Polytope régulier – Wikipedia | solides de Platon spirituel

Exemples polytop communs
Pentagon.svg régulier
Un pentagone commun est un polygone, un polytop bidimensionnel à 5 ​​bords, représenté par le symbole Schläfli 5.
Dodecahedron.svg
Un dodécaèdre commun est un polyèdre, un polytope tridimensionnel à 12 faces pentagonales, représenté par le symbole Schläfli 5.3.
Schlegel wireframe 120-cell.png
Une cellule ordinaire à 120 cellules est un 4-polytope, un polytope à quatre dimensions, avec 120 cellules dodécaédriques, représentées par le symbole Schläfli 5,3,3. (présenté ici sous forme de graphique Schlegel)
Nid d'abeilles cubique.png
Un nid d'abeilles cubique commun est une tessellation, un polytope infini à trois dimensions, représenté par le symbole de Schläfli 4,3,4.
Octeract Petrie polygon.svg
Les 256 verticales et les 1024 arêtes d’un 8 dés peuvent être affichées dans cette projection orthogonale (polygone de Petrie)

En mathématiques, un polytop régulier est un polytope dont le groupe de symétrie travaille de manière transitoire sur ses drapeaux, offrant ainsi le plus haut degré de symétrie. Tous ses éléments ou jsurfaces (pour tous 0 jnn est la dimension du polytope – les cellules, les faces, etc. – sont également transitives à la symétrie du polytope et sont des polytopes courants de dimension ≤ n.

Les polytopes réguliers sont l'analogue généralisé dans un nombre quelconque de dimensions de polygones communs (par exemple, le carré ou le pentagone commun) et de polyèdres communs (par exemple, le cube). La forte symétrie des polytopes ordinaires leur confère une qualité esthétique qui intéresse à la fois les non-mathématiciens et les mathématiciens.

Classic, un polytop régulier dans n Les dimensions peuvent être définies comme ayant des facettes communes ((n – 1) champs et en-têtes communs. Ces deux conditions sont suffisantes pour garantir que toutes les faces sont égales et tous les sommets sont égaux. Toutefois, veuillez noter que cette définition ne fonctionne pas pour les polytopes abstraits.

Un polytope commun peut être représenté par un symbole Schläfli sous la forme a, b, c, …., y, z, avec des facettes communes telles que a, b, c, …, y et des nombres de sommets communs comme b, c, …, y, z.

Classification et description(éditer)

Les polytopes réguliers sont classés principalement par dimensionnalité.

Ils peuvent être classés en fonction de la symétrie. Par exemple, le cube et l'octaèdre commun partagent la même symétrie, ce qui forme le dodécaèdre commun et l'icosaèdre. En fait, les groupes de symétrie sont parfois appelés polytopes ordinaires, tels que les symétries tétraédriques et isosétriques.

Trois classes spéciales avec polytope régulier sont disponibles dans toutes les dimensions:

En deux dimensions, il existe une infinité de polygones communs. En plus des trois, il existe plusieurs polyèdres réguliers et quatre polytopes. En cinq dimensions et plus, ce sont les seules. Voir aussi la liste des polytopes communs.

L'idée d'un polytope est parfois généralisée pour inclure des types d'objets géométriques connexes. Certains d'entre eux ont des exemples réguliers, comme indiqué dans la section sur les découvertes historiques ci-dessous.

Symboles Schläfli(éditer)

Ludwig Schläfli a mis au point une brève représentation symbolique des polytopes ordinaires au XIXe siècle. Une forme légèrement modifiée est devenue la norme. La notation est mieux expliquée en ajoutant une dimension à la fois.

  • Un polygone ordinaire convexe qui a n les pages sont notées n. Ainsi, un triangle équilatéral est 3, un carré 4 et ainsi de suite indéfiniment. Un polygone d'étoile ordinaire qui gagne m Les temps autour du centre sont indiqués par la valeur fractionnelle n/m, où n et m est co-premier, donc un pentagramme normal est 5/2.
  • Un polyèdre ordinaire qui a des faces n avec p Les faces qui se rejoignent au sommet sont désignées par n, p. Les neuf polyèdres communs sont 3, 3 3, 4 4, 3 3, 5 5, 3 3, 5/2 5/2, 3 5, 5/2 et 5/2, 5. p est-ce figure de sommet du polyèdre.
  • Un 4-polytope ordinaire ayant des cellules n, p avec q les cellules qui se rejoignent autour d'un bord sont désignées par n, p, q. La figure de sommet du 4-polytope est un p, q.
  • Un 5-polytop ordinaire est un n, p, q, r. Et ainsi de suite.

