Symétrie octaédrique – Wikipedia solides de Platon spirituel

, on peut facilement identifier les éléments du sous-groupe tétraédrique T_ré qui

et leurs inversions

.

Donc par exemple. identité

est représenté comme

et l'inversion

qui

.

est représenté comme

et

qui

.

La sélection d'un rotor est une combinaison de rotation et de réflexion.

Symétrie octaédrique chirale(éditer)

Axes de gyration
C4	C3	C2
3	4	6

O, 432, ou (4.3)⁺ de l'ordre 24, est symétrie octaédrique chirale ou symétrie octaédrique tournante . Ce groupe s'apparente à une symétrie tchéthrédrique T, mais C₂ Les axes sont maintenant C₄ axes, et en plus il y a 6 C₂ axes, à travers les centres des bords du cube. T_ré et O sont isomorphes en tant que groupes abstraits: ils correspondent tous deux à S₄, le groupe symétrique de 4 objets. T_ré est l'union de T et l'ensemble obtenu en combinant chaque élément de O T avec inversion. O est le groupe de rotation du dé et de l'octaèdre commun.

Symétrie octaédrique chirale

Projection orthogonale	Projection stéréographique
2 fois	4 fois	3 fois	2 fois

Symétrie octaédrique complète(éditer)

O_h, * 432, (4.3) ou M3M sur commande 48 – symétrie achirale achiral ou symétrie octaédrique complète. Ce groupe a les mêmes axes de rotation que Omais avec des miroirs, qui incluent les deux plans de miroir T_ré et T_h. Ce groupe est isomorphe à S₄.C₂, et est le groupe de symétrie complet du dé et de l’octaèdre. C'est le groupe hyper-octaédique pour n = 3. Voir aussi les isométries du cube.

Le groupe octaédique O_h avec domaine de base

Avec les axes à 4 étapes comme axes de coordonnées, un domaine de base i O_h est donné avec 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Un objet présentant cette symétrie est caractérisé par sa partie dans le domaine de base, par exemple le cube est donné par z = 1 et l'octaèdre sait x + y + z = 1 (ou des différences équivalentes, pour le fixer au lieu de la surface).
hache + de + cz = 1 fournit un polyèdre à 48 zones, par ex. Disdyakis dodecahedron.

Les visages sont combinés de 8 à 8 avec des visages plus grands un = b = 0 (cube) et 6-by-6 pour un = b = c (Octahedron).

Les 9 lignes de jeu à symétrie octaédrique complète peuvent être divisées en deux sous-groupes de 3 et 6 (dessinés en violet et en rouge), qui représentent deux sous-métriques orthogonales: D_2het T_ré. ré_2h la symétrie peut être doublée en D_4h en restaurant 2 miroirs dans l’une des trois directions.

Symétrie octaédrique et sous-groupes de réflexion
orthographique projection Projection stéréographique 4 fois 3 fois 2 fois Oh(4.3), , symétrie octaédrique complète (3 + 6 miroirs) Tré, (3,3) = (1+, 4.3), = , sous-groupe tétraédrique (6 miroirs) C3V(3), , sous-groupe diédral (3 miroirs)	orthographique projection Projection stéréographique 4 fois 3 fois 2 fois ré4h(4.2) sous-groupe diédral (1 + 2 + 2 miroirs) ré2h, (2.2) = (4.3 *), = sous-groupe diédral (1 + 1 + 1 miroir) C4v(4), , sous-groupe diédral (2 + 2 miroirs)

matrices de rotation(éditer)

Prenez l'ensemble des matrices de permutation 3×3 et attribuez un caractère + ou un caractère à chacun des trois 1. Il y a 6 matrices x 8 permutations de signe = 48 matrices au total donnant le groupe octaédique complet. Il y a exactement 24 tableaux de déterminant = +1, et ce sont des matrices de rotation du groupe octalédral chiral. Les 24 autres matrices correspondent à une réflexion ou une inversion.

