théorie des groupes – solides platoniques pierre énergétique

Voici une preuve théorique de groupe que l’on peut utiliser plus une géométrie euclidienne.

Soit $ X $ un solide platonique régulier. Maintenant, je pense que vous pouvez laisser un sous-ensemble limité de $ SO_3 $ acheter à X X $ en effectuant des transactions sur des faces, des arêtes ou des angles. À présent, vous pouvez tracer une ligne perpendiculaire à chaque face et laisser agir $ SO_3 $ sur cette ligne. Nous appellerons une telle ligne un bar. De même, on peut laisser $ SO_3 $ se négocier sur les pôles au-dessus d’une arête et d’un sommet. Alors maintenant, nous avons que $ SO_3 $ fonctionne sur la mise hors service pôles liée à une face, une arête ou un sommet. Si $ p $ est un pôle sur un sommet, la

$$ | G_p | = r_p = text nombre de faces se rencontrant sur un sommet. $$

Si $ p $ est un pôle sur un bord, la

$$ | G_ p & # 39; | = r_ p & # 39; = text nombre de faces se rencontrant sur un bord = 2. $$

Enfin, si $ p & # 39; & # 39; $ est un pôle sur un visage, la

$$ | G_ p & # 39; & # 39; | = r_ p & # 39; & # 39; = text nombre de pages d'un visage = n. $$

Maintenant, il n’est pas difficile de montrer (je peux le prouver) que

sum _ text sur tous les pôles $ p, 39 $, $ ou $ p & # 39; & # 39; $ (r_p – 1) = 2 | G | – 2 $$

où $ G $ est le groupe de symétries de rotation de $ X $. En fait, l'évidence de la formule ci-dessus est une théorie de groupe: Regardez l'ordre des éléments du groupe et des ordres des stabilisants.

Nous savons maintenant que le nombre de poteaux est égal à $ V + F + E $, où $ V $ est le nombre de croix, $ F $ nombre de faces et $ E $ nombre d'arêtes. Si vous utilisez cette information et la connectez à notre formule ci-dessus, nous l'avons

$$ kV + nF + 2E – (V + F + E) = 2 | G | – 2. $$

En même temps, le théorème Orbit-Stabilisateur nous donne $ kV = nF = 2E = | G | $. en

start eqnarray 3nF – V – F – E & = & 2 | G | – 2
\
frc 1 n – frc 1 2 & & & 2 – frc 2 de de 1 k .
End eqnarray $$

Mais 3nF / | G | = 3 $, nous avons donc simplifié

start eqnarray frc 1 2 + frc 2 G & = & frc 1 k + frc 1 n
implique le k + n &> & 2. que eqnarray $$

La tâche est maintenant réduite à la recherche de nombres entiers satisfaisant cette inégalité ci-dessus. Depuis $ k, nq 3 $, les seules solutions entières possibles sont: $ k = 3, n = 3 $ ou $ k = 3, n = 4 $ ou $ k = 3, n = 5 $ ou $ k = 4 , n = 3 $ ou k = 5, n = 3. $

Dans le premier cas, par exemple, nous avons un polyèdre ordinaire constitué d'un triangle parallèle, avec trois faces (constituées de triangles équilatéraux) se rejoignant à un sommet. Le tétraèdre satisfait à ces exigences, mais comme Mariano l’a mentionné plus haut, il reste à voir que le tétraèdre est le seul à le satisfaire. De même, il faut vérifier que les 4 autres cas ne fournissent que l'octaèdre, le cube, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Je vous laisse vérifier ça!

$ bb Edit: $ Mariano m'a dit que la preuve de cela est un sous-ensemble limité de $ SO_3 $ qui fonctionne sur $ X $ n’est pas trivial.

Les solides de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les 4 premières formes conviennent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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