, Adidas Telstar). si P pentagones et H Les hexagones sont utilisés, donc c'est fa = P + H visages, V = (5 P + 6 H) / 3 coins, et E = (5 P + 6 H) / 2 bords. La caractéristique d'Euler est donc
Comme la balle a la caractéristique Euler 2, elle suit P = 12. C’est un ballon de football construit de cette façon, qui a toujours 12 pentagones. En principe, le nombre d'hexagones est illimité. Ce résultat s'applique également à fullerènes.
Dimensions aléatoires(éditer)
ils nsphère tridimensionnelle a des groupes homologues singuliers semblables