Symétrie octaédrique – Wikipedia solides de Platon spirituel

Groupes de points en trois dimensions
Groupe de symétrie sphérique cs.png
Symétrie involontaire
Cs, (*)
() = CDel node c2.png
Groupe de symétrie sphérique c3v.png
Symétrie cyclique
CNevada, (* nn)
(n) = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique d3h.png
Symétrie diédrique
New Hampshire, (* n22)
(n, 2) = CDel node c1.pngCDel n.pngCDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c1.png
Groupe polyhédral, (n, 3), (* n32)
Groupe de symétrie sphérique td.png
Symétrie tétraédrique
T(* 332)
(3,3) = CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique oh.png
Symétrie octaédrique
Oh(* 432)
(4,3) = CDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
Groupe de symétrie sphérique ih.png
Symétrie icosaédrique
Jeh(* 532)
(5,3) = CDel node c2.pngCDel 5.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.png

Schéma du cycle
Les quatre cycles hexagonaux ont l'inversion (le nœud noir en haut) en commun. Les hexagones sont symétriques, donc par ex. 3 et 4 sont dans le même cycle, mais pas 3 et 12.

Un octaèdre ordinaire possède 24 symétries tournantes (ou conservant l'orientation) et une porte symétrique de 48, incluant des transformations associant réflexion et rotation. Un cube a le même ensemble de symétries, puisqu'il s'agit de deux fois l'octaèdre.

Le groupe des symétries préservant l’orientation est S4, le groupe symétrique ou groupe de permutations de quatre objets, puisqu'il s'agit d'une telle symétrie pour chaque permutation des quatre paires de surfaces opposées de l'octaèdre.

détails(éditer)

chirale et plein (ou achiral) symétrie octaédrique sont les symétries ponctuelles discrètes (ou sphères de symétrie équivalentes) avec les groupes de symétrie les plus grands compatibles avec la symétrie de translation. Ils font partie des points cristallographiques du système cristallin cubique.

Konjugasjonsklasser
Éléments de O Inversions d'éléments de O
identité 0 inversion 0 & # 39;
Rotation de 3 × 180 ° autour d'un axe de 4 fois 7, 16, 23 Réflexion 3 × dans un plan perpendiculaire à un axe 4 fois 7 & # 39 ;, 16 & # 39; 23 & # 39;
8 × rotation de 120 ° autour d'un axe de 3 fois 3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20 8 × sélection du rotor à 60 ° 3 & # 39; 4 & # 39 ;, 8 & # 39 ;, 11 & # 39 ;, 12 & # 39 ;, 15 & # 39; 19, 19 & # 39; 20 & # 39;
Rotation 6 × 180 ° autour d'un axe 2 fois 1 & # 39;, 2 & # 39;, 5 & # 39; 6 | # 39; 14 & # 39; 21 & 21 & # 39; 6 × réflexion dans un plan perpendiculaire à un axe 2 fois 1, 2, 5, 6, 14, 21
Rotation de 6 × 90 ° autour d'un axe de 4 fois 9 & # 39 ;, 10 & # 39; 13 & # 39; 17 # 17 ;, 18 & # 39; 22 & # 39; 6 × sélection du rotor à 90 ° 9, 10, 13, 17, 18, 22

En tant que groupe hyper-octaédique de dimension 3, le groupe octaédique complet est le produit coronaire

S2S3S23S3S_ 2 S 3 S 2 ^ 3 fois S_ 2

,
Et un moyen naturel d'identifier les éléments est en couple

(m,n)displaystyle (m, n)

avec

m(0,23)displaystyle m in (0.2 ^ 3)

et

n(0,3!)style d'affichage n dans (0.3!)

.
Mais comme c'est aussi produit direct

S4xS2displaystyle S_ 4 fois S_ 2

, on peut facilement identifier les éléments du sous-groupe tétraédrique T qui

un(0,4!)style d'affichage a in (0.4!)

et leurs inversions

un& # 39;style d'affichage

.

Donc par exemple. identité

(0,0)displaystyle (0.0)

est représenté comme

0style 0

et l'inversion

(7,0)displaystyle (7.0)

qui

0& # 39;displaystyle 0 & # 39;

.

(3,1)displaystyle (3.1)

est représenté comme

6style 6

et

(4,1)displaystyle (4.1)

qui

6& # 39;displaystyle 6 & # 39;

.