Dualité des polytopes communs(éditer)

Le double d'un polytope ordinaire est aussi un polytope commun. Le symbole Schläfli du double polytope est uniquement le symbole original écrit à l'envers: 3, 3 s'auto-dédoublant, 3, 4 vaut deux à 4, 3, 4, 3, 3 à 3, 3, 4 et ainsi de suite.

La figure de sommet d'un polytope régulier est le double de la facette du polytope double. Par exemple, le nombre d'hôtes est 3, 3, 4 3, 4, dont le double est 4, 3 – une cellule de 4, 3, 3.

Le but et le polytope croisé dans toutes les dimensions sont doubles.

Si le symbole Schläfli est palindromique, c'est-à-dire qu'il lit le même avant et arrière, le polyèdre se dédouble lui-même. Les polytopes réguliers autorégulants sont:

  • Tous les polygones communs, a.
  • Tous communs n-mplexeur, 3.3, …, 3
  • Les 24 cellules habituelles en 4 dimensions, 3,4,3.
  • La grande cellule 120 (5.5 / 2.5) ​​et la cellule grand format 120 (5 / 2.5.5 / 2) en 4 dimensions.
  • Tous communs nalvéolaires cubiques à trois dimensions, 4.3, …, 3.4. Ceux-ci peuvent être traités comme des polytopes sans fin.
  • Tuiles et nids d'abeilles hyperboliques (tuiles p, p avec p> 4 en 2 dimensions, 4,4,4, 5,3,5. 3,5,3, 6,3, 6 et 3,6,3 en 3 dimensions, 5,3,3,5 en 4 dimensions et 3,3,4,3,3 en 5 dimensions).

Commun plus facile(éditer)

Commencez avec un point FR. Marquer le point B à distance r à partir de là, et rejoindre pour former un segment de ligne. Marquer le point C dans une seconde dimension orthogonale à distance r des deux et rejoindre FR et B former un triangle équilatéral. Marquer le point dans une troisième dimension orthogonale à une distance r des trois, et se joindre pour former un tétraèdre régulier. Et ainsi de suite pour les dimensions supérieures.

Ce sont Commun plus facile ou simplex. Leur nom est, selon la dimensionnalité:

0. Point
1. segment de ligne
2. Triangle équilatéral
3. Tétraèdre commun
4. Pentacore commun ou 4-simplex
5. hexatérone commune ou 5 simplex
… un n-simple a n+1 coins.

Polytopes cibles (hypercubes)(éditer)

Commencez avec un point FR. Développer une ligne jusqu'au point B à distance ret rejoindre pour former un segment de ligne. Prolonger une autre ligne avec la longueur r, orthogonal à ABde B à Cet juste de FR à , pour former un carré ABCD. Prolonger les lignes de longueur r respectivement de chaque coin, orthogonaux aux deux AB et BC (c'est à dire vers le haut). Noter de nouveaux points E,fa,sol,H pour former le cube ABCDEFGH. Et ainsi de suite pour les dimensions supérieures.

Ce sont mesurer les polytopes ou cubes hyper. Leur nom est, selon la dimensionnalité:

0. Point
1. segment de ligne
2. Carré (tétragon régulier)
3. Cube (hexaèdre régulier)
4. Tesseract (octachore régulier) ou 4 cube
5. Penteract (décateron régulier) ou 5-cube
… un n-cube a 2n sommets.

Polytopes croisées (orthoplexes)(éditer)

Commencez avec un point O. Prolonger une ligne dans la direction opposée aux points FR et B une distance r de O et 2r à part. Tracez une ligne COD avec longueur 2r, centré sur O et orthogonal à AB. Joindre les extrémités pour former un carré ACBD. Tracez une ligne EOF de même longueur et centrés sur & # 39; & # 39;; orthogonaux à AB et CD (c'est à dire de haut en bas). Rejoignez la fin du carré pour former un octaèdre régulier. Et ainsi de suite pour les dimensions supérieures.

