En mathématiques, un 4-polytope régulier est un polytope commun à quatre dimensions. Ce sont les analogues à quatre dimensions de polyèdres ordinaires en trois dimensions et les polygones communs en deux dimensions.
Le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a décrit pour la première fois les 4-polytopes au milieu des années 1800, bien que l'ensemble n'ait été découvert que plus tard.
Il y a six polytopes réguliers convexes et dix étoiles normaux, pour un total de seize.
histoire(éditer)
Les 4 polytopes ordinaires convexes ont été décrits pour la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Il a découvert qu'il n'y en avait que six.
Schläfli a également trouvé quatre polytopes 4 étoiles communes: la grande 120 cellules, la grande 120 cellules numérotées, la grande 600 cellules et la grande cellule 120 cellules. Il a sauté les six autres parce qu'il n'autorisait pas les formes ayant échoué avec la caractéristique d'Euler des cellules ou des figures de vertex (pour les tori à trou nul: fa – E + V = 2). Elle exclut les cellules et les en-têtes tels que 5.5 / 2 et 5 / 2.5.
Edmund Hess (1843-1903) a publié la liste complète dans son livre allemand de 1883 Exercez l’apprentissage de la salle de bal avec une exposition spéciale à l’utilisation de la théorie du carnage et du polyèdre gai.
construction(éditer)
L'existence d'un 4-polytope régulier
est limité par l'existence du polyèdre commun
formant leurs cellules et un limitation d'angle dièdre
- <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7615b260ee4e3e4a3969aff104a70243e405fa63" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden = "true style =" réglage vertical: -2,338ex; largeur: 20,62ex; hauteur: 5,176ex; "alt =" le style d'affichage est fra p r
pour s'assurer que les cellules se rencontrent pour former une surface 3 fermée.
Les six polytopes convexes et les dix étoiles décrits sont les seules solutions à ces limitations.
Il y a quatre symboles non-convexes-Schläfli p, q, r qui ont des cellules valides p, q et des en-têtes q, r et envoient le test diédral, mais ne produisent pas les nombres finaux: 3.5 / 2, 3, 4.3.5 / 2, 5 / 2.3.4, 5 / 2.3.5 / 2.
4-polytopes convexes réguliers(éditer)
Les 4-polytopes convexes communs sont les analogues à quatre dimensions des solides platoniques tridimensionnels et les polygones réguliers convexes à deux dimensions.
Cinq d'entre eux peuvent être considérés comme analogues aux solides platoniques. Une figure supplémentaire, la cellule à 24 cellules, n’a pas d’équivalent presque tridimensionnel.
Chaque polytope commun convexe est limité par un ensemble de trois dimensions cellules qui sont tous des solides platoniques du même type et de la même taille. Ceux-ci sont montés ensemble le long de leurs faces respectives régulièrement.
propriétés(éditer)
Les tableaux suivants montrent certaines propriétés des six polytopes 4 communs convexes. Les groupes de symétrie de ces 4 polytopes sont tous des groupes coxeter et sont donnés dans la notation décrite dans cet article. Le numéro qui suit le nom du groupe correspond à l'ordre du groupe.
| noms | image | famille | Schläfli Coxeter |
V | E | fa | C | Vert. Fig. |
double | Groupe de symétrie | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-cell pentachoron pentatope 4-simplex |
n-simplex (ENn famille) |
3,3,3 |
5 | 10 | 10 3 |
5 3,3 |
3,3 | (Autoduaux) | FR4 (3,3,3) |
120 | |
| 8 cellules octachoron Tesseract 4 cube |
n-cube (Bn famille) |
4,3,3 |
16 | 32 | 24 4 |
8 4,3 |
3,3 | 16 Cell- | B4 (4,3,3) |
384 | |
| 16 Cell- hexadecachoron 4 orthoplex |
n-orthoplex (Bn famille) |
3,3,4 |
8 | 24 | 32 3 |
16 3,3 |
3,4 | 8 cellules | B4 (4,3,3) |
384 | |
| 24 Cell- icositetrachoron octaplex poly-octaèdre (pO) |
fan famille | 3,4,3 |
24 | 96 | 96 3 |
24 3,4 |
4,3 | (Autoduaux) | fa4 (3,4,3) |
1152 | |
| 120 cellules hecatonicosachoron dodecacontachoron dodecaplex polydodécaèdre (pD) |
polytope n-pentagonal (Hn famille) |
5,3,3 |
600 | 1200 | 720 5 |
120 5,3 |
3,3 | 600 cellules | H4 (5,3,3) |
14400 | |
| 600 cellules hexacosichoron tetraplex polytétraèdre (pT) |
polytope n-pentagonal (Hn famille) |
3,3,5 |
120 | 720 | 1200 3 |
600 3,3 |
3,5 | 120 cellules | H4 (5,3,3) |
14400 | |
John Conway préconise les noms simplex, orthoplex, tesseract, octaplex ou polyoctaèdre (pO), dodécaplex ou polydodécaèdre (pD) et tétraplex ou polytétraèdre (pT).(1)
Norman Johnson préconise les noms n-cell ou pentacoron, tesseract ou octacoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hecatonicosachoron (ou dodecacontachoron) et hexacoccinone, qui forgent le terme polychoron être une analogie 4D avec un polyèdre 3D et un polygone 2D, exprimée à partir de racines grecques poly ("plusieurs") et Choros ("salle" ou "espace").(2)(3)
La caractéristique d'Euler de tous les 4-polytopes est zéro, nous avons l'analogue à 4 dimensions de la formule polyédrique d'Euler:
où Nk indique le nombre k-faces dans le polytope (un sommet est une face 0, une arête est une face, etc.).
