Polyèdres et polytopes – Numericana | solides de Platon énergie

Polyèdres (3D), Polychora (4D), Polytopes (nD)


    cube
(Jerry de Nashville, TN.
18.11.2000)

Quel (polyeder) a six faces?

Un polyèdre à 6 faces est un hexaèdre.
ils cube

est l'hexaèdre le plus connu, mais ce n'est pas le seul:
Considérant uniquement la topologie sous-jacente
(écartant les distorsions et la chiralité), il existe 7 hexaèdres différents:

Nom de l'hexaèdre bords nœuds
Dipyramide triangulaire 9 5
Pyramide pentagonale 10 6
Antiwedge tétragonal 10 6
Hemiobelisk 11 7
hémicube 11 7
cube 12 8
Cale Pentagonale 12 8

    triangle ~~ POS = TRUNC
dipyramid

ci-dessus dipyramide triangulaire

a 5 coins et 9 bords. C'est
double d'un prisme triangulaire,
et ressemble à deux tétraèdres "collés" à un visage commun.

    pentagonal
Pyramide

ils pyramide pentagonale

a 6 coins et 10 bords; C'est une pyramide dont la base est un pentagone.
Comme toutes les pyramides, la pyramide pentagonale est en train de se dédoubler.

Les trois hexaèdres ci-dessus sont les seuls trouvés dans une version où tous les 6 sont confrontés
sont des polygones communs.


    quadrilatère
contre Wedge
ils anti-coin tétragonal est-ce que c'est au moins symétrique
hexaèdre (le seul possible la symétrie est une rotation de 180 degrés).
cette penché Hexahedron a le même nombre d'arêtes et de coins
comme la pyramide pentagonale. Les faces sont constituées de 4 triangles et
2 carrés. Un tel solide est obtenu à partir de deux carrés
qui partage un avantage (celui charnière)
mais pas forme un prisme triangulaire.
Après avoir ajouté deux arêtes pour compléter les deux triangles avec un sommet sur
charnière, Nous nous retrouvons avec un carré non plan
et doit choisir l'une de ses 2 diagonales comme dernier bord du polyèdre.
Un seul choix donne une convexe polyèdre.

    quadrilatère
contre Wedge

Résolu il est parlé deux types de
antiwedges tétragonaux qui sont des images miroir de l'autre;
chacun s'appelle un énantiomère ou enantiomorph par l'autre.
ils anti-coin tétragonal est l'exemple le plus simple d'un chirale polyèdre.
Tout autre hexaèdre peut être déformé en une forme
qui est leur propre reflet, et anti-coin tétragonal
peut donc être appelé sans équivoque ils hexaèdre chiral.
Chaque énantiomère est auto-doublant; un anti-coin tétragonal et son
double a même chiralité.

    Pyramide carrée avec
coin de base tronqué
Les autres types d'hexaèdres sont plus symétriques et plus faciles à visualiser.
L’un d’eux peut être construit en coupant
l'un des quatre coins d'une pyramide carrée pour créer un nouveau visage triangulaire.
Cet hexaèdre a 7 coins et 11 arêtes.
 Un hémiobelique est la moitié de
une pyramide carrée allongée
Les faces comprennent trois triangles, 2 carrés et 1 pentagone.
On peut aussi y arriver en coupant un pyramide carrée allongée
(nom technique pour un obélisque)
suivant un plan de contournement par le haut des pyramides et le sommet
diagonale du prix de base, comme indiqué à droite.
Faute de meilleur terme, on peut donc appeler cet hexaèdre
hemiobelisk.

    hémicube
Aussi avec 7 coins et 11 bords c'est un solide que nous pouvons appeler
un hémicube (ou hémiprisme carré), atteint
en coupant un dé en deux avec un avion passant par deux coins opposés et
les centres de deux bords. Les six faces comprennent 2 triangles et
4 carrés.
 pentagonal
Kile

Kuben
(éventuellement déformé en une sorte de prisme irrégulier ou de pyramide tétragonale tronquée)
n'est pas le seul hexaèdre à 8 angles et 12 arêtes:
Pensez à un tétraèdre, raccourcissez deux de ses coins et vous avez un
coin pentagonal.
Il a tellement de coins, arêtes et faces
en dés, mais les faces sont constituées de 2 triangles,
2 carrés et 2 pentagones.

Nous pouvons en construire un coin pentagonal avec 2 régulièrement pentagones et
2 équilatéral triangles, de sorte que tous les bords mais un sont les mêmes.
Le bord "exceptionnel" est le côté le plus long des deux surfaces trapézoïdales.
Quelle est sa longueur? Eh bien, regarde ça
coin "de côté" (de sorte que les cinq bords entrent dans une ligne), vous voyez deux similaires
triangles simples. La base du plus petit est un bord régulier perpendiculaire
(et donc dans sa taille réelle), tandis que le bas du grand triangle est
longueur que nous recherchons.
La relation entre similitude est uniquement la relation entre la hauteur d'un pentagone ordinaire
La partie trapézoïdale d'un habitué
le pentagone a une base semblable au nombre d'or.
à la distance d'un côté à un sommet adjacent, à savoir
1 + péché (p/ 5) / sin (2-p/ 5) =
(1+Ö5) / 2
.
Un nombre connu comme le ratio d'or,
cela se produit avec la relation entre diagonale et
côté dans un pentagone régulier. Le bord le plus long de notre fixe est donc
1.6180339887498948482 … fois la longueur de quelqu'un d'autre.
En d'autres termes, les deux faces trapézoïdales sont congruentes avec la diagonale
partie d'une face pentagonale (photo de droite).

(19/09/2007)

ils plus gras antiwedge tétragonal n'est pas un vrai!


Vous recherchez l'hexaèdre chiral du volume et de la moindre surface de l'unité.

    Antiwedge tétragonal symétrique

Considérons convexe hexaèdres chiraux
(voir ci-dessus)
possède la seule symétrie admissible
(à savoir une rotation de 180 ° autour d'un axe perpendiculaire
à charnière où se rencontrent les deux faces tétragonales).
si charnière AB a une longueur de 2 unités (arbitraires),
la forme d'un tel anti-coin tétragonal symétrique est
déterminé par 5 paramètres positifs (u, v, x, y, t
avec y> v pour la convexité)
donner les coordonnées des 6 verticales dans un système cartésien approprié:


Si on appelle 2q ils dièdre
angle entre les deux faces tétragonales, puis:

t = bronzage q
et
1 + t 2 = 1 / cos2 q

Volume V
est la somme de 2
paires de tétraèdres (chacun avec O comme vertex).

V = 1/3 (le (B, C, D) + le (D, E, F))
= 2/3 manger ( unv + uy + vx)

Le calcul ci-dessus peut être fait mentalement en utilisant la disposition précédente
quelle fonction a le tripoli correspondant des colonnes adjacentes
(et dans le bon ordre). Le premier
déterminant (2unblanc) est trivial.
L'autre est assez simple aussi, quand il est calculé comme ça (D, D + E, F).

Exprimer les zones de triangles et de carrés
comme produits croisés
(et en utilisant des similitudes appariées)
on obtient la surface totale S de l'hexaèdre:

S =

|| BC & # 39; BD ||
+
|| DE & # 39; DF ||
+
|| AD & # 39; BF ||

Où:
|| BC & # 39; BD || 2
=

(1 + t 2 ) ((u-un) y + (un-x) v) 2 + 4 (Pentecôte) 2

|| DE & # 39; DF || 2
=

4 (y-v) 2 (x 2 + T 2 y 2 )
+
4 h 2 (uy + xv) 2

|| AD & # 39; BF || 2
=

(1 + t 2 ) ((u +un) y + (un+ x) v) 2

    Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813) "src =" http://www.numericana.com/arms/lagrange.gif "width =" 45 "height =" 48 "align =" right
Volume maximum pour une surface donnée (ou équivalent, minimum
surface pour un volume donné) est atteint lorsque
formes différentielles dV
amd dS is proportionnel
(Le coefficient de proportionnalité est
Lagrange
multiplicateur
liée à quelle quantité est considérée comme
restriction sous lequel l’autre devrait être optimisé).

    Reviens plus tard, nous sommes
travaille encore sur ce ...

Ainsi, la distance entre A et B doit disparaître.
C’est dire que les plus pauvres symétrique quadrilatère
antiwedge dégénère réellement en dipyramide triangulaire.
(Il doit y avoir un moyen plus facile d’atteindre cette conclusion.
Une tentation conjecture Il n’ya pas de polyèdre chiral pouvant être
le plus pauvre de son espèce.)

(28/11/2000) Dualité polyédrique

Les faces d'un polyèdre correspondent aux deux côtés du double.

La dualité des polyèdres est une involutive
le rapport (c'est-à-dire que le double du double est le polyèdre d'origine)
qui peut être défini soit abstraitement
(topologique) ou plus concrètement géométrique.
Lorsque nous discutons de deux polyèdres qui sont doubles, il est
commode d'identifier l'un comme primaire
et l'autre double,
mais les deux rôles pourraient être échangés:

Dualité topologique:

ils double d'un polyèdre, le polyéther est obtenu
en commutant les arrondis et les angles:
Les bords des deux connexions qui se connectent avec des surfaces primales adjacentes
(Le double polyèdre a le même nombre d’arêtes).

Dualité géométrique: (sauter en première lecture)

motivation:
ci-dessus topologiquement relations
support entre tout polyèdre convexe et son convexe
polaire (relative
pour rien centre O dedans).
Par conséquent, la polaire d’un polyèdre convexe est une géométrie correcte.
réalisation de son dual topologique, appelé
géométriquement Double.

