Icosaèdre – Wikipedia | solides de Platon

Polyèdre à 20 faces

En géométrie, une icosaèdre ( ou (1)) est un polyèdre à 20 faces. Le nom vient du grec ancien εἴκοσι (Eíkosi), ce qui signifie "vingt" et ἕδρα (Hedra), ce qui signifie "siège". La majorité peut être soit des "icosahedra" () ou "icosaèdres".

Il existe une infinité d'icosahra non similaires, certaines plus symétriques que d'autres. Le plus connu est l’isoshaédron commun (convexe, non étoilé) – l’un des solides platoniques – dont les faces ont 20 triangles équilatéraux.

Icosahra régulier(éditer)

Il existe deux objets, l'un convexe et l'autre non convexe, qui peuvent tous deux s'appeler des icosaèdres ordinaires. Chacune a 30 arêtes et 20 faces triangulaires équilatérales avec cinq assemblages dans chacun de ses douze coins. Les deux ont une symétrie icosaédrique. Le terme "isochédron ordinaire" désigne généralement la variante convexe, tandis que la forme non convexe est appelée grand icosaèdre.

Icosaèdre régulier convexe(éditer)

L’icosaèdre commun convexe est communément appelé icosaèdre régulier, un des cinq solides platoniques fixes, et est représenté par son symbole Schläfli 3, 5, qui contient 20 faces triangulaires, 5 faces se rejoignant autour de chaque sommet.

Son double polyèdre est le dodécahron habituel (5, 3) qui a trois faces pentagonales solides autour de chaque sommet.

Grand icosaèdre(éditer)

Le grand icosaèdre est l’une des quatre étoiles communes polyéders de Kepler-Poinsot. Le symbole Schläfli est 3, 5/2. Comme la forme convexe, il possède également 20 faces triangulaires équilatérales, mais le sommet est un pentagramme plutôt qu'un pentagone qui conduit à des découpes géométriques. Les croix entre les triangles ne représentent pas de nouvelles arêtes.

Son double polyèdre est le grand dodécaèdre étoilé 5/2, 3, qui comporte trois faces pentagonales solides autour de chaque sommet.

Icosahedra étoilé(éditer)

La stellation est le processus d'extension des faces ou des arêtes d'un polyèdre jusqu'à ce qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre. Il est rendu symétrique de sorte que la figure résultante conserve la symétrie globale de la figure parent.

Dans son livre Les cinquante et un icosaèdresCoxeter et al. occupé 58 de ces stellations par l'icosaèdre habituel.

Parmi ceux-ci, beaucoup ont un seul visage dans chacun des 20 plans de visage, et c'est également l'icosaèdre. Le grand isoshédron est parmi eux.

D'autres stellations ont plus d'une face dans chaque plan ou forment des connexions de polyèdres plus simples. Ce ne sont pas strictement des icosahedra, bien qu'ils soient souvent désignés comme tels.

Symétrie pyritoédrique(éditer)

Symétries pyritrale et tétraédrique
Graphiques de Coxeter CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png (Pyritohedral) Polyèdre uniforme-43-h01.svg
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png (Tétraédrique) Polyèdre uniforme-33-s012.svg
Symbole Schläfli s 3.4
sr 3.3 ou
visages 20 triangles:
8 équilibre
12 isocèles
bords 30 (6 courts + 24 longs)
sommets 12
Groupe de symétrie Th(4.3+), (3 * 2), commande 24
Groupe rotation T, (3.3)+, (332), ordre 12
Double polyeder pyritohedron
propriétés convexe
Pseudoicosahedron flat.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Pseudoicosahedron_flat.png/200px-Pseudoicosahedron_flat.png "decoding =" async "width =" 200 "height "174" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Pseudoicosahedron_flat.png/300px-Pseudoicosahedron_flat.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ b / be / Pseudoicosahedron_flat.png / 400px-Pseudoicosahedron_flat.png 2x "fichier de données width =" 977 "fichier de données height =" 849
nett
Icosaèdre dans cuboctahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Icoseded_in_cuboctahedron.png/220px-Icosedred_in_cuboctahedron.pong " = "110" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Icosahedron_in_cuboctahedron.png/330px-Icosahedron_in_cuboctahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikimedia.html /5/5c/Icosahedron_in_cuboctahedron.png/440px-Icosahedron_in_cuboctahedron.png 2x "fichier de données width =" 3966 "hauteur du fichier de données =" 1974 Icosahedron i cuboctahedron net.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Icoseded_in_cuboctahedron_net.png/100px-Icosahedron_in_cuboctahedron_on.png height = "117" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Icosahedron_in_cuboctahedron_net.png/150px-Icosahedron_in_cuboctahedron_net.png 1.5x, //upload.png thumb / a / a5 / Icosahedron_in_cuboctahedron_net.png / 200px-Icosahedron_in_cuboctahedron_net.png 2x "fichier de données width =" 1665 "fichier de données height =" 1950
Un icosaèdre ordinaire est topologiquement identique à un cuboctaèdre avec ses 6 faces carrées bissonnées en diagonales à symétrie pyritohédrique.

