Icosaèdre régulier – Wikipedia solides de Platon

Icosaèdre régulier
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(Cliquez ici pour voir le modèle en rotation)
type Solide platonique
éléments fa = 20, E = 30
V = 12 (x = 2)
Visages sur les côtés 20 3
Notation de Conway Je
sT
Symboles Schläfli 3,5
s 3.4
sr 3.3 ou
Configuration du visage V5.5.5
symbole Wythoff 5 | 2 3
Diagramme de Coxeter CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 5.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "fichier de données width =" 7 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node 1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23
symétrie Jeh, H3(5.3), (* 532)
Groupe rotation I, (5.3)+, (532)
références U22, C25, W4
propriétés deltaèdre convexe commun
Angle dièdre 138.189685 ° = arccos (-5/3)
Icosahedron vertfig.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Icosahedron_vertfig.svg/100px-Icosahedron_vertfig.svg.png "decoding =" async "width =" 100 " height = "100" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Icosahedron_vertfig.svg/150px-Icosahedron_vertfig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/ Commons / thumb / 9/93 / Icosahedron_vertfig.svg / 200px-Icosahedron_vertfig.svg.png 2x "fichier de données width =" 750 "data-file-height =" 750
3.3.3.3.3
(Figure de sommet)
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Dodécaèdre commun
(double polyèdre)
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nett

En géométrie, un icosaèdre régulier ( ou (1)) est un polyèdre convexe à 20 faces, 30 arêtes et 12 angles. C'est l'un des cinq solides platoniques, et l'un avec la plupart des côtés.

Il a cinq faces triangulaires équilatérales qui se rencontrent à chaque sommet. Il est représenté par son symbole Schläfli 3,5, ou parfois par son en-tête 3.3.3.3.3 ou 35. Il est dual du dodécaèdre, représenté par 5,3, et comporte trois faces pentagonales autour de chaque sommet.

Un icosaèdre commun est un bipyramide pentagonal et un antiprisme pentagonal bi-segmenté dans certaines des six orientations.

Le nom vient du grec, moderne εἴκοσι (Eíkosi), ce qui signifie "vingt" et ἕδρα (Hedra), ce qui signifie "siège". La majorité peuvent être des "icosahedrons" ou des "icosahedra" ().

dimensions(éditer)

Filet pliant en icosaèdre

Si la longueur des arêtes d’un icosaèdre régulier est un, le rayon d’une sphère circonscrite (celle qui touche l’icosaèdre à tous les coins) est

et le rayon d’une sphère inscrite (tangente à chacune des faces de l’icosaèdre) est

OEIS: A179294

tandis que le rayon moyen, qui touche le centre de chaque bord, est

OEIS: A019863

φ est la relation en or.

Surface et volume(éditer)

la surface FR et le volume V d'un icosaèdre régulier avec une longueur d'arête un sont les suivants:

OEIS: A010527

OEIS: A102208

Ce dernier est fa = 20 fois le volume d'un tétraèdre général avec apex au milieu de
sphère inscrite, où le volume du tétraèdre correspond à un tiers de la surface de base 3un2/4 fois sa hauteur rJe.

Le facteur de remplissage en volume de la sphère limitée est:

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Les coins d'icosaèdre forment trois rectangles orthogonaux dorés

Les croix d’un icosaèdre centré sur l’origine avec un bord de longueur de 2 et un circumradius de

φ+21.9displaystyle sqrt +2 environ 1,9

est décrit par permutations circulaires de:(2)

(0, ± 1, ±φ)

φ = 1 + 5/2 est la relation en or.

Toutes les permutations (pas seulement cycliques) entraînent la composition de deux icosahraids.

Notez que ces verticales forment cinq ensembles de trois rectangles dorés concentriques, orthogonaux entre eux, dont les bords forment des anneaux de Borromée.

Si l'icosaèdre d'origine a la longueur de bord 1, le double dodécaèdre a sa longueur de bord 5 – 1/2 = 1/φ = φ – 1.

Modèle d'icosaèdre à sphères métalliques et contacts magnétiques

Les 12 arêtes d'un octaèdre ordinaire peuvent être divisées en nombre d'or, de sorte que les croix résultantes définissent un icosaèdre commun. Ceci est fait en plaçant d’abord les vecteurs le long des arêtes de l’octaèdre de manière à ce que chaque face soit délimitée par un cycle, puis chaque arête est divisée en un moyen doré dans la direction du vecteur. Les cinq octaèdres définissant un icosaèdre donné forment un composé polyhédral commun, tandis que les deux icosaèdres ainsi définis à partir de tout octaèdre donné forment un composé polyhédral uniforme.

