Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques? | Géometrie sacrée

Les solides platoniques sont convexe solides où chaque face est le même polygone commun. Vous pensez qu'il peut y en avoir beaucoup, mais en réalité il n'y en a que cinq. Pensons à ce sujet
Pourquoi cela pourrait être le cas.

Il n'y a pas de place pour chaque sommet

L'explication la plus simple provient de faits tels que:

Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

sur au moins 3 les faces doivent se rencontrer à chaque sommet.


Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Les angles internes des faces où ils se rencontrent à chaque sommet doivent être inférieurs à (360 °).
Lorsque tous les angles adhèrent à (360 °), le sommet se révèle.

Comme toutes les faces d'un solide platonicien doivent être identiques régulièrement polygone, ces faits limitent les options.

Explorons les possibilités:

Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Les angles internes d'un triangle commun (équivalent) sont (60 ° C). Donc notre solide peut avoir:

  • 3 triangles se rencontrent à chaque sommet (3 fois 60 = 180 t
  • 4 triangles se rencontrent à chaque sommet (4 fois 60 = 240 t
  • 5 triangles se rencontrent à chaque sommet (5 fois 60 = 300 t

Il ne peut pas être plus long: le solide s'aplatit à un angle de la somme de (360 ° C).


Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Les angles internes d'un carré régulier (carré) sont (90 ° C). Donc notre solide peut avoir:

  • 3 carrés se rencontrant à chaque sommet (3 fois 90 = 270 ^ cercle)

Il ne peut pas être plus long: le solide s'aplatit à un angle total de (360 ° C).


Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Les angles intérieurs d'un pentagone commun sont (108 ° C). Donc notre solide peut avoir:

  • 3 pentagones se rencontrent à chaque sommet (3 fois 108 = 324 t

Il ne peut pas être plus long: le solide s'aplatit à un angle total de (360 ° C).


Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Les angles intérieurs d'un hexagone régulier sont (120 ° C). Mais (3 fois 120 = 360 ^ cercle), nous ne pouvons donc pas en construire un
solide avec des hexagones qu'il va aplatir.

Nous avons trouvé 5 options différentes pour la réunion des visages à chaque sommet. Donc, il y a 5 solides différents possibles. Les voici:

Une explication alternative utilisant la formule d'Euler

La formule d'Euler est un résultat qui fonctionne pour convexe polyèdre (ceux sans pantalon). Il dit ce nombre visages numéro plus sommets
numéro moins bords doit être égal à (2):

(F + V – E = 2)

Les solides platoniques sont des polyèdres convexes, ils doivent donc satisfaire à la formule d'Euler.

exemple

Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Un tétraèdre a 4 faces, 4 angles et 6 arêtes. si:

(4 + 4 – 6 = 2)

et la formule d'Euler fonctionne pour le tétraèdre.

Nous pouvons voir pourquoi la formule d'Euler fonctionne en ajoutant un sommet ou une arête à un tétraèdre:

Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Si nous ajoutons un sommet supplémentaire (au milieu d'une des arêtes, par exemple), nous ajoutons également une arête supplémentaire. puis,

(4 + 5 – 7 = 2)

encore une fois, et la formule d'Euler fonctionne toujours.


Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Si nous ajoutons un bord supplémentaire (coupons une face en deux, par exemple), nous ajoutons également une face supplémentaire. puis,

(5 + 4 – 7 = 2)

encore une fois, et la formule d'Euler fonctionne toujours.

Quoi que nous fassions avec notre solide, la formule d'Euler continue à nous donner (2). Vous pouvez en savoir plus sur la formule d'Euler dans l'article sur la formule d'Euler.

Alors, comment la formule d'Euler nous montre-t-elle? Il n'y a que cinq solides platoniques

Commençons par un vieux solide platonique. Nous savons:

  • Toutes les faces ont le même nombre d'arêtes. Appelons ça.
  • Le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet. Appelons cela (c). Il est également égal au nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet.

Il s'avère que les nombres (n) et (c) sont suffisants pour nous dire à quel solide platonique nous devons faire face.

Si le nombre de faces dans le solide est (F) et que chaque face a (n) arêtes, donc si nous le séparons fermement pour que chaque face soit plate, nous aboutirons à
(nF) bords:

Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Bien entendu, dans le fixe, chacune de ces arêtes est divisée par deux faces. Donc, si le solide a un total de (E) arêtes, nous le savons

(nF = 2E)

Passons maintenant aux pics. Lorsque nous séparons nos valeurs fixes, chaque sommet est divisé en bits: un bit pour chaque face qui se rencontre au sommet. Voyons ça
se passe sur notre tétraèdre:

Pourquoi n'y a-t-il que cinq solides platoniques?

Tandis que trois faces se rencontrent à chaque sommet d’un tétraèdre, chaque sommet se scinde en 3. Ensuite, si (c) les faces se rencontrent à chaque sommet, les nôtres ont séparé le solide platonique.
(cV) sommets, où (V ) est le nombre de verticales dans le solide d'origine.

Nos faces séparées sont maintenant un ensemble de polygones semblables, de sorte que le nombre total d’arêtes est égal au nombre total de croix qu’il sépare.
Cela signifie que

(cV = 2E)

Alors, d'où vient la formule d'Euler?

Réorganisons nos équations pour obtenir (F) et (V) sous la forme de (E):

(
Begin align *
nF & = 2E
F & = dfrac 2E n
cV & = 2E
V & = dfrac 2E c
Pourtant align *
)

Maintenant, les brancher dans la formule d'Euler donne:

(
Begin align *
F + V – E & = 2
dfrac 2E n + dfrac 2E c – E & = 2
Pourtant align *
)

Part tout en (2E) rendements

(
Begin align *
dfrac 1 c – f 1 c – f 1 2 & =
Pourtant align *
)

Puisque le nombre d’arêtes (E) doit être positif, on a

(
Begin align *
dfrac 1 c – dfrac 1 c -> frac 1 2 &> 0
dfrac 1 c &> f 1 c &>
Pourtant align *
)

Voyons maintenant quelles valeurs de (n) et (c) fonctionneront:

Et rien d'autre ne fonctionnera. Donc, il n'y a que cinq solides platoniques.

Remarque: Comme je l'ai dit précédemment, les valeurs sont suffisantes pour (n) et (c) pour vous indiquer le solide que vous avez. Ensemble, ils forment le symbole Schläfli du polyèdre.
Voici les symboles Schläfli pour les solides platoniques:

  • Tétraèdre: (3.3) t
  • Octaèdre: (3.4)
  • Icosaèdre: (3.5)
  • Cube: (4.3)
  • Dodécaèdre: (5.3)

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou cône ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les bords sont de la même taille. n 3D signifie que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme verrouillée dans une est plane avec au minimum cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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