Jeûne platonicien – Wikipedia | pierre énergétique

Dans un espace tridimensionnel, un Solide platonique est un polyèdre convexe commun. Il est constitué de faces polygonales communes (de forme et de taille identiques) identiques (tous les angles étant égaux et tous les côtés égaux) avec le même nombre de faces se rejoignant à chaque sommet. Cinq solides répondent à ces critères:

Les géomètres ont étudié les solides platoniques pendant des milliers d'années.(1) Ils portent le nom de l’ancien philosophe grec Platon qui a émis une hypothèse dans son dialogue. Timée, que les éléments classiques ont été fabriqués à partir de ces solides solides.(2)

histoire(éditer)

Mission aux éléments de Kepler Mystographic Cosmographicum

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité.
Il a été suggéré que certains
Les boules de pierre taillée créées par le peuple néolithique inférieur d’Ecosse représentent ces personnages; Cependant, ces boules ont des boutons arrondis au lieu d'être polyédriques,
le nombre de boutons variait souvent du nombre de verticales des solides platoniques, il n'y a pas de boule dont les boutons correspondent aux 20 coins du dodécaèdre et la disposition des boutons n'était pas toujours symétrique.

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques de manière approfondie. Certaines sources (comme Proclus) attribuent cette découverte à Pythagore. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetetus, un contemporain de Platon. Théétète a donné au moins une description mathématique des cinq méthodes et pourrait être à l'origine de la première preuve connue de l'absence d'autres polyhèdres communs convexes.

Les solides platoniques occupent une place de choix dans la philosophie de Platon. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 av. J.-C. où il a attaché chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) avec un solide. Le sol était attaché au cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et avare (comme de petits tétraèdres). L'air est fait d'octaèdre; ses composants minces sont si glissants que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, sort de la main quand on la prend, comme si elle était faite de petites balles. Au contraire, l'hexaèdre (cube) représente une solide "terre" non sphérique. Ces solides solides volumineux font fondre et écrasent les saletés quand ils sont absorbés dans une grande distinction par rapport au débit régulier de l'eau.(référence nécessaire) De plus, on pense que le seul solide solide du cube tessellant l'espace euclidien provoque la solidité de la Terre.

Platon dit, du cinquième solide platonique, le dodecah, "… que le dieu s'en est servi pour arranger les constellations de tout le ciel". Aristote a ajouté un cinquième élément, aithēr (éther en latin, "ether" en anglais) et a postulé que le ciel était fait de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre au cinquième jeûne de Platon.(4)

Euclide décrit mathématiquement les solides platoniques dans éléments, le dernier livre (livre XIII) consacré à leurs caractéristiques. La proposition 13-17 du livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez la relation entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdre commun convexe.
Andreas Speiser a expliqué que la construction des 5 solides solides était l’objectif principal du système déductif canonisé en éléments. Une grande partie des informations contenues dans le livre XIII provient probablement de Theaetetus.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de traiter les cinq planètes extraterrestres connues à l'époque comme les cinq solides platoniques. en Mystographic Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a proposé un modèle du système solaire où les cinq solides étaient insérés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et réécrites. Kepler a suggéré que les distances entre les six planètes connues à ce moment-là puissent être comprises par rapport aux cinq solides platoniques enfermés dans une sphère représentant l'orbite de Saturne. Les six sphères correspondent chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides ont été ordonnés avec l'octaèdre le plus profond, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et enfin du cube, dictant ainsi la structure du système solaire et les espacements entre les planètes des solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais ses recherches ont abouti à ses trois lois de la dynamique orbitale, la première étant que les orbites de la planète sont des ellipses plutôt que des cercles, modifiant ainsi l'évolution de la physique et de l'astronomie. Il a également découvert les solides de Kepler.

Au 20ème siècle, les tentatives d'association de solides platoniques au monde physique ont été étendues au modèle de couche d'électrons en chimie par Robert Moon dans une théorie connue sous le nom de "Modèle de Moon".