Ce sont polytopes croisés ou orthoplexes. Leur nom est, selon la dimensionnalité:

0. Point
1. segment de ligne
2. Carré (tétragon régulier)
3. Octaèdre commun
4. Hexadécakron ordinaire (16 cellules) ou 4 orthoplex
5. Triacontakaiditeron (Pentacross) commun ou 5-orthoplex
… un n-orthoplex a 2n sommets.

découverte Histoire(éditer)

Polygones convexes et polyèdres(éditer)

Le traitement mathématique le plus ancien des polygones et des polyèdres communs nous a été fourni par des mathématiciens grecs. Les cinq solides platoniques leur étaient connus. Pythagore en connaissait au moins trois et Théétète (environ 417 av. J.-C. – 369 av. J.-C.) les a décrits tous les cinq. Plus tard, Euclid a écrit une étude systématique des mathématiques, publié sous le titre éléments, qui a construit une théorie logique de la géométrie et de la théorie des nombres. Son travail s'est conclu par une description mathématique des cinq solides platoniques.

Polygones et polyèdres en étoile(éditer)

Notre compréhension est restée statique pendant de nombreux siècles après Euclide. L'histoire ultérieure des polytopes communs peut être caractérisée par un développement progressif du concept de base, de sorte que de plus en plus d'objets sont considérés parmi leur nombre. Thomas Bradwardine (Bradwardinus) a été le premier à enregistrer une étude sérieuse sur les polygones en étoile. Divers polyèdres étoilés apparaissent dans l'art de la Renaissance, mais ce n'est pas avant que Johannes Kepler étudie le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécahad étoilé de 1619 qu'il réalise que les deux sont ordinaires. Louis Poinsot découvre le grand dodécaèdre et le grand isoshaèdre en 1809 et Augustin Cauchy montre que la liste est complétée en 1812. Ces polyèdres sont collectivement appelés polyhèdres de Kepler-Poinsot.

Polytopes de dimension supérieure(éditer)

Une projection 3D d'un tessarry en rotation. Ce débit est initialement orienté de sorte que toutes les arêtes soient parallèles à l'un des quatre axes de coordonnées. La rotation a lieu dans le plan xw.

Ce n'est que dans les années 1800 qu'un mathématicien suisse, Ludwig Schläfli, a examiné et caractérisé les polytopes habituels dans des dimensions plus élevées. Ses efforts ont d'abord été publiés intégralement dans Schläfli (1901), six ans à titre posthume, bien que des parties aient été publiées dans Schläfli (1855) et Schläfli (1858). Entre 1880 et 1900, les résultats de Schläfli ont été redécouverts indépendamment d'au moins neuf autres mathématiciens – voir Coxeter (1948, p. 143-144) pour plus de détails. Schläfli a qualifié cette figure de "polyschem" (en anglais "polyscheme" ou "polyschema"). Le terme "polytope" a été introduit par Reinhold Hoppe, l'un des redécouvreurs de Schläfli, en 1882 et a été utilisé pour la première fois en anglais par Alicia Boole Stott environ vingt ans plus tard. Le terme "polyhédroïdes" était également utilisé dans la littérature antérieure (Hilbert, 1952).

Coxeter (1948) est probablement le traitement imprimé le plus complet de Schläfli et des résultats similaires à ce jour. Schläfli a montré qu'il existe six polytopes convexes fixes en 4 dimensions. Cinq d'entre eux peuvent être vus comme des analogues des solides platoniques: le 4-simplex (ou pentacoron) du tétraèdre, l'hypercube (ou taux de tesser) du cube, le 4-orthoplex (ou l'hexadéca- chon ou la 16 cellules) de l'octaèdre, la 120 cellules du dodécaèdre. , et la cellule 600 à l’icosaèdre. La sixième, la cellule à 24 cellules, peut être vue comme une forme de transition entre l’hypercube et la cellule à 16 cellules, ce qui est analogue à la façon dont le cubocta et le dodécahène rhombique sont des formes de transition entre le cube et l’octaèdre.