Coordonnées sphériques(éditer)

La position des arêtes d'un isochédron conventionnel peut être décrite par des coordonnées sphériques, telles que la latitude et la longitude. Si deux angles sont pris au pôle nord et au pôle sud (latitude ± 90 °), les dix autres pics se trouvent à la latitude ± arctan (1/2) ± 26,57 °. Ces dix sommets ont des longueurs régulièrement réparties (à 36 ° de distance), alternant latitudes nord et sud.

Ce schéma utilise le fait que l'isoshedron habituel est un gyro-longbipyramide pentagonal, avec D5dsymétrie diédrique – c’est-à-dire qu’elle est formée de deux pyramides pentagonales congruentes reliées par un antiprisme pentagonal.

Saillies orthogonales(éditer)

L'icosaèdre a trois projections orthogonales spéciales, centrées sur une face, une arête et un sommet:

Carrelage sphérique(éditer)

L'icosaèdre peut également être représenté comme une tuile sphérique et projeté sur l'aéronef via une projection stéréographique. Cette projection est conformable, conserve les angles, mais pas les zones ni les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur l'avion.

Autres faits(éditer)

  • Un icosaèdre a 43 380 réseaux différents.(3)
  • Pour colorer l'icosaèdre de sorte que deux faces adjacentes n'aient pas la même couleur, il faut au moins 3 couleurs.(4)
  • Un problème qui remonte aux Grecs anciens est de déterminer laquelle des deux formes a le plus grand volume, un icosaèdre inscrit dans une sphère ou un dodécaèdre inscrit dans la même sphère. Le problème a été résolu par Hero, Pappus et Fibonacci, entre autres.(5)Apollonius de Perga a découvert le résultat curieux selon lequel le rapport des volumes de ces deux personnages est identique au rapport de leurs surfaces.(6) Les deux volumes ont des formules qui impliquent la relation en or, mais pris à des puissances différentes.(7) Il s'avère que l'icosaèdre consomme moins du volume de la sphère (60,54%) que le dodécahénron (66,49%).(8)

Construction d'un système de lignes équangulaires(éditer)

Icosahedron H3 projection.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icosahedron_H3_projection.svg/160px-Icosahedron_H3_projection.svg.png "dekoding =" async "en largeur "height =" 160 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icosahedron_H3_projection.svg/240px-Icosahedron_H3_projection.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia /commons/thumb/b/bc/Icosahedron_H3_projection.svg/320px-Icosahedron_H3_projection.svg.png 2x "fichier de données width =" 1024 "fichier de données height =" 1024
icosaèdre
H3 Plan de Coxeter
6-kube t5 B5.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/6-cube_t5_B5.svg/160px-6-cube_t5_B5.svg.png "decoding =" async "width =" 160 "height =" 160 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/6-cube_t5_B5.svg/240px-6-cube_t5_B5.svg.png 1.5x , //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/6-cube_t5_B5.svg/320px-6-cube_t5_B5.svg.png 2x "fichier de données width =" 1600 "data file height =" 1600
6-orthoplex
6 Plan de Coxeter
Cette construction peut être définie géométriquement comme les 12 sommets du 6-orthoplex projetés en 3 dimensions. Ceci représente un pli géométrique de D6 à H3Coxetergrupper: Graphique géométrique de Coxeter pliable D6 H3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Geometric_folding_Coxeter_graph_D6_H3.png "dekoding =" asynch "width =" 55 "height =" 37 "data -file-width = "55" data-file-height = "37

Vus à partir des protubérances orthogonales de ce plan de cône 2D, les deux coins centraux qui se chevauchent définissent le troisième axe de cette cartographie.

La construction suivante de l'icosaèdre évite des calculs fastidieux dans le champ de nombres (5) nécessaires dans des approches plus élémentaires.

L’existence de l’icosaèdre constitue l’existence de six lignes équiangulaires dans 3. En fait, un tel système de lignes équangulaires avec une sphère euclidienne se croisant à leur intersection commune coupe les douze verticales d’un icosaèdre commun facilement contrôlables. Inversement, en supposant l’existence d’un icosaèdre commun, les lignes définies par ses six paires de coins opposés forment un système équiangulaire.

