Espace tridimensionnel – Wikipedia solides de Platon

Salle tridimensionnelle (Aussi: 3-space ou, rarement, espace tridimensionnel) est un paramètre géométrique où trois valeurs (appelées paramètres) sont nécessaires pour déterminer la position d’un élément (c.-à-d. un point). C'est le sens informel du terme dimension.

En physique et en mathématiques, une séquence de n les chiffres peuvent être compris comme quelque part dans nespace dimensionnel. quand n = 3, définir l'ensemble de tous ces lieux espace euclidien en trois dimensions. Il est généralement représenté par le symbole 3. Cela sert de modèle de paramètre arborescent de l'univers physique (c'est-à-dire de la partie spatiale sans tenir compte du temps) où toute la matière connue existe. Cependant, cet espace n'est qu'un exemple d'une grande variété d'espaces en trois dimensions appelés 3-variétés. Dans cet exemple classique, lorsque les trois valeurs font référence à des mesures dans différentes directions (coordonnées), trois directions peuvent être sélectionnées, à condition que les vecteurs dans ces directions ne soient pas tous dans la même position sur 2 (plan). De plus, ces trois valeurs dans ce cas peuvent être étiquetées avec n’importe quelle combinaison de bois sélectionnée dans les conditions largeur, hauteur, profondeuret longueur.

En géométrie euclidienne(éditer)

Les systèmes de coordonnées(éditer)

En mathématiques, la géométrie analytique (également appelée géométrie cartésienne) décrit chaque point dans un espace tridimensionnel à l'aide de trois coordonnées. Trois axes de coordonnées sont donnés, chacun perpendiculaire aux deux autres à l'origine, le point qu'ils croisent. Ils sont généralement étiquetés x, yet z. Par rapport à ces axes, la position de tout point de l'espace tridimensionnel est donnée par un triple nombre réel ordonné, chaque nombre donnant la distance au point d'origine mesurée le long de l'axe indiqué, égale à la distance au point du plan déterminé des deux autres axes.(1)

D'autres méthodes populaires pour décrire l'emplacement d'un point dans un espace tridimensionnel comprennent les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques, bien qu'il existe un nombre infini de méthodes possibles. Voir l'espace euclidien.

Vous trouverez ci-dessous des images des systèmes ci-dessus.

Lignes et avions(éditer)

Deux points différents déterminent toujours une ligne (droite). Trois points différents sont soit collatéraux, soit déterminent un plan unique. Quatre points différents peuvent être colinéaires, coplanaires ou déterminer l’endroit dans son ensemble.

Deux lignes différentes peuvent être coupées, être parallèles ou être asymétriques. Deux lignes parallèles, ou deux lignes qui se croisent, se trouvent dans un plan unique. Les lignes obliques sont donc des lignes qui ne se rencontrent pas et ne se trouvent pas dans un même plan.

Deux plans différents peuvent se rencontrer dans une ligne commune ou sont parallèles (ne se rencontrent pas). Trois plans différents, sans paires parallèles, peuvent se rencontrer sur une ligne commune, se rencontrer à un point commun unique ou ne pas avoir de point commun. Dans ce dernier cas, les trois intersections de chaque paire de plans sont parallèles et parallèles.

Une ligne peut se trouver dans un plan donné, couper ce plan en un point unique ou être parallèle au plan. Dans ce dernier cas, il y aura des lignes dans le plan qui sont parallèles à la ligne indiquée.

Un hyperplan est un sous-espace dont la dimension est inférieure à celle de l'espace complet. Les hyperplans d'un espace tridimensionnel sont les sous-espaces bidimensionnels, c'est-à-dire les plans. Sous forme de coordonnées cartésiennes, les points d'un hyperplan satisfont une équation linéaire simple, de sorte que les plans de ce carré sont décrits par des équations linéaires. Une ligne peut être décrite par une paire d'équations linéaires indépendantes, chacune représentant un plan ayant cette ligne comme une intersection commune.

Le théorème de Varignon déclare que les centres de tout carré de3 forme un parallélogramme, puis est parallèle.

