Beauté mathématique – Wikipedia solides de Platon spirituel

Beauté mathématique décrit l’idée que certains mathématiciens peuvent tirer un plaisir esthétique de leur travail et des mathématiques en général. Ils expriment cette joie en décrivant les mathématiques (ou au moins un aspect des mathématiques) comme beau. Les mathématiciens décrivent les mathématiques comme une forme d'art ou, au minimum, comme une activité créatrice. Les comparaisons sont souvent faites avec de la musique et de la poésie.

Bertrand Russell a exprimé son sens de la beauté mathématique en ces mots:

Les mathématiques, à juste titre, possèdent non seulement la vérité, mais une beauté superbe – une beauté fraîche et délicate, comme une sculpture, sans aucun attrait pour notre nature plus faible, sans les magnifiques couleurs de la peinture ou de la musique, mais sublime, propre et capable d'une perfection stricte que seul le plus grand art peut montrer. Le véritable esprit de joie, d’exaltation, le sentiment d’être plus que l’être humain, la pierre de touche de la plus haute qualité, se trouve dans les mathématiques aussi sûrement que dans la poésie.(1)

Paul Erdős a exprimé son point de vue sur l'ineffabilité des mathématiques en disant: "Pourquoi les chiffres sont-ils beaux? C'est comme demander pourquoi la neuvième symphonie de Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, personne ne peut vous le dire. savoir Les chiffres sont beaux. Si elles ne sont pas belles, rien ne l'est ".(2)

Beauté en méthode(éditer)

Les mathématiciens décrivent une méthode de preuve particulièrement agréable élégant. Selon le contexte, cela peut signifier:

  • Une preuve qui utilise au moins des hypothèses supplémentaires ou des performances passées.
  • Une preuve inhabituellement brève.
  • Preuve que le résultat est un moyen surprenant (par exemple, à partir d'une phrase ou d'un ensemble de théorèmes apparemment non apparentés).
  • Une preuve basée sur de nouvelles idées originales.
  • Une méthode de preuve qui peut facilement être généralisée pour résoudre une famille avec des problèmes similaires.

À la recherche d'une preuve élégante, les mathématiciens recherchent souvent différentes manières indépendantes de prouver un résultat. La première preuve trouvée peut ne pas être la meilleure. La position selon laquelle le plus grand nombre de preuves différentes a été découvert est peut-être le théorème de Pythagore, avec des centaines de preuves publiées.(3) Une autre déclaration qui a été prouvée de nombreuses manières différentes est que le théorème du carré, Carl Friedrich Gauss, a publié à lui seul huit preuves différentes de cette phrase.

Inversement, les résultats qui sont logiquement corrects, mais impliquent des calculs laborieux, des méthodes surévaluées, des approches hautement conventionnelles, ou s’appuyant sur un grand nombre d’axiomes particulièrement performants ou sur des performances passées, ne sont généralement pas considérés comme élégants et peuvent être qualifiés de laid ou toqué.

La beauté dans les résultats(éditer)

À partir de e0 = 1, courir à la vitesse Je par rapport à sa position pour la durée π, et ajouter 1 revient à 0. (Le diagramme est un diagramme d’Argand)

Certains mathématiciens voient la beauté des résultats mathématiques établissant des relations entre deux domaines des mathématiques qui, à première vue, ne semblent pas être liées. Ces résultats sont souvent décrits comme profond.

Bien qu'il soit difficile de trouver un accord universel si le résultat est profond, il existe souvent des exemples. L'une est l'identité d'Euler:(5)

Il s'agit d'un cas particulier de la formule d'Euler, que le physicien Richard Feynman a appelée "notre bijou" et "la formule la plus remarquable en mathématiques".(6) Parmi les exemples modernes, citons le jeu de modularité, qui établit un lien important entre les courbes elliptiques et les formes modulaires (travaux ayant conduit à l'attribution du Prix Wolf à Andrew Wiles et Robert Langlands) et le "monstrous moonshine", qui relie le groupe Monster à des fonctions modulaires via la théorie des cordes Borcherds a reçu la médaille Fields.

D'autres exemples de résultats profonds incluent des informations inattendues sur les structures mathématiques. Par exemple, Gauss Theorema Egregium est un théorème profond qui relie de manière surprenante un phénomène local (curl) à un phénomène global (zone). En particulier, l'aire d'un triangle sur une surface courbe est proportionnelle au titre du triangle et la proportionnalité est à la courbure. Un autre exemple est le théorème de base de la calculatrice (et ses versions vectorielles, y compris le théorème de Green et la déclaration de Stokes).