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Pour les solides platoniques centrés sur l'origine, les coordonnées cartésiennes simples des pics sont données ci-dessous. La lettre grecque φ utilisé pour représenter la relation d'or 1 + 5/2 61 1,6180.

paramètres
figure tétraèdre octaèdre cube icosaèdre dodécaèdre
visages 4 8 6 20 12
sommets 4 6 (2 × 3) 8 12 (4 × 3) 20 (8 + 4 × 3)
orientation
vu
1 2 1 2 1 2
sommet
Les coordonnées
(1, 1, 1)
(1, -1, -1)
(-1, 1, -1)
(-1, -1, 1)
(-1, -1, -1)
(-1, 1, 1)
(1, -1, 1)
(1, 1, -1)
(± 1, 0, 0)
(0, ± 1, 0)
(0, 0, ± 1)
(± 1, ± 1, ± 1) (0, ± 1, ±φ)
(± 1, ±φ, 0)
φ, 0, ± 1)
(0, ±φ± 1)
φ, ± 1, 0)
(± 1,0, ±φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±1/φ±φ)
1/φ±φ, 0)
φ, 0, ±1/φ)
(± 1, ± 1, ± 1)
(0, ±φ±1/φ)
φ±1/φ, 0)
1/φ, 0, ±φ)
image CubeAndStel.svg Dual Cube-Octahedron.svg Icosaèdre-or-rectangles.svg Cube in dodecahedron.png

Les coordonnées du tétraèdre, de l'icosaèdre et du dodécaèdre sont données dans deux ensembles d'orientation contenant chacun la moitié de la signature et la permutation de position des coordonnées.

Ces coordonnées révèlent certaines relations entre les solides platoniques: les sections du tétraèdre représentent la moitié du cube, telles que 4.3 ou CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, une des deux séries de 4 coins dans deux positions, telles que h 4.3 ou CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Les deux positions tétraédriques forment un octaèdre étoilé composé.

Les coordonnées de l'icosaèdre sont liées à deux jeux alternés de coordonnées d'un octaèdre octogonal tronqué non uniforme, t 3,4 ou CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png, aussi appelé un octaèdre snob, comme s 3,4 ou CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png, et vu dans la composition de deux icosahedra.

Huit des coins du dodecah edron sont partagés avec le cube. La mise en œuvre de toutes les directions conduit à la connexion avec cinq cubes.

Combinaison de propriétés(éditer)

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones ordinaires convexes congruents,
  2. Aucune des faces ne coupe sauf sur les bords, et
  3. Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses coins.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p est le nombre d'arêtes (ou de verticales équivalentes) dans chaque face, et
q est le nombre de faces (ou d'arêtes équivalentes) qui se rencontrent à chaque sommet.

Le symbole p, q, appelé symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli pour les cinq solides platoniques sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Ce qui précède sous forme de graphe plat bidimensionnel

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de croisements (V), bords (E) et les visages (fa) peut être déterminé à partir de p et q. Puisqu'un bord est attaché à deux coins et a deux faces adjacentes, nous devons avoir:

L’autre relation entre ces valeurs est donnée par Formule d'Euler:

Cela peut être prouvé à bien des égards. Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, Eet fa:

commutation p et q nœuds fa et V en partant E inchangé. Pour une interprétation géométrique de cette propriété, voir § Double polyeder ci-dessous.

En configuration(éditer)

Les éléments d'un polyèdre peuvent être exprimés dans une matrice de configuration. Les rainures et les colonnes correspondent aux croix, aux arêtes et aux faces. Les nombres diagonaux indiquent combien de chaque élément se trouvent dans le polyèdre. Les nombres non diagonaux indiquent combien d'éléments de colonne apparaissent dans ou sur l'élément de ligne. Les doubles paires de polyèdres ont leurs matrices de configuration pivotées de 180 degrés.(7)

P, q Configurations platoniques
ordre de groupe:
g = 8pq/ (4- (p-2) (q-2))
g= 24 g= 48 g= 120
v e fa
v g/ 2q q q
e 2 g/ 4 2
fa p p g/ 2p
3,5
12 5 5
2 30 2
3 3 20
5,3
20 3 3
2 30 2
5 5 12

classification(éditer)

Le résultat classique est qu'il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes. Les deux arguments courants présentés ci-dessous montrent qu'il ne peut exister plus de cinq solides platoniques, mais démontrer positivement l'existence d'un solide donné est une question distincte nécessitant une construction explicite.