Pour construire un tel système équiangulaire, commençons par cette matrice carrée 6 × 6:

Un simple calcul donne FR2 = 5Je (où Je est la matrice d'identité 6 × 6). Cela signifie que FR a valeurs propres –5 et 5, à la fois avec multiplication 3 page FR est symétrique et trace zéro.

la matrice FR + 5Je induit ainsi une structure euclidienne dans la région du quotient 6 / ker (FR + 5Je)qui est isomorphe à 3 depuis le noyau ker (FR + 5Je) de FR + 5Je a la dimension 3. L'image pendant la projection π : 66 / ker (FR + 5Je) des six axes de coordonnées v1, …, v6 en 6 formant ainsi un système à six lignes équangulaires 3 croisement par paires à un angle aigu et commun d'arccos1/5. Projection orthogonale de ±v1, …, ±v6 sur 5– espace immobilier ou FR donnant ainsi les douze verticales de l'icosaèdre.

Une autre construction juste de l’icosaèdre utilise la théorie de la représentation du groupe alternant FR5 se produit par isométries directes sur l'icosaèdre.

symétrie(éditer)

La symétrie icosaédrique complète a 15 miroirs (vus sous forme de grands cercles cyan sur cette sphère) sur commande π/5, π/3, π/2 angles, diviser une balle en 120 domaines de base de triangle. Il y a 6 axes 5 fois (bleu), 10 axes 3 fois (rouge) et 15 axes 2 fois (magenta). Les roues de l'isoshédron régulier existent en 5 points d'axe de rotation.

Le groupe de symétrie en rotation de l'isosphère commune est isomorphe au groupe de cinq lettres en alternance. Ce groupe simple non abélique est le seul sous-ensemble normal non trivial du groupe symétrique à cinq lettres. Puisque le groupe de Galois de l'équation quintique générale est isomorphe au groupe symétrique de cinq lettres et que ce sous-groupe normal est simple et non abélique, l'équation quintique générale n'a pas de solution en radicaux. La preuve de la théorie Abel-Ruffini utilise ce fait simple, et Felix Klein a écrit un livre qui utilisait la théorie des symétries isosdadrales pour dériver une solution analytique à l’équation générale quintique (Klein 1884). Voir Symétrie icosaédrique: géométries associées pour une histoire ultérieure, et symétries associées de sept et onze lettres.

Le groupe de symétrie complète de l'icosaèdre (y compris les réflexions) est appelé groupe complet isosorphique et isomorphe pour le produit du groupe de symétrie de rotation et du groupe C2 de taille deux, qui est générée par réflexion à travers le centre de l’icosaèdre.

stellations(éditer)

L'icosaèdre a un grand nombre de stellations. Selon les règles spécifiques définies dans le livre Les cinquante et un icosaèdres, 59 stellations ont été identifiées pour l’icosaèdre commun. La première forme est l'icosaèdre lui-même. L'un est un polyèdre de Kepler-Poinsot ordinaire. Le bois est généralement composé de polyèdre.(9)

Peintures Face(éditer)

Le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre sont trois facettes de l’icosaèdre commun. Ils partagent le même événement pinacle. Ils ont tous 30 bords. L'icosaèdre commun et le grand dodécaèdre partagent le même agencement de frontière, mais leurs faces varient (triangles contre pentagones), ce qui en fait le petit dodécaèdre étoilé et le grand icosaèdre (pentagrammes vs triangles).

Conditions géométriques(éditer)

Il existe des distorsions de l'icosaèdre qui, mais qui ne sont plus courantes, constituent néanmoins l'apex. Celles-ci sont invariantes pendant les mêmes rotations que le tétraèdre et sont quelque peu analogues au dodécaèdre à cube bouffon et à bouchent, y compris certaines formes qui sont chirales et certaines avec Thsymétrie, c'est-à-dire avoir des plans de symétrie différents de ceux du tétraèdre.

