Géométrie euclidienne | Britannica.com Géometrie sacrée

Géométrie euclidienne, l'étude de figures planes et solides à partir d'axiomes et de théorèmes employés par le mathématicien grec Euclid (c. 300 BCE). En résumé, la géométrie euclidienne est la géométrie plane et solide souvent enseignée dans les écoles secondaires. En fait, jusqu'à la seconde moitié du 19e siècle, lorsque des géométries non euclidiennes attiraient l'attention des mathématiciens, géométrie signifiait géométrie euclidienne. C'est l'expression la plus typique de la pensée mathématique générale. Au lieu de mémoriser des algorithmes simples pour résoudre des équations par cœur, il faut une connaissance approfondie du sujet, des idées claires pour appliquer des théorèmes dans des situations particulières, une capacité à généraliser à partir de faits connus et une insistance sur la signification des preuves. Dans l'excellent travail d'Euclide, élémentsLes seuls outils utilisés pour les constructions géométriques étaient la règle et la boussole – une limitation conservée de nos jours dans la géométrie euclidienne élémentaire.

Mathématiciens du monde gréco-romain

En savoir plus sur ce sujet

géométrie: géométrie euclidienne

Dans plusieurs cultures anciennes, il a développé une forme de géométrie qui correspond à la relation entre les longueurs, les zones et les quantités de …

Dans sa stricte organisation déductive, il éléments modèle d’exposition scientifique jusqu’à la fin du XIXe siècle, lorsque le mathématicien allemand David Hilbert a écrit son célèbre Base de géométrie (1899). La version moderne de la géométrie euclidienne est la théorie des espaces euclidiens (coordonnées) de plusieurs dimensions, où la distance est mesurée par une généralisation appropriée du théorème de Pythagore. regarder géométrie analytique et géométrie algébrique.

Principes fondamentaux

Euclid s'est rendu compte qu'un développement approfondi de la géométrie doit commencer par la fondation. C'est pourquoi il a commencé éléments avec certains termes non définis, par exemple "un point est celui qui n'a pas de partie" et "une ligne est une longueur sans largeur". Après ces termes, il a défini d'autres idées telles que des angles, des cercles, des triangles et divers autres polygones et nombres. Par exemple, un angle était défini comme l'inclinaison de deux lignes droites, et un cercle était une figure de vol composée de tous les points ayant une distance fixe (rayon) d'un centre donné.

Euclid a proposé cinq notions communes, telles que "les choses identiques, sont identiques" et cinq principes inconscients mais intuitifs, connus sous le nom de postulats ou d'axiomes différents. En termes modernes, les axiomes sont les suivants:

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  • 1. Étant donné deux points, une ligne droite leur est attachée.

  • 2. Un segment de ligne droite peut être prolongé indéfiniment.

  • 3. Un cercle peut être construit lorsqu'un point du centre et une distance du rayon sont donnés.

  • 4. Tous les angles droits sont égaux.

  • 5. Si une ligne droite tombant sur deux lignes droites fait que les angles intérieurs d'un même côté sont inférieurs à deux angles droits, les deux lignes droites, si indéfiniment, se rejoindront du côté où les angles sont plus petits que les deux droites. angles.

Hilbert a raffiné les axiomes (1) et (5) comme suit:

  • 1. Pour deux points différents, (a) il y a une ligne contenant ces deux points, et (b) cette ligne est unique.

  • 5. Pour toute ligne L et pointez sur p pas sur L, a) une ligne traverse p Ne pas rencontrer L, et (b) cette ligne est unique.

Le cinquième axiome est devenu connu sous le nom "Postulat parallèle", car il fournit la base de l'unicité des lignes parallèles. (Il a également suscité un vif intérêt, car il semblait moins intuitif et moins évident que les autres. Au 19ème siècle, Carl Friedrich Gauss, János Bolyai et Nikolay Lobachevsky ont commencé à expérimenter ce postulat, pour finalement adopter de nouvelles géométries non euclidiennes.) Les cinq axiomes ont fourni la base de nombreuses affirmations démontrables, ou théorèmes, sur lesquelles Euclid a construit sa géométrie. La suite de cet article explique brièvement les principaux théorèmes des aéronefs euclidiens et de la géométrie solide.

