Johnson solide – Wikipedia | solides de Platon

Cet exemple de 24 carrés n’est pas un solide Johnson car il n’est pas strictement convexe (il a un angle de 180 ° en dièdre.)

En géométrie, un Johnson solide est un polyèdre strictement convexe, qui n’est même pas (c’est-à-dire un solide platonique, un solide armé, un prisme ou un antiprisme), et chaque face est un polygone commun. Il n'est pas nécessaire que chaque face soit le même polygone, ni que les mêmes polygones se confondent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée à côtés égaux (J1); Il a 1 face carrée et 4 faces triangulaires.

Comme dans certaines fixes strictement convexes, au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet et la somme de leurs angles est inférieure à 360 degrés. Comme un polygone ordinaire a des angles d'au moins 60 degrés, il s'ensuit qu'au moins cinq faces se rencontrent à tous les sommets. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a en réalité un sommet de grade 5.

Bien qu'il n'y ait pas de limite évidente à ce qu'un polygone régulier donné ne puisse pas être une face sur un solide de Johnson, les faces des solides de Johnson semblent toujours avoir 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste comprenant les 92 solides et leur a donné des noms et des numéros. Il n'a pas montré qu'il n'y en avait que 92, mais il a supposé qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 a montré que la liste de Johnson était complète.

Parmi les solides de Johnson, le gyrobicupola carré allongé (J37), également appelé pseudorhombicuboctaèdre,(1) est unique car localement uniforme de sommet: il y a 4 faces à chaque sommet et leur disposition est toujours la même: 3 carrés et 1 triangle. Cependant, ce n'est pas un sommet transitif, car son isométrie varie selon les angles, ce qui en fait un solide de Johnson plutôt qu'un solide armé.

La dénomination des solides de Johnson suit une formule descriptive flexible et précise, de sorte que de nombreux solides peuvent être nommés de différentes manières sans compromettre la précision de la description. La plupart des solides de Johnson peuvent être construits à partir des premiers (pyramides, coupes et rotondes), ainsi que des solides, des prismes et des antiprices platoniques et arkimédiens; Le centre d'un nom fixe particulier reflétera ces ingrédients. À partir de là, un certain nombre de préfixes sont associés au mot pour indiquer les ajouts, les rotations et les transformations:

  • bi- indique que deux copies du solide sont jointes d'une base à l'autre. Pour l’aiglefin et les rotondes, les solides peuvent être assemblés sous l’autre faces (ortho) ou contrairement aux visages (gyro-) rencontrer. En utilisant cette nomenclature, un octaèdre peut être décrit comme un bipyramide carrée, un cuboctaèdre comme un gyrobicupole triangulaireet un icosidodécaèdre comme un gyrobirotunda pentagonal.
  • longue indique qu'un prisme est attaché à la base du solide ou entre les bases dans le cas de bi-solides. Ainsi, un tuberoid rhombique peut être décrit comme un orthobicupole carrée allongée.
  • Gyroelongated indique qu'un anti-crise est associé à la base du solide en question ou entre les bases dans le cas de bi-solides. Un icosaèdre peut donc être décrit comme un bipyramide pentagonal allongé.
  • augmentée indique qu'un autre polyèdre, à savoir une pyramide ou un dôme, est associé à une ou plusieurs faces du solide en question.
  • réduit indique qu'une pyramide ou un dôme est retiré d'une ou de plusieurs faces du solide en question.
  • giration indique qu'un dôme monté sur le solide ou présenté dans celui-ci est pivoté de manière à ce que différents bords s'harmonisent, comme dans la différence entre ortho et gyrobicupole.

Les trois dernières opérations – grossissante, réductionet giration – peut être effectué plusieurs fois avec certains gros solides. bi- & tri- Entrez une double et triple opération respectivement. Par exemple, un bigyrate solide a deux tasses en rotation, et un tridiminished le solide a trois pyramides ou tasses enlevées.

Dans certains gros solides, il sépare les solides où les faces modifiées sont parallèles et les solides où les surfaces modifiées sont obliques. para- indique le premier que le solide a changé de faces parallèles, et méta Ce dernier a changé les faces obliques. Par exemple, un parabiaugmented solide a eu deux faces parallèles élargies, et un metabigyrate solide a eu 2 faces inclinées giratées.

Les derniers tissus Johnson ont des noms basés sur des complexes polygonaux spécifiques à partir desquels ils sont recueillis. Ces noms sont définis par Johnson(2)
avec la nomenclature suivante:

  • FR Lune est un complexe de deux triangles attachés aux côtés opposés d'un carré.
  • sphéno– indique un complexe froid formé par deux dunes adjacentes. Dispheno- indique deux de ces complexes.
  • Hebespheno– indique un complexe muet de deux sifflets séparés par un troisième capot.
  • couronne est un complexe chronique à huit triangles.
  • Mega Corona est un complexe chronique plus grand avec 12 triangles.
  • Succès –cingulum Indique une ceinture avec 12 triangles.