L'icosaèdre est unique parmi les solides platoniques possédant un angle dièdre d'au moins 120 °. L'angle diédral est d'env. 138,19 °. Comme les hexagones, les angles ne sont pas inférieurs à 120 ° et ne peuvent pas être utilisés comme faces d’un polyèdre uni convexe, car une telle construction ne satisferait pas à la condition qu’au moins trois faces se rejoignent au sommet et laissent un défaut positif pour trois dimensions, Les icosaèdres ne peuvent pas être utilisés comme cellules d’un polychor commun convexe car au moins trois cellules correspondantes doivent se rencontrer sur un bord et laisser un défaut positif pour le pliage dans quatre dimensions (généralement pour un polytope convexe en n dimensions, au moins trois facettes doivent se rencontrer en haut et donner une erreur positive lors de l’encastrement nchambre). Cependant, lorsqu'ils sont combinés à des cellules appropriées d'angles dièdres plus petits, les icosahedra peuvent être utilisés comme cellules de polychora semi-régulière (telle que la cellule 24 adoubée), tout comme les hexagones peuvent être utilisés comme faces dans des polyèdres semi-réguliers (par exemple, un icosaèdre tronqué). Enfin, les polytopes non convexes ne répondent pas aux mêmes exigences strictes que les polytopes convexes, et les icosahèdres sont en réalité les cellules de la cellule icosaédrique 120, un des dix polychores communs non convexes.

Un icosaèdre peut également être appelé bipyramide pentagonal allongé. Il peut être décomposé en une pyramide pentagonale gyroscopique et une pyramide pentagonale ou en un antiprisme pentagonal et deux pyramides également pentagonales.

Relation avec le triacontaèdre rhombique et le cube de 6(éditer)

6demicube-odd-icosahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/6demicube-odd-icosahedron.png/240px-6demicube-odd-icosahedron.png "décodage = "async" width = "240" height = "221" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/6demicube-odd-icosheded.png/360px-6demicube-odd-icdahsedron .png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/6demicube-odd-icosahedron.png/480px-6demicube-odd-icosahedron.png 2x "data file width =" 1881 "data -file-height = "1733

Il peut être projeté en 3D à partir du démicube 6D 6 en utilisant les mêmes vecteurs de base qui forment la coque du triacontaèdre rhombique à partir du 6-cube. Illustré ici, y compris les 20 coins intérieurs qui ne sont pas connectés aux bords de la coque extérieure de longueur standard 6D 2. Les coins intérieurs forment un dodécaèdre.

Les vecteurs de projection 3D (u, v, w) utilisés sont:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)
v = (φ0, 1, φ, 0, -1)
w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Colorants uniformes et sous-symétries(éditer)

Il y a 3 colorants uniformes de l'icosaèdre. Ces couleurs peuvent être représentées par 11213, 11212, 11111 et les cinq surfaces triangulaires autour de chaque sommet sont colorées.

L'icosaèdre peut être considéré comme un tétraèdre adouci, la snubification d'un tétraèdre commun fournissant un icosaèdre commun présentant une symétrie tétraédrique chirale. Il peut également être construit sous forme d'octaèdre tronqué alterné présentant une symétrie pyritohédrique. La version à symétrie pyritohédrique est parfois appelée pseudo-osahèdre et est dualiste du pyritohèdre.

