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Dans la géométrie des solides et certaines théories physiques anciennes, un solide platonique est un polyèdre convexe avec:
* Toutes les faces sont des polygones communs congruents
* Le même nombre de faces qui se rencontrent à chacun de ses coins
Ceux-ci sont en contraste avec:
* Solides de Kepler-Poinsot non convexes
* Le tissu Archimédien et Johnson, qui, bien que présentant des polygones réguliers comme faces, n’est pas commun
Les cinq solides platoniques étaient tous connus des Grecs de l'Antiquité et l'argument heuristique selon lequel ils sont le seul polyèdre commun se trouve dans les éléments d'Euclide. Euler l'a prouvé au 18ème siècle.
Nombre limité de polyèdres platoniques
La limitation à cinq de ces solides tridimensionnels est facilement démontrée par la géométrie élémentaire:
1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet d'au moins trois surfaces.
2. À chaque sommet du solide, la somme, entre les surfaces adjacentes, des angles entre leurs côtés adjacents respectifs doit être inférieure à 360 °.
3. Les angles de tous les angles de toutes les surfaces d’un solide platonique sont identiques, de sorte que chaque sommet de chaque face doit avoir une contribution inférieure à 360 ° / 3 = 120 °.
4. Les polygones communs de six pages ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus. Le sujet commun doit donc être un triangle, un carré ou un pentagone. Et pour:
* Faces triangulaires: chaque sommet d’un triangle ordinaire mesure 60 °. Ainsi, une forme peut avoir 3, 4 ou 5 triangles qui se rejoignent sur un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
* Faces carrées: chaque sommet d'un carré mesure 90 °, de sorte qu'un seul arrangement est possible avec trois faces au sommet, les dés.
* Faces pentagonales: chaque sommet est à 108 °; De nouveau, un seul arrangement de trois faces au sommet est possible, le dodécaèdre.
En fait, le problème de la classification des polyèdres platoniques n’est pas vraiment géométrique, mais seulement topologique. C'est-à-dire que la même liste de cinq polyèdres peut être obtenue en utilisant uniquement des informations combinatoires sur un polyèdre commun: le nombre v d'angles, le nombre d'arêtes, le nombre de faces des faces, le nombre n de bords limitant chaque face et le nombre de d. des arêtes qui rencontrent chaque sommet. Ces chiffres sont liés comme suit:
* tous sont positifs, et n et d sont au moins 3, comme ci-dessus;
* puisque chaque arête est adjacente à deux faces et rencontre deux angles, n f = 2 e = v d;
* v – e + f = 2. (Ceci est un fait élémentaire de la topologie algébrique, cette caractéristique d'Euler de la sphère est 2.)
En utilisant ces faits, il n’est pas difficile de montrer algébriquement que seuls les cinq polyèdres réguliers classiques sont possibles.
Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les bords sont de la même dimension. n 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une est plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n
