Aussi élégant et fondamental que cela puisse être, la transformation polaire
ne pas généraliser immédiatement non convexes
polyèdres. Mais la construction élémentaire suivante
fait (qui repose sur le lemme prouvé
ci-dessous). Cela correspond à la transformation polaire de
cas convexe et toujours définir les propriétés géométriques exactes
d'un polyèdre dont la topologie est le double de celle de l'original
(À savoir, primaire) Polyeder, dans le sens ci-dessus.
Donc, nous pourrions aussi bien prendre cela comme la définition générale
de double géométrique d'un polyèdre donné
(convexe ou non) à l'égard de quelqu'un (arbitraire)
centre de centre O et rayon R
(la valeur de R ne fournit qu'un facteur d'échelle qui est
souvent considérée comme non pertinente):

Définition / construction:
Considérons la saillie orthogonale H de O
sur un visage primal.
Le double sommet associé à la face principale est par définition le point
M du faisceau OH pour que:

Oh OM = R2

Faites correspondre chaque bord primaire entre deux faces principales
un double bord qui relie les deux doubles verticales connectées aux faces primaires.

Point de vue moderne:
Utiliser le concept géométrique d'inversion introduit
par Jakob Steiner (1796-1863) en 1826,
on peut affirmer que les sommets du double polyèdre et les protubérances du centre
sur (les plans de) les faces du polyèdre primaire sont inversées les unes par les autres.


Que fait la construction ci-dessus? travail est le fait géométrique suivant:

lemme: Dans un avion, laissez-moi être un point comme ça
que IH est perpendiculaire à OH et IH& # 39; est
perpendiculaire à OH& # 39;. Si M et M& # 39; est
respectivement situés sur OH et OH& # 39;Depuis que je
M et M& # 39; est ajusté lorsque les relations numériques suivantes sont vérifiées:

Oh OM = OH& # 39; . A PROPOS& # 39; = OI2

    Le noeud de la dualité polyédrique

preuve: Considérez la configuration
de O, I, H et M quand IH est perpendiculaire à HM
(ou à OH, puisque O, H et M sont ajustés).
IM est un diamètre du cercle contenant I, H et M.

Le pouvoir du point O avec
Le respect du cercle est défini comme étant OH.OM et c'est
comme OI2 si et seulement si OI est tangente au cercle,
c'est-à-dire si et seulement si OI est perpendiculaire au diamètre IM.

Le même argument s'applique à la configuration de O, I, H& # 39; et
M& # 39;. Donc, si les équivalents numériques annoncés durent, alors
MI et MI& # 39; sont tous deux perpendiculaires à OI.
Par conséquent, moi, M et M& # 39; est ajusté.
QED

Pour un bord donné d'un polyèdre, on utilise le lemme pour la saillie orthogonale
Je suis sur le bord du centre d'inversion (arbitraire) O
dans le plan orthogonal au bord (ce plan contient les protubérances orthogonales
H et H& # 39; O sur les deux faces à côté du bord en surbrillance).

Le double tranchant MM& # 39; ainsi, le plan appartient à la perpendiculaire au bord principal
(Cette conclusion s’applique séparément à chaque bord, indépendamment du fait que
le rayon d'inversion est égal à OI, que nous avons choisi par commodité).

Un soi-disant canoniquement polyèdre est équipé de
un midsphere tangente à tous les côtés.
Dans le cas particulier, la sphère médiane est la sphère d'inversion préférée
(ou sphère invariante) Pour la double construction susmentionnée.
Le double d'un polyèdre canonique est canonique et les deux
partager la même sphère médiane. Chaque bord primal croise son double à droite
angle au point où les deux sont tangents à la sphère médiane.

Le cas canonique est important car tout polyèdre est topologique
semblable à une forme polyédrique canonique de la même chirurgie
(défini de manière unique, modulo une rotation, une mise à l’échelle et une translation).

(28/11/2000) Résumé des polyèdres

Combien de polyèdres ont un nombre donné de faces et / ou d'arêtes?

    compter
polyèdres
Voir (développé)
table sur ce site …

Les polyèdres, qui sont des images inversées les uns des autres, ne sont pas considérés comme clairs.
Dans ce qui précède, nous comptons 7 types d’hexaèdres.
Il serait 8 si les deux chiralités étaient éteintes anti-coin tétragonal
était occupé.
 tétraèdre

C'est juste un tétraèdre:
    triangle ~~ POS = TRUNC
prisme
(Pentaèdre)     carré
Pyramide
(pentaèdre) "border =" 0 "vspace =" 9 "hspace =" 7

Il existe deux types de pentaèdres:
ils prisme triangulaire et
ils pyramide carrée.

Il y a 7 hexaèdres (voir article précédent),
34 heptaèdres, 257 okahèdres, 2606 ennemis, 32300 décaèdres,
440564 hendécaèdres, 6384634 dodécaèdres, 96262938 tridécaèdres, 1496225352 tétradécaèdres,

etc.

BenO (Ben Ocean, 28 juillet 2001; email)
Solides platoniques

Quelles sont les coordonnées x, y, z des cinq solides platoniques?

Jusqu'à la rotation et / ou la mise à l'échelle c'est seulement
5 convexe
polyèdre commun.
Ces polyèdres très spéciaux sont connus sous le nom de
Solides platoniques.
(Voir ci-dessous pour une généralisation à n dimensions.)

Tétraèdre commun
FR B C
x = 2 2 -4 0
y = 2Ö3 -2Ö3 0 0
z = Ö2 Ö2 Ö2 3Ö2

Ci-contre, les coordonnées cartésiennes des sommets.
d'un tétraèdre commun ABCD centré sur l'origine.
Ceux-ci peuvent être mis à l'échelle et / ou pivotés.
Comme indiqué, ce tétraèdre a:

  • Une page égale à 4Ö3.
  • Une hauteur égale à 4Ö2.
  • Une sphère de rayon entourée
    3Ö2.

Un ensemble alternatif de coordonnées cartésiennes pour un tétraèdre moins commun
(par page 2Ö2, inscrit dans une sphère de rayon
Ö3)
consisterait en tous les autres sommets
dans un cube de page 2 (voir ci-dessous) centré sur l'origine.
Cela met en évidence certaines conditions géométriques et atténue d’autres:

A = (+ 1, + 1, + 1), B = (+ 1, -1, -1), C = (-1, + 1, -1), D = (-1, -1, + 1 )

Dans un tel tétraèdre ordinaire, deux verticales apparaissent du centre sous un angle
connu sous le nom angle tétraédrique (ce qui est très familier aux chimistes)
qui son cosinus est -1/3 et dont la valeur est 109.47122 ° …
ils angle dièdre entre quelques visages est en plus de
l'angle; c'est cosinus est 1/3 et la valeur est d'environ 70,52878 °
(cela peut être appelé un angle cubique, pour une raison comme suit).
Exprimé en radians, trois fois cet angle moins un angle plat
(p) donne la valeur (en stéradians, sr)
de l'angle fixe à chaque coin du tétraèdre, à savoir 0.55128559843 …
Ceci représente environ 4,387% de l'angle fixe d'une sphère entière
(4p).
Les astronomes peuvent utiliser degré carré comme unité d'angle solide
(une degré carré est égal
p2/1802 sr);
L'angle fixe du coin d'un tétraèdre ordinaire est
1809.7638632 … degrés carrés

(ou 6515150 minutes carrées).

Nous pouvons choisir 3 coordonnées de l'ensemble
-1, + 1 de 8 manières différentes.
Ils répondent
aux coordonnées des 8 coins d'un cube par page 2,
centré sur l'origine
(et inscrit dans une sphère de rayon Ö3).
Vu du centre d'un cube, la séparation des angles est entre les coins
soit un angle plat (180 ° entre les coins diamétralement opposés)
un angle tétraédrique de cosinus -1/3
(environ 109,47 ° entre les coins opposés d'une face),
ou un angle cubique qui son cosinus est 1/3 et c'est
complémentaire à un angle tétraédrique (environ 70,53 ° entre les coins adjacents).
L'angle fixe de chaque coin d'un dé est évident p/ 2, à savoir
1/8 d'une sphère entière (4p).

Il y a 6 façons de choisir 3 coordonnées de l'ensemble -1,0, + 1
donc un seul d'entre eux est non nul.
Celles-ci correspondent aux coordonnées des 6 sommets
d'un octaèdres réguliers de la page
Ö2 centré sur l'origine
(et inscrit dans une sphère de rayon 1).
Vu du centre du solide, deux coins sont séparés soit
un angle droit (90 °) ou par un angle plat (180 °).

    tétraèdre     cube     octaèdre     dodécaèdre     icosaèdre

le volume
d'un dodécaèdre régulier est (15 + 7Ö5) / 4
fois le cube de son côté.
L'angle dièdre a un cosinus de
-1 /Ö5 et une valeur d'env. 116.565 °

    Reviens plus tard, nous sommes
travaille encore sur ce ...

Pages actuelles avec d'autres données pertinentes:
Paul Bourke,
Ron Knott,
VB Helper, etc.

(30/01/2013) Polyèdres symétriques

Les polyèdres ont plus d'un automorphisme isométrique.

Un polyèdre est symétrique si il est stable au moins un inconfortable
transformation isométrique (c'est-à-dire une réflexion en miroir ou une rotation non nulle).

Comme indiqué précédemment, un anti-coin tétragonal
ne peut avoir un une telle symétrie.
Les polyèdres plus complexes ne sont généralement étudiés que s'ils ont
autant de symétries que c'est
très peu différents types de nœuds, arêtes ou faces à prendre en compte …

Deux composants similaires d’un polyèdre (par exemple, deux angles, deux arêtes ou deux surfaces) sont
dit être de façon correspondante si c'est une isométrie (rotation ou réflexion)
cela transforme l'un à l'autre.
Lorsque cela se traduit par un seul classe d'équivalence Les adjectifs suivants sont admissibles
polyedronen:

Comme tous les polyèdres ont seulement un 3-cellule,
terme isochore
Appliquez-les à tous (c'est juste intéressant pour ça) polychora
ou d'autres polytopes dans plus de trois dimensions).
Un polyèdre isohédral est appelé un isoèdre.
Convex ishedra propre ~~ POS = TRUNC bons dés.

Les termes suivants sont utilisés pour les polyèdres ayant au moins deux d'entre eux
de symétries (aussi bien polychorique)

  • Quasiregular polyeder est isotoxal et isogonal.
  • noble polyeder est isogonal et isoedrique.
    (Hess & Bruckner, 1900)
  • Parahedral polyèdre (paraèdre)
    est isoedrique et isotoxal.