Plan géométrie

Congruence des triangles

deux On dit que les triangles sont congruent si l’un peut être chevauché avec précision par un mouvement rigide, et les ensembles de congruence indiquent les conditions dans lesquelles cela peut se produire. Le premier taux est Ver SAS (Side-Angle-side): Si deux côtés et l’angle inclus d’un triangle sont égaux à deux côtés et que l’angle inclus d’un autre triangle, les triangles sont congruents. Après ça, c'est pareil angle angle (ASA) et théorèmes côte à côte (SSS).

Le premier théorème très utile dérivé des axiomes est la propriété de base de la symétrie des triangles isocèles, c'est-à-dire que deux côtés d'un triangle sont égaux si et seulement si les angles qui les font face sont égaux. La preuve d'Euclide de cette phrase s'appelait autrefois Pons Asinorum ("Ass of Bridge), sans doute parce que les étudiants médiocres ne pourraient pas aller au-delà de gammes plus longues de géométrie (pour une description illustrée de la preuve, voir Sidebar: Ass of the Bridge, qui ouvre la voie à divers théorèmes lors du congrès des triangles.

Le postulat parallèle est fondamental pour démontrer la théorie selon laquelle la somme d'un angle de triangle est toujours égale à 180 degrés. Une seule preuve de cette phrase a été attribuée aux pythagoriciens.

Comme indiqué ci-dessus, les figures congruentes ont la même forme et la même taille. Les figures similaires, par contre, ont la même forme, mais leur taille peut varier. La forme est étroitement liée au concept de proportion, comme l’observaient jadis les anciens artisans égyptiens. Segments de longueurs un, b, cet est dit proportionnel si un:b = c: (Lire, un existe b qui c existe ; en note plus ancienne un:b::c:). ils Le théorème de base de l'égalité stipule qu'un segment de droite divise deux côtés d'un triangle en segments proportionnels si et seulement si le segment est parallèle au troisième côté du triangle.

La théorie de l'égalité peut être reformulée comme Théorème d'égalité AAA (Angle Angle): Deux triangles ont des angles similaires égaux si et seulement si leurs côtés correspondants sont proportionnels. Deux triangles similaires sont liés à un facteur d'échelle (ou de similarité) s: si le premier triangle a des pages un, bet c, alors l'autre aura des pages sun, sbet sc. Outre l'utilisation omniprésente de facteurs d'échelle sur les plans de construction et les cartes géographiques, la similarité est fondamentale pour la trigonométrie.

Tout comme un segment peut être mesuré en le comparant à un segment d'unité, la surface d'un polygone ou d'un autre chiffre de vol peut être mesurée en le comparant à une unité de carré. Les formules courantes de calcul des zones réduisent ce type de mesure pour mesurer certaines longueurs appropriées. Le cas le plus simple est un rectangle de pages un et bqui a la surface unb. En plaçant un triangle dans un rectangle approprié, on peut montrer que l'aire du triangle est la moitié du produit de la longueur de l'une de ses bases et de sa hauteur correspondante.bh/ 2. Vous pouvez ensuite calculer l'aire d'un polygone général en le disséquant dans des aires triangulaires. Si un triangle (ou une figure plus générale) a une surface FR, un triangle similaire (ou figure) avec un facteur d'échelle sur s veux une zone off s2FR.

Pour un triangleFRBC La phrase de Pythagore comprend deux parties: (1) siFRCB est un angle droit alors un2 + b2 = c2; (2) si un2 + b2 = c2alorsFRCB est un angle droit. Pour tout triangle, le théorème de Pythagore est généralisé à la loi du cosinus: un2 + b2 = c2 – 2unb cos (FRCB). QuandFRCB est 90 degrés, cela réduit au pythagoraset parce que cos (90 °) = 0.