Le contraire de profond est banal. Un théorème trivial peut être un résultat qui peut être déduit de manière évidente et juste d'autres résultats connus, ou qui ne s'applique qu'à un ensemble particulier d'objets particuliers tels que l'ensemble vide. Cependant, parfois, une phrase d'une phrase peut être suffisamment originale pour être considérée comme profonde, même si les preuves sont assez évidentes.

Dans son Une excuse pour un mathématicienHardy suggère qu'une belle preuve ou un résultat a "inévitabilité", "inattendu" et "économie".(7)

Cependant, Rota n'est pas d'accord avec ce qui précède, c'est une condition suffisante pour la beauté et suggère un contre-exemple:

Lors de la première publication, de nombreuses théories mathématiques semblent surprenantes; Ainsi, par exemple, il y a vingt ans (à partir de 1977), la preuve de l’existence de structures différenciables non équivalentes sur des sphères de grande dimension était surprenante, mais il n’est arrivé à personne d’appeler un tel fait joliment à l’époque actuelle ou future.

Monastyrsky écrit peut-être ironiquement:

Il est très difficile de trouver une invention analogique dans le passé de la belle construction de Milnor des différentes structures différentielles sur la sphère à sept dimensions. La preuve initiale de Milnor n’était pas très constructive, mais E. Briscorn a montré par la suite que ces structures différentielles pouvaient être décrites sous une forme extrêmement explicite et esthétique.(9)

Ce désaccord illustre à la fois le caractère subjectif de la beauté mathématique et son lien avec les résultats mathématiques: dans ce cas, non seulement l'existence de sphères exotiques, mais aussi leur réalisation spécifique.

Beauté dans l'expérience(éditer)

L’intérêt pour les mathématiques pures, séparé de l’étude empirique, fait partie de l’expérience de diverses civilisations, y compris les Grecs anciens, qui "ont fait les mathématiques pour la beauté de celles-ci".(10) Le plaisir esthétique que les physiciens mathématiciens ont tendance à ressentir dans la théorie de la relativité générale d'Einstein a été attribué (y compris Paul Dirac) à sa "grande beauté mathématique".(11) La beauté des mathématiques est vécue lorsque la réalité physique de l'objet est représentée par des modèles mathématiques. La théorie des groupes, développée au début des années 1800 dans le seul but de résoudre des équations polynomiales, est devenue un moyen efficace de catégoriser les particules élémentaires sur les matériaux de construction. De la même manière, l’étude des nœuds fournit des informations importantes sur la théorie des cordes et le poids des bulbes.

Certains pensent qu'il faut faire des mathématiques pour pouvoir apprécier les mathématiques.(12)
Certains enseignants encouragent l'engagement des élèves en enseignant les mathématiques de manière kinesthésique (voir Apprentissage kinesthésique). Par exemple, Math Circle est un programme d’enrichissement post-scolaire où les élèves apprennent les mathématiques par le biais de jeux et d’activités; Dans une leçon de cercle de mathématiques générale, les élèves utilisent la découverte de modèles, l'observation et l'exploration pour créer leurs propres résultats mathématiques. Par exemple, la beauté mathématique découle d'une activité de symétrie du cercle mathématique conçue pour les 2e et 3e degrés. Dans cette activité, les élèves créent leurs propres flocons de neige en pliant un morceau de papier carré et en découpant les motifs de leur choix le long des bords du papier plié. Au fur et à mesure que le papier se déploie, un dessin symétrique se révèle. Dans une classe quotidienne de mathématiques à l’école primaire, la symétrie peut être présentée comme telle d’une manière artistique où les élèves obtiennent des résultats esthétiques en mathématiques.

Certains enseignants préfèrent utiliser des manipulateurs mathématiques pour présenter les mathématiques de manière esthétique. Les exemples de manipulation comprennent les carreaux d’algèbre, les tiges de cuisson et les blocs-formes. Par exemple, on peut apprendre la méthode pour compléter le carré en utilisant des graphiques algébriques. Les tiges Cuisenaire peuvent être utilisées pour enseigner les fractions, et les blocs-formes peuvent être utilisés pour enseigner la géométrie. À l'aide de manipulations mathématiques, les élèves aident à acquérir une compréhension conceptuelle qui peut ne pas être vue immédiatement dans les formules mathématiques écrites.(1. 3)