Un polyèdre est dit être régulièrement quand il possède
tous des symétries ci-dessus (dans plus de trois dimensions, est un polytope
dit être régulièrement Quand tout est
les drapeaux sont équivalents).

uniforme le polyèdre est isogonal
et équilatéral (c’est-à-dire que tous les bords ont
même longueur, mais ils ne sont pas nécessairement égaux).
Évitez l'expression ambiguë "semi-solide"Cela peut signifier soit uniforme soit quasi réglementaire!

    cuboctaèdre
    icosidodécaèdre

Le seul ordinaire convexe polyeder est
cinq solides platoniques.
Il y a aussi quatre non convexes polyèdre commun,
doublé
Kepler-Poinsot
polyèdres
(deux paires, obtenues par
stellation de l'ordinaire
dodécaèdre convexe et l’icosaèdre convexe habituel).

Respecter l'ordinaire
sens inclusif des termes mathématiques,
tous les polyèdres communs sont aussi rated
quasirégulier, paraéral, noble et uniforme.

Quasiregular polyeder est uniforme.
L'inverse n'est pas vrai:
En plus du cube et de l'octaèdre, les prismes et les antiprismes uniformes ne sont pas isotoxiques.
Outre les solides platoniques, seulement deux convexe
polyèdres quasi-réguliers existent: Le cuboctaèdre et
icosidodécaèdre
(d'autres solides arkimédiens ont plusieurs types d'arêtes).

Les duels de ceux-ci sont les deux polyèdres rhombiques
c'est isotoxal
et isoedrique
mais pas isogonal, À savoir
dodécaèdre rhombique
(à gauche) et
triacontaèdre rhombique
(à droite)

    Dodécaèdre rhombique      Triacontaèdre rhombique

Ils étaient parmi eux
Favoris
par Bucky Fuller (1895-1983).

Le seul peu commun convexe Les polyèdres précieux sont
disphenoids.

Symétrie inertielle:

Pour être complet, mentionnons le type de symétrie
Il fait moment du polyéther par rapport à quelque chose
invariant lors des transformations de cette chose.
Le seul exemple de signification pratique reconnue
s'applique à l'inertie: un solide est
dit être à symétrie inertielle quand il a le même couple d'inertie
vis-à-vis de tout axe (et / ou de tout aéronef) contenant son centre
de gravité. Cela se produit lorsque les trois valeurs propres de
son inertie est identique
(Les physiciens appellent un tel tenseur scalaire ).
Cette caractérisation permettrait de classer la symétrie inertielle
parmi les propriétés équimétriques discutées ensuite.


wikipedia :
Polyèdre symétrique
|
Figure isogonale
|
Figure isotoxale
|
Figure isoédrique (Isohédron)

Polyèdre quasi-ordinaire
|
Polyèdre noble
|
Polyèdre uniforme

Les polyèdres de Kepler-Poinsot de Tom Gettys (1995).

Louis Poinsot (1777-1859, X1794)

(13/02/2013) Polyèdres équimétriques

Polyèdres où certaines mesures similaires sont constantes.

Dans ce contexte, la qualification est campagne est assez simple
utilisé pour des choses qui peuvent être comparés les uns aux autres (il ne
C’est logique de comparer une arête à une face, par exemple).
Un but est une fonction numérique;
On dit d'être constante quand c'est la même chose pour tous les éléments.

le préfixe équilibre indique l'égalité de certaines mesures spécifiques
de telles choses, tandis que les préfixes iso- (qui domine
la partie précédente)
indique une équivalence complète par rapport à quelques-uns
objectif ou critère possible, en raison d'un objectif global symétrie.


Le terme "équifacial" ne peut appartenir à aucune des catégories.
Il désigne un polyèdre dont les faces sont congruentes
(pas nécessairement équivalent).
L'exemple le plus simple d'un polyèdre équivalent qui n'est pas isédique
est l'icositétraèdre pseudo-strombique.
La moindre exigence pour des faces d'égale surface semble présenter peu ou pas d'intérêt
(Si nécessaire, le qualificatif "équiareal" répertorié ci-dessous peut être utilisé).

Des exemples simples de mesures pouvant être utilisées pour qualifier les polyèdres de
equimetric Inclure la longueur de toutes les arêtes ou surfaces de toutes les faces.

D'autres mesures impliquent un point prescrit,
qui sera naturellement appelé un centre au cas où
equimetry.
Des exemples de telles mesures clés incluent les distances radiales (pour les angles, les arêtes ou les surfaces)
angles sous-tendus par des arêtes,
angles fixes sous-tendus par des faces, etc.

Dans des cas symétriques
Les centres en ce qui concerne diverses mesures coïncideront souvent avec certains
Centre de symétrie, mais cela n'a pas besoin d'être aussi général …
Il peut même y avoir plusieurs centres en ce qui concerne
En tant que but donné est le même pour tous les éléments pertinents.
Un exemple est la distance aux (plans de) faces dans n'importe quel tétraèdre:
Il y a 5 centres différents qui sont égaux pour les 4 faces.

Parmi les mesures moins étudiées sont différentes moment
liée à un point central. Cette catégorie
comprend le volume de soi-disant pyramides radiales
(sommet au milieu et une face en tant que base) ou zone
triangles radiaux (sommet au milieu et un bord comme base).

Une nomenclature traditionnelle existe pour certains concepts équimétriques.
D'autres sont mieux caractérisés par des néologismes d'origine récente:

  • en equiradial polyèdres, tous les coins sont aussi éloignés du centre.
  • en canoniquement polyèdre, tous les bords sont aussi éloignés du centre.
  • en orthohedral polyèdres, toutes les faces sont aussi éloignées du centre.
  • en équilatéral polyèdre, toutes les arêtes ont la même longueur.
  • en equiareal polyèdre, toutes les faces ont la même surface.
  • en equicircular polyèdre, tous les bords ne jurent que par le même angle.
  • en equispherical polyèdres, toutes les faces sous-tendent le même angle solide.
  • en equitrigonal polyèdre, tous les triangles radiaux ont la même surface.
  • en equipyramidal polyèdre, toutes les pyramides radiales ont le même volume.

Généralement la distance
un point à un ensemble est la plus petite distance
de ce point à un point de l'ensemble (plus correctement,
ils plus grande limite inférieure de telles distances). D'autre part,
Dans le contexte du polyèdre, la distance à une face ou à une arête est
compris comme la distance au support linéaire concerné
(c'est-à-dire le plan d'une face ou d'une ligne contenant une arête).
Il est toujours obtenu en tant que distance aux projections orthogonales du centre.
Voici quelques commentaires:

  • un equiradial polyeder est inscrit dans une sphère,
    c'est sphère réécrite
    (dont le rayon s'appelle cercle circonscrit ).
    Son double est orthohedral.
    Certains auteurs appellent
    polyèdres équiradiaux sphérique,
    bien que polyèdre sphérique sont généralement compris comme des figures dessinées
    sur la surface d'une sphère, avec des arêtes représentées par des arcs avec de grands cercles
    au lieu de leurs accords (cette dernière représentation est dégénérée ou ambiguë
    pour les surfaces monogonales ou digonales d’un polyèdre sphérique).

  • FR canoniquement polyèdre est celui qui a un midsphere
    (c'est-à-dire une balle sur laquelle toutes les arêtes sont tangentes).
    La distance d'un bord au centre fixe s'appelle midradius.
    Isotoxal le polyèdre est canonique par symétrie.
    Alors c'est quasiregular polyèdre, pour lequel
    les points clés sont les moyens sur tous les bords.

  • un orthohedral polyèdre
    (ou orthohedron) est réécrite à une sphère,
    appelé son sphère inscrite
    (dont le rayon s'appelle inradius ).
    Son double est equiradial.
    Dans le cas particulier d'un tétraèdre,
    Il sépare inscrit sphère
    à l'intérieur du tétraèdre et quatre autres sphères décrites
    Situé à l'extérieur du tétraèdre et tangent aux quatre plans des faces.

  • le terme equicircular fait référence à cible circulaire
    d'angles plats (notez que
    équiangulairement
    dénote un autre concept non central).

  • Equispherical fait référence à
    mesure sphérique
    avec des angles fixes.
    <! –
    Je n'ai trouvé que le terme sterangle (angle solide)
    dans l'emplacement "pixels par étoile",
    apparemment rencontré dans Vidéo omnidirectionnelle de
    Christopher Geyer et Kostas Daniilidis
    (The Visual Computer, septembre 2003, 196, pages 405 à 416).
    Il a été cité deux fois dans la littérature.
    ->

De toute évidence, la symétrie signifie beaucoup equimetries :

  • Le polyèdre isogonal est équiradial.
  • Le polyèdre isotoxal est canonique, équilatéral, circulaire et équitrigonal.
    ils quasiregular ils sont aussi équiradiaux.
  • Le polyèdre isoédrique est orthohédral, équisphérique, équiareal et équipyramidal.
    ils noble ils sont aussi équiradiaux.

Sphère circulaire de polyèdres équiradiaux
|
Milieu du polyèdre canonique
|
Obscurité Orthohedra

(28/07/2001) Polyèdres uniformes

FR uniforme polyèdre sont à la fois isogonal et équilatéral.

Deux coins d'un polyèdre sont appelés de façon correspondante
si l'une est l'image de l'autre dans une transformation isométrique (rotation ou réflexion)
du polyéther lui-même. Si tous ses angles sont équivalents,
un polyèdre est isogonal.
Si on isogonal polyèdre est aussi équilatéral
On dit d'être uniforme.