Depuis qu'Euclid compte un certain nombre de mathématiciens professionnels et amateurs (même le président des États-Unis, James Garfield), plus de 300 preuves différentes de la sentence pythagorienne ont été trouvées. Malgré son antiquité, il reste l'un des théorèmes les plus importants en mathématiques. Il permet de calculer des distances ou, plus important encore, de définir des distances dans des situations beaucoup plus générales que la géométrie élémentaire. Par exemple, il a été généralisé à des espaces vectoriels multidimensionnels.

Un accord FRB est un segment à l'intérieur d'un cercle reliant deux points (FR et B) sur le périmètre. Lorsqu'un accord passe au centre du cercle, il s'agit d'un diamètre . La circonférence d'un cercle est donnée par πou 2πrr est le rayon du cercle; l'aire d'un cercle est πr2. Dans chaque cas, π est la même constante (3.14159 …). Le mathématicien grec Archimedes (c. 287 à 212/211 BCE) a utilisé la méthode de la fatigue pour atteindre les limites supérieure et inférieure de π en réécrivant et en inscrivant des polygones pleins autour d'un cercle.

Un demi-cercle a ses extrémités sur un diamètre de cercle. Thalès (fleurie du 6ème siècle BCE) est généralement crédité en prouvant qu'un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit; C'est pour chaque point C sur demi-cercle de diamètre FRB, ∠FRCB sera toujours 90 degrés (voir Barre latérale: Rectangle Thales). Une autre théorie importante affirme que pour tout accord FRB Dans un cercle, l'angle sous-tendu par un point quelconque du même cercle sera le cercle par inadvertance. Légèrement modifié, cela signifie que dans un cercle, des accords égaux déterminent des angles égaux, et inversement.

Le résumé ci-dessus présente les cinq théorèmes les plus importants pour la géométrie planète-euclidienne: la somme des angles d’un triangle est 180 degrés, l’Ass du Pont, le théorème de base de l’égalité, le théorème de Pythagore et l’invariant sous-tendu des angles d’un accord dans un cercle. . La plupart des théorèmes plus avancés de la planète, la géométrie euclidienne, sont prouvés par ces théorèmes.

Polygones communs

Un polygone est communément appelé s’il a des côtés et des angles égaux. Ainsi, un triangle régulier est un triangle équilatéral et un carré régulier est un carré. Un problème général depuis l'Antiquité a été le problème de la construction d'une base régulière n– oh, trop différent n, avec juste règle et compas. Par exemple, Euclid a construit un pentagone commun en utilisant les cinq phrases clés ci-dessus dans une combinaison ingénieuse.

Des techniques, telles que les angles de bissection de constructions connues, existent pour construire régulièrement n-gons trop de valeurs, mais personne n'est connu pour le cas général. En 1797, après des siècles sans progrès, Gauss a surpris la communauté mathématique en découvrant une construction pour 17-gon. Plus généralement, Gauss a pu le montrer à un numéro de première classe p, comme d'habitude p-Gon est constructible si et seulement si p est un "Fermat prime": p = fa(k) = 22k + 1. Parce qu'on ne sait pas généralement lesquels fa(k) est primordial, le problème de construction trop commun n-Les bons sont toujours ouverts.

Trois autres antiquités non résolues de l'Antiquité ont finalement été installées au 19ème siècle avec des outils qui n'étaient pas à la disposition des Grecs. Des méthodes algébriques relativement simples ont montré qu'il n'est pas possible de faire pivoter un angle avec la règle et la boussole, ni de construire un dé avec un double volume pour un dé donné. Montre qu'il n'est pas possible de mettre un carré en carré (c'est-à-dire de construire un carré égal dans l'aire d'un cercle de la même manière), mais nécessite de mieux comprendre la nature du nombre π. regarder Géométrie: Les trois problèmes classiques.

Sections coniques et art géométrique

La partie la plus avancée de la planète est la théorie de la géométrie euclidienne. sections effilées (ellipse, parabole et hyperbole). Un peu comme éléments conduire toutes les autres introductions à la géométrie, celle conique par Apollonius de Perga (c. 240-190 BCE), connu par ses contemporains sous le nom de "Grand Géomètre", fut la thèse finale sur le sujet pendant de nombreux siècles.

du moyen âge Les artistes islamiques ont exploré différentes manières d'utiliser des figures géométriques pour la décoration. Par exemple, les décorations de l'Alhambra à Grenade, en Espagne, montrent une compréhension des 17 groupes de fond pouvant servir à la fabrication de tuiles plates. Au 20ème siècle, des artistes de renommée internationale tels que Josef Albers, Max Bill et Sol LeWitt ont été inspirés par des motifs de géométrie euclidienne.