Dans cinq dimensions et plus, il existe exactement trois polytopes fixes, qui correspondent aux tétraèdres, aux cubes et aux octaèdres: ce sont les monoclastes communs, les polytopes de mesure et les polytopes croisés. Des descriptions de ceux-ci sont dans la liste des polytopes communs. La vedette 4-polytopes régulière, découverte en partie par Schläfli, est également intéressante.

À la fin du XIXe siècle, des mathématiciens tels que Arthur Cayley et Ludwig Schläfli avaient développé la théorie des polytopes communs à quatre dimensions et plus, telles que tesseract et 24 cellules.

Ce dernier est difficile (mais pas impossible) à visualiser, mais conserve toujours la symétrie esthétique de leurs cousins ​​de dimension inférieure. Tesseract contient 8 cellules cubiques. Il se compose de deux cubes en hyperplans parallèles avec des liaisons transversales verticales associées de telle sorte que les 8 arêtes transversales soient égales en longueur et orthogonales à 12 + 12 arêtes placées sur chaque cube. Des surfaces similaires des deux cubes sont connectées aux 6 surfaces restantes du tesseract. Les 24 cellules peuvent être dérivées des Tessels en joignant les 8 sommets de chacune de ses surfaces cubiques à un sommet supplémentaire pour former l'analogue à quatre dimensions d'une pyramide. Les deux personnages, ainsi que d'autres personnages à 4 dimensions, peuvent être visualisés et imagés directement à l'aide de stéréographes à 4 dimensions.(1)

Les plus difficiles encore imaginables sont les polytopes communs abstraits plus modernes tels que la cellule 57 ou la cellule 11. D'un point de vue mathématique, cependant, ces objets ont les mêmes propriétés esthétiques que leurs parents plus connus, à deux et trois dimensions.

Au début du 20ème siècle, la définition d'un polytope commun était la suivante.

  • Un polygone commun est un polygone dont le bord est identique et dont les angles sont tous égaux.
  • Un polyèdre commun est un polyèdre dont les faces sont tous des polygones communs congruents et dont les figures de sommet sont congruentes et communes.
  • Et ainsi de suite, un habitué nle polytope est un npolytope tridimensionnel sin – 1) – Les faces dimensionnelles sont toutes communes et congruentes et leurs en-têtes sont toutes communes et congruentes.

C'est une définition "récursive". Il définit la régularité des formes de dimension supérieure sous la forme de figures communes de dimension inférieure. C'est une définition équivalente (non récursive), qui stipule qu'un polytope est commun s'il a un degré de symétrie suffisant.

  • un nle polytope est commun si un ensemble constitué d'un sommet, d'une arête le contenant, d'une face bidimensionnelle contenant l'arête, etc. jusqu'à n-1 dimensions, peuvent être associées à n’importe quel autre jeu de symétrie du polytope.

Ainsi, par exemple, le cube est commun parce que si nous choisissons un sommet du dé, et l’un des trois bords sur lequel il est placé, et l’une des deux faces contenant le bord, ce triplet ou drapeaux, (sommet, arête, face) peuvent être associés à n’importe quel autre drapeau par une symétrie appropriée du dé. Ainsi, nous pouvons définir un polytope commun très brièvement:

  • Un polytop ordinaire est un groupe dont le groupe de symétrie est transitif sur ses drapeaux.

Au 20ème siècle, d'importants développements ont été réalisés. Les groupes de symétrie dans les polytopes classiques classiques ont été généralisés dans ce qu'on appelle maintenant les groupes de Coxeter. Les groupes de Coxeter incluent également les groupes de symétrie avec des mosaïques communes d'espace ou d'aéronef. Par exemple, le groupe de symétrie d'un échiquier infini serait le groupe de Coxeter (4.4).

Apeirotopes – polytopes sans fin(éditer)

Dans la première partie du XXe siècle, Coxeter et Petrie découvrent trois structures infinies 4, 6, 6, 4 et 6, 6. Ils les appelaient des polyèdres obliques réguliers, car ils semblaient répondre à la définition d'un polyèdre commun: tous les croisements, les arêtes et les faces sont identiques, tous les angles sont identiques et la figure n'a pas d'arête libre. Aujourd'hui, on les appelle polyèdres infinis ou apeirohedra. Les tuiles habituelles des plans 4, 4, 3, 6 et 6, 3 peuvent également être considérées comme un polyèdre infini.