J37 =
tuboctaèdre pseudo-rhombique =
gyrobicupole carré allongé

Tous les sommets d'un polyèdre uniforme ont le même
arrangement des visages autour d’eux, mais cette condition n’est pas adéquat
pour assurer l'égalité.
Par exemple gyrobicupole carré allongé
(J37,
la photo à gauche) est pas uniforme
(Il est connu comme pseudo-rhombicuboctaèdre ).

ils pseudo-rhombicuboctaèdre ont été
redécouvert à plusieurs reprises, par des amateurs énergiques ou des professionnels expérimentés,
en tant que prétendu "oublié" ou "négligé" 14 ème armée solide …
Aussi récemment qu'en 2012,
Thomas C. Hales (1958-)
assurez-vous donc de vous plaindre de la façon dont le "cuboctaèdre pseudo-rhombique a été oublié ou
illogique (sic) exclu de (polyèdres archimédiens convexes) ".
Il appelle cela "l'une des erreurs les plus persistantes de l'histoire à
mathématiques "(pas moins).

Pour préserver la distinction entre les symétries réelles et les indices superficiels,
Je demande à se séparer de l'opinion isolée du Pr. Hales.
Les duels de solides arkimédiens sont des isoèdres stricts;
le double de J37 n'est pas.
En tant que tel, il n’est pas garanti que ce soit une porte juste, bien que tous les visages soient congruents:
Ces visages sont divisés en deux classes d'équivalence distinctes
(8 faces "polaires" et 16 "équatoriales")
qui ne joue pas le même rôle que les galets de la porte sur une surface horizontale.
Cela peut entraîner un léger biais statistique sur la nature de la face (polaire ou équatoriale)
cette mort finit par arriver à terre.

75 (ou 76) polyèdres uniformes nonprismatiques:

Outre les interminables familles de prismes et d’antprises,
Il y a un total de 75 différents uniforme polyèdres.
18 d'entre eux sont convexes
(les 5 solides platoniques
et les 13 solides armés)
Les 57 autres sont
polyèdres étoiles uniformes
répertorié en 1954 par
J.C.P. Miller (1906-1981),
Donald Coxeter (1907-2003) et
Michael S. Longuet-Higgins (1925-2016).

Cela comprend Le monstre de Miller
(le grand dirhombicosidodécaèdre)
avec 60 angles, 240 arêtes et 124 faces
(sa caractéristique Euler est c = -56).

Sur le squelette bord-sommet désactivé Le monstre de Miller,
un extra (76-ème) polyèdre étoile uniforme avec 204 faces peuvent être construits,
si Nous permettons à deux paires de faces de faire face sur le même bord.
Cette dernière forme a une caractéristique d'Euler de 24 (60-240 + 204) et est connue sous le nom de
Figure de compétence.
Il possède 120 bords communs des deux côtés et 120 bords à quatre tranchants. Alternativement, double bords
On peut considérer que 120 paires d’arêtes simples coïncident dans l’espace (pour un total de 360
bords communs et donc une autre caractéristique d'Euler c = -96).

Avec ce supplément (optionnel),
John Skilling (1945-)
a montré en 1970 que la liste de l’art antérieur de 75 polyèdres uniformes non prismatiques
a été complété. Le résultat a été officiellement publié en 1975.

Il est utile de noter que la coque convexe d’un polyèdre uniforme
est l'un solide convexe isogonal avoir les mêmes coins.
Cela nous permet de baser une classification complète de tous les polyèdres uniformes.
sur le classement beaucoup plus simple du convexe …

convexe
 Antiprisme hexagonal
Polyèdres uniformes:

Les solides platoniques
est clair convexe et uniforme.
il en va de même équilatéral
antiprisme et uniforme
prismes.
 Prisme hexagonal

Le seul autre convexe polyèdre uniforme est
le 13 Arkimedea solides présenté ci-dessous.

Les solides convexes uniformes (leurs duels sont des dés furieux)
Solides platoniques fa E V zones
V E fa
tétraèdre 4 6 4 tétraèdre
cube 6 12 8 octaèdre
octaèdre 8 12 6 cube
dodécaèdre 12 30 20 icosaèdre
icosaèdre 20 30 12 dodécaèdre
régulièrement
Prismes et antiprismes
fa E V zones
V E fa
prisme n-gonal (n ¹ 4) n + 2 3n 2n dipyramide n-gonal
antiprisme n-gonal (n> 3) 2n + 2 4n 2n Deltohèdre n-gonal
Solides d'Archimède fa E V zones
( Solide catalan)
V E fa
Tétraèdre tronqué 8 18 12 Triakis Tetrahedron
cuboctaèdre 14 24 12 Dodécaèdre rhombique
Cube raccourci 14 36 24 Octaèdre de Triakis
Octaèdre raccourci 14 36 24 Cube Tetrakis
rhombicuboctaèdre 26 48 24 Icositetrahedron deltoïde
(Icositetrahedron Strombic)
Grand rhombicuboctaèdre

(= Cuboctaèdre abrégé)

26 72 48 Dodécaèdre Disdyakis
icosidodécaèdre 32 60 30 Triacontahedron Rhombique
Icosaèdre raccourci 32 90 60 Dodécaèdre Pentakis
Dodécaèdre tronqué 32 90 60 Triakis Icosahedron
Snub Cube 38 60 24 Icositetrahedron pentagonal
rhombicosidodécaèdre 62 120 60 Hexacontaèdre deltoïde
(Hexagone strombiqueecontahedron)
grande chaîne de coccidies rhombiques

(= Icosidodekaedenron tronqué)

62 180 120 Triacontahedron Disdyakis
Dodécaèdre adouci 92 150 60 hexacontaèdre pentagonal
(ou "hexecontahedron")
Le marquage jaune indique les solides chiraux (amortisseur et leurs duels).

À priori, La nomenclature pédante suivante serait
acceptable,
mais ils sont explicitement exclus dans le tableau ci-dessus pour éviter reproduction.

  • FR cube est un "prisme tétragonal régulier".
  • FR tétraèdre commun est un "antiprisme digonal égal".
  • FR octaèdre régulier il existe un "antiprisme trigonal équivalent".

Ils sont juste ad hoc exceptions; Il est parfois très utile de
utilisez ce qui est connu pour les antiprismes en tétraèdres et octaèdres!

(28/07/2001) Les 13 solides armés
convexe solides uniformes,
aussi bien Solides platoniques, prismes et antiprismes.

Il y a 13 arkimedea solides (dont deux sont chiraux; retroussé
cube
et Dodécaèdre adouci).
Archimède de Syracuse (287-212 av. J.-C.) a peut-être tout découvert,
 Armoiries
Johannes Kepler
(1571-1630) "src =" http://www.numericana.com/arms/kepler.gif "width =" 45 "height =" 48 "align =" right
mais seulement 12 d'entre eux étaient connus sous Renaissance.
Kepler (1571-1630) ajouté snob dodécaèdre
quand il reconstruit l'ensemble complet en 1619.

    Buckyball "align =" à droite
ils icosaèdre tronqué (la forme d'un football traditionnel)
est maintenant plus connu comme un buckyball depuis qu'il s'est avéré être
la structure d'une grande nouvelle molécule,
maintenant appelé ivre (C60)
en l'honneur du célèbre architecte américain R. Buckminster ("Bucky") Fuller (1895-1983),
qui a créé et dit
dômes géodésiques
à la fin des années 1940.

    grand
Rhombicosidodécaèdre "align =" right

ils buckyball est l'un des 4
Archimède
solides
sans faces triangulaires.
 plafonnés
Octaèdre "align =" left "vspace =" 5
Les trois autres sont octaèdre tronqué (Gauche),
ils grand rhombicosidodécaèdre (À droite)
et grand rhombicuboctaèdre.
    grand
Rhombicuboctahedron "vspace =" 5 "align =" left


Les 4 polyèdres d'Archimède illustrés
jusqu'ici sont simplicial
(i.e., only 3 edges meet at each vertex). 
There are 3 others such simplicial polyhedra, illustrated next,
which happen to be obtained

    Truncated 
Tetrahedron " align="left" vspace="10    Truncated 
Cube " align="left    Truncated 
Dodecahedron " align="left
(like the buckyball et truncated octahedron above)
by truncating a Platonic solid.

This leaves 4 nonchiral Archimedean solids with vertices of degree 4 :

    Rhombicosidodecahedron     Cuboctahedron     Rhombicuboctahedron     Icosidodecahedron

Finally, 5 edges meet at every vertex of the two chiral
Archimedean polyhedra:

    Snub Cube " align="left" border="1    Snub Dodecahedron " align="right" border="1

Pappus  attributes
the list to  Archimedes. 
ils snub dodecahedron (above right)  was lost until
Johannes Kepler (1571-1630) 
reconstructed the entire set, in 1619.

(2013-04-22) Isogonal polyhedra generalize uniform ones.

Every uniform polyhedron typifies a d-dimensional isogonal family.

By definition,  in an isogonal polyhedron all vertices
are  equivalent. 
The edges around every vertex can be given  d  labels. 
Let&#39;s show that the coordinates of each vertex are porportional to an affine function
of the length associated to each label.

    Come back later, we&#39;re 
 still working on this one...

(2000-11-19) Types of polyhedra named after a polygon :

    Hexagonal 
 Prism " align="left" hspace="8
Take a regular polygon (an sekskant, say)
and construct a polyhedron by considering an identical copy of that hexagon
in a parallel plane. 
Join each vertex of the hexagon to the corresponding
vertex in its copy and you obtain what&#39;s called an hexagonal prism.
 Hexagonal 
 Antiprism
Instead, you may twist the copy slightly and join each vertex to the to
nearest vertices of the copy. What you obtain is an hexagonal antiprism.
In such families, the polyhedron is named using the adjective corresponding to
the name of the polygon
it&#39;s built on (e.g., "hexagonal").

There are several other families besides
prismer et antiprisms
for which this pattern applies.
For example, if you cut a prism with a plane containing some edge of either
base polygon (but not intersecting the other), this "half" prism is called
un wedge (it includes the base polygon and its featured edge).

Alternately, if the cutting plane contains only a single vertex,
instead of a whole edge,
the polyhedron we obtain by cutting a prism is an hemiprism.

    Pentagonal Deltohedron

FR deltohedron is what a regular
n-gonal dipyramid becomes if we
twist its upper pyramidal cone 1/2n of a turn with respect to the lower one:
The intersection of the two kjegler becomes a solid whose faces are quadrilaterals
(see figure at left). 
Do not confuse this with the deltunhedra defined
below !