Preuve géométrique(éditer)

Polygonet autour d'un sommet
Polyiamond-3-1.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Polyiamond-3-1.svg/80px-Polyiamond-3-1.svg.png.png "dekoding =" async "width =" 80 "height =" 40 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Polyiamond-3-1.svg/120px-Polyiamond-3 -1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Polyiamond-3-1.svg/160px-Polyiamond-3-1.svg.png 2x "data- file-width = "90" data-file-height = "45
3,3
Erreur 180 °
Polyiamond-4-1.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Polyiamond-4-1.svg/80px-Polyiamond-4-1.svg.png.png "dekoding =" async "width =" 80 "height =" 71 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Polyiamond-4-1.svg/120px-Polyiamond-4 -1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Polyiamond-4-1.svg/160px-Polyiamond-4-1.svg.png 2x "data- file-width = "90" data-file-height = "80
3,4
Erreur 120 °
Polyiamond-5-4.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Polyiamond-5-4.svg/80px-Polyiamond-5-4.svg.png "dekoding =" async "width =" 80 "height =" 71 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Polyiamond-5-4.svg/120px-Polyiamond-5 -4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Polyiamond-5-4.svg/160px-Polyiamond-5-4.svg.png 2x "data- file-width = "90" data-file-height = "80
3,5
Défectueux 60 °
Polyiamond-6-11.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Polyiamond-6-11.svg/80px-Polyiamond-6-11.svg.png.png "decoding =" async "width =" 80 "height =" 71 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Polyiamond-6-11.svg/120px-Polyiamond-6 -11.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Polyiamond-6-11.svg/160px-Polyiamond-6-11.svg.png 2x "data- file-width = "90" data-file-height = "80
3,6
Erreur 0 °
TrominoV.jpg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/TrominoV.jpg/80px-TrominoV.jpg "decoder =" async "width =" 80 "height =" 80 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/TrominoV.jpg/120px-TrominoV.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3 /3f/TrominoV.jpg/160px-TrominoV.jpg 2x "fichier de données width =" 200 "fichier de données height =" 200
4,3
90 ° défectueux
Carrelage carré vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Square_tiling_vertfig.png/80px-Square_tiling_vertfig.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "80" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Square_tiling_vertfig.png/120px-Square_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb /a/a1/Square_tiling_vertfig.png/160px-Square_tiling_vertfig.png 2x "fichier de données width =" 600 "data file height =" 600
4,4
Erreur 0 °
Pentagon net.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Pentagon_net.png/80px-Pentagon_net.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "64" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Pentagon_net.png/120px-Pentagon_net.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 9/99 / Pentagon_net.png / 160px-Pentagon_net.png 2x "fichier de données width =" 1913 "fichier de données height =" 1526
5,3
Erreur 36 °
Carrelage hexagonal vertfig.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Hexagonal_tiling_vertfig.png/80px-Hexagonal_tiling_vertfig.png "decoding =" async "width =" 80 "height = "79" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Hexagonal_tiling_vertfig.png/120px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons  /a/ab/Hexagonal_tiling_vertfig.png/160px-Hexagonal_tiling_vertfig.png 2x "fichier de données width =" 536 "data-file-height =" 531
6,3
Erreur 0 °
Un sommet nécessite au moins 3 faces et une erreur angulaire.
Une erreur angulaire de 0 ° remplira le plan euclidien d'un pavage régulier.
Selon le théorème de Descartes, le nombre est de 720 ° /défectueux.