Sphères et boules(éditer)

Une sphère à 3 places (aussi appelée une 2-sphère parce qu’il s’agit d’un objet à 2 dimensions) est constitué de l’ensemble des points en 3 positions à une distance fixe r à partir d'un point central P. Le solide qui est entouré par la sphère est appelé un balle (ou, plus spécifiquement, un 3-ball). Le volume de la balle est dégagé

Un autre type de balle provient d’une balle à 4 billes, dont la surface tridimensionnelle est 3-sphère: points contrastant avec les origines de l'espace euclidien 4. Si un point a des coordonnées, P(x, y, z, w)alors x2 + y2 + z2 + w2 = 1 caractérise ces points sur l’unité 3 sphère centrée sur l’origine.

polytopes(éditer)

En trois dimensions, il existe neuf polytopes communs: les cinq solides platoniques convexes et les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot non convexes.

Polytopes réguliers en trois dimensions
classe Solides platoniques Polyeder de Kepler-Poinsot
symétrie T Oh Jeh
Groupe Coxeter FR3, (3.3) B3(4.3) H3(5.3)
ordre 24 48 120
régulièrement
polyèdre
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3,3
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4,3
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3,4
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5,3
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3,5
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5 / 2.5
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5.5 / 2
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5 / 2.3
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3.5 / 2

Surfaces révolutionnaires(éditer)

Une surface générée par la rotation d'une courbe de vol autour d'une ligne fixe dans son plan en tant qu'axe s'appelle une surface révolutionnaire. La courbe de vol s'appelle génératrice de la surface. Une partie de la surface, réalisée en coupant la surface avec un plan perpendiculaire (orthogonal) à l'axe, est un cercle.

Des exemples simples se produisent lorsque le générateur est une ligne. Si la ligne de matrice du gène coupe la ligne d'arbre, la tourelle est un cône circulaire correct avec le point d'intersection du sommet. Mais si la génératrice et l’axe sont parallèles, la surface tournante est un cylindre circulaire.

Surfaces quadriques(éditer)

Par analogie avec les sections de cône, l'ensemble des points vérifie les coordonnées cartésiennes de l'équation générale, à savoir:

FR, B, C, fa, sol, H, J, K, L et M sont des nombres réels et pas tous FR, B, C, fa, sol et H est zéro est appelé un surface quadrique.(2)

Il existe six types de surfaces quadratiques non dégénérées:

  1. ellipsoïde
  2. Hyperboloïde d'une feuille
  3. Hyperboloïde de deux feuilles
  4. Cône elliptique
  5. Paraboloïde elliptique
  6. Paraboloïde hyperbolique

Les surfaces carrées dégénérées sont l’ensemble vide, un seul point, une seule ligne, un seul plan, une paire de plans ou un cylindre carré (une surface constituée d’une partie conique non dégénérée dans un plan). π et toutes les lignes dans 3 à travers le conique qui est normal à π).(2) Les cônes elliptiques sont également considérés comme des surfaces carrées dégénérées.

L'hyperboloïde d'une feuille et le paraboloïde hyperbolique sont des surfaces guidées, ce qui signifie qu'elles peuvent être constituées d'une famille de lignes droites. En fait, chacune des deux familles de groupes électrogènes, les membres de chaque famille sont inégaux et chaque membre d’une famille croise, à une exception près, chaque membre de l’autre famille.(3) Chaque famille s'appelle un regulus.

En algèbre linéaire(éditer)

L'algèbre linéaire est une autre façon de voir l'espace tridimensionnel, où l'idée d'indépendance est cruciale. L'espace a trois dimensions car la longueur d'une boîte est indépendante de la largeur ou de la largeur. Dans le langage technique de l'algèbre linéaire, l'espace est tridimensionnel car chaque point de l'espace peut être décrit par une combinaison linéaire de trois vecteurs indépendants.