Some polyhedra based on an n-sided polygon
nom sommets bords visages Remarks
pyramid n+1 2n n+1 One n-gon, n triangles
dipyramid n+2 3n 2n 2n triangles
deltohedron 2n+2 4n 2n 2n
quadrilaterals (a cube is
a triangular deltohedron)
prism 2n 3n n+2 Two n-gons, n quadrilaterals

(a cube is a square prism)
antiprism 2n 4n 2n+2 Two n-gons, 2n triangles
cupola 3n 5n 2n+2 One 2n-gon, one n-gon,

n quadrilaterals, n triangles
orthobicupola
gyrobicupola
4n 8n 4n+2 Two n-gons,

2n quadrilaterals, 2n triangles
cupolapyramid 3n+1 7n 4n+1 One
n-gon,
n quadrilaterals, 3n triangles
rotunda 4n 7n 3n+2 One 2n-gon, one n-gon,

n pentagons, 2n triangles
orthobirotunda
gyrobirotunda
6n 12n 6n+2 Two
n-gons,
2n pentagons, 4n triangles
rotundapyramid 4n+1 9n 5n+1 One
n-gon, n pentagons,
n quadrilaterals, 3n triangles
cupolarotunda
(ortho- / gyro-)
5n 10n 5n+2 Two
n-gons, n pentagons,
n quadrilaterals, 3n triangles
hemiprism 2n-1 3n-1 n+2 Two n-gons
(sharing one vertex),

2 triangles, n-2 quadrilaterals
wedge 2n-2 3n-3 n+1 Two
n-gons (sharing one edge),
2 triangles, n-3 quadrilaterals
antiwedge(s) 2n-2 4n-6 2n-2 Two
n-gons, 2n-4 triangles
Only 4 vertices with 3 edges.

Topologically, we obtain what&#39;s called an n-gonal antiwedge
by starting with an n-gonal wedge
(as described above) 
and splitting each of its n-3 lateral tetragonal
faces into two triangles  (by introducing just un diagonal of each
such quadrilateral as a new edge).  An equivalent
geometrical konstruksjon
starts with two  (non-coplanar)
n-gons sharing an edge 
(the so-called hengsel)  and the two
triangular faces formed by an extremity of that hinge together with the adjacent
vertices found on each n-gon.  We&#39;re then left with n-3 lateral
tetragons (which are pas, in general, planar quadrilaterals) from
which we build 2n-6 additional triangular faces  (for a grand total
of 2n-2 faces, including the two n-gons). 
Note that there&#39;s only one way to split a nonplanar tetragon into
two triangular faces to form a convex polyhedron.

A priori, the above constructions yield  2n-3 typer av
n-gonal antiwedges  which may differ enten
by their topology or their chirality. 
However, some pairs of such configurations may be obtained from each other by
a 180° rotation about an axis perpendicular to the hengsel.

Besides the trivial case of the "trigonal antiwedge"  (which is just
a fancy name for an ordinary tetrahedron)  the simplest such polyhedron
is the tetragonal antiwedge, 
a remarkable hexahedron which stands out as the simplest
example of a chiral polyhedron  (the two possible
tetragonal antiwedges are mirror images of each other).

(2002-06-14)

Is there a systematic way to name polyhedra?

Only up to a point. 
The most "generic" way is to use for polyhedra the same naming scheme as
for polygons,
by counting the number or their visages:
Thus, a tetrahedron has 4 faces, a pentahedron has 5,
un dotriacontahedron (also called triacontakaidihedron)
has 32 faces.
 Icosidodecahedron

The case of the Icosidodecahedron :

Counting faces is not nearly enough to describe a polyhedron,
even from a topological standpoint. 
In some cases, a ikke-standard counting prefix is traditionally used for certain
very specific polyhedra. 
For example, the dotriacontahedron shown above is
an Archimedean solid
unambiguously known as an icosidodecahedron
(literally, a polyhedron with 20+12 faces)
because it includes 20 triangular faces and 12 pentagonal ones. 
Because it&#39;s composed of two pentagonal rotundas,
 Pentagonal rotunda (J6)
ils icosidodecahedron could also be called a
pentagonal gyrobirotunda but that name would mask its much greater symmetry
compared to the pentagonal orthobirotunda (J34)
 Cuboctahedron
which is the other way to glue two such halves. 
For the same reason, a special name has been given to the cuboctahedron (at right) 
which might otherwise be called a triangular gyrobicupola.
 Truncated dodecahedron

Si le icosidodecahedron had not claimed the title, for the above reason,
the name could have been given to en annen Archimedean solid with 32 faces,
the so-called truncated dodecahedron (which has 20 triangular faces
and 12 decagonal ones).  It wasn&#39;t…

The notoriety of the icosidodecahedron has made it tempting for some (knowledgeable) people
to use the nonstandard icosidodeca prefiks
(instead of dotriaconta ou triacontakaidi )
to name other unrelated things
(like a
32-sided
polygon
). Resist this temptation…

    Come back later, we&#39;re 
 still working on this one...

The general situation is similar to the
naming of chemical compounds. 
Certain families can be identified and a systematic naming can be introduced
among such families. 
The next article gives the most common such examples.

(2000-11-19) Deltahedra

Don&#39;t confuse deltunhedra avec
the aforementioned deltohedra.

Deltahedra are simply polyhedra whose faces are all equilateral triangles
(a polyhedron whose faces are triangles which are not all equilateral is
best called an irregular deltahedron).
A deltahedron (or an irregular deltahedron) has necessarily
an even number of faces (2n faces, 3n edges, and n+2 vertices).

A noteworthy fact is that there are only 8 convex deltahedra
(disallowing coplanar adjacent faces).  Namely:

    tetraeder     Triangular 
 Dipyramid     octahedron     Pentagonal 
 Dipyramid
4 faces 6 faces 8 faces 10 faces
  1. Regular tetrahedron (4 faces).
  2. Triangular Dipyramid (6 faces).
  3. Regular octahedron or "Square Dipyramid" (8 faces).
  4. Pentagonal Dipyramid (10 faces).
  5. Snub Disphenoid (12 faces), J84.

    (The Snub Disphenoid was originally called
    "Siamese dodecahedron" by Freudenthal and van der Waerden,
    who first described it in 1947.)
  6. Triaugmented Triangular Prism (14 faces), J51.
  7. Gyroelongated Square Dipyramid (16 faces), J17.
  8. Icosahedron or "Gyroelongated Pentagonal Dipyramid" (20 faces).
    Snub 
 Disphenoid     Triaugmented 
 Triangular 
 Prism     Gyroelongated 
 Square 
 Dipyramid     Icosahedron
12 faces 14 faces 16 faces 20 faces

All told, the convex deltahedra include

  • 3 Platonic solids (tetrahedron, octahedron and icosahedron).
  • 3 dipyramids (triangular, square and pentagonal).
  • 3 Johnson solids (J17, J51, and J84).

This adds up to 8, instead of 9, because the regular octahedron
happens to be counted twice
(as a Platonic solid et un square dipyramid)…

Johnson Solids and Polyhedral Nomenclature

It&#39;s a challenge to enumerate all convex polyhedra whose faces
are regular polygons. 
Besides infinitely many prisms and antiprism,
this includes only:

Norman W. Johnson
(1930-)  gave the full classification in 1966,
by adding the 92 polyhedra now collectively named after him.

Only 5 of the 92 Johnson solids est chiral, namely:

  • J44 :   gyroelongated triangular bicupola.
  • J45 :   gyroelongated square bicupola.
  • J46 :   gyroelongated pentagonal bicupola.
  • J47 :   gyroelongated pentagonal cupolarotunda.
  • J48 :   gyroelongated pentagonal birotunda.

Nomenclature :

To describe these and other common polyhedra, some systematic nomenclature is useful.
J7 heptahedron
= elongated
tetrahedron" border="0
In particular, any polyhedron gives rise to many other types whose names include one
or more of the following adjectives:

  • Elongated: By replacing (one of) the largest m-sided polygon,
    with an m-gonal prism (that polygon peut not be a face of the
    polyhedron, but an "internal" polygon with apparent edges). 
    This adds m vertices, 2m edges, and m faces. 
    The simplest example, shown at right, is the elongated tetrahedron (J7),
    which is an heptahedron.
  • Gyroelongated: By replacing (one of) the largest m-sided polygon,
    with an m-gonal antiprism (that polygon is som oftest not a face of the
    polyhedron, but an "internal" polygon with apparent edges).
    This adds m vertices, 3m edges, and 2m faces.
    Gyroelongation can be performed in
    two different ways (often leading to different chiral versions of the same
    polyhedron).
  • Snub: Snubbing is an interesting chiral process which,
    roughly speaking, amounts to loosening all faces of a polyhedron and rotating them
    all slightly in the samme direction (clockwise or counterclockwise),
    creating 2 triangles for each edge and one m-sided polygon for each vertex of degree m.
    A polyhedron and its dual have the same snub(s)! 
    If a polyhedron has k edges, its snub has 5k edges,
    2k vertices and 3k+2 faces.
  • Truncated: By cutting off an m-gonal pyramid at one or more
    (usually tous) of the vertices. This add (m-1) vertices, m edges and 1 face
    for each truncated vertex.
  • Augmented: By replacing one or more of the m-sided faces
    with an m-gonal pyramid, cupola, or rotunda.
  • etc.

Other terms are available to describe certain interesting special cases:

  • Cingulum (Latin: girdle; cingere to gird).
  • Fastigium (Latin: apex, height).
  • Sphenoid (Greek: wedge).
  • etc.

The rest of the nomenclature used in the context of Johnson solids,
is best described in the words of Norman W. Johnson himself :

"  If we define a lune as a complex of two triangles attached to opposite sides of a
square, the prefix spheno- refers to a wedgelike complex formed by two adjacent lunes.
The prefix dispheno- denotes two such complexes,
while hebespheno- indicates a blunter complex of two lunes separated by a third lune.
The suffix -corona refers to a crownlike complex of eight triangles,
et -megacorona, to a larger such complex of 12 triangles.
The suffix -cingulum indicates a belt of 12 triangles. "

How do polyhedra generalize to 4 dimensions or more?