Dans les années 1960, Branko Grünbaum a appelé la communauté géométrique à envisager des types plus abstraits de polytopes communs qu'il a appelés polystromata. Il développa la théorie des polystromates en montrant des exemples de nouveaux objets qu’il appela des apeirotopes ordinaires, c’est-à-dire des polytopes ordinaires aux visages infiniment nombreux. Un exemple simple d'un apeirogon oblique serait un zigzag. Il semble satisfaire à la définition d'un polygone ordinaire: tous les bords sont égaux, tous les angles sont identiques et le dessin n'a pas de fin en vrac (car ils ne peuvent jamais être atteints). Plus important encore, il existe peut-être des symétries en zigzag permettant de mapper certaines paires de sommets et d'arêtes attachées à quelqu'un d'autre. Depuis lors, d'autres apeirogons communs et des apeirotopes supérieurs ont encore été découverts.

Polytopes complexes réguliers(éditer)

Un nombre complexe a une partie réelle, la partie que nous connaissons tous, et une partie imaginaire, qui est la majorité de la racine carrée de moins un. Une salle Hilbert complexe a ses coordonnées x, y, z, etc. sous forme de nombres complexes. Cela double en fait le nombre de dimensions. Un polytope construit dans un tel espace uniforme est appelé un polytope complexe.(2)

Polytoper abstraite(éditer)

Hemicube est dérivé d'un cube en allongeant les angles, les arêtes et les faces opposés. Il a 4 coins, 6 bords et 3 faces.

Grünbaum a également découvert l'objet à 11 cellules, un objet auto-doublant à quatre dimensions dont les facettes ne sont pas des icosahedra, mais un "hémi-icosahra", c'est-à-dire que ce sont les formes que vous obtenez si vous voyez les faces opposées de l'icosra. même visage (Grünbaum 1976). L'hémi-icosaèdre n'a que 10 faces triangulaires et 6 angles, contrairement à l'icosaèdre qui en a 20 et 12.

Ce concept peut être plus facile à comprendre pour le lecteur si l’on considère la relation entre le cube et l’hémikubène. Un cube ordinaire a 8 coins, ils peuvent être étiquetés de A à H, avec H opposé, B opposé G, etc. Dans un hémicube, A et H seront traités comme le même coin. Tout comme B et G, et ainsi de suite. Edge AB aurait le même bord que GH et la face ABEF serait la même face que CDGH. La nouvelle forme n'a que trois faces, 6 arêtes et 4 angles.

Les 11 cellules ne peuvent pas être formées avec une géométrie régulière dans un hyperspace plat (euclidien), mais uniquement dans un hyperespace incurvé positivement (elliptique).

Quelques années après la découverte de la cellule 11 par Grünbaum, H. S. M. Coxeter a découvert indépendamment la même forme. Il avait précédemment découvert un polytope similaire, une cellule 57 (Coxeter 1982, 1984).

En 1994, Grünbaum considérait les polytopes abstraits comme des ensembles combinatoires de points ou de points, sans se soucier de savoir si les faces étaient plates. Comme lui et d'autres ont raffiné ces idées, de tels ensembles ont été appelés polytoper abstrait. Un polytope abstrait est défini comme un ensemble partiellement ordonné (pochette) dont les éléments sont les faces du polytope (coins, arêtes, faces, etc.) ordonnées par limitation. Certaines restrictions sont imposées à l'ensemble, ce qui est similaire aux propriétés qui sont satisfaites par les polytopes classiques classiques (y compris les solides platoniques). Cependant, les restrictions sont suffisantes pour que les mosaïques courantes, les hémi-cubes et même les objets aussi étranges que 11 cellules ou extraterrestres soient tous des exemples de polytopes courants.

Un polytope géométrique est censé être un réalisation du polytope abstrait, de sorte qu’il s’agit d’un mappage un à un des éléments abstraits au géométrique. Ainsi, tout polytope géométrique peut être décrit par la pochette abstraite réelle, mais tous les polytopes abstraits ne disposent pas de réalisations géométriques appropriées.

La théorie a depuis été développée, principalement par McMullen et Schulte (2002), mais d’autres chercheurs ont également apporté des contributions.