L’argument géométrique suivant est très similaire à ce que Euclid a donné dans éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit être un sommet pour au moins trois faces.
  2. À chaque sommet du solide, la somme entre les surfaces adjacentes des angles entre leurs côtés adjacents respectifs doit être inférieure à 360 °. Le montant inférieur à 360 ° est appelé une erreur angulaire.
  3. Les angles de tous les angles de toutes les surfaces d’un solide platonique sont identiques: chaque sommet de chaque face doit avoir une contribution inférieure à 360 °/3 = 120 °.
  4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus. Le sujet commun doit donc être un triangle, un carré ou un pentagone. Pour ces différentes formes de visage, ce qui suit est valable:
    • Faces triangulaires: Chaque sommet d’un triangle ordinaire mesure 60 °. Une forme peut donc comporter 3, 4 ou 5 triangles qui se rejoignent sur un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Surfaces carrées: Chaque sommet d'un carré mesure 90 °. Un seul arrangement est donc possible avec trois faces au sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet est à 108 °; là encore, il n’est possible d’arranger que trois faces en sommet, le dodécaèdre.
Globalement, cela donne 5 solides platoniques possibles.

Preuves topologiques(éditer)

Une preuve purement topologique peut être faite en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler en tant que VE + fa = 2, et le fait que pF = 2E = QVp représente le nombre d'arêtes de chaque face et q pour le nombre d'arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. La combinaison de ces équations vous donne l'équation

La manipulation algébrique simple donne alors

depuis E est strictement positif, nous devons avoir

Utilisez le fait que p et q doivent être tous deux au moins 3, on peut facilement voir qu’il n’ya que cinq possibilités pour p, q:

3, 3, 4, 3, 3, 4, 5, 3, 3, 5.

Propriétés géométriques(éditer)

angles(éditer)

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle interne entre les deux surfaces. Dihedralvinkelen, θdu jeûne p,q est donné par la formule

C’est parfois plus pratique en termes de tangente de

la quantité h (appelé Les nombres de Coxeter sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.

L'angle gel au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles de face du sommet et 2π. L'erreur, δ, dans tous les coins des solides platoniques p,q est

Pour une déclaration de Descartes, cela équivaut à 4π divisé par le nombre de verticales (c’est-à-dire que le défaut total dans tous les coins est 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle de plan est un angle solide. L'angle fixe, Ω, au sommet d’un solide platonique se présente sous la forme de l’angle dièdre avec

Cela suit formule superflue sphérique pour un polygone sphérique et le fait que la figure de sommet en polystyrène p,q est un commun q-Gon.

L’angle fixe d’une face sous-tendue depuis le centre d’un solide platonique est égal à l’angle fixe d’une sphère entière (4π steradians) divisé par le nombre de faces. S'il vous plaît noter que cela est égal au double angle à deux fois.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont résumés ci-dessous. Les valeurs numériques pour les angles fixes sont données en stéradians. la constante φ = 1 + 5/2 est la relation en or.

Radi, surface et volume(éditer)

Un autre avantage de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces balles sont appelés cercle circonscrit, il midradiuset inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les coins, les points médians du bord et les centres de la face, respectivement. Le circumradius R et le rayon r du jeûne p, q avec longueur d'arête un est dégagé

θ est l'angle dièdre. rayon Mid ρ est dégagé

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que le rapport entre le rayon et le rayon est symétrique dans p et q:

ils zone de surface, FR, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme la surface d’un p– fois le nombre de faces fa. C'est:

ils le volume est calculé comme fa fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est rayon r. C'est,

Le tableau suivant montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille totale est fixée en prenant la longueur du bord, un, être égal à 2.

les constantes φ et ξ dans ce qui précède sont donnés par

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l’icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces et le plus grand angle dièdre, il serre la sphère inscrite plus étroitement et son rapport surface sur volume est presque une sphère de la même taille (c'est-à-dire, la même surface ou le même volume). Le dodécaèdre, en revanche, présente le moindre défaut angulaire. , le plus grand angle fixe de sommet, et il remplit le plus la sphère circonférentielle.

symétrie(éditer)

Polyèdre double(éditer)

Chaque polyèdre a un polyèdre double (ou "polaire") avec faces et angles alternés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, de sorte que nous pouvons organiser les cinq solides en deux paires.