Géométrie solide

La principale différence entre la géométrie euclidienne plane et solide réside dans le fait que les humains peuvent regarder le plan "d'en haut", tandis que l'espace tridimensionnel ne peut pas regarder "de l'extérieur". Par conséquent, il est plus difficile d'obtenir des informations intuitives pour la géométrie solide que pour la géométrie de vol.

Certains termes, tels que les proportions et les angles, restent inchangés d'une géométrie plane à une géométrie solide. Pour d'autres concepts connus, il existe des analogies – le plus notable, volume pour les surfaces et formes tridimensionnelles de formes bidimensionnelles (sphère pour cercle, tétraèdre pour triangle, boîte pour rectangle). Cependant, la théorie du tétraèdre n'est pas aussi riche que pour les triangles. La recherche active en géométrie euclidienne de dimension supérieure inclut les joints à bille et à convexité et leurs applications en cryptologie et cristallographie (voir cristal: structure).

Comme expliqué ci-dessus, dans la géométrie en plan, la plage de tout polygone peut être calculée en le disséquant en triangles. Une procédure similaire n'est pas possible pour les solides. En 1901, le mathématicien allemand Max Dehn a montré qu'il existe un cube et un tétraèdre de volume égal qui ne peuvent pas être disséqués et réarrangés. Cela signifie que la calculatrice doit être utilisée pour calculer des volumes, même pour de nombreux solides simples tels que des pyramides.

Solides réguliers

Les polyèdres communs sont les analogues fixes des polygones communs dans l'aéronef. Les polygones réguliers sont définis comme ayant des côtés et des angles égaux (congruents). Par analogie, un solide est appelé régulièrement si les faces sont des polygones communs congruents et que ses angles polyédriques (angles où les faces se rencontrent) sont congruents. Ce concept a été généralisé aux espaces euclidiens de dimension supérieure (coordonnées).

Alors que dans l'avion (en théorie) une infinité de polygones communs, dans l'espace tridimensionnel, il n'existe que cinq polyèdres communs. Ceux-ci sont connus comme Solides platoniques: le tétraèdre ou pyramide, à 4 surfaces triangulaires; le cube, avec 6 faces carrées; octaèdre, avec 8 faces triangulaires équilatérales; Dodécaèdre, à 12 faces pentagonales; et l'icosaèdre, avec 20 faces triangulaires équilatérales.

Dans l'espace à quatre dimensions, il y a exactement six fixes polytopes, dont cinq généralisations à partir d’un espace tridimensionnel. Dans toute pièce de plus de quatre dimensions, il existe exactement trois généralisations de polytopes fixes du tétraèdre, du cube et de l'octaèdre.

Benno Artmann

Calculer des gammes et des volumes

Le tableau présente des formules mathématiques pour calculer les plages dans différents numéros de vol et les volumes dans différentes figures fixes.

Formules mathématiques
forme action formule
circonférence cercle multiplier le diamètre par π nD
zone cercle multiplier le rayon au carré par π πr2
rectangle multiplier la hauteur par la longueur hl
surface froide multiplier le rayon au carré par π à 4 4πr2
carré la longueur d'un côté au carré s2
trapèze longueur du côté parallèle A + longueur du côté parallèle B multipliée par la hauteur et divisée par 2 (A + B) h / 2
triangle multiplier la base par la hauteur et diviser par 2 HB / 2
volume cône multiplier la base radio au carré par π par la hauteur et diviser par 3 br2πh / 3
cube longueur d'un bord de colline un3
cylindre multiplier le rayon de base carré par π par la hauteur br2πh
pyramide multiplier la longueur de la base par la largeur de la base par la hauteur et diviser par 3 LWH / 3
sphère multiplier le rayon cubé par π à 4 et diviser par 3 4πr3/ 3

Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les quatre premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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