FR icosaèdre régulier peut être déformé ou marqué comme une symétrie pyritohédrique inférieure,(2) et appelé un octaèdre snob, snubtetratetrahedron, snob tétraèdreet pseudo-icosaèdre. Cela peut être vu comme un octaèdre tronqué alternatif. Si tous les triangles sont équilibrés, la symétrie peut également être séparée en coloriant différemment les 8 et 12 triangles.

La symétrie pyritohédrique a le symbole (3 * 2), (3+, 4), avec la séquence 24. La symétrie tétraédrique a le symbole (332), (3.3)+, avec la séquence 12. Ces symétries inférieures permettent des distorsions géométriques de 20 surfaces triangulaires équilatérales au lieu de 8 triangles équilatéraux et 12 triangles isocèles congruents.

Ces symétries offrent des graphiques de Coxeter: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png et CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png chacun représentant la symétrie inférieure de l'isoèdre commun CDel node 1.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png "decoding =" async "width =" 9 "height =" 23 "fichier de données- width = "9" data-file-height = "23CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/CDel_5.png "decoding =" async "width =" 7 "height =" 23 "fichier de données width =" 7 "data-file-height =" 23CDel node.png, (* 532), (5.3) symétrie isosdadique d’ordre 120.

Coordonnées cartésiennes(éditer)

Les coordonnées des 12 verticales peuvent être définies par les vecteurs définis par toutes les permutations cycliques et retournements de signe possibles des coordonnées du schéma (2, 1, 0). Ces coordonnées représentent l'octaèdre tronqué avec les verticales alternatives supprimées.

Cette construction s'appelle un snob tétraèdre sous sa forme icosaèdre habituelle, générée par les mêmes opérations effectuées initialement avec le vecteur (φ, 1, 0), où φ est la relation en or.(2)

Jessen est icosahedron(éditer)

L'icosaèdre habituel et l'icosaèdre de Jessen.

Dans l'icosaèdre de Jessen, parfois appelé Isoshaedron orthogonal de Jessen, les 12 faces simples sont agencées différemment de sorte que la figure soit non convexe. Il a les bons angles dièdres.

C'est une paire de ciseaux congruents à un cube, ce qui signifie qu'il peut être découpé en copeaux polyédriques plus petits pouvant être réarrangés pour former un cube solide.

Autres icosahedra(éditer)

Icosaèdre rhombique(éditer)

L'icosaèdre rhombique est un zonohèdre composé de 20 losanges congruents. Il peut être dérivé du triacontaèdre rhombique en supprimant les surfaces médianes. Bien que tous les visages soient congrus, l’icosaèdre rhombique n’est pas transitif.

Symétrie de pyramide et de prisme(éditer)

Les icosaèdres courants avec des symétries pyramidale et prismatique incluent:

  • Pyramide à 19 côtés (plus 1 base = 20).
  • Prisme à 18 côtés (plus 2 extrémités = 20).
  • Antiprisme à 9 côtés (2 séries de 9 côtés + 2 extrémités = 20).
  • Bipyramide à 10 côtés (2 séries de 10 pages = 20).
  • Trapèzoïdron à 10 côtés (2 séries de 10 pages = 20).

Solides de Johnson(éditer)

Plusieurs solides de Johnson sont des icosahedra:(3)

Voir aussi(éditer)

références(éditer)


Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des robustes de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ). n Régulier veut dire que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même dimension. n 3D signifie que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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