  • Le tétraèdre est auto-doublant (son double est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a un symbole Schläfli p, q, alors le double symbole a q, p. En fait, toute propriété combinatoire d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du double.

On peut construire le double polyèdre en prenant les doubles points de ceux qui sont les centres des faces de la figure originale. La connexion des centres aux faces adjacentes de l'original forme les bords des doublons, alternant ainsi le nombre de faces et d'angles tout en maintenant le nombre d'arêtes.

Plus généralement, on peut dualiser un solide platonique par rapport à une sphère de rayon concentrique au solide. Radii (R, ρ, r) d'un solide et ceux de ses deux (R*, ρ*, r*) lié à

Dualizing en ce qui concerne Midsphere ( = ρ) est souvent pratique car l’espace médian a le même rapport aux deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec le même circumradius et en rayon (ie. R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie(éditer)

En mathématiques, le terme symétrie est étudié avec le terme groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) laissant l'invariant du polyèdre. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent entre groupe de symétrie complet, qui inclut les réflexions, et bon groupe de symétrie, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes de symétrie dans les solides platoniques constituent une classe spéciale de points tridimensionnels connus sous le nom de groupes polyédriques. Le degré élevé de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les verticales de chacun sont égales sous l'effet du groupe de symétrie, ainsi que des arêtes et des surfaces. On dit que l'action dans le groupe de symétrie est transitive sur les croix, les arêtes et les faces. En fait, c’est une autre façon de définir la régularité d’un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si c'est l'uniforme du sommet, l'uniforme du bord et l'uniforme du visage.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie de tout polyhèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facile à voir en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie de dual et vice versa. Les trois groupes polyédriques sont:

Les ordres pour les groupes corrects (rotation) sont respectivement 12, 24 et 60, soit deux fois plus d’arêtes dans le polyèdre correspondant. Les ordres des groupes de symétrie complets sont deux fois plus nombreux (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits. Tous les solides platoniques, sauf les tétraèdres, sont symétrique centrale, ce qui signifie qu'ils sont conservés lors de la réflexion à travers l'origine.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (de la même manière pour le nombre de symétries). La construction de kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de ses groupes de symétrie. Ils sont répertoriés pour référence le symbole de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

polyèdre Schläfli
symbole
Wythoff
symbole
double
polyèdre
Groupe de symétrie (réflexion, rotation)
polyédrique Schön. Cox. Orb. ordre
tétraèdre 3, 3 3 | 2 3 tétraèdre tétraèdre Réflexion tétraédrique domaines.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/40px-Tetrahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height = "40" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/60px-Tetrahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ /7/75/Tetrahedral_reflection_domains.png/80px-Tetrahedral_reflection_domains.png 2x "fichier de données width =" 826 "fichier de données height =" 818 T
T
(3.3)
(3.3)+
* 332
332
24
12
cube 4, 3 3 | 2 4 octaèdre octaèdre Octaèdre réflexion domains.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/40px-Octahedral_reflection_domains.png "decoder =" async "width =" 40 "height = "39" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/60px-Octahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb /1/10/Octahedral_reflection_domains.png/80px-Octahedral_reflection_domains.png 2x "fichier de données width =" 825 "fichier de données height =" 813 Oh
O
(4.3)
(4.3)+
* 432
432
48
24
octaèdre 3, 4 4 | 2 3 cube
dodécaèdre 5, 3 3 | 2 5 icosaèdre icosaèdre Icosahedral réflexion domains.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/40px-Icosahedral_reflection_domains.png "decoding =" async "width =" 40 "height = "40" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/60px-Icosahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb /e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/80px-Icosahedral_reflection_domains.png 2x "fichier de données width =" 811 "fichier de données height =" 812 Jeh
Je
(5.3)
(5.3)+
* 532
532
120
60
icosaèdre 3, 5 5 | 2 3 dodécaèdre