régulièrement uniforme 2-uniforme
nom régulièrement
icosaèdre
retroussé
octaèdre
retroussé
tetratetrahedron
rebuffade place
bipyramide
pentagonal
Gyroelongated
bipyramide
triangle ~~ POS = TRUNC
gyrobianticupola
Snub triangulaire
antiprisme(10)
image Uniforme polyèdre-53-t2.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Uniform_polyhedron-53-t2.png/80px-Uniform_polyhedron-53-t2.png " dekoding = "async" width = "80" height = "82" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Uniform_polyhedron-53-t2.png/120px-Uniform_polyhedron-53- t2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Uniform_polyhedron-53-t2.png/160px-Uniform_polyhedron-53-t2.png 2x "data-file-width =" 704 "hauteur du fichier de données =" 719 Uniforme polyhedron-43-h01.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Uniform_polyhedron-43-h01.svg/80px-Uniform_polyhedron-43-h01.svg. png "dekoding =" async "width =" 80 "height =" 72 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Uniform_polyhedron-43-h01.svg/120px-Uniform_polyhedron- 43-h01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Uniform_polyhedron-43-h01.svg/160px-Uniform_polyhedron-43-h01.svg.png 2x "données file width = "240" data file height = "217 Uniforme polyèdre-33-s012.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Uniform_polyhedron-33-s012.png/80px-Uniform_polyhedron-33-s012.png " dekoding = "async" width = "80" height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Uniform_polyhedron-33-s012.png/120px-Uniform_polyhedron-33- s012.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Uniform_polyhedron-33-s012.png/160px-Uniform_polyhedron-33-s012.png 2x "data-file-width =" 1000 "hauteur du fichier de données =" 1000 Snub-torg bipyramid.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Snub_square_bipyramid.png/80px-Snub_square_bipyramid.png "dekoding" width "=" 80 " height = "84" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Snub_square_bipyramid.png/120px-Snub_square_bipyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ thumb /4/4a/Snub_square_bipyramid.png/160px-Snub_square_bipyramid.png 2x "fichier de données width =" 659 "fichier de données height =" 690 Gyroelongated bipyramid.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png/80px-Pentagonal_gyroelongated_bipyramid_bipyramid.png = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png/120px-Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org /6/6c/Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png/160px-Pentagonal_gyroelongated_bipyramid.png 2x "fichier de données width =" 1000 "fichier de données height =" 1000 Triangulaire commun gyrobianticupola.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Regular_triangular_gyrobianticupola.png/80px-Regular_triangular_gyrobianticupupyola.png "decoding" = "77" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Regular_triangular_gyrobianticupola.png/120px-Regular_triangular_gyrobianticupola.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikikedia /8/89/Regular_triangular_gyrobianticupola.png/160px-Regular_triangular_gyrobianticupola.png 2x "fichier de données width =" 1198 "fichier de données height =" 1146 Snub antiprism triangulaire.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Snub_triangular_antiprism.png/80px-Snub_triangular_antiprism.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "79" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Snub_triangular_antiprism.png/120px-Snub_triangular_antiprism.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikimedia.org/wikimedia.html /4/4f/Snub_triangular_antiprism.png/160px-Snub_triangular_antiprism.png 2x "fichier de données width =" 768 "data-file-height =" 756
face
coloriage
(11111) (11212) (11213) (11212) (11122)
(22222)
(12332)
(23333)
(11213)
(11212)
Coxeter
hit-parade
CDel node 1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 5.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "fichier de données width =" 7 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23 Nœud CDel h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23CDel 3.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23Nœud CDel h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23CDel 4.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/CDel_4.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23 Nœud CDel h.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23CDel split1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/CDel_split1.png "decoding =" async "width =" 6 "height =" 23 "fichier de données width =" 6 "data-file-height =" 23Noeud CDel hh.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/CDel_nodes_hh.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23
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symétrie Jeh
(5.3)
(* 532)
Th
(3+4)
(3 * 2)
T
(3.3)+
(332)
2h
(2.2)
(* 222)
5d
(2+, 10)
(2 * 5)
3d
(2+, 6)
(2 * 3)
3
(3.2)+
(322)
symétrie
direction
60 24 12 8 20 12 6

Utilisation et formes naturelles(éditer)

biologie(éditer)

De nombreux virus, par exemple virus de l'herpès ont des coquilles nuisibles.(11) Les structures virales sont construites à partir de sous-unités de protéines identiques et répétées, appelées capsomères, et l'icosaèdre est la forme la plus simple à assembler à l'aide de ces sous-unités. FR régulièrement le polyèdre est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule unité de base de protéines utilisée à plusieurs reprises; Cela économise de l'espace dans le génome du virus.

Divers organites bactériens de forme isosahédrique ont également été trouvés.(12) La coque icosaédrique encapsulant des enzymes et des intermédiaires labiles sont construits à partir de différents types de protéines avec des domaines BMC.

En 1904, Ernst Haeckel a décrit un certain nombre d’espèces de Radiolaria, notamment Icosahedra de Circogonia, dont le squelette a la forme d’un icosaèdre commun. Une copie de l'illustration de Haeckel pour ce radiolaire est extraite de l'article sur les polyèdres simples.

chimie(éditer)

Les carboranes de placard sont des composés chimiques dont la forme est très proche de l'isotron. Le jumelage icosaédrique se produit également dans les cristaux, en particulier les nanoparticules.

De nombreux borures et allotropes de bore contiennent du bore B12 icosaèdre en tant qu'unité de structure de base.