Trois techniques de générateur de réflexion sont nécessaires pour la symétrie octaédrique, qui représente les trois miroirs d'un diagramme de Coxeter-Dynkin. Le produit des réflexions produit 3 générateurs rotatifs.

Sous-groupes de symétrie octaédrique complète(éditer)

Graphes de cycle des sous-groupes en séquence 24

Sous-groupes commandés dans un diagramme de Hasse

rotation des sous-groupes Sous-groupes réfléchissants Sous-groupes contenant une inversion

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	structure	Cyc.	ordre	index
Oh	(4.3)		* 432	m3m	S4x S2		48	1
Tré	(3.3)		* 332	43m	S4		24	2
ré4h	(2,4)		* 224	4 / mmm	Dih1x Dih4		16	3
ré2h	(2,2)		*222	mmm	Dih13=Dih1×Dih2		8	6
C4v	(4)		*44	4mm	Dih4		8	6
C3v	(3)		*33	3m	Dih3=S3		6	8
C2v	(2)		*22	mm2	Dih2		4	12
Cs=C1v	( )		*	2 or m	Dih1		2	24
Th	(3+,4)		3*2	m3	A4×S2		24	2
C4h	(4+,2)		4*	4/m	Z4×Dih1		8	6
ré3d	(2+,6)		2*3	3m	Dih6=Z2×Dih3		12	4
ré2d	(2+,4)		2*2	42m	Dih4		8	6
C2h = D1d	(2+,2)		2*	2/m	Z2×Dih1		4	12
S6	(2+,6+)		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	8
S4	(2+,4+)		2×	8	Z4		4	12
S2	(2+,2+)		x	1	S2		2	24
O	(4,3)+		432	432	S4		24	2
T	(3,3)+		332	23	A4		12	4
ré4	(2,4)+		224	422	Dih4		8	6
ré3	(2,3)+		223	322	Dih3=S3		6	8
ré2	(2,2)+		222	222	Dih2=Z22		4	12
C4	(4)+		44	4	Z4		4	12
C3	(3)+		33	3	Z3=A3		3	16
C2	(2)+		22	2	Z2		2	24
C1	( )+		11	1	Z1		1	48

The isometries of the cube(éditer)

48 symmetry elements of a cube

(To be integrated in the rest of the text.)

The cube has 48 isometries (symmetry elements), forming the symmetry group O_h, isomorphic to S₄ x C₂. They can be categorized as follows:

• O (the identity and 23 proper rotations) with the following conjugacy classes (in parentheses are given the permutations of the body diagonals and the unit quaternion representation):
  • identity (identity; 1)
  • rotation about an axis from the center of a face to the center of the opposite face by an angle of 90°: 3 axes, 2 per axis, together 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1±i)/√2, etc.)
  • ditto by an angle of 180°: 3 axes, 1 per axis, together 3 ((1 2) (3 4), etc.; i,j,k)
  • rotation about an axis from the center of an edge to the center of the opposite edge by an angle of 180°: 6 axes, 1 per axis, together 6 ((1 2), etc.; ((i±j)/√2, etc.)
  • rotation about a body diagonal by an angle of 120°: 4 axes, 2 per axis, together 8 ((1 2 3), etc.; (1±i±j±k)/2)
• The same with inversion (x is mapped to −x) (also 24 isometries). Note that rotation by an angle of 180° about an axis combined with inversion is just reflection in the perpendicular plane. The combination of inversion and rotation about a body diagonal by an angle of 120° is rotation about the body diagonal by an angle of 60°, combined with reflection in the perpendicular plane (the rotation itself does not map the cube to itself; the intersection of the reflection plane with the cube is a regular hexagon).