Dans la nature et la technologie(éditer)

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont naturellement présents dans les structures cristallines. Celles-ci n'excluent jamais le nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre habituel, ni le dodécaèdre habituel ne sont parmi eux. L'une des formes, appelée pyritohèdre (du nom du groupe de minéraux typique), a douze faces pentagonales, disposées dans le même motif que les faces du dodécaèdre commun. Cependant, les faces du pyritohèdre n'étant pas communes, le pyritohèdre ne l'est pas non plus. Les allotropes du bore et de nombreux composés du bore, tels que le carbure de bore, comprennent des composés B discrets.12 icosahra dans leurs structures cristallines. Les acides de carborane ont également une approche des structures moléculaires par rapport aux icosahédras réguliers.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) a décrit un certain nombre d'espèces de radiolaires, dont certaines ont des squelettes en forme de polyèdres communs. Les exemples incluent Sirkoporus octaèdre, Icosahedra de Circogonia, Lithocubus geometricus et Dodécaèdres de Circorrhegma. La forme de ces créatures devrait être évidente à partir de leurs noms.

De nombreux virus, tels que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre commun. Les structures virales sont construites à partir de sous-unités protéiques identiques répétées, et l'icosahédron est la forme la plus simple à assembler à l'aide de ces sous-unités. Un polyèdre ordinaire est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule unité de base de protéine utilisée à plusieurs reprises; Cela économise de l'espace dans le génome du virus.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux de flux atmosphériques présentant un intérêt croissant à l'aide de grilles géodésiques sont basés sur un icosaèdre (affiné par triangulation) au lieu de la latitude / longitude plus couramment utilisée. Cela présente l’avantage d’une résolution spatiale espacée de manière égale, sans singularités (c’est-à-dire avec des pôles), aux dépens de difficultés numériques un peu plus grandes.

La géométrie des cadres est souvent basée sur les solides platoniques. Dans le système MERO, les solides platoniques sont utilisés pour nommer la convention de différentes configurations de trame spatiale. Par exemple 1/2O + T fait référence à une configuration composée d'un demi octaèdre et d'un tétraèdre.

Plusieurs hydrocarbures platoniques ont été synthétisés, notamment les grues cubaine et dodécane.

Les solides platoniques sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes, car ces derniers peuvent être équitablement construits. Les dés à 6 faces sont très courants, mais les autres numéros sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. Ces cubes sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir la notation des dés pour plus de détails.

Un ensemble de dés polyédriques.

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Un puzzle qui ressemble à un cube de Rubik se présente sous les cinq formes – voir polyèdres magiques.

Cristaux liquides avec symétries de solides platoniques(éditer)

Pour la phase intermédiaire appelée cristaux liquides, l'existence de telles symétries a été proposée pour la première fois en 1981 par H. Kleinert et K. Maki.(8)(9)
En aluminium, la structure icosaédrique a été découverte trois ans après par Dan Shechtman, qui l’a fait remporter le prix Nobel de chimie en 2011.

Polyèdres et polytopes associés(éditer)

Polyèdres uniformes(éditer)

Il existe quatre polyèdres communs non convexes, appelés polyèdres de Kepler-Poinsot. Celles-ci ont toutes une symétrie icosaédrique et sont disponibles en tant que stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Le polyèdre convexe le plus fréquent pour les solides platoniques est le cuboctaèdre, qui est une correction du cube et de l'octaèdre, et l'anneau d'icosidodécène, qui est une correction du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la correction du tétraèdre auto-dopant est une octaèdre commune). Ce sont les deux quasi-régulière, c’est-à-dire qu’ils sont uniformes sur le dessus et sur les bords et ont des faces fixes, mais que les faces ne sont pas toutes congruentes (elles appartiennent à deux classes différentes). Ils forment deux des treize tissus d'Archimède, qui sont la symétrie polyhédrique polyhédrale convexe uniforme. Leurs duels, le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique, sont transitifs aux contours et au visage, mais leurs visages ne sont pas communs et leurs croix sont de deux types chacune; Ils sont deux des treize solides catalans.