La topologie d'un 4-polytope donné est définie par ses nombres de Betti et ses coefficients de torsion.(4)
En tant que configurations(éditer)
Un 4-polytope commun peut être décrit comme une matrice de configuration contenant un compteur d'éléments constitutifs. Les rainures et les colonnes correspondent aux coins, aux arêtes, aux faces et aux cellules. Les nombres diagonaux (en haut à gauche et en bas à droite) indiquent le nombre d'éléments de chaque élément dans le 4-polytope. Les nombres non diagonaux indiquent combien d'éléments de la colonne apparaissent dans ou sur l'élément de la ligne. Par exemple, il y a 2 coins en chaque bord (chaque bord a 2 coins) et 2 cellules se rencontrent sur chaque visage (chaque visage appartient 2 cellules), dans n'importe quel 4-polytope commun. Notez que la configuration du double polytope peut être obtenue en faisant pivoter la matrice de 180 degrés.(5)(6)
| 5-cell 3,3,3 |
16 Cell- 3,3,4 |
Tesseract 4,3,3 |
24 Cell- 3,4,3 |
600 cellules 3,3,5 |
120 cellules 5,3,3 |
|---|---|---|---|---|---|
visualisation(éditer)
Le tableau suivant montre quelques projections bidimensionnelles de ces 4 polytopes. Divers autres visualisations sont disponibles dans les liens externes ci-dessous. Les graphiques Coxeter-Dynkin sont également fournis sous le symbole Schläfli.
| FR4 = (3,3,3) | BC4 = (4.3.3) | fa4 = (3,4,3) | H4 = (5.3.3) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 5-cell | 8 cellules | 16 Cell- | 24 Cell- | 120 cellules | 600 cellules |
| 3,3,3 | 4,3,3 | 3,3,4 | 3,4,3 | 5,3,3 | 3,3,5 |
| Projections orthographiques 3D solides | |||||
tétraèdre enveloppe (Cellule / sommet centré) |
Enveloppe cubique (Cell-centrée) |
enveloppe cubique (Cell-centrée) |
Cuboctahedral enveloppe (Cell-centrée) |
Rhombique raccourci triacontaèdre enveloppe (Cell-centrée) |
pentakis icosidodécaédrique enveloppe (Vertex centré) |
| Schémas Schlegel en mode filaire (projection en perspective) | |||||
Cell-centrée |
Cell-centrée |
Cell-centrée |
Cell-centrée |
Celle-sentrert |
Vertex-sentrert |
| Wireframe stereografiske fremspring (3-sfæren) | |||||
Regular star (Schläfli–Hess) 4-polytopes(éditer)
ils Schläfli–Hess 4-polytopes are the complete set of 10 regular self-intersecting star polychora (four-dimensional polytopes).(8) They are named in honor of their discoverers: Ludwig Schläfli and Edmund Hess. Each is represented by a Schläfli symbol p,q,r in which one of the numbers is 5/2. They are thus analogous to the regular nonconvex Kepler–Poinsot polyhedra, which are in turn analogous to the pentagram.
Names(éditer)
Their names given here were given by John Conway, extending Cayley's names for the Kepler–Poinsot polyhedra: along with stellated et grand, he adds a grand modifier. Conway offered these operational definitions:
- stellation – replaces edges by longer edges in same lines. (Example: a pentagon stellates into a pentagram)
- greatening – replaces the faces by large ones in same planes. (Example: an icosahedron greatens into a great icosahedron)
- aggrandizement – replaces the cells by large ones in same 3-spaces. (Example: a 600-cell aggrandizes into a grand 600-cell)
John Conway names the 10 forms from 3 regular celled 4-polytopes: pT=polytetrahedron 3,3,5 (a tetrahedral 600-cell), pI=polyicoshedron 3,5,5/2 (an icosahedral 120-cell), and pD=polydodecahedron 5,3,3 (a dodecahedral 120-cell), with prefix modifiers: g, unet s for great, (ag)grand, and stellated. The final stellation, the great grand stellated polydodecahedron contains them all as gaspD.