Régularité des polytopes abstraits(éditer)

La régularité a une signification liée mais différente pour les polytopes abstraits, car les angles et les longueurs d'arêtes importent peu.

La définition de la régularité en ce qui concerne la transitivité des drapeaux telle qu'indiquée dans l'introduction concerne les polytopes abstraits.

Tout polytope commun classique a un équivalent abstrait commun, obtenu en prenant l’ensemble des faces. Mais les polytopes classiques non standard peuvent avoir des équivalents abstraits communs, par exemple, les polytopes abstraits ne se soucient pas des angles et de la longueur des arêtes, par exemple. Et un polytope abstrait ordinaire ne peut pas être réalisé comme un polytope classique.

Tous les polygones sont communs dans le monde abstrait, par exemple, alors que seuls ceux qui ont des angles égaux et des arêtes égales sont communs dans le monde classique.

Figure de sommet de polytopes abstraits(éditer)

Le concept de figure de sommet est également défini différemment pour un polytope abstrait. Figure de sommet pour un résumé donné n-polytope à un pic donné V est l'ensemble de toutes les faces abstraites contenant V, s'applique également V lui-même. Plus formellement, c'est la section abstraite

fan / V = fa

fan est la face maximale, c'est-à-dire la valeur théorique n-face contenant toutes les autres faces. Notez que chaque Jefait face à, Je ≥ 0 du polytope d'origine devient un (Je – 1) surface du vertex.

Contrairement aux polytopes euclidiens, un polytope abstrait aux facettes et en-têtes communs peut-être ou non Soyez commun si – par exemple, la pyramide carrée, toutes les facettes et les en-têtes sont des polygones abstraits communs.

La figure de sommet classique, cependant, sera une réalisation de l'abstrait.

structures(éditer)

polygones(éditer)

La manière traditionnelle de construire un polygone régulier ou toute autre forme sur le plan est la boussole et la règle. La construction de polygones communs de cette manière est très simple (le plus simple est peut-être le triangle équilatéral), certains sont plus complexes et d'autres sont impossibles ("non constructibles"). Les quelques polygones réguliers les plus faciles à construire sont: npolygones à côtés n correspond à 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, …

Dans ce sens, la constructibilité ne concerne que des constructions idéales avec des outils idéaux. Bien sûr, des approches raisonnablement précises peuvent être construites en utilisant une variété de méthodes; alors que les constructions théoriquement possibles peuvent être impraticables.

polyèdres(éditer)

Euclide éléments a donné le montant aux constructions règle-boussole pour les cinq solides platoniques.(3) Mais la seule question pratique de savoir comment tracer une ligne droite dans la pièce, même avec une règle, peut mener à la question de savoir ce que signifie réellement "construire" un polyèdre ordinaire. (Vous pouvez bien sûr poser la même question sur les polygones.)

Le mot anglais "construction" a la connotation de construire systématiquement la chose construite. La manière la plus courante de fabriquer un polyèdre régulier consiste à utiliser une bande dépliante. Pour obtenir un filet de coiffage en polyèdre, la surface du polyèdre est coupée et découpée le long d'autant de bords afin que la surface puisse être posée à plat. Ceci fournit un plan pour le réseau du polyèdre déplié. Étant donné que les solides platoniques n'ont que des triangles, des carrés et des pentagones pour les faces, qui sont tous constructibles avec une règle et une boussole, il existe des règles et des méthodes de boussole pour dessiner ces restes. Il en va de même pour le polissage en étoile, mais dans ce cas, nous devons veiller à ne fabriquer le filet que pour la surface extérieure visible.

Si ce réseau est dessiné sur du carton ou un matériau similaire pliable (par exemple des feuilles), le maillage peut être découpé, plié le long des bords inégaux, joint le long des bords découpés réels, formant ainsi le polyèdre pour lequel le réseau a été conçu. Pour un polyèdre donné, il peut y avoir beaucoup de filets dépliables. Par exemple, il est 11 pour le cube et plus de 900 000 pour le dodécaèdre.(4)

De nombreux jouets pour enfants, qui sont généralement destinés à l'adolescence ou à l'adolescence, permettent d'expérimenter des polygones et des polyèdres communs. Par exemple, les clics fournissent des ensembles de triangles, de carrés, de pentagones et d'hexagones en plastique qui peuvent être attachés côte à côte de différentes manières. Un enfant qui joue avec un tel jouet peut redécouvrir les solides platoniques (ou les solides arkimédiens), surtout s’il est guidé par un adulte averti.