Le polyèdre uniforme forme une classe beaucoup plus large de polyèdres. Ces nombres sont le sommet et ont un ou plusieurs types de polygones communs ou en étoile pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec un ensemble infini de prismes, un ensemble infini d'antiprismes et 53 autres formes non convexes.

Johnson faststoffer er konvekse polyederer som har faste ansikter, men er ikke ensartede. Blant dem er fem av de åtte konvekse deltahedraene, som har identiske, vanlige ansikter (alle like-sidige trekanter), men er ikke ensartede. (De andre tre konvekse deltahedrene er platonisk tetraeder, oktaedron og icosahedron.)

Regelmessige tessellasjoner(éditer)

Regelmessige sfæriske fliser
Platoniske fliser
Uniform tiling 332-t0-1-.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Uniform_tiling_332-t0-1-.png/60px-Uniform_tiling_332-t0-1 -.png "dekoding =" async "width =" 60 "height =" 60 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Uniform_tiling_332-t0-1-.png/90px -Uniform_tiling_332-t0-1-.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Uniform_tiling_332-t0-1-.png/120px-Uniform_tiling_332-t0-1-.png 2x "data-file-width =" 810 "data-fil-høyde =" 813 Uniform tiling 432-t0.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Uniform_tiling_432-t0.png/60px-Uniform_tiling_432-t0.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Uniform_tiling_432-t0.png/90px-Uniform_tiling_432-t0.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Uniform_tiling_432-t0.png/120px-Uniform_tiling_432-t0.png 2x" data-file-width="816" data-file-height="816 Uniform tiling 432-t2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Uniform_tiling_432-t2.png/60px-Uniform_tiling_432-t2.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Uniform_tiling_432-t2.png/90px-Uniform_tiling_432-t2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Uniform_tiling_432-t2.png/120px-Uniform_tiling_432-t2.png 2x" data-file-width="820" data-file-height="815 Uniform tiling 532-t0.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Uniform_tiling_532-t0.png/60px-Uniform_tiling_532-t0.png" decoding="async" width="60" height="61" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Uniform_tiling_532-t0.png/90px-Uniform_tiling_532-t0.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Uniform_tiling_532-t0.png/120px-Uniform_tiling_532-t0.png 2x" data-file-width="815" data-file-height="822 Uniform tiling 532-t2.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Uniform_tiling_532-t2.png/60px-Uniform_tiling_532-t2.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Uniform_tiling_532-t2.png/90px-Uniform_tiling_532-t2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Uniform_tiling_532-t2.png/120px-Uniform_tiling_532-t2.png 2x" data-file-width="822" data-file-height="825
3,3 4,3 3,4 5,3 3,5
Regular dihedral tilings
Digonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/60px-Digonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/90px-Digonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/120px-Digonal_dihedron.png 2x" data-file-width="594" data-file-height="593 Trigonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/60px-Trigonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/90px-Trigonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/120px-Trigonal_dihedron.png 2x" data-file-width="597" data-file-height="599 Tetragonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/60px-Tetragonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="61" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/90px-Tetragonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/120px-Tetragonal_dihedron.png 2x" data-file-width="594" data-file-height="600 Pentagonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/60px-Pentagonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/90px-Pentagonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/120px-Pentagonal_dihedron.png 2x" data-file-width="605" data-file-height="601 Hexagonal dihedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/60px-Hexagonal_dihedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/90px-Hexagonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/120px-Hexagonal_dihedron.png 2x" data-file-width="597" data-file-height="601
2,2 3,2 4,2 5,2 6,2…
Regular hosohedral tilings
Spherical digonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/60px-Spherical_digonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="63" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/90px-Spherical_digonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Spherical_digonal_hosohedron.png/120px-Spherical_digonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="573" data-file-height="603 Spherical trigonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/60px-Spherical_trigonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/90px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Spherical_trigonal_hosohedron.png/120px-Spherical_trigonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="849" data-file-height="851 Spherical square hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/60px-Spherical_square_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/90px-Spherical_square_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/120px-Spherical_square_hosohedron.png 2x" data-file-width="792" data-file-height="774 Spherical pentagonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="59" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="777" data-file-height="770 Spherical hexagonal hosohedron.png" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/60px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png" decoding="async" width="60" height="60" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/90px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Spherical_hexagonal_hosohedron.png/120px-Spherical_hexagonal_hosohedron.png 2x" data-file-width="778" data-file-height="779
2,2 2,3 2,4 2,5 2,6…