The equivalent of a polyhedron in dimension 4 is called a polychoron
(plural polychora).
Polychora are discussed extensively on beautifully illustrated pages proposed by
George Olshevsky and
Jonathan Bowers.

Although the introduction of the term polychoron is fairly recent,
it seems now generally accepted, as there&#39;s no serious competition
(the etymology of "polyhedroid" is poor and misleading).
The term was coined in the 1990&#39;s by
George Olshevsky, whose
earlier proposal of "polychorema" (plural: "polychoremata") was unsuccessful.
Olshevsky&#39;s new proposal had the early support of Norman W. Johnson,
after whom the 92 "convex regular-faced solids" are named (Johnson solids).

FR polychoron is bounded by 3-dimensional faces, called celler.
The four-dimensional equivalent of the Euler-Descartes formula is a topological relation
which relates the number of vertices (V), edges (E), faces (F), and cells (C)
in any polychoron enclosing a portion of hyperspace homeomorphic to
a 4D open ball (provided edges, faces and cells
are homeomorphic, respectively, to 1D, 2D and 3D open balls):

V – E + F – C   =   0

Such higher-dimensional generalizations of the Euler formula were first established
in 1852 by  Ludwig Schläfli (1814-1895)
but his results were only published in 1901  (by then, many others had rediscovered them).

In an unspecified number of dimensions, the counterpart of a 2D polygon,
a 3D polyhedron, or a 4D polychoron is called a polytope,
a term coined by 
Alicia Boole Scott
(1860-1940) daughter of
George Boole (1815-1865).

The boundary of an n-dimensional polytope consists of hyperfaces
som er (n-1)-dimensional polytopes,
joining at hyperedges, which are (n-2)-dimensional polytopes.
(All the hyperfaces of an hyperface are thus hyperedges.)
This vocabulary is consistent with the well-established term
hyperplane to designate a vector space of codimension 1
(in a hyperspace with a finite number n of dimensions, a hyperplane is
therefore a linear space of dimension n-1).
We also suggest the term hyperline for a linear space of codimension 2
(and, lastly, hyperpoint to designate a space of codimension 3).

To denote the p-dimensional polytopes within a polytope of dimension n, the following
terms may be used: vertex (p=0; plural "vertices"), edge (p=1), face (p=2),
cell or triface (p=3), tetraface (p=4), pentaface (p=5), hexaface (p=6),
… hypervertex (p=n-3),
hyperedge (p=n-2), hyperface (p=n-1), hypercell (p=n).

To establish and/or memorize the n-dimensional equivalent of the Euler-Descartes
formula for "ordinary" polytopes in n dimensions, it&#39;s probably best to
characterize each such polytope by the open region it encloses (boundary excluded),
except in dimension zero (the 0-polytope is a single point).
For the formula to apply, each such region should be homeomorphic (i.e., topologically
equivalent) to the entire Euclidean space of the same dimension, or equivalently to
an open ball of that dimension.
An edge is an open segment, a face is an open disk, a cell is an open ball, etc.
(for example, the ring between two concentric circles is not allowed as a face,
and the inside of a torus is disallowed as a cell).
Then we notice that a number can be assigned to any polytope (and a number of other
things) called its Euler characteristic (c),
which is additive for disjoint sets,
equal to 1 for a point and invariant in a topological homeomorphism
(so that topologically equivalent things have the same c).
For our purposes, this may be considered an axiomatic definisjon av
c.
It may be used to establish (by induction)
that the c of n-dimensional
Euclidean space is (-1)n,
which is therefore equal to the c of our
"ordinary" open polytopes
(HINT: A hyperplane separates hyperspace into
three parts; itself and 2 parts homeomorphic to the whole hyperspace).
ils c of all "ordinary" closed polytopes in n dimensions
est-ce que c'est c of a closed n-dimensional ball and it may
be obtained by inspecting the components of the boundary of any lumière n-dimensional
polytope like the hypercube ou simplex polytope discussed below.
It turns out to be equal to 1 in any dimension n.
If the hypercell itself (the polytope&#39;s interior) is excluded from the count,
as it is in the traditional 3-dimensional Euler-Descartes formula, the RHS of the formula will
therefore be 2 in an odd number of dimensions and zero in an even number of dimensions.
For example, in 7 dimensions, if we denote by T the number of tetrafaces, by P the number
of pentafaces (hyperedges), and by H the number of hexafaces (hyperfaces), we have:

V – E + F – C + T – P + H   =   2

We may focus on the n-dimensional equivalent of the Platoniske faste stoffer, namely
ils regular convex polytopes,
whose hyperfaces are regular convex polytopes
of a lower dimension, given the fact that the concept reduces to
that of a regular polygon (equiangular and equilateral) in dimension 2.
In dimension 3, this gives the 5 regular polyhedra.
In dimension 4, we have just 6 convex regular polychora, first described
by Schläfli:

  • ils regular pentachoron (4-dimensional simplex).
  • ils regular hexadecachoron (cross-polychoron).
  • The  tesseract  (4-dimensional
    hypercube).
  • The  hyper-diamond 
    (24 octahedral cells, 6 per vertex, 3 per edge).
  • The  dodecaplex 
    (120 dodecahedral cells, 4 per vertex, 3 per edge).
  • The  tetraplex 
    (600 tetrahahedral cells, 20 per vertex, 5 per edge).

In dimension 5 or more, only 3 regular polytopes exists which belong to one of the following
trois universell families (also existing in lower dimensions):

Family n-Polytope dim. V
0
E
1
fa
2
C
3
T
4
p-Faces
p
Simplex n C(n+1,p+1)
Point 0 1
Segment 1 2 1
Triangle 2 3 3 1
tetraeder 3 4 6 4 1
Pentachoron 4 5 10 10 5 1
Cross-
Polytope
(orthoplex
or cocube)
n C(n,p+1) 2p+1
Point 0 1
Segment 1 2 1
Square 2 4 4 1
octahedron 3 6 12 8 1
Hexadecachoron 4 8 24 32 16 1
Hypercube n C(n,p) 2n-p
Point 0 1
Segment 1 2 1
Square 2 4 4 1
Cube 3 8 12 6 1
Tesseract 4 16 32 24 8 1

ils regular simplex polytope is obtained by considering n+1 vertices in dimension n,
so that each one is at the same distance from any other
(its hyperfaces are simplex polytopes of a lower dimension).
Choosing as vertices all points whose Cartesian coordinates are from the
sett -1,+1, we obtain an n-dimensional hypercube (of side 2).
ils hyperfaces of an hypercube are hypercubes of a lower dimension.
ils dual of the above hypercube is the regular cross polytope hvem sin
vertices have a single nonzero coordinate, taken from the set -1,+1.

ils interactive hypercube at right is from
Kurt Brauchli (details
here). 
Click and drag with the mouse to turn the cube aound the chosen axes (H and V)
indicated in the menu bar. 
This 5D cube projects like a 3D cube if you rotate
only around axes 0, 1 or 2. 
The fourth and fifth dimensions appear with axes 3 and 4.

With the bottom cursor, you may choose a distant (left) or close-up perspective (right).

Your browser is unable
to run the Java "applet"
corresponding to the
interactive picture
at this location…

Unnskyld.

Ordet Tesseract was coined by
Charles Howard Hinton (1853-1907) 
the son-in-law of the logician
George Boole (1815-1864). 
C. Howard Hinton was obsessed with visualizations of the fourth dimension involving the tesseract,
which he presented in his 1904 book entitled The Fourth Dimension,
whose third edition (1912)
has been made available online by rkumar, thanks to
Banubula.

EnolaStraight (2002-05-07)

What&#39;s the radius of the circle touching 3 touching unit circles?

What&#39;s the radius of the sphere touching 4 touching unit spheres?

(In this (edited) question, "rørende" means "externally tangent (to)".)

    Touching unit circles 
 around a smaller circle " src="http://www.numericana.com/touching.gif

The generalization of this question to any number of dimensions is a classic demonstration
that whatever geometrical intuition we may have developed in two or three
dimensions may not be trusted in a space of more dimensions.
The two-dimensional case (pictured at right) shows 3 congruent circles, centered on the
vertices of an equilateral triangle, touching each other and a much smaller circle
(pictured as a red disk) whose radius has to be determined.
Based on this 2-D case (and, to a lesser extent, on the 3-D case) it would seem that
such an inner ball (disk, sphere, or n-dimensional hypersphere) would always be
small enough to fit inside the simplex (equilateral triangle, regular tetrahedron,
n-dimensional regular simplex) formed by the centers of the congruent balls.
This happens to be true for a dimension equal to 4 or less, but fails for a dimension of
5 or more. In a very large number of dimension,
the (linear) size of the inner ball is about 41% the size of the outer ones.
More precisely,
Ö21 = 0.41421356…
is the limit of that ratio when the number of dimensions tends to infinity.
Read on…

Consider the center O of the n-dimensional simplex
formed by the n+1 centers of the congruent balls (each of radius 1).
The critical quantity is the distance D(n) from the center O to any vertex;
the radius of the inner ball is simply D(n)-1.
Well, because O is the center of gravity of n+1 vertices, it is on the line that goes from
a vertex to the center of gravity of the n others. It divides that line in a 1 to n ratio.
The length of that line is therefore (1+1/n)D(n) and it is also one side of a
right triangle whose other side is of length D(n-1) and whose hypotenuse is of
length 2 (it&#39;s the side of the simplex, the distance between the centers of two balls).
In other words, D(n) is given recursively by the relations:

D(1) = 1     and    
D(n) = Ö(4-D(n-1)2) / (1+1/n)

This recursion can be used to prove, by induction, the following formula:

D(n)   = Ö( 2n / (n+1) )

The simplicity of this result is a hint that there might be a more direct way to obtain it.
D(2) = 2/Ö3 says that the radius of the
inner circle in the above figure is
2/Ö31
(about 15.47 %) of the radius of any outer circle.
Similarly, the corresponding ratio for spheres is
½Ö61
(about 22.4745 %).
The limit of D(n) is Ö2:
In a space with a very large number of dimensions,
the ratio of the radius of the inner hypersphere to the radius of any outer hyperspheres is
thus slightly less than
Ö21
(about 41.42 %).