Jouets et jeux(éditer)

Le cube icosaédrique de vingt pages est utilisé depuis l'Antiquité.(1. 3)

Dans plusieurs jeux de rôle, par exemple Donjons & Dragons, la mort idiote (d20 trop court) est souvent utilisée pour déterminer le succès ou l’échec d’une action. Cette mort est sous la forme d'un icosaèdre ordinaire. Il peut être numéroté de "0" à "9" deux fois (sous quelle forme il fonctionne généralement comme une porte à dix côtés, ou d10), mais la plupart des versions modernes sont marquées de "1" à "20". Voir système d20.

Un icosahedron est le plateau de jeu en trois dimensions d’Icosagame, anciennement connu sous le nom de Ico Crystal Game.

Un icosaèdre est utilisé dans le jeu de société Scattergories choisir une lettre dans l'alphabet. Six lettres sont omises (Q, U, V, X, Y et Z).

en Nintendo 64 jeu Kirby 64: les éclats de cristal, le patron Miracle Matter est un icosaèdre régulier.

Dans un Magic 8-Ball, différentes réponses aux questions oui-non sont écrites sur un icosaèdre classique.

autre(éditer)

R. Buckminster Fuller et le cartographe japonais Shoji Sadao(14) a conçu une carte du monde sous la forme d’un icosaèdre déplié, appelée projection de Fuller, dont la distorsion maximale n’est que de 2%. Le duo de musique électronique américain ODESZA utilise un icosahedron comme logo.

Graphique icosaed(éditer)

Le squelette de l'icosaèdre (croix et arêtes) forme un graphe. C'est l'un des 5 graphes platoniques, chacun représentant un squelette de son solide platonique.

Le haut degré de symétrie du polygone est reproduit dans les propriétés de ce graphique, qui est spatial et symétrique. Le groupe Automorphism a la séquence 120. Les nœuds peuvent être teints avec 4 couleurs, les bords avec 5 couleurs et le diamètre est 3.(15)

Le graphique icosaédrique est hamiltonien: c'est un cycle qui contient tous les angles. Il y a aussi un graphique plat.

Icosahra régulière réduite(éditer)

Il y a 4 solides de Johnson liés, y compris les faces pentagonales avec un sous-ensemble des 12 sommets. L'isoshédron ordinaire disséqué similaire a deux coins adjacents réduits, laissant deux surfaces trapézoïdales, et un bifastigium ayant 2 ensembles opposés de verticales enlevés et 4 surfaces trapézoïdales. L'anti-prisme pentagonal est formé en enlevant deux coins opposés.

forme J2 Bifastigium J63 J62 disséqué
icosaèdre
s 2,10 J11
sommets 6 sur 12 8 sur 12 9 sur 12 10 sur 12 11 sur 12
symétrie C5v, (5), (* 55)
ordre 10
2h, (2,2), * 222
réservation 8
C3V, (3), (* 33)
ordre 6
C2v, (2), (* 22)
ordre 4
5d, (2+, 10), (2 * 5)
Commande 20
C5v, (5), (* 55)
ordre 10
image Pentagonal pyramide.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Pentagonal_pyramid.png/80px-Pentagonal_pyramid.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "49" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Pentagonal_pyramid.png/120px-Pentagonal_pyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 0 "fichier de données width =" 413 "height =" 255 "0/02 / Pentagonal_pyramid.png / 160px-Pentagonal_pyramid.png 4-diminished icosahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/4-diminished_icosahedron.png/80px-4-diminished_icosedred.png "decoding =" async "width = "80" height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/4-diminished_icosahedron.png/120px-4-diminished_icosahedron.png 1.5x, // upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/4-diminished_icosahedron.png/160px-4-diminished_icosahedron.png 2x "data-file width =" 1200 "data-file-height =" 1200 Tridiminished icosahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Tridiminished_icosahedron.png/80px-Tridiminished_icosahedron.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "90" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Tridiminished_icosahedron.png/120px-Tridiminished_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 8/85 / Tridiminished_icosahedron.png / 160px-Tridiminished_icosahedron.png 2x "fichier de données width =" 380 "data file height =" 429 Metabidiminished icosahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Metabidiminished_icosahedron.png/80px-Metabidiminished_icosahedron.png "decoding =" async "width" " "92" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Metabidiminished_icosahedron.png/120px-Metabidiminished_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ e / e0 / Metabidiminished_icosahedron.png / 160px-Metabidiminished_icosahedron.png 2x "data-filbredde =" 367 "data-fil-høyde =" 420 Dissected regular icosahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Dissected_regular_icosahedron.png/80px-Dissected_regular_icosahedron.png "dekoding =" async "width =" 80 "høyde = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Dissected_regular_icosahedron.png/120px-Dissected_regular_icosahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb /6/64/Dissected_regular_icosahedron.png/160px-Dissected_regular_icosahedron.png 2x "data-filbredde =" 400 "data-fil-høyde =" 400 Pentagonal antiprism.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Pentagonal_antiprism.png/80px-Pentagonal_antiprism.png" decoding="async" width="80" height="70" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Pentagonal_antiprism.png/120px-Pentagonal_antiprism.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Pentagonal_antiprism.png/160px-Pentagonal_antiprism.png 2x" data-file-width="991" data-file-height="864 Gyroelongated pentagonal pyramid.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png/80px-Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png" decoding="async" width="80" height="65" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png/120px-Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png/160px-Gyroelongated_pentagonal_pyramid.png 2x" data-file-width="412" data-file-height="333