The three regular tessellations of the plane are closely related to the Platonic solids. Indeed, one can view the Platonic solids as regular tessellations of the sphere. This is done by projecting each solid onto a concentric sphere. The faces project onto regular spherical polygons which exactly cover the sphere. Spherical tilings provide two infinite additional sets of regular tilings, the hosohedra, 2,n with 2 vertices at the poles, and lune faces, and the dual dihedra, n,2 with 2 hemispherical faces and regularly spaced vertices on the equator. Such tesselations would be degenerate in true 3D space as polyhedra.

One can show that every regular tessellation of the sphere is characterized by a pair of integers p, q with 1/p + 1/q > 1/2. Likewise, a regular tessellation of the plane is characterized by the condition 1/p + 1/q = 1/2. Det er tre muligheter:

In a similar manner, one can consider regular tessellations of the hyperbolic plane. These are characterized by the condition 1/p + 1/q < 1/2. Det er en uendelig familie av slike tessellasjoner.

Higher dimensions(edit)

In more than three dimensions, polyhedra generalize to polytopes, with higher-dimensional convex regular polytopes being the equivalents of the three-dimensional Platonic solids.

In the mid-19th century the Swiss mathematician Ludwig Schläfli discovered the four-dimensional analogues of the Platonic solids, called convex regular 4-polytopes. There are exactly six of these figures; five are analogous to the Platonic solids 5-cell as 3,3,3, 16-cell as 3,3,4, 600-cell as 3,3,5, tesseract as 4,3,3, and 120-cell as 5,3,3, and a sixth one, the self-dual 24-cell, 3,4,3.

In all dimensions higher than four, there are only three convex regular polytopes: the simplex as 3,3,…,3, the hypercube as 4,3,…,3, and the cross-polytope as 3,3,…,4. In three dimensions, these coincide with the tetrahedron as 3,3, the cube as 4,3, and the octahedron as 3,4.

Voir aussi(edit)

références(edit)

sources(edit)

  • Gardner, Martin(1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, University of Chicago Press, Chapter 1: The Five Platonic Solids, ISBN 0226282538
  • Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
  • Hecht, Laurence; Stevens, Charles B. (Fall 2004). "New Explorations with The Moon Model" (PDF). 21. århundre Vitenskap og teknologi. p. 58.
  • Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake), 1611 paper by Kepler which discussed the reason for the six-angled shape of the snow crystals and the forms and symmetries in nature. Snakker om platoniske faste stoffer.
  • Kleinert, Hagen and Maki, K. (1981). "Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals" (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. Bibcode:1981ForPh..29..219K. doi:10.1002/prop.19810290503CS1 maint: Multiple names: authors list (link)
  • Lloyd, David Robert (2012). "How old are the Platonic Solids?". BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics. 27 (3): 131–140. doi:10.1080/17498430.2012.670845.

Liens externes(edit)


En observant les relations entre les solides de Platon, nous pouvons préciser que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui composent l’élément éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant parce que ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez compliqué jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, comment pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les abbréviations artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super délicat échappe à une détection facile. ‘ n

Laisser un commentaire