La sélection d'un rotor est une combinaison de rotation et de réflexion.

Symétrie octaédrique chirale(éditer)

Axes de gyration
C4
Monomino.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Monomino.png/12px-Monomino.png "decoding =" async "width =" 12 "height =" 12 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Monomino.png/18px-Monomino.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5 / 5/52 / Monomino.png / 24px-Monomino.png 2x "fichier de données width =" 35 "fichier de données height =" 35
C3
Forces rouges triangle.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Armed_forces_red_triangle.svg/12px-Armed_forces_red_triangle.svg.png "decoding =" async "width =" 12 "height =" 11 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Armed_forces_red_triangle.svg/18px-Armed_forces_red_triangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/ wikipedia / commons / thumb / 4 / 4b / Armed_forces_red_triangle.svg / 24px-Armed_forces_red_triangle.svg.png 2x "fichier de données width =" 270 "fichier de données height =" 240
C2
Rhomb.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Rhomb.svg/12px-Rhomb.svg.png "decoding =" async "width =" 12 "height = "15" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Rhomb.svg/18px-Rhomb.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons /thumb/b/b2/Rhomb.svg/24px-Rhomb.svg.png 2x "fichier de données width =" 63 "data file height =" 80
3 4 6

O, 432, ou (4.3)+ de l'ordre 24, est symétrie octaédrique chirale ou symétrie octaédrique tournante . Ce groupe s'apparente à une symétrie tchéthrédrique T, mais C2 Les axes sont maintenant C4 axes, et en plus il y a 6 C2 axes, à travers les centres des bords du cube. T et O sont isomorphes en tant que groupes abstraits: ils correspondent tous deux à S4, le groupe symétrique de 4 objets. T est l'union de T et l'ensemble obtenu en combinant chaque élément de O T avec inversion. O est le groupe de rotation du dé et de l'octaèdre commun.

Symétrie octaédrique chirale
Projection orthogonale Projection stéréographique
2 fois 4 fois 3 fois 2 fois
Groupe de symétrie sphérique o.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Sphere_symmetry_group_o.png/150px-Sphere_symmetry_group_o.png "dekoding =" async "width =" 150 "height = "148" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Sphere_symmetry_group_o.png/225px-Sphere_symmetry_group_o.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/ / 2 / 2d / Sphere_symmetry_group_o.png / 300px-Sphere_symmetry_group_o.png 2x "fichier de données width =" 1007 "fichier de données height =" 991 Disdyakis dodecahedron stereographic D4 gyrations.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b9/Disdyakis_dodécahedron_stereographic_D4_gyrations.png/150p- "height =" 135 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Disdyakis_dodecahedron_Derek_D4_gyrations.png/225px-Disdyakis_dodecahedron_Derekahedron_D4 /thumb/b/b9/Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D4_gyrations.png/300px-Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D4_gyrations.png 2x "fichier de données largeur =" 623 "fichier de données hauteur =" 561 Disdyakis dodecahedron stereographic D3 gyrations.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Disdyakis_dodécahedron est à la recherche de "height =" 148 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Disdyakis_dodecahedron_Derek_D3_gyrations.png/225px-Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D3d /thumb/4/44/Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D3_gyrations.png/300px-Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D3_gyrations.png 2x "largeur du fichier de données =" 557 "hauteur du fichier de données =" 550 Disdyakis dodecahedron stereographic D2 gyrations.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Disdyakis_dodécahedron est à la fois dans le secteur de la restauration. "height =" 130 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Disdyakis_dodecahedron_Derek_D2_gyrations.png/225px-Disdyakis_dodecahedron_stere_Dog_deproduction /thumb/c/cc/Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D2_gyrations.png/300px-Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D2_gyrations.png 2x "fichier de données de données =" 674 "fichier de données-hauteur =" 582

Symétrie octaédrique complète(éditer)

Oh, * 432, (4.3) ou M3M sur commande 48 – symétrie achirale achiral ou symétrie octaédrique complète. Ce groupe a les mêmes axes de rotation que Omais avec des miroirs, qui incluent les deux plans de miroir T et Th. Ce groupe est isomorphe à S4.C2, et est le groupe de symétrie complet du dé et de l’octaèdre. C'est le groupe hyper-octaédique pour n = 3. Voir aussi les isométries du cube.