En théorie, presque tous les matériaux peuvent être utilisés pour construire des polyèdres ordinaires.(5) Ils peuvent être taillés dans du bois, modelés dans du fil de fer, formés de verre coloré. L'imagination est la limite.

Dimensions supérieures(éditer)

Coupe animée en coupe transversale de la cellule 24.

Dans les dimensions supérieures, il devient plus difficile de dire ce que vous entendez par "construire" les objets. Clairement, dans un univers en trois dimensions, il est impossible de construire un modèle physique d'un objet ayant 4 dimensions ou plus. Plusieurs approches sont normalement adoptées pour surmonter ce problème.

La première approche, adaptée à quatre dimensions, utilise une stéréographie à quatre dimensions.(1) La profondeur dans une troisième dimension est représentée par le déplacement relatif horizontal, la profondeur dans une quatrième dimension avec un déplacement relatif vertical entre les images gauche et droite du stéréogramme.

La deuxième approche consiste à saisir les objets de dimension supérieure dans un espace tridimensionnel en utilisant des méthodes analogues à la manière dont les objets en trois dimensions sont dessinés sur l'aéronef. Par exemple, les filets pliés mentionnés dans la section précédente ont des équivalents dimensionnels supérieurs.(6) On peut même imaginer construire un modèle de ce filet pliable, en tirant le filet pliant d'un polyèdre sur un morceau de papier. Malheureusement, nous n’avons jamais pu faire le pliage nécessaire de la structure tridimensionnelle pour réaliser le polytope à 4 dimensions en raison des limites de l’univers physique. Une autre façon de "dessiner" les figures de dimension supérieure en 3 dimensions consiste à utiliser une sorte de projection, par exemple l’analogue de la projection orthographique ou en perspective. Le célèbre livre de Coxeter sur les polytopes (Coxeter 1948) donne quelques exemples de telles projections orthographiques.(7) Notez qu'il est assez déroutant de poser directement même une polychora à 4 dimensions en deux dimensions. Les modèles 3D des projections sont plus faciles à comprendre. On trouve parfois de tels modèles dans les musées des sciences ou les départements de mathématiques des universités (comme l'Université Libre de Bruxelles).

Le croisement entre un polytop régulier à quatre dimensions (ou plus) et un hyperplan tridimensionnel sera un polytop (pas nécessairement commun). Si l'hyperplan se déplace dans la forme, les tranches tridimensionnelles peuvent être combinées, animées dans une sorte d'objet quadridimensionnel, où la quatrième dimension est supposée être le temps. De cette manière, nous pouvons voir (si ce n’est pas tout à fait bien compris) la riche structure quadridimensionnelle des polytopes communs quadridimensionnels, via de telles sections transversales se coupant. Ceci est analogue à la manière dont un scanner permet de réassembler des images bidimensionnelles pour former une représentation tridimensionnelle des organes analysés. L'idéal serait un hologramme animé de quelque sorte que ce soit, mais même une simple animation telle que celle montrée peut déjà fournir un aperçu limité de la structure du polytope.

Un autre moyen par lequel un observateur en trois dimensions peut comprendre la structure d'un polytope en quatre dimensions consiste à "immerger" l'objet, éventuellement via une technologie de réalité virtuelle. Pour comprendre comment cela pourrait fonctionner, imaginez ce que l’on verrait si l’espace était rempli de cubes. Le spectateur serait dans l'un des cubes et pourrait voir les cubes devant, derrière, au-dessus, sous, à gauche et à droite pour lui-même. Si l'on peut voyager dans ces directions, on peut explorer une variété de cubes et comprendre leur structure géométrique. Un nombre infini de cubes n'est pas un polytope au sens traditionnel du terme. En fait, il existe une tessellation d’espace tridimensionnel (euclidien). Cependant, un 4-polytope peut être considéré comme une tessellation d'un espace tridimensionnel non euclidien, à savoir une tessellation de la surface d'une sphère à quatre dimensions (une tuile sphérique à 4 dimensions).