Related polyhedra and polytopes(éditer)

The icosahedron can be transformed by a truncation sequence into its dual, the dodecahedron:

As a snub tetrahedron, and alternation of a truncated octahedron it also exists in the tetrahedral and octahedral symmetry families:

This polyhedron is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with Schläfli symbols 3,n, continuing into the hyperbolic plane.

The regular icosahedron, seen as a snub tetrahedron, is a member of a sequence of snubbed polyhedra and tilings with vertex figure (3.3.3.3.n) and Coxeter–Dynkin diagram CDel node h.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel n.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/CDel_n.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23CDel 3.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/CDel_node_h.png" decoding="async" width="9" height="23" data-file-width="9" data-file-height="23. These figures and their duals have (n32) rotational symmetry, being in the Euclidean plane for n = 6, and hyperbolic plane for any higher n. The series can be considered to begin with n = 2, with one set of faces degenerated into digons.

The icosahedron can tessellate hyperbolic space in the order-3 icosahedral honeycomb, with 3 icosahedra around each edge, 12 icosahedra around each vertex, with Schläfli symbol 3,5,3. It is one of four regular tessellations in the hyperbolic 3-space.

Hyperb icosahedral hc.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Hyperb_icosahedral_hc.png/240px-Hyperb_icosahedral_hc.png" decoding="async" width="240" height="240" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Hyperb_icosahedral_hc.png/360px-Hyperb_icosahedral_hc.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Hyperb_icosahedral_hc.png/480px-Hyperb_icosahedral_hc.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800
It is shown here as an edge framework in a Poincaré disk model, with one icosahedron visible in the center.

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  1. ^ Jones, Daniel (2003) (1917), Peter Roach; James Hartmann; Jane Setter (eds.), English Pronouncing Dictionary, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-12-539683-2
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral group". MathWorld.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Regular Icosahedron". MathWorld.
  4. ^ This is true for all convex polyhedra with triangular faces except for the tetrahedron, by applying Brooks' theorem to the dual graph of the polyhedron.
  5. ^ Herz-Fischler, Roger (2013), A Mathematical History of the Golden Number, Courier Dover Publications, pp. 138–140, ISBN 9780486152325.
  6. ^ Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614.
  7. ^ Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.
  8. ^ Numerical values for the volumes of the inscribed Platonic solids may be found in Buker, W. E.; Eggleton, R. B. (1969), "The Platonic Solids (Solution to problem E2053)", American Mathematical Monthly, 76 (2): 192, doi:10.2307/2317282, JSTOR 2317282.
  9. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H.T.; Petrie, J.F. (1999), The Fifty-Nine Icosahedra (3rd ed.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126 (1st Edn University of Toronto (1938))
  10. ^ Snub Anti-Prisms
  11. ^ C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment. eds. S. Draggan and C. Cleveland
  12. ^ Bobik, T.A. (2007), "Bacterial Microcompartments", Microbe, Am. Soc. Microbiol., 2: 25–31, archived from the original on 2013-07-29
  13. ^ Cromwell, Peter R. "Polyhedra" (1997) Page 327.
  14. ^ "Fuller and Sadao: Partners in Design". September 19, 2006. Archived from the original on August 16, 2010. récupéré 2010-01-26.
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph". MathWorld.

External links(éditer)

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses surfaces qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou cône ) Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les bords sont de la même taille 3D veut dire que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. Un polygone est une forme fermée dans une est plane avec au minimum cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

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