Un autre exemple concerne l'origami. L'origami, l'art du pliage du papier, possède des propriétés esthétiques et de nombreuses connexions mathématiques. On peut étudier le calcul du pliage du papier en observant le motif de sillage sur des pièces d'origami développées.(14)

La combinatoire (l'étude du comptage) a des représentations artistiques que certains trouvent mathématiquement belles.(15) Il existe de nombreux exemples visuels qui illustrent des concepts combinatoires. Voici quelques sujets et objets vus dans le cours de combinatoire avec représentations visuelles:

Beauté et philosophie(éditer)

Certains mathématiciens sont d'avis que le travail des mathématiques est plus proche de la découverte que de l'invention, par exemple:

Il n'y a pas de découvreur scientifique, pas de poèmes, pas de gabarit, pas de musicien, qui ne vous dira pas qu'il a trouvé le tout fait, sa découverte, un poème ou une image – cela lui est venu de l'extérieur et il ne l'a pas consciemment créé de l'intérieur .

William Kingdon Clifford, d'une conférence à l'institution royale intitulée "Quelques conditions de développement mental"

Ces mathématiciens estiment que les résultats détaillés et précis des mathématiques peuvent raisonnablement être considérés comme vrais sans la dépendance de l'univers dans lequel nous vivons. Par exemple, ils soutiendraient que la théorie des nombres naturels est fondamentalement valable, sans nécessiter de contexte particulier. Certains mathématiciens ont extrapolé cette idée selon laquelle la beauté mathématique est une vérité supplémentaire, dans certains cas mystérieuse.

Dans la philosophie de Platon, il y avait deux mondes, le monde physique dans lequel nous vivons et un autre monde abstrait contenant une vérité infinie, y compris les mathématiques. Il croyait que le monde physique n'était que le reflet du monde abstrait le plus parfait.

Le mathématicien hongrois Paul Erdős(16) parlé d'un livre imaginaire, où Dieu a écrit toutes les plus belles preuves mathématiques. Lorsque Erdős souhaitait exprimer sa gratitude particulière pour une preuve, il s'exclamait "ceci est tiré du livre!"

Le philosophe français Alain Badiou, du 20ème siècle, affirme que l'ontologie est une mathématique. Badiou croit également aux liens profonds entre les mathématiques, la poésie et la philosophie.

Dans certains cas, les philosophes naturels et d’autres scientifiques qui ont largement utilisé les mathématiques ont créé des sauts de discrétion et de vérité physique d’une manière qui s’est révélée inexacte. Par exemple, à un moment de sa vie, John Kepler pensait que les proportions des liaisons des soi-disant planètes du système solaire avaient été arrangées par Dieu pour correspondre à une disposition concentrique des cinq solides platoniques, chaque chemin se trouvant sur le périmètre d'un polyèdre et un autre. Comme il n’ya que cinq solides platoniques, l’hypothèse de Kepler ne peut accepter que six orbites planétaires et est réfutée par la découverte ultérieure d’Uranus.

Théorie de la beauté et de l'information mathématique(éditer)

Dans les années 1970, Abraham Moles et Frieder Nake ont analysé les relations entre la beauté, le traitement de l'information et la théorie de l'information.(17)(18) Dans les années 1990, Jürgen Schmidhuber a formulé une théorie mathématique de la beauté subjective dépendante de l'observateur, basée sur la théorie de l'information algorithmique: les plus beaux objets parmi des objets subjectivement comparables possèdent de courtes descriptions algorithmiques (complexité de Kolmogorov) par rapport à ce que l'observateur sait déjà.(19)(20)(21) Schmidhuber excelle explicitement entre beau et intéressant. Ce dernier correspond au premier dérivé de la beauté perçue subjectivement:
L'observateur cherche constamment à améliorer la prévisibilité et la compressibilité des observations en détectant des régularités telles que des répétitions, des symétries et une expression de soi fractale. Lorsque le processus d'apprentissage de l'observateur (éventuellement un réseau neuronal artificiel prédictif) conduit à une compression améliorée des données, de sorte que la séquence d'observation peut être décrite avec moins de bits qu'auparavant, l'intérêt temporaire des données correspond à la progression de la compression et est proportionnel à la récompense de curiosité interne de l'observateur.(22)(23)

Mathématiques et art(éditer)

musique(éditer)

Parmi les exemples d'utilisation des mathématiques en musique, citons la musique stochastique d'Iannis Xenakis, Fibonacci dans Lateralus de Tool, le contrepoint de Johann Sebastian Bach, des structures polyrythmiques (comme dans Igor Stravinsky Sacre du printemps), Modulation métrique d’Elliott Carter, théorie de la permutation dans le sérialisme commençant par Arnold Schoenberg, et application des tons Shepard à Karlheinz Stockhausen. hymne.