In dimension n, the distance from the center O to any of the hyperplanes
(of dimension n-1)
of the "faces" is D(n)/n.
Therefore, if the radius D(n)-1 is greater than is D(n)/n.,
the inner hypersphere buler outside of the n-dimensional regular simplex formed
by the centers of the outer hyperspheres.
This happens as soon as n25n+2 > 0,
which is the case when n is at least equal to 5.
This higher-dimensional configuration is contrary to the intuition we would form
by looking only at the two-dimensional and/or three-dimensional cases…

Regular Polytopes in N Dimensions (26:18) 
by  Carlo Séquin 
(Numberphile,  2016-03-23).

Higher Dimensional Spheres 
by  Kelsey Houston-Edwards  (PBS Infinite Series,  2016-11-17).


    Hexagonal Antiprism Dr. Murali V.R. (2004-02-25; e-mail)

What is the volume of a regular antiprism?

A regular antiprism is a polyhedron whose faces are
two parallel n-gonal bases (regular polygons with n sides) 
and 2n equilateral triangles called lateral faces.

Look at the omriss of such a solid from above, and what you see
is a regular polygon with 2n sides (every other vertex is on the top base,
and every other one is on the bottom). 
The angle at each vertex of this outline is thus
q = p-p/n.

Now, each lateral face is seen as an isosceles triangle having an angle
q at the top
and featuring a base observed at its real size un
(as the direction of observation is perpendicular to it). 
The height of such an isosceles triangle is thus:

    A lateral face seen from a direction 
 perpendicular to both bases." src="http://www.numericana.com/isosceles.gif" border="0" align="left

½ un cotan (q/2)
=
½ un tan (p/2n)

This quantity is also equal to the length of a side of a right triangle
whose hypotenuse is the réel hauteur
of a lateral face (namely ½ unÖ3)
and whose other side is the height h of the antiprism 
(namely, the distance between its bases). 
This gives the height h of the antiprism in terms of
the length un of its edges:

Vinculum
h =   ½ un Ö 3 – tan2(p/2n)

Consider the circumscribed prism of height h
whose base is the 2n-gonal outline. 
Each side of this outline is equal to
½ un / cos(p/2n).
Its surface area is therefore:
(n un2/4) /
sin(p/n)
and the volume
of the prism is h times that.

ils antiprism is obtained from this prism by removing
2n triangular pyramids of height h
whose bases are all congruent to the above isosceles triangle,
for a combined base area of
(n un2/2) tan(p/2n)
and a total volume h/3 times that.

The volume V of the antiprism is the difference between these two volumes:

Vinculum
V   =   (n un3 / 24) 
( 3 / sin(p/n)
2 tan (p/2n) )
Ö 3 – tan2(p/2n)

This can be rewritten in a beaucoup more palatable form, using  
t = tan (p/2n)  :

V   = &nbsp n un3
( 3 t 2 ) 3/2
/ 48t

Vinculum
h =   ½ un Ö 3 – tan2(p/2n) V   =   n h 3/ 6 tan(p/2n)

    Regular Octahedron
Two noteworthy special cases (for un = 1):

  • V = 1 / Ö72   when n=2.  A regular tetrahedron!
    (A degenerate but valid case.)
  • V = ½ Ö3   when n=3. 
    A regular octahedron…

(2006-01-18) Szilassi Polyhedron  &  Császár Polyhedron

Two polyhedra of genus 1 (topology of a torus) dual of each other.

auteur Dato visages bords sommets
Lajos Szilassi
  (1942-)
1977 7  hexagons 21 14
Ákos
Császár 
(1924-)
1949 14  triangles 21 7

In a polyhedron, a line between two nonadjacent vertices
is called a diagonal.
When every pair of vertices is connected by an edge, the polyhedron
has thus no diagonals.
The tetrahedron is an example of a polyhedron without diagonals,
so is Császár&#39;s polyhedron.
By duality, this means that every face
de Szilassi heptahedron has an edge in common
with each of the other 6 faces…

    Szilassi Heptahedron " src="http://www.numericana.com/szilassi.gif

Geometrically, the Szilassi polyhedron has an axis of 180° symmetry:
3 pairs of congruent faces and a symmetrical face (darkest in the picture). 
This symmetry allows one to build a full mental picture of the polyhedron
from the image at right  (obtained from David Eppstein&#39;s
Geometry Junkyard).

Beyond Császár and Szilassi…

The Descartes-Euler formula for a polyhedral surface of slekten G  is:

V E + F   =   2 2G

In a polyhedron where all pairs of faces share an edge, E = (F-1)F/2. 
Also, we have V = 2E/3, since any vertex must belong to only 3 faces. 
Eliminating E and V using these two relations makes the above Euler formula boil down to:

G   =   (F-4)(F-3) / 12

As G is an integer, F must have definite values modulo 12,
namely 0, 3, 4 or 7. 
Beyond F=4 (the tetrahedron of genus 0) and F=7 (the Szilassi heptahedron of genus 1)
the next possibility would thus be F=12, a dodecahedron of genus 6…

Curved toroidal maps which can&#39;t be straightened :

The number of colors required to color a map (or an undirected graph)
so that no two adjacent patches (or nodes) are of the same color is called
c'est chromatic number.
For any given surface other than the Klein bottle
(a surface of genus 1 on which any map can be colored with only 6 colors) 
the maximal chromatic number of all maps drawn on it depends only on
its geometric genus G, according to the following formula, proposed by
P.J. Heawood
(1861-1955)  in 1890  (A000934).

Maximal Chromatic Number   =
ë
½ ( 7  +  ( 48G + 1 ) ½ )
û

Geometric Genus 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 3 14 15 16
Heawood Number 4 7 8 9 10 11 12 12 1. 3 1. 3 14 15 15 16 16 16 17

For genus 0, this amounts to the celebrated
4-color theorem for planar or spherical maps,
as proved by Appel and Haken in 1977. 
Otherwise, the formula was shown to be an upper bound by Heawood in 1890. 
It was found to be nøyaktig (except for the Klein bottle)  in 1968,
when Ringel and Youngs showed how a map with this many countries could always be drawn on
a surface of genus G so that two countries always have a common boundary.

When  G  is  (F-4)(F-3) / 12, 
the Heawood formula gives precisely
a maximal chromatic number equal to F  (check it). 
The challenge met by Szilassi for genus 1  (a topological torus) 
was to draw a  Ringel-Youngs map with 7 flat countries. 
Could the same feat be possible for the next cases, 
starting with a genus-6 surface consisting of 12 planar faces?

A Six-Color Problem 
by  Philip Franklin   (April 1934).

Four,
five, and six color theorems
en
Nature of Mathematics  by
William Tross (2010).


    Truncated 
 Icosahedron
Miro Dabrowski
(of Bunbury,
Australie. 2006-07-21)

What are the dihedral angles in a buckyball ?

How do I taper 32 ready-to-glue  wooden  faces ?

First, let&#39;s consider how the overall size of the buckyball relates to the length
of its edges  (un). One easy way to do so is to consider
ils ekvator of the ball if the polar axis
goes through the centers of two opposite pentagonal faces 
(for example,
 The midradius is the radius of a circle 
circumscribed to a decagon of side 0.75 a. " src="http://www.numericana.com/midradius.gif" border="0" align="right" vspace="7
let the polar axis be vertical in the above picture). 
This equator is a  regular decagon 
whose sides are of length  1.5 un
(namely, the distance between the middles of two nonadjacent edges
in a regular hexagon of side un).
The radius of the circle omskrevet to that decagon
is the so-called midradius
(r)  of the buckyball 
(i.e., the distance from the ball&#39;s center to the middle of any
kant).
Thus,  3a/ 4r
is the  sine 
de p/10  (or 18°) 
which is  1/2fa.
This yields the first relation below. 
The other equation gives the
circumradius (R)  of the buckyball 
(i.e., the distance  from the center to any toppunktet )
obtained from the Pythagorean theorem 
(r2 + un2/4  =  R2 ).

r / un = 3/4
(1+Ö5)   =
3 fa/2
=   2.42705098312484227230688025…
Vinculum
R / un = 1/4 Ö 58  +  18 Ö5 =   2.47801865906761553756640791…

FR fast buckyball 
(a truncated regular icosahedron)  consists of 32
straight regular pyramids  (12 pentagonal and 20 hexagonal ones) 
with a common apex  at the center O. 
All the lateral faces of those pyramids are congruent to an isosceles triangle
of base un and sides  R.

A thick buckyball "shell" may be assembled from wooden faces (hexagonal or pentagonal)
whose sides are tapered at an angle equal to the angle between the base and any lateral
face of such a pyramid. 
This is the only way to have the same taper for all hexagonal sides,
in order to simplify tooling and final assembly.

ils interiør shape will not be a perfect buckyball itself
if boards of the same thickness are used for both types
of faces.  If needed, this flaw (which is normally hidden)
could be eliminated by shaving about 5.1% off
the boards used for the hexagonal blocks 
(since the height of an hexagonal pyramid
is about 94.9% of the height of a pentagonal one).

    Orthogonal slice of 
 n-gonal pyramid

Each n-gonal pyramid consists of n slices  (as pictured at left) 
sharing an edge from O to the center 
M  of the n-gon  (n is 5 or 6).

un is the length of every edge.
R  is the circumradius
(distance from the center O to any vertex).
r est-ce que c'est midradius
(distance from O to (the middle of) any edge).
bn =  ½ un / tan(p/n)
est-ce que c'est inscribed radius of the n-gonal face.

The aforementioned taper angles  (q = 0 
would be a straight cut)  are obtained from the formula
qn =
arcsin ( bn / r ). Numerically, this boils down to:

Vinculum
q5 =
arcsin Ö
(5+Ö5)  /  90 =
16.4722106927603966099…°
q6 =
arcsin (
(Ö5 – 1)Ö3 / 6 ) =
20.9051574478892990329…°

Between an hexagon and an adjacent pentagon, the dihedral angle is
q5+q6.
The dihedral angle between two adjacent hexagons is
2q6.