Le groupe octaédique Oh avec domaine de base

Avec les axes à 4 étapes comme axes de coordonnées, un domaine de base i Oh est donné avec 0 ≤ xyz. Un objet présentant cette symétrie est caractérisé par sa partie dans le domaine de base, par exemple le cube est donné par z = 1 et l'octaèdre sait x + y + z = 1 (ou des différences équivalentes, pour le fixer au lieu de la surface).
hache + de + cz = 1 fournit un polyèdre à 48 zones, par ex. Disdyakis dodecahedron.

Les visages sont combinés de 8 à 8 avec des visages plus grands un = b = 0 (cube) et 6-by-6 pour un = b = c (Octahedron).

Les 9 lignes de jeu à symétrie octaédrique complète peuvent être divisées en deux sous-groupes de 3 et 6 (dessinés en violet et en rouge), qui représentent deux sous-métriques orthogonales: D2het T. ré2h la symétrie peut être doublée en D4h en restaurant 2 miroirs dans l’une des trois directions.

matrices de rotation(éditer)

Prenez l'ensemble des matrices de permutation 3×3 et attribuez un caractère + ou un caractère à chacun des trois 1. Il y a 6 matrices x 8 permutations de signe = 48 matrices au total donnant le groupe octaédique complet. Il y a exactement 24 tableaux de déterminant = +1, et ce sont des matrices de rotation du groupe octalédral chiral. Les 24 autres matrices correspondent à une réflexion ou une inversion.

Trois techniques de générateur de réflexion sont nécessaires pour la symétrie octaédrique, qui représente les trois miroirs d'un diagramme de Coxeter-Dynkin. Le produit des réflexions produit 3 générateurs rotatifs.

Sous-groupes de symétrie octaédrique complète(éditer)