An isometry of the cube can be identified in various ways:

• by the faces three given adjacent faces (say 1, 2, and 3 on a die) are mapped to
• by the image of a cube with on one face a non-symmetric marking: the face with the marking, whether it is normal or a mirror image, and the orientation
• by a permutation of the four body diagonals (each of the 24 permutations is possible), combined with a toggle for inversion of the cube, or not

For cubes with colors or markings (like dice have), the symmetry group is a subgroup of O_h.

Examples:

• C_4v, (4), (*422): if one face has a different color (or two opposite faces have colors different from each other and from the other four), the cube has 8 isometries, like a square has in 2D.
• ré_2h, (2,2), (*222): if opposite faces have the same colors, different for each set of two, the cube has 8 isometries, like a cuboid.
• ré_4h, (4,2), (*422): if two opposite faces have the same color, and all other faces have one different color, the cube has 16 isometries, like a square prism (square box).
• C_2v, (2), (*22):
  • if two adjacent faces have the same color, and all other faces have one different color, the cube has 4 isometries.
  • if three faces, of which two opposite to each other, have one color and the other three one other color, the cube has 4 isometries.
  • if two opposite faces have the same color, and two other opposite faces also, and the last two have different colors, the cube has 4 isometries, like a piece of blank paper with a shape with a mirror symmetry.
• C_s, ( ), (*):
  • if two adjacent faces have colors different from each other, and the other four have a third color, the cube has 2 isometries.
  • if two opposite faces have the same color, and all other faces have different colors, the cube has 2 isometries, like an asymmetric piece of blank paper.
• C_3v, (3), (*33): if three faces, of which none opposite to each other, have one color and the other three one other color, the cube has 6 isometries.

For some larger subgroups a cube with that group as symmetry group is not possible with just coloring whole faces. One has to draw some pattern on the faces.

Examples:

• ré_2d, (2⁺,4), (2*2): if one face has a line segment dividing the face into two equal rectangles, and the opposite has the same in perpendicular direction, the cube has 8 isometries; there is a symmetry plane and 2-fold rotational symmetry with an axis at an angle of 45° to that plane, and, as a result, there is also another symmetry plane perpendicular to the first, and another axis of 2-fold rotational symmetry perpendicular to the first.
• T_h, (3⁺,4), (3*2): if each face has a line segment dividing the face into two equal rectangles, such that the line segments of adjacent faces do pas meet at the edge, the cube has 24 isometries: the even permutations of the body diagonals and the same combined with inversion (x is mapped to −x).
• T_ré, (3,3), (*332): if the cube consists of eight smaller cubes, four white and four black, put together alternatingly in all three standard directions, the cube has again 24 isometries: this time the even permutations of the body diagonals and the inverses of the un autre proper rotations.
• T, (3.3)⁺, (332): if each face has the same pattern with 2-fold rotational symmetry, say the letter S, such that at all edges a top of one S meets a side of the other S, the cube has 12 isometries: the even permutations of the body diagonals.

The full symmetry of the cube, O_h, (4,3), (*432), is preserved if and only if all faces have the same pattern such that the full symmetry of the square is preserved, with for the square a symmetry group, Dih₄, (4), of order 8.

The full symmetry of the cube under proper rotations, O, (4,3)⁺, (432), is preserved if and only if all faces have the same pattern with 4-fold rotational symmetry, C₄, (4)⁺.

Octahedral symmetry of the Bolza surface(éditer)

In Riemann surface theory, the Bolza surface, sometimes called the Bolza curve, is obtained as the ramified double cover of the Riemann sphere, with ramification locus at the set of vertices of the regular inscribed octahedron. Its automorphism group includes the hyperelliptic involution which flips the two sheets of the cover. The quotient by the order 2 subgroup generated by the hyperelliptic involution yields precisely the group of symmetries of the octahedron. Among the many remarkable properties of the Bolza surface is the fact that it maximizes the systole among all genus 2 hyperbolic surfaces.

Solids with octahedral chiral symmetry(éditer)

Solids with full octahedral symmetry(éditer)

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (1)
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Liens externes(éditer)