Après 400 ans, les mathématiciens découvrent une nouvelle classe de formes solides | pierre énergétique

Le travail du polymathe grec Platon a occupé des millions de personnes pendant des millénaires. Certains d'entre eux étaient des mathématiciens possédant des solides platoniques, une classe de formes géométriques très courantes et souvent rencontrées dans la nature.

Depuis les travaux de Platon, deux autres classes de polyèdres convexes parallèles ont été découvertes, regroupant toutes ces figures, les solides d'arkimédée (y compris l'isoèdre tronqué) et les solides de Kepler (y compris les polyèdres rhombiques). Près de 400 ans après la description de la dernière classe, les chercheurs affirment qu’ils ont peut-être inventé une nouvelle quatrième classe, qu’ils appellent le polyhèdre de Goldberg. Ils croient également que leurs règles montrent qu’un nombre infini de telles classes pourraient exister.

Amour platonicien de la géométrie

Les polyèdres convexes équilatéraux doivent avoir certaines propriétés. Premièrement, chacun des côtés du polyèdre doit avoir la même longueur. Deuxièmement, la forme doit être complètement solide: il doit s'agir d'un intérieur et d'un extérieur bien définis, séparés par la forme elle-même. Troisièmement, certains points d’une ligne reliant deux points d’une même forme ne doivent jamais perdre leur forme.

Les solides platoniques, la première classe de telles formes, sont bien connus. Ils se composent de cinq formes différentes: tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre. Ils ont respectivement quatre, six, huit, douze et vingt visages.

Solides platoniques dans l'ordre croissant du nombre de faces.
décalage vers le bleu de la NASA

Ces structures très communes se retrouvent souvent dans la nature. Par exemple, les atomes de carbone d'un diamant sont disposés sous une forme tétraédrique. Le sel et le non-sens sont l'or (sulfure de fer) formant des cristaux cubiques, et le fluorure de calcium forme des cristaux octaédriques.

La nouvelle découverte provient de scientifiques inspirés par la découverte de polyèdres aussi intéressants dans leurs propres travaux impliquant l'œil humain. Stan Schein de l'Université de Californie à Los Angeles a étudié la rétine de l'œil lorsqu'il s'est intéressé à la structure de la protéine appelée clathrine. Clathrin est impliqué dans le déplacement des ressources à l'intérieur et à l'extérieur des cellules et, dans ce processus, il ne forme qu'une poignée de formes. Ces personnages ont fasciné Schein, qui s’est retrouvé avec une explication mathématique du phénomène.

Polyèdre de Goldberg.

Au cours de ce travail, Schein est venu travailler sur le mathématicien Michael Goldberg du XXe siècle, qui a décrit un ensemble de nouvelles formes nommées en son honneur, telles que le polyèdre de Goldberg. Le polyèdre de Goldberg le plus simple à imaginer ressemble à un ballon de football gonflé, car sa forme est composée de nombreux pentagones et hexagones reliés de manière symétrique (voir photo à gauche).

Cependant, Schein estime que les formes de Goldberg – ou cages, comme les appellent leurs géométries – ne sont pas des polyèdres. "Cela peut être déroutant parce que Goldberg les a appelés polyèdres, un nom très sensé pour un théoricien des graphes, mais pour un géomètre, le polyèdre nécessite des faces planes", a déclaré Schein.

Au lieu de cela, Schein et son collègue James Gayed, dans un nouvel article des Actes de l'Académie nationale des sciences, décrivent qu'un quatrième degré de polyèdre convexe, qui confère à Goldberg l'influence qu'ils ont sur eux, serait appelé polyphèdre de Goldberg, même au prix de la confusion.

Dodécaèdre éclaté.
stblaize

Selon David Craven de l’Université de Birmingham, l’un des moyens de décrire le travail de Schein et Gayed est "de prendre un dé et de le faire exploser comme un ballon" – ce qui leur donnera un visage turbulent (voir photo à droite). Le point où les nouvelles figures enfreignent la troisième règle – c’est-à-dire que tout point d’une ligne reliant deux points de cette forme se trouve en dehors de la forme – c’est ce qui intéresse le plus Schein et Gayed.

Craven a déclaré: "Il y a deux problèmes: le renflement des visages, qu'il crée une forme semblable à une selle et comment créer des visages ondulés aux formes à facettes multiples. Le premier est relativement facile à résoudre. Le second est le problème principal. Vous pouvez y dessiner hexagones sur le côté du renflement, mais ces hexagones ne seront pas plats. La question est de savoir si vous pouvez pousser et tirer tous ces hexagones pour les rendre tous plats. "

Pendant le processus de gonflement imaginaire, celui qui implique de remplacer le renflement par de multiples hexagones, comme le souligne Craven, sera formé par les angles intérieurs. Ces angles formés entre les lignes des mêmes faces – appelées divergences d'angle dièdre – signifient que, selon Schein et Gayed, la forme n'est plus un polyèdre. Au lieu de cela, ils ont prétendu avoir trouvé un moyen de rendre ces angles nuls, en rendant toutes les faces plates, et ce qui reste est un véritable polyèdre convexe (voir photo ci-dessous).

Leurs règles, prétendent-ils, peuvent être utilisées pour développer d’autres classes de polyèdres convexes. Ces personnages auront de plus en plus de visages et, dans ce sens, ils devraient être en nombre infini.

Jouer avec les formes

De tels résultats mathématiques n’ont pas d’applications immédiates, mais on en trouve souvent. Par exemple, les bâtiments en forme de dôme ne sont jamais de forme circulaire. Au lieu de cela, ils sont construits en polyèdres de Goldberg coupés à moitié, qui se composent de nombreuses formes communes qui donnent plus de résistance à la structure qu’en utilisant des matériaux de construction de forme ronde.

Seul le coin inférieur droit est un polyèdre convexe.
Stan Schein / PNAS

Cependant, il peut y avoir des applications immédiates. Les nouvelles règles créent des polyèdres ayant des structures similaires à celles des virus ou des fullerènes, un allotrope au carbone. Le fait qu'il n'y ait pas eu de "cure" pour la grippe, ou la grippe habituelle, montre qu'il est difficile d'arrêter le virus. Mais si nous sommes en mesure de décrire avec précision la structure d'un virus, nous aurons un pas de plus pour trouver un moyen de les combattre.

Dans le meilleur des cas, le travail de Schine demandera aux mathématiciens de trouver d’autres formes géométriques intéressantes, maintenant que des polyèdres convexes à l’équilibre ont peut-être été réalisés.


Mise à jour: Le score a été corrigé pour faire référence aux polyèdres convexes à l'équilibre.

En observant les relations entre les robustes de Platon, il est possible de préciser que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les points centraux des douze pentagones qui forment l’élément éthérique, vous aurez créé les 12 coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant parce que ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se inclus effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est vérifiée assez dur jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle façon pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les monologues chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. ‘ n

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