Art visuel(éditer)

Des exemples de l’utilisation des mathématiques dans l’art pictural sont les applications de la théorie chaotique et de la géométrie fractale à l’art généré par ordinateur, les tests de symétrie de Léonard de Vinci, les géométries projectives dans le développement de la théorie de la perspective de l’art de la Renaissance, la géométrie optique dans la chambre noire de Giambattista della Porta, plus de perspectives dans le cubisme analytique et le futurisme.

Le graphiste néerlandais M. C. Escher a créé des gravures sur bois, des lithographies et des mezzotints inspirés par les mathématiques. Celles-ci ont des constructions impossibles, des explorations de l'infini, de l'architecture, des paradoxes visuels et des pavages. Le designer britannique John Ernest a créé des reliefs et des peintures inspirés de la théorie des groupes.(24) Anthony Hill et Peter Lowe sont également inspirés par des modèles et des structures mathématiques, inspirés par des modèles et des structures mathématiques. L'art généré par ordinateur est basé sur des algorithmes mathématiques.

Voir aussi(éditer)

  1. ^ Russell, Bertrand (1919). "L'étude des mathématiques". Mysticisme et logique: Et d'autres essais. Longman. page 60. récupéré 2008-08-22.
  2. ^ Devlin, Keith (2000). "Les mathématiciens ont-ils des cerveaux différents?". Food Matter: Comment la pensée mathématique a évolué et pourquoi les chiffres sont comme des potins. Livres de base. p. 140. ISBN 978-0-465-01619-8. récupéré 2008-08-22.
  3. ^ Elisha Scott Loomis a publié plus de 360 ​​preuves dans son livre Pythagorean Proposition (ISBN 0-873-53036-5).
  4. ^ Gallagher, James (13 février 2014). "Mathématiques: Pourquoi le cerveau voit les mathématiques comme une beauté". BBC News en ligne. récupéré 13 février 2014.
  5. ^ Feynman, Richard P. (1977). Feynman donne des conférences sur la physique. Je. Addison-Wesley. pp. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
  6. ^ Hardy, G.H. "18". Une excuse pour un mathématicien.
  7. ^ Monastyrsky (2001), Quelques tendances en mathématiques modernes et la médaille de terrain
  8. ^ Lang, page 3
  9. ^ Chandrasekhar, p
  10. ^ Phillips, George (2005). « Avant-propos ». Les mathématiques ne sont pas un sport de spectateur. Springer Science + Business Media. ISBN 0-387-25528-1. récupéré 2008-08-22. "… rien dans le monde des mathématiques ne correspond à un public dans une salle de concert où les passifs écoutent les actifs. Heureusement, les mathématiciens sont tous ceux qui font, pas spectateurs.
  11. ^ Sowell, E. (1989). Effets du matériel de manipulation dans l'enseignement des mathématiques. Journal de recherche sur l'enseignement des mathématiques, 20, 498-505.
  12. ^ Hull, Thomas. "Projet Origami: Activités pour explorer les mathématiques". Taylor et Francis, 2006.
  13. ^ Brualdi, Richard. "Combinatoire initiale." Pearson, 2009.
  14. ^ Schechter, Bruce (2000). Mon cerveau est ouvert: le parcours mathématique de Paul Erdos. New York: Simon et Schuster. pp. 70-71. ISBN 0-684-85980-7.
  15. ^ A. Moles: La théorie de l'information et de la perception esthétique, Paris, Denoël, 1973 (Théorie de l'information et opinion esthétique)
  16. ^ F Nake (1974). Esthétique en tant que traitement de l'information. (Esthétique en tant que traitement de l'information). Notions fondamentales et applications de l'informatique en ingénierie globale et en critique. Springer, 1974, ISBN 3-211-81216-4, ISBN 978-3-211-81216-7
  17. ^ J. Schmidhuber. Lavkompleksitetskunst. Leonardo, revue de la Société internationale des arts, des sciences et de la technologie (Leonardo / ISAST), 30 (2): 97-103, 1997. doi: 10.2307 / 1576418. JSTOR 1 576 418.
  18. ^ J. Schmidhuber. Article de théorie de l'art sur la beauté et la faible complexité depuis 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html
  19. ^ J. Schmidhuber. Principes algorithmiques simples pour la découverte, la beauté subjective, l'attention sélective, la curiosité et la créativité. Proc. 10ème conférence internationale on Discovery Science (DS 2007) pp. 26-38, LNAI 4755, Springer, 2007. Également dans Proc. 18. conférence internationale sur la théorie de l'apprentissage algorithmique (ALT 2007) page 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Conférence invitée commune pour DS 2007 et ALT 2007, Sendai, Japon, 2007. arXiv: 0709.0674.
  20. ^ .J. Schmidhuber. Systèmes de construction de modèles curieux. Conférence internationale conjointe sur les réseaux de neurones, Singapour, vol 2, 1458-1463. IEEE Press, 1991
  21. ^ La théorie de Schmidhuber sur la beauté et la curiosité dans une émission de télévision allemande: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit–aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml Classé au 3 juin 2008, à Machine de retour
  22. ^ Analyse de l'utilisation des mathématiques par John Ernest, en particulier de la théorie des groupes, dans ses œuvres John Ernest, artiste mathématicien par Paul Ernest dans Journal de l'enseignement de la philosophie des mathématiques24 décembre 2009 (édition spéciale mathématiques et art): http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm

références(éditer)

  • Aigner, Martin et Ziegler, Gunter M. (2003), La preuve du livre, 3ème édition, Springer-Verlag.
  • Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Vérité et beauté: Esthétique et motivation en science, Presses de l'Université de Chicago, Chicago, IL.
  • Hadamard, Jacques (1949), La psychologie de l'invention dans le domaine mathématique, Première édition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2e édition, 1949. Réimpression, Dover Publications, New York, NY, 1954.
  • Hardy, G.H. (1940) Une excuse pour un mathématicien, 1, 1940. Réimpression, C. P. Snow (Avant-propos), 1967. Réimpression, Cambridge University Press, Cambridge, Royaume-Uni, 1992.
  • Hoffman, Paul (1992), L'homme qui aimait les chiffres, Hyperion.
  • Huntley, H.E. (1970) Le partage divin: une étude de la beauté mathématique, Dover Publications, New York, NY.
  • Loomis, Elisha Scott (1968), La proposition pythagoricienne, Conseil des professeurs de mathématiques. Contient 365 preuves de la peine de Pythagore.
  • Lang, Serge (1985). La beauté des mathématiques: trois dialogues publics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
  • Peitgen, H.-O., et Richter, P.H. (1986), La beauté des fractalesSpringer-Verlag.
  • Reber, R., Brun, M. et K. Mitterndorfer (2008). L'utilisation de l'heuristique dans l'évaluation mathématique intuitive. Bulletin Psychonomique & Revue, 151174-1178. doi: 10,3758 / PBR.15.6.1174.
  • Strohmeier, John et Westbrook, Peter (1999), Harmonie divine, vie pythagorienne et apprentissageLivres de Berkeley Hills, Berkeley, CA.
  • Rota, Gian-Carlo (1997). "La phénoménologie de la beauté mathématique". SYNT. 111 (2): 171-182. doi: 10,1023 / A: 1004930722234. JSTOR 20117626.
  • Monastyrsky, Michael (2001). "Quelques tendances en mathématiques modernes et médaille de terrain" (PDF). Can. Matte. Soc. remarques. 33 (2 et 3).

Lectures complémentaires(éditer)

  • Cellucci, Carlo (2015), "La beauté mathématique, la compréhension et la recherche", Base de la science, 20: 339-355, doi: 10.1007 / s10699-014-9378-7
  • Zeki, S.; Romaya, J. P. Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), "L'expérience de la beauté mathématique et ses corrélats neuronaux", Frontières en neurosciences humaines, 8, doi: 10.3389 / fnhum.2014.00068, PMC 3923150

Liens externes(éditer)


En observant les relations entre les robustes de Platon, nous pouvons spécifier que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui forment le composant éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. C’est intrigant parce que ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est avérée assez compliqué jusqu’à présent, en raison de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? Nous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les critiques artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles le font. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. Les anciennes traditions néolithiques ont gravé des photos des éléments de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient connues sous l’appellation de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les composants constituants de la vie représentés par les 4 éléments que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son livre Elements. Ce vaste corpus de connaissances est passé pratiquement sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq robustes de Platon. Il a également essayé de rattacher les solides aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En forme euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre régulier et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque sommet qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’attachement comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la bataille les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la science et la compréhension de la classe de notre univers.

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