énumération(éditer)

Pyramides, tasses et rotondes(éditer)

Les 6 premiers tissus Johnson sont des pyramides, des gobelets ou des rotondes de 5 pages maximum. Les pyramides à 6 côtés et l'aiglefin sont parallèles et ne constituent donc pas des solides de Johnson.

pyramides(éditer)

Les deux premiers solides de Johnson, J1 et J2, sont des pyramides. ils pyramide triangulaire est le tétraèdre habituel, donc ce n’est pas un solide de Johnson.

Coupole et rotonde(éditer)

Les quatre solides de Johnson suivants sont trois tasses et une rotonde. Ils représentent des parties de polyèdre uniforme.

Pyramides, coupes et rotondes modifiées(éditer)

Les solides de Johnson 7 à 48 sont dérivés de pyramides, de coupelles et de rotondes.

Pyramides allongées et gyroscopiques(éditer)

Dans la pyramide triangulaire allongée, trois paires de triangles adjacents sont parallèles et forment des losanges non carrés. Il ne s’agit donc pas d’un solide de Johnson.

bipyramides(éditer)

ils bipyramide carrée est l'octaèdre commun alors qu'il est bipyramide pentagonal allongé est l'icosaèdre commun, de sorte qu'ils ne sont pas des solides de Johnson. Dans la bipyramide triangulaire long-gyroscopique, six paires de triangles adjacents sont parallèles et forment un losange non carré. Il ne s’agit donc pas d’un solide de Johnson.

Tasses et rotondes allongées(éditer)

Bicupolae(éditer)

Le gyrobicupole triangulaire est un solide arkimédique (dans ce cas le cuboctaèdre), il ne s'agit donc pas d'un solide de Johnson.

Coupole-Rotonde et birotunda(éditer)

Le gyroirotunda pentagonal est un solide arkimédique (ici, l'icosidodécaèdre), il ne s'agit donc pas d'un solide de Johnson.

Bicupole allongée(éditer)

L'orthobicupole carrée allongée est un solide arkimédique (dans ce cas, le rhombicuboctaèdre), de sorte qu'il ne s'agit pas d'un solide de Johnson.

Rotonde et birotundae au carbone allongés(éditer)

Bicupoles gyro-allongées, carola rotunda et birotunda(éditer)

Ces solides de Johnson ont 2 formes chirales.

Prismes augmentés(éditer)

Les solides de Johnson 49 à 57 sont construits en augmentant les côtés des prismes à pyramides carrées.

Solides platoniques et arkimédiques modifiés(éditer)

Les solides de Johnson 58 à 83 sont construits en agrandissant, réduisant ou faisant pivoter des solides platoniques ou armés.

Dodécaèdres augmentés(éditer)

Icosahedra réduit(éditer)

Solides d'Archimède augmentés(éditer)

Gyrate et rhombicosidodécaèdres réduits(éditer)

Antiprismes snub(éditer)

L'anti-prisme adouci peut être construit comme un interrupteur d'anti-prisme tronqué. Gyrobianticupolae est une autre construction de l'anti-prisme adouci. Seuls les anti-prismes de 4 pages maximum peuvent être construits à partir de polygones réguliers. L'antiprisme triangulaire adouci est l'icosaèdre commun. Ce n'est donc pas un solide de Johnson.

autre(éditer)

Classification par types de visages(éditer)

Solides de Johnson à face triangulaire(éditer)

Les deltaèdres sont constitués de cinq solides de Johnson, avec toutes les surfaces des triangles équilatéraux:

Triangle et Square Johnson Solides(éditer)

Vingt-quatre solides de Johnson ont uniquement des surfaces triangulaires ou carrées:

Triangle et face pentagonale solides de Johnson(éditer)

Onze solides de Johnson ont uniquement des faces triangulaires et pentagonales:

Triangle, carré et hexagonal Johnson plein(éditer)

Huit solides de Johnson ont uniquement des surfaces triangulaires, carrées et hexagonales:

Triangle, carré et octogonal solide de Johnson(éditer)

Cinq solides de Johnson ont uniquement des surfaces triangulaires, carrées et octogonales:

Solides Johnson commutables(éditer)

Les solides de Johnson ont des verticales qui existent à la surface d'une sphère: 1-6,11,19,27,34,37,62,63,72-83. Tous peuvent être associés à un polyèdre commun ou uniforme par giration, réduction ou dissection.(3)

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  • Johnson, Norman W. (1966). "Solides convexes à faces régulières". Revue canadienne de mathématiques. 18: 169-200. doi: 10,4153 / Mesowest-1966-021-8. ISSN 0008-414X. ZBL 0132, 14603. Contient la liste originale des 92 solides et la présomption qu'il n'y en a pas d'autres.
  • Zalgaller, Victor A. (1969). Polyèdres convexes à faces ordinaires. Agence Consultant. ZBL 0177,24802. Aucun ISBN. La première preuve qu'il n'y a que 92 solides de Johnson: voir aussi Zalgaller, Victor A. (1967). "Polyèdres convexes avec des faces communes". Zap. Nauchn. Semin. Leningr. OTD. Matte. Inst Steklova (en russe). 2: 1-221. ISSN 0373-2703. ZBL 0165,56302.
  • Anthony Pugh (1976). Polyèdres: une approche visuelle. Californie: Presses de l'Université de Californie à Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapitre 3 Autre polyèdre convexe

Liens externes(éditer)


Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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