Graphes de cycle des sous-groupes en séquence 24

Sous-groupes commandés dans un diagramme de Hasse

rotation des sous-groupes

Sous-groupes réfléchissants

Sous-groupes contenant une inversion

Schoe. Coxeter Orb. H-M structure Cyc. ordre index
Oh (4.3) CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 4.pngCDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 3.pngCDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23 * 432 m3m S4x S2 48 1
T (3.3) CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 3.pngCDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "decoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "fichier de données width =" 5 "data-file-height =" 23CDel 3.pngCDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "dekoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data-filbredde = "5" data-file-height = "23 * 332 43m S4 Undergruppe av Oh; S4 grønn oransje; syklus graph.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Subgroup_of_Oh%3B_S4_green_orange%3B_cycle_graph.svg/40px-Subgroup_of_Oh%3B_S4_green_orange%3B_cycle_graph.svg.png "dekoding = "async" width = "40" height = "19" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Subgroup_of_Oh%3B_S4_green_orange%3B_cycle_graph.svg/60px-Subgroup_of_Oh%3B_S4_green_orange%3B_cycle_graph. svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Subgroup_of_Oh%3B_S4_green_orange%3B_cycle_graph.svg/80px-Subgroup_of_Oh%3B_S4_green_orange%3B_cycle_graph.svg.png 2x "datafilbredde = "1155" data-fil-høyde = "554 24 2
4h (2,4) CDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "dekoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data-filbredde = "5" data-file-height = "23CDel 2.pngCDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "dekoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data-filbredde = "5" data-file-height = "23CDel 4.pngCDel node.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png "dekoding =" async "width =" 5 "height =" 23 "data-filbredde = "5" data-file-height = "23 * 224 4 / mmm Dih1x Dih4 GroupDiagramMiniC2D8.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/GroupDiagramMiniC2D8.svg/25px-GroupDiagramMiniC2D8.svg.png" decoding="async" width="25" height="21" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/GroupDiagramMiniC2D8.svg/38px-GroupDiagramMiniC2D8.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/GroupDiagramMiniC2D8.svg/50px-GroupDiagramMiniC2D8.svg.png 2x" data-file-width="76" data-file-height="64 16 3
2h (2,2) CDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 2.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 2.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 *222 mmm Dih13=Dih1×Dih2 GroupDiagramMiniC2x3.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/GroupDiagramMiniC2x3.svg/25px-GroupDiagramMiniC2x3.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/GroupDiagramMiniC2x3.svg/38px-GroupDiagramMiniC2x3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/GroupDiagramMiniC2x3.svg/50px-GroupDiagramMiniC2x3.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 8 6
C4v (4) CDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 *44 4mm Dih4 GroupDiagramMiniD8.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/25px-GroupDiagramMiniD8.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/38px-GroupDiagramMiniD8.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/50px-GroupDiagramMiniD8.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 8 6
C3v (3) CDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 *33 3m Dih3=S3 GroupDiagramMiniD6.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/25px-GroupDiagramMiniD6.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/38px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/50px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 6 8
C2v (2) CDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23CDel 2.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 *22 mm2 Dih2 GroupDiagramMiniD4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/25px-GroupDiagramMiniD4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/38px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/50px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 4 12
Cs=C1v ( ) CDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 * 2 or m Dih1 GroupDiagramMiniC2.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/25px-GroupDiagramMiniC2.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/38px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/50px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 2 24
Th (3+,4) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 3*2 m3 A4×S2 Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Subgroup_of_Oh%3B_A4xC2%3B_cycle_graph.svg/40px-Subgroup_of_Oh%3B_A4xC2%3B_cycle_graph.svg.png" decoding="async" width="40" height="18" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Subgroup_of_Oh%3B_A4xC2%3B_cycle_graph.svg/60px-Subgroup_of_Oh%3B_A4xC2%3B_cycle_graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Subgroup_of_Oh%3B_A4xC2%3B_cycle_graph.svg/80px-Subgroup_of_Oh%3B_A4xC2%3B_cycle_graph.svg.png 2x" data-file-width="950" data-file-height="422 24 2
C4h (4+,2) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 4* 4/m Z4×Dih1 GroupDiagramMiniC2C4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/GroupDiagramMiniC2C4.svg/25px-GroupDiagramMiniC2C4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/GroupDiagramMiniC2C4.svg/38px-GroupDiagramMiniC2C4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/GroupDiagramMiniC2C4.svg/50px-GroupDiagramMiniC2C4.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 8 6
3d (2+,6) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 6.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/CDel_6.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 2*3 3m Dih6=Z2×Dih3 GroupDiagramMiniD12.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/GroupDiagramMiniD12.svg/25px-GroupDiagramMiniD12.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/GroupDiagramMiniD12.svg/38px-GroupDiagramMiniD12.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/GroupDiagramMiniD12.svg/50px-GroupDiagramMiniD12.svg.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64 12 4
2d (2+,4) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 2*2 42m Dih4 GroupDiagramMiniD8.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/25px-GroupDiagramMiniD8.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/38px-GroupDiagramMiniD8.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/50px-GroupDiagramMiniD8.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 8 6
C2h = D1d (2+,2) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2.pngCDel node.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png" decoding="async" width="5" height="23" data-file-width="5" data-file-height="23 2* 2/m Z2×Dih1 GroupDiagramMiniD4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/25px-GroupDiagramMiniD4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/38px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/50px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 4 12
S6 (2+,6+) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h4.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 6.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/CDel_6.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 3 Z6=Z2×Z3 GroupDiagramMiniC6.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/GroupDiagramMiniC6.svg/25px-GroupDiagramMiniC6.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/GroupDiagramMiniC6.svg/38px-GroupDiagramMiniC6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/GroupDiagramMiniC6.svg/50px-GroupDiagramMiniC6.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 6 8
S4 (2+,4+) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h4.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 8 Z4 GroupDiagramMiniC4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/GroupDiagramMiniC4.svg/25px-GroupDiagramMiniC4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/GroupDiagramMiniC4.svg/38px-GroupDiagramMiniC4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/GroupDiagramMiniC4.svg/50px-GroupDiagramMiniC4.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 4 12
S2 (2+,2+) CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h4.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/CDel_node_h4.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 x 1 S2 GroupDiagramMiniC2.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/25px-GroupDiagramMiniC2.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/38px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/50px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 2 24
O (4,3)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 432 432 S4 Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Subgroup_of_Oh%3B_S4_blue_red%3B_cycle_graph.svg/40px-Subgroup_of_Oh%3B_S4_blue_red%3B_cycle_graph.svg.png" decoding="async" width="40" height="19" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Subgroup_of_Oh%3B_S4_blue_red%3B_cycle_graph.svg/60px-Subgroup_of_Oh%3B_S4_blue_red%3B_cycle_graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Subgroup_of_Oh%3B_S4_blue_red%3B_cycle_graph.svg/80px-Subgroup_of_Oh%3B_S4_blue_red%3B_cycle_graph.svg.png 2x" data-file-width="1155" data-file-height="554 24 2
T (3,3)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 332 23 A4 GroupDiagramMiniA4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/GroupDiagramMiniA4.svg/25px-GroupDiagramMiniA4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/GroupDiagramMiniA4.svg/38px-GroupDiagramMiniA4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/GroupDiagramMiniA4.svg/50px-GroupDiagramMiniA4.svg.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64 12 4
4 (2,4)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 224 422 Dih4 GroupDiagramMiniD8.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/25px-GroupDiagramMiniD8.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/38px-GroupDiagramMiniD8.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/GroupDiagramMiniD8.svg/50px-GroupDiagramMiniD8.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 8 6
3 (2,3)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 223 322 Dih3=S3 GroupDiagramMiniD6.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/25px-GroupDiagramMiniD6.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/38px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/GroupDiagramMiniD6.svg/50px-GroupDiagramMiniD6.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 6 8
2 (2,2)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 222 222 Dih2=Z22 GroupDiagramMiniD4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/25px-GroupDiagramMiniD4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/38px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/GroupDiagramMiniD4.svg/50px-GroupDiagramMiniD4.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 4 12
C4 (4)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 4.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 44 4 Z4 GroupDiagramMiniC4.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/GroupDiagramMiniC4.svg/25px-GroupDiagramMiniC4.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/GroupDiagramMiniC4.svg/38px-GroupDiagramMiniC4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/GroupDiagramMiniC4.svg/50px-GroupDiagramMiniC4.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 4 12
C3 (3)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 3.pngCDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 33 3 Z3=A3 GroupDiagramMiniC3.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/GroupDiagramMiniC3.svg/25px-GroupDiagramMiniC3.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/GroupDiagramMiniC3.svg/38px-GroupDiagramMiniC3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/GroupDiagramMiniC3.svg/50px-GroupDiagramMiniC3.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 3 16
C2 (2)+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23CDel 2x.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/CDel_2x.png" decoding="async" width="6" height="23" data-file-width="6" data-file-height="23CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 22 2 Z2 GroupDiagramMiniC2.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/25px-GroupDiagramMiniC2.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/38px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/GroupDiagramMiniC2.svg/50px-GroupDiagramMiniC2.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 2 24
C1 ( )+ CDel node h2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/CDel_node_h2.png" decoding="async" width="7" height="23" data-file-width="7" data-file-height="23 11 1 Z1 GroupDiagramMiniC1.svg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/GroupDiagramMiniC1.svg/25px-GroupDiagramMiniC1.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/GroupDiagramMiniC1.svg/38px-GroupDiagramMiniC1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/GroupDiagramMiniC1.svg/50px-GroupDiagramMiniC1.svg.png 2x" data-file-width="32" data-file-height="32 1 48