A useful check
is obtained by considering any journey along half a
great circle (180°) which includes an edge between hexagons:

180°   = p =
un +
2 (b5 +
q5 )  + 
4 q6

A similar "trick" was used to obtain trivially the last entry of the above table 
(actually, this was our starting point
to obtain the midradius-to-edge ratio).

ils mangel at each of the 60 buckyball vertices is 12°, namely 
4p/60 = p/15. 
It may also be computed directly as 
2p-2(2p/3)-3p/ 5.

ils mangel at a vertex of a polyhedron is defined
to be what&#39;s missing from a full
turn  (2p or 360°) 
when you add up all the angles of the faces which meet at that vertex. 
The name is historically linked to
Descartes&#39; deficiency theorem
which states that, in any polyhedron homeomorphic to a sphere,
the sum of the deficiencies at all vertices is equal to an angle of
4p (or 720°).

Guy makes a big ball out of plywood (3:15) 
de Keith Williams (2018-01-27).

(2013-02-22) Zonogons, Zonohedra, Zonotopes and Zonoids

FR sone is a belt of polygons joined by parallel edges.

Dans un zonoid,  every 2n-gonal face belongs to n zones.

FR zonotope is a convex polytope obtained as the
Minkowski sum of line segments. 
In three-dimensional space, a zonotope is called a zonohedron.

FR zonotope is said to be nonsingular
when it&#39;s the Minkowski-sum of n line segments among which no 3 segments are coplanar 
(some authors consider bare this special kind of zonotopes). 
The edges of such a nonsingular zonotope have  n  possible
directions  (all the edges along one direction have the same length). 
Each direction defines a single sone containing  2(n-1) 
faces.  There are  n(n-1)  faces; every face is a parallelogram that
tilhører to zones.

In a space of dimension d less than n, a nonsingular zonotope of order n can viewed
qui ombre of an n-dimensional hypercube. 
In three dimensions, a nonsingular zonohedron of order  n ≥ 3 
has  n(n-1)  faces,  2n(n-1)  edges and  2+n(n-1)  vertices.

This doesn&#39;t apply to entall zonohedra whose faces 
(zonogons)  can be dissected into parallelograms but need not be parallelograms themselves.

My  favorite zonohedron 
est-ce que c'est scalene isogonal tetradecahedron
pictured at right 
(with void rectangular faces, through which some indre
faces are shown, with pencil marks on them).

It&#39;s rarely mentioned elsewhere, except in its
more regular incarnation, commonly dubbed
truncated octahedron,  where the rectangular faces are square 
(isosceles isogonal tetradecahedron).

The equilateral version  (uniform truncated octahedron)
is an  Archimedean solid 
which is space-filling  (see below)  and serves as
ils node-skeleton of  Kelvin&#39;s foam.

    Scalene isogonal tetrahedron

    Hexagonal Prism     Truncated 
 octahedron     Great Rhombicuboctahedron     Great Rhombicosidodecahedron
    Cube     Rhombic Dodecahedron     Rhombic Triacontahedron

Zonohedra,
zonohedrification 
and  some zonohedra  
by  George W. Hart

Zonohedra and Zonotopes 
by  David Eppstein   (The Geometry Junkyard)

The Zonohedra Music Chart 
by  Caspar Schwabe  (Polytopia Performance)

Zonohedra (MathWorld)
|
Zonohedra (Wikipedia)

Rhombo-hexagonal dodecahedron
=
Elongated dodecahedron
=
extended rhombic dodecahedron

Truncated rhombic dodecahedron
  =   hexatruncated rhombic dodecahedron

Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919) 
Russian crystallographer who introduced zonotopes.

(2013-02-16) Space-filling polyhedra  ( Plesiohedra )

C'est mange of those:

    Rhombic Dodecahedron     Cuboctahedron     Truncated 
 octahedron
    Cube     Triangular Prism     Hexagonal Prism

(2016-01-04) Pyritohedron :   Space-filling pentagonal dodecahedron.

The only plesiohedron in a parametric family of isohedra.

ils pyrithedron belongs to a one-parameter family of dodecahedral shapes
which interpolate continuously between a split-faced cube et un
rhombic dodecahedron (neither extreme case being included in the family). 
They all feature  12 kongruente pentagonal faces,  30  edges
and  20 vertices. just like the regular dodecahedron,
which is one of them!

    x,y,z coordinates " src="http://www.numericana.com/direct.gif" border="0" hspace="15
    Morphing from split-faced cube to pyrithedron to regular dodecahedron to rhombic dodecahedron.  
 as an animated picture. " src="http://www.numericana.com/pyritohedron.gif

This is illustrated by the morphing animation at right, 
made in November 2009 by 
Tom Ruen 
(a computer programmer born in 1968). 
His picture shows  8  fixed vertices  
(±1, ±1, ±1)
  and 12 that depend on  h 
in the  interval  )0,1( :  
(±(1-h2 ), ±(1+h), 0)

(±(1+h), 0, ±(1-h2 ) )
et
(0, ±(1-h2 ), ±(1+h) )

The  6  edges parallel to a coordinate axis have length 
2-2h2. The other  24 edges have a length
de Ö(1+h2+h4).

Both quantities are equal when  h  is  (Ö5-1)/2 
(the inverse of the golden ratio).  In that special case, all edges
have length Ö5-1 while the horizontal diagonal has length 2,
which makes the ratio of the diagonal to the size equal to the golden ratio, thus establishing
that the faces are inddeed regular pentagons and, consequentely that the solid is a  a regular dodecahedron.

For the solid to be space-filling, a whole number of them must fit around each of the six special
edges.  That number is 2 or 4 in the extreme cases where h is 0 or 1. 
Pour un correctement member of the family to be space-filling, the aforementioned number must be 3,
which implies a dihedral angle of  120° and  h = 1/Ö3.
The corresponding shape is called a pyritohedron.

h-parameter, edge lengths and volume of special related solids
Split-faced Cube Pyritohedron Regular Dodecahedron Rhombic Dodecahedron
h 0
Ö3 = 0.57725…
    Vinculum " src="http://www.numericana.com/dot.gif
3
Ö5-1 = 0.61803…
    Vinculum " src="http://www.numericana.com/dot.gif
2
1
e6 2 4/3 = 1.333333… Ö5 – 1   =
1.236067977…
0
e24 1 Ö13/3 = 1.20185… Ö3
V 8 8+32/Ö27  =
14.158402871356+
10+2Ö5   =
14.472135955-
16

Proofs of the above statements :

Let  1+h  be the altitude  (z)  of the horizontal top edge and  2d  be its length. 
The extremities of that edge are  A& # 39; = (0,-d,1+h) 
in the back and  A = (0,d,1+h)  in the front.

Let&#39;s now consider the pentagonal face whose highest point is the latter vertice . 
(It&#39;s the pentagon with the lightest color in the animation).

In that pentagon,  A is connected to the fixed points  B=(1,1,1)  and  E=(-1,1,1). 
Those two are respectively connected to two base points on the equator  (connected to each
other by an horizontal edge).

Namely:  C = (d,1+h,0)  and  D = (-d,1+h,0).

First, we must establish the relation between  h  and  d  from the fact that
A, B, C, D ane E  are coplanar.  One way to do so is to say that the
determinant  of EA, EB and ED vanish  (EC will be
in the same plane by symmetry):

0   =     Vertical bar " src="http://www.numericana.com/dot.gif 1 d-1 h     Vertical bar " src="http://www.numericana.com/dot.gif =   2h2 + 2d 2
2 0 0
1-d h -1

Therefore,   d  =  1 h2 as advertised…

Each pentagonal face has a special side of length  2d = 2-2h2.
The other sides have a length whose square is  1+h2+(1-d)2
=  1+h2+h4.
The pentagon is equilateral when both lengths are equal:

(2-2h2 )2 =   1+h2+h4

This boils down to   3 ( h4 – 3 h2 + 1 )   =   0   a quadratic equation
in  h2 whose only solution below 1 is 
h2 = (3-Ö5)/2. 
Therefore,  h = (Ö5-1)/2.

    Come back later, we&#39;re 
 still working on this one...

Volume :

The polyhedron discussed so far can be dissected into  19  solids:

  • A cube of side 2 and volume 8.

  • Six prisms of height  2d,  based on a triangle of height h and base 2.

  • Twelve pyramids of height h based on a rectangle of sides 2 and 1-d.

Thus, the total volume goes from  V = 8  (for h = 0) 
to  V = 16  (for h = 1):

8  +  6 ( 2(1-h2 ). h )  +  12 ( 2h2 . h/3 )
  =   8 + 12h – 4h3 =   V(h)

V   =   4 (2-h) (1+h)2

    Come back later, we&#39;re 
 still working on this one...

Space-filling polyhedra (MathWorld)
|
Space-filling polyhedra (Wikipedia)

Five Space-Filling
Polyhedra
by  Guy Inchbald

The honeycomb theorem
|
Most economical foams

US Patent 5168677 
by  Antonio C. Pronsato  &  Ernesto D. Gyurec   (1992)


    Thumbs up, Teacher! " src="http://www.numericana.com/teach.gif" border="0

    Belisha Price " border="0" align="left" hspace="20Belisha J. Price, polyhedron fan   (1938-)

Born in India, brought up in the
London Blitz  and educated
sur
Duke
of York&#39;s Royal Military School
, Belisha var
a telephone technician in 
London  before emigrating to 
New Zealand  in 1961. 
He taught Maths at
Cambridge High School for 35 years.

Retired (2006)
|
Students
|
CyberSpace  by  Belisha Price
|
Belisha
Pris
by  Jim Hogan
|
Wikipedia

La beauté et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de personnes, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une section cruciale de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au courant de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui forment les cinq Solides de Platon atypiques se trouvent de manière naturelle dans la nature, mais aussi dans les pays cristallin. Travailler avec eux indépendamment est censé nous aider à nous rattacher à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le format commun qui nous lie tous au niveau moléculaire et spirituel.

Laisser un commentaire