Produit ponctuel, angle et longueur(éditer)

Un vecteur peut être représenté par une flèche. La taille du vecteur est sa longueur et la direction est la direction indiquée par la flèche. Un ensemble de vecteurs 3 peut être représenté par un triple nombre réel ordonné. Ces chiffres s'appellent composants du vecteur.

Le produit scalaire de deux vecteurs FR = (FR1, FR2, FR3) et B = (B1, B2, B3) est défini comme:(4)

La taille d'un vecteur FR est noté par ||FR||. Le produit scalaire d'un vecteur FR = (FR1, FR2, FR3) avec soi est

ça donne

formule pour Longueur euclidienne du vecteur.

Sans référence aux composants des vecteurs, le produit scalaire de deux vecteurs euclidiques non nuls FR et B est dégagé(5)

θ est-ce que c'est angle entre FR et B.

Produit croisé(éditer)

Le produit croisé ou produit vectoriel est une opération binaire sur deux vecteurs dans un espace tridimensionnel et est désigné par le symbole ×. produit Cross un x b des vecteurs un et b est un vecteur perpendiculaire aux deux et donc normal à l’aéronef les contenant. Il a de nombreuses applications en mathématiques, physique et ingénierie.

L'espace et le produit forment une algèbre sur un champ qui n'est ni commutatif ni associatif, mais qui est une algèbre de Lie avec le produit croisé comme parent de Lie.

On peut dans n les dimensions enlèvent le produit n – 1 des vecteurs pour produire un vecteur perpendiculaire à chacun d'eux. Mais si le produit est limité à des produits binaires non triviaux avec des résultats vectoriels, il n'existe qu'en trois et sept dimensions.(6)

Le produit croisé par rapport à un système de coordonnées droitier

Dans la calculatrice(éditer)

Gradient, divergence et curl(éditer)

Dans un système de coordonnées rectangulaires, le degré est donné par

La divergence d'un Champ vectoriel continuellement différentiable fa = U Je + V j + W k est similaire à la fonction scalaire:

Étendu dans Coordonnées cartésiennes (voir Partie en coordonnées cylindriques et sphériques pour les coordonnées sphériques et cylindriques), curl × fa est trop fa se compose de (fax, fay, faz):

Je, jet k est vecteurs unitaires pour x-, y– et z-axes, respectivement. Cela se développe comme suit:(7)

Intégrales de ligne, intégrales de surface et intégrales de volume(éditer)

Pour certains champs scalaires fa : URnR, la ligne intégrée le long d'une courbe lisse au coup par coup CU est défini comme

r: (a, b) → C est arbitraire paramétrage bypass de la courbe C pour que r(un) et r(b) donne les points finaux à C et

<img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a7698e4c7401bb321f97888b883b983a9e4642" class = "mwe-math-fallback-image-inline" en ligne "true" réglage vertical: -0,338ex; largeur: 5.326ex; hauteur: 2.176ex; "alt =" un.

Pour un champ vectoriel fa : URnRn, la ligne intégrée le long d'une courbe lisse au coup par coup CU, en direction de r, est défini comme

où est produit scalaire et r: (a, b) → C est un paramétrage de dérivation de la courbe C pour que r(un) et r(b) donne les points finaux à C.

Une intégrale de surface est une généralisation de plusieurs intégrales pour une intégration de surface. Il peut être considéré comme l'analogue à double intégration de la ligne intégrée. Pour trouver une formule intégrale de surface explicite, nous devons paramétrer la surface d'intérêt S, en considérant un système de coordonnées bouclées S, tels que la latitude et la longitude d'une sphère. Laissez une telle paramétrisation être x(s, t), où (s, t) varient dans certaines régions T dans l'avion. Alors l'intégrale de surface est dégagée

où l'expression entre les barres du côté droit est la taille du produit croisé des dérivés partiels de x(s, t) et est appelé élément de surface. Étant donné un champ de vecteur v sur S, c’est une fonction qui assigne à chaque x en S un vecteur v(x), l'intégrale de surface peut être définie composante par composant selon la définition de l'intégrale de surface d'un champ scalaire; Le résultat est un vecteur.