The isometries of the cube(éditer)

48 symmetry elements of a cube

(To be integrated in the rest of the text.)

The cube has 48 isometries (symmetry elements), forming the symmetry group Oh, isomorphic to S4 x C2. They can be categorized as follows:

  • O (the identity and 23 proper rotations) with the following conjugacy classes (in parentheses are given the permutations of the body diagonals and the unit quaternion representation):
    • identity (identity; 1)
    • rotation about an axis from the center of a face to the center of the opposite face by an angle of 90°: 3 axes, 2 per axis, together 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1±i)/2, etc.)
    • ditto by an angle of 180°: 3 axes, 1 per axis, together 3 ((1 2) (3 4), etc.; i,j,k)
    • rotation about an axis from the center of an edge to the center of the opposite edge by an angle of 180°: 6 axes, 1 per axis, together 6 ((1 2), etc.; ((i±j)/2, etc.)
    • rotation about a body diagonal by an angle of 120°: 4 axes, 2 per axis, together 8 ((1 2 3), etc.; (1±i±j±k)/2)
  • The same with inversion (x is mapped to −x) (also 24 isometries). Note that rotation by an angle of 180° about an axis combined with inversion is just reflection in the perpendicular plane. The combination of inversion and rotation about a body diagonal by an angle of 120° is rotation about the body diagonal by an angle of 60°, combined with reflection in the perpendicular plane (the rotation itself does not map the cube to itself; the intersection of the reflection plane with the cube is a regular hexagon).