Symmetry(éditer)
All ten polychora have (3,3,5) (H4) hexacosichoric symmetry. They are generated from 6 related Goursat tetrahedra rational-order symmetry groups: (3,5,5/2), (5,5/2,5), (5,3,5/2), (5/2,5,5/2), (5,5/2,3), and (3,3,5/2).
Each group has 2 regular star-polychora, except for two groups which are self-dual, having only one. So there are 4 dual-pairs and 2 self-dual forms among the ten regular star polychora.
propriétés(éditer)
Remarque:
The cells (polyhedra), their faces (polygons), the polygonal edge figures et polyhedral vertex figures are identified by their Schläfli symbols.
| nom Conway (abbrev.) |
Orthogonal projection |
Schläfli Coxeter |
C p, q |
fa p |
E r |
V q, r |
Dens. | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Icosahedral 120-cell polyicosahedron (pI) |
3,5,5/2 |
120 3,5 |
1200 3 |
720 5/2 |
120 5,5/2 |
4 | 480 | |
| Small stellated 120-cell stellated polydodecahedron (spD) |
5/2,5,3 |
120 5/2,5 |
720 5/2 |
1200 3 |
120 5,3 |
4 | −480 | |
| Great 120-cell great polydodecahedron (gpD) |
5,5/2,5 |
120 5,5/2 |
720 5 |
720 5 |
120 5/2,5 |
6 | 0 | |
| Grand 120-cell grand polydodecahedron (apD) |
5,3,5/2 |
120 5,3 |
720 5 |
720 5/2 |
120 3,5/2 |
20 | 0 | |
| Great stellated 120-cell great stellated polydodecahedron (gspD) |
5/2,3,5 |
120 5/2,3 |
720 5/2 |
720 5 |
120 3,5 |
20 | 0 | |
| Grand stellated 120-cell grand stellated polydodecahedron (aspD) |
5/2,5,5/2 |
120 5/2,5 |
720 5/2 |
720 5/2 |
120 5,5/2 |
66 | 0 | |
| Great grand 120-cell great grand polydodecahedron (gapD) |
5,5/2,3 |
120 5,5/2 |
720 5 |
1200 3 |
120 5/2,3 |
76 | −480 | |
| Great icosahedral 120-cell great polyicosahedron (gpI) |
3,5/2,5 |
120 3,5/2 |
1200 3 |
720 5 |
120 5/2,5 |
76 | 480 | |
| Grand 600-cell grand polytetrahedron (apT) |
3,3,5/2 |
600 3,3 |
1200 3 |
720 5/2 |
120 3,5/2 |
191 | 0 | |
| Great grand stellated 120-cell great grand stellated polydodecahedron (gaspD) |
5/2,3,3 |
120 5/2,3 |
720 5/2 |
1200 3 |
600 3,3 |
191 | 0 |
Voir aussi(éditer)
- Regular polytope
- List of regular polytopes
- Infinite regular 4-polytopes:
- One regular Euclidean honeycomb: 4,3,4
- Four compact regular hyperbolic honeycombs: 3,5,3, 4,3,5, 5,3,4, 5,3,5
- Eleven paracompact regular hyperbolic honeycombs: 3,3,6, 6,3,3, 3,4,4, 4,4,3, 3,6,3, 4,3,6, 6,3,4, 4,4,4, 5,3,6, 6,3,5, and 6,3,6.
- Abstract regular 4-polytopes:
- Uniform 4-polytope uniform 4-polytope families constructed from these 6 regular forms.
- Platonisk fast stoff
- Kepler-Poinsot polyhedra – regular star polyhedron
- Star polygon – regular star polygons
références(éditer)
Citations(éditer)
- ^ Conway, 2008, Chapter 26, Higher Still
- ^ "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005
- ^ Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
- ^ Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
- ^ Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations
- ^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.117
- ^ The Symmetries of Things, John Conway, (2008), p. 406, Fig 26.2
- ^ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) s. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes
Bibliography(éditer)
- H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
- H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
- D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
- Edmund Hess, (1883) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1).
- Edmund Hess Uber die regulären Polytope höherer Art, Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss Marburg, 1885, 31-57
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (2)
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) (Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36)
- H. S. M. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 2nd. ed., Cambridge University Press 1991. ISBN 978-0-521-39490-1. (3)
- Peter McMullen and Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, 2002, PDF
Liens externes(éditer)
Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou tube ) Régulier sous-entend que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les bords sont de la même taille 3D sous-entend que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. Un polygone est une forme verrouillée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face