Une intégrale de volume fait référence à un domaine intégré sur un domaine tridimensionnel.

Cela peut aussi signifier une triple intégration dans une région en R3 d'une fonction

fa(x,y,z),style d'affichage f (x, y, z)

et est généralement écrit comme:

Théorie de base des intégrales de ligne(éditer)

La déclaration de base des intégrales de ligne indique qu'une intégrale de ligne à travers un champ de gradient peut être évaluée en évaluant le champ scalaire d'origine aux points d'extrémité de la courbe.

la

φ:URnRstyle varphi: u subseteq hhbb R ^ n à hhbb R

. puis

Théorème de Stokes(éditer)

Le théorème de Stokes relie la surface intégrée par le curl à un champ de vecteurs F sur une surface Σ à trois places euclidiennes à la droite intégrée par le champ de vecteurs sur sa limite:

Divergensetning(éditer)

anta V est un sous-ensemble de

Rnstyle mathbb R ^ n}

(en cas de n = 3, V représente un volume dans l'espace 3D) qui est compact et a un morceau de bordure uniforme S (également indiqué par V = S). si fa est un champ vectoriel continuellement différentiable défini dans un voisinage de V, la déclaration du plongeur dit:(8)

Le côté gauche est un volume intégré sur le volume V, le côté droit est la surface intégrée sur la limite de volume V. Le collecteur fermé V est à peu près la limite pour V orienté par des normales extraverties, et n est le champ normal du périphérique de pointage externe V. (S peut être utilisé comme un raccourci pour ndS.)

En topologie(éditer)

L'espace tridimensionnel possède un certain nombre de caractéristiques topologiques qui le distinguent des espaces d'autres nombres de dimensions. Par exemple, il faut au moins trois dimensions pour faire un nœud dans un bout de ficelle.(9)

En géométrie différentielle, les espaces génériques en trois dimensions sont des variétés de 3, qui sont localement similaires.

R3{

.

En géométrie finale(éditer)

De nombreuses idées sur les dimensions peuvent être testées avec la géométrie finale. Le cas le plus simple est celui de PG (3.2), dans lequel les avions Fano sont des compartiments bidimensionnels. Il existe une occurrence de la géométrie Galois, une étude de la géométrie projective utilisant des champs finaux. Ainsi, pour tout champ de Galois GF (q), il existe un espace de projection PG (3,q) en trois dimensions. Par exemple, trois lignes obliques dans PG (3,q ) trouvé dans exactement un regulus.(10)

Voir aussi(éditer)

  1. ^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (2013). Calculatrice: simple et multivariable(6 éd.). John Wiley. ISBN 978-0470-88861-2.
  2. ^ un b Brannan, Esplen & Gray 1999, p. 34-5
  3. ^ Brannan, Esplen & Gray 1999, page 41-2
  4. ^ Anton 1994, page 133
  5. ^ Anton 1994, page 131
  6. ^ WS Massey (1983). "Croisement de vecteurs dans des espaces euclidiens de dimension supérieure". Le mois mathématique américain. 90 (10): 697-701. doi: 10,2307 / 2,323,537. JSTOR 2.323.537. Si seulement trois propriétés de base du produit croisé sont requises, il semble qu'un produit croisé de vecteurs n'existe que dans un espace euclidien à trois dimensions et à sept dimensions.
  7. ^ Arfken, page 43.
  8. ^ M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Analyse de vecteur. Schémas de Schaums (2e édition). Etats-Unis: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
  9. ^ Rolfsen, Dale (1976). Boutons et liens. Berkeley, Californie: Publier ou passer. ISBN 0-914098-16-0.
  10. ^ Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Géométrie projective , page 72, Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1

références(éditer)

  • Anton, Howard (1994), Algèbre linéaire élémentaire(7ème édition), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
  • Arfken, George B. et Hans J. Weber. Méthodes mathématiques pour les physiciens, Presse académique; 6ème édition (21 juin 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
  • Brannan, David A. Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1999), géométrie, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6

Liens externes(éditer)


Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les 4 premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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