An isometry of the cube can be identified in various ways:

  • by the faces three given adjacent faces (say 1, 2, and 3 on a die) are mapped to
  • by the image of a cube with on one face a non-symmetric marking: the face with the marking, whether it is normal or a mirror image, and the orientation
  • by a permutation of the four body diagonals (each of the 24 permutations is possible), combined with a toggle for inversion of the cube, or not

For cubes with colors or markings (like dice have), the symmetry group is a subgroup of Oh.

Examples:

  • C4v, (4), (*422): if one face has a different color (or two opposite faces have colors different from each other and from the other four), the cube has 8 isometries, like a square has in 2D.
  • 2h, (2,2), (*222): if opposite faces have the same colors, different for each set of two, the cube has 8 isometries, like a cuboid.
  • 4h, (4,2), (*422): if two opposite faces have the same color, and all other faces have one different color, the cube has 16 isometries, like a square prism (square box).
  • C2v, (2), (*22):
    • if two adjacent faces have the same color, and all other faces have one different color, the cube has 4 isometries.
    • if three faces, of which two opposite to each other, have one color and the other three one other color, the cube has 4 isometries.
    • if two opposite faces have the same color, and two other opposite faces also, and the last two have different colors, the cube has 4 isometries, like a piece of blank paper with a shape with a mirror symmetry.
  • Cs, ( ), (*):
    • if two adjacent faces have colors different from each other, and the other four have a third color, the cube has 2 isometries.
    • if two opposite faces have the same color, and all other faces have different colors, the cube has 2 isometries, like an asymmetric piece of blank paper.
  • C3v, (3), (*33): if three faces, of which none opposite to each other, have one color and the other three one other color, the cube has 6 isometries.

For some larger subgroups a cube with that group as symmetry group is not possible with just coloring whole faces. One has to draw some pattern on the faces.

Examples:

  • 2d, (2+,4), (2*2): if one face has a line segment dividing the face into two equal rectangles, and the opposite has the same in perpendicular direction, the cube has 8 isometries; there is a symmetry plane and 2-fold rotational symmetry with an axis at an angle of 45° to that plane, and, as a result, there is also another symmetry plane perpendicular to the first, and another axis of 2-fold rotational symmetry perpendicular to the first.
  • Th, (3+,4), (3*2): if each face has a line segment dividing the face into two equal rectangles, such that the line segments of adjacent faces do pas meet at the edge, the cube has 24 isometries: the even permutations of the body diagonals and the same combined with inversion (x is mapped to −x).
  • T, (3,3), (*332): if the cube consists of eight smaller cubes, four white and four black, put together alternatingly in all three standard directions, the cube has again 24 isometries: this time the even permutations of the body diagonals and the inverses of the un autre proper rotations.
  • T, (3.3)+, (332): if each face has the same pattern with 2-fold rotational symmetry, say the letter S, such that at all edges a top of one S meets a side of the other S, the cube has 12 isometries: the even permutations of the body diagonals.

The full symmetry of the cube, Oh, (4,3), (*432), is preserved if and only if all faces have the same pattern such that the full symmetry of the square is preserved, with for the square a symmetry group, Dih4, (4), of order 8.

The full symmetry of the cube under proper rotations, O, (4,3)+, (432), is preserved if and only if all faces have the same pattern with 4-fold rotational symmetry, C4, (4)+.

Octahedral symmetry of the Bolza surface(éditer)

In Riemann surface theory, the Bolza surface, sometimes called the Bolza curve, is obtained as the ramified double cover of the Riemann sphere, with ramification locus at the set of vertices of the regular inscribed octahedron. Its automorphism group includes the hyperelliptic involution which flips the two sheets of the cover. The quotient by the order 2 subgroup generated by the hyperelliptic involution yields precisely the group of symmetries of the octahedron. Among the many remarkable properties of the Bolza surface is the fact that it maximizes the systole among all genus 2 hyperbolic surfaces.

Solids with octahedral chiral symmetry(éditer)

Solids with full octahedral symmetry(éditer)

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  1. ^ John Conway, The Symmetries of Things, Fig 20.8, p280
  • Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 (1)
  • N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Liens externes(éditer)

au cours de votre trip d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez peut-être jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à le composant de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther

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