Localement, cet espace ressemble à celui que nous connaissons et, par conséquent, un système de réalité virtuelle pourrait en principe être programmé pour permettre l'exploration de ces "tessellations", c'est-à-dire les polytopes communs à 4 dimensions. Le département de mathématiques de l'UIUC a un certain nombre de photos de ce que l'on verrait s'il était intégré dans une mosaïque d'espaces de dodécaèdres hyperboliques. Une telle tessellation est un exemple de polytope simple, abstrait et abstrait.

Normalement, les mathématiques pour les polytopes communs abstraits considèrent que l'objet est "construit" si la structure de son groupe de symétrie est connue. Ceci est dû à une phrase importante dans l'étude des polytopes communs abstraits et fournit une technique qui permet de construire le polytope commun abstrait à partir de son groupe de symétrie de manière standard et équitable.

Polytopes réguliers dans la nature(éditer)

Pour des exemples de polygones dans la nature, voir:

Chacun des solides platoniques se produit naturellement sous une forme quelconque:

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

remarques(éditer)

  1. ^ un b Brisson, David W. (1978), "Visual Comprehension in n-Dimensions", dans Brisson, David W. (ed.), Hypergraphics: Visualisation de relations complexes entre art, science et technologie, Symposium AAAS en vedette, 24, Washington, D.C.: AAAS, pp. 109-145
  2. ^ Coxeter (1974)
  3. ^ Voir, par exemple, les éléments d'Euclid.
  4. ^ Quelques fils intéressants du cube, de l'octaèdre, du dodécaèdre et de l'icosaèdre sont disponibles ici.
  5. ^ Des instructions pour la construction de modèles d'origami peuvent être trouvées ici, par exemple.
  6. ^ Certains d'entre eux peuvent être visualisés (1).
  7. ^ On peut trouver d’autres exemples en ligne (voir, par exemple, (2)).

bibliographie(éditer)

  • Coxeter, H.S.M. (1948). Polytopes réguliers. Methuen et Cie
  • Coxeter, H.S.M. (1974). Polytopes complexes réguliers. Cambridge University Press.
  • Cromwell, Peter R. (1997). polyèdres. Cambridge University Press.
  • Euclid (1956). éléments. Traduit par Heath, T. L. Cambridge University Press.
  • Grünbaum, B. (1976). Régularité des graphes, complexes et dessins. Problèmes combinatoires et théorie des graphes, Colloque International CNRS, Orsay. 260. pp. 191-197.
  • Grünbaum, B. (1993). "Polyèdres à faces creuses". I Bisztriczky, T .; et al. (Eds.). Proc Conférence OTAN-ASI sur les polytopes … etc … Toronto. Kluwer Academic. pp. 43-70.
  • McMullen, P. Schulte, S. (2002). Polytopes communs abstraits. Cambridge University Press.
  • Sanford, V. (1930). Une brève histoire des mathématiques. Le Riverside Press.
  • Schläfli, L. (1855). Réduire le compromis intégral multicanal de l'Arc du Cercle et du Triangle Espagnol Comme Cas Particulières. Journal Les Mathématiques. 20. pp. 359-394.
  • Schläfli, L. (1858). "À plusieurs intégrales n dx dy … dzSi les limites sont
  • Schläfli, L. (1901). "La théorie prévaut". Pensées de la société suisse d'encouragement de la nature. 38: 1-237.
  • Smith, J.V. (1982). Cristallographie géométrique et structurelle. John Wiley et ses fils.
  • Van der Waerden, B.L. (1954). Éveil des sciences. Traduit par Dresden, Arnold. P Noordhoff.
  • Sommerville, D. M. Y. (1958) (1930). "Chapitre X: Les Polytopes Commun". Une introduction à la géométrie de n dimensions (Dover Publications ed.). New York: E. P. Dutton.

Liens externes(éditer)

Les anciennes croyances néolithiques ont gravé des photos des éléments de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous le nom de solides platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constitutifs de la vie représentés par les 4 composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son bouqin Elements. Ce large corpus de connaissances est passé pratiquement sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a également essayé de relier les robustes aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre annuel et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque sommet qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’attachement comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la lutte les sépare. Les éléments ont inspiré l’art, la méthode et l’assimilation de la classe de notre univers. n

Laisser un commentaire