Les 5 solides platoniques et les 13 solides d'Archimède | solides de Platon

Les 5 solides platoniques et les 13 solides d'Archimède

Solides platoniques et archimédiens, et formule d'Euler f-e + v = 2

Il y a cinq solides platoniques et treize solides armés qui sont
polyèdre convexe dont les faces sont toutes des polygones communs.

Solides platoniques

Un "solide platonique" est un polyèdre commun. FR
Le polyèdre commun est convexe et ses faces identiques sont des polygones communs.
Il n'y a que cinq solides de ce type. Le tétraèdre est le plus petit d'entre eux
eux. Les autres sont le cube, l’octaèdre (avec un triangle à 8 côtés
faces, faites en collant ensemble les bases de deux pyramides carrées à bords égaux
longueurs), l’icosaèdre (avec 20 égaux
triangulaires) et dodécaèdre (avec 12 faces pentagonales).

À partir d’un polyèdre ordinaire, nous pouvons en construire un autre, appelé son double,
en joignant les centres des faces avec des segments de droite. Par exemple, si nous
Rejoignez les centres des faces du cube, nous avons un octaèdre assis à l'intérieur
cube, donc le double d'un cube est un octaèdre. Si nous répétons le processus pour
l'octaèdre, nous obtenons un cube qui est à l'intérieur de l'octaèdre, de sorte que le double off
un octaèdre est un cube. De même, le dodécaèdre et l’icosaèdre
sont doubles, et le tétraèdre est son propre dual. Un polyèdre
et le double a le même nombre d'arêtes (12 pour un cube et un octaèdre pour
exemple) mais le nombre de croix et de faces a été remplacé.

La relation entre les faces, les sommets et les arêtes d'un polyèdre convexe
est fourni par la formule d'Euler:

v – e + f = 2

C’est en fait l’une des nombreuses formules attribuées à Leonhard Euler (prononcé
"oiler", un mathématicien suisse luxuriant qui a vécu de
1707-1783. On pense qu'Euler a découvert la formule en 1750.
Legendre l’a prouvé pour la première fois en 1794. Pas tout à fait une preuve, mais un moyen de
Voir que c'est vrai, c'est par induction sur les visages. Ça aide à imaginer
polyèdre "aplati" en le projetant sur un plan et en le faisant plat
graphique de sorte que chaque région délimitée par les arêtes corresponde à une face
polyèdre, avec tout l'espace en dehors du bord extérieur correspondant
l'un des visages. La base est un solide à deux faces
collé dos à dos qui est "aplati" en un seul polygone.
Chacune des deux faces est délimitée par le polygone et divise ses v-points
e = v bords avec l'autre face. Donc v-e + f = 2 dans ce cas. Maintenant, pour certains
Polyèdre convexe avec plus de deux faces, vous pouvez réduire le nombre de faces
pour un en supprimant un bord, ce qui fait que deux faces ne font plus qu'une, et la formule
tient toujours. (Ceci est en fait la deuxième preuve donnée en.) dix-sept
Formule d'Euler
.)

Solides d'Archimède

Il y a 13 solides d'Archimède. Un solide armé est un convexe
polyèdre dont les faces sont des polygones communs disposés de la même manière autour de chaque
sommet.

Certaines sont accomplies en coupant ou en raccourcissant les coins d’une pièce régulière.
polyèdre. On obtient ainsi le cube tronqué, le tétraèdre tronqué, il
octaèdre tronqué. Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre sont
obtenu en capturant simultanément le volume d'un polyèdre commun
et son dual du même rayon. (Effectue le même processus avec un
tétraèdre donne un octaèdre). Le raccourcissement du cubocta et
Ajuster les faces résultantes pour les transformer en carrés donne le contour tronqué
cuboctaèdre. Le dernier modèle de ce groupe est le tubo hemedron rhombique, limité
d'un cube, et dodécaèdre octaèdre et rhombique. Les sept autres
Les solides d’Arkimedea sont le dodécaèdre tronqué, l’icosaèdre tronqué,
cuboctaèdre, rhombicosidodécaèdre, icosidodécaèdre tronqué, cube adouci,
et snob dodécaèdre.

Références Internet

Mathworld – platonique
solides
, Archimède
réel

Outil d'enseignement des mathématiques au département de mathématiques de l'Université de l'Arizona

Dix-sept preuves
de la formule d'Euler

La géométrie projective décrit
le sens de "double".

Voir la géométrie d'Inca Land: platonique
solides
pour certains Solides Platoniques rotatifs animés et de la bonne musique MIDI.

Les parents
pages sur ce site

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tétraèdre

Centroid décrit ce que c'est
(le point d'équilibrage) et comment le calculer en utilisant des intégrales.

Solide de rotation
décrit comment le calculer à l'aide d'intégrales et, mieux encore, comment calculer
Il utilise le théorème de Centroid de Pappus. Il a également une table sur la surface
et des volumes d'une variété de formes simples et fixes.


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Graeme McRae.

En observant les relations entre les robustes de Platon, il est possible de remarquer que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui constituent le composant éthérique, vous aurez créé les 12 coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant car ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez difficile jusqu’à présent, en raison de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle manière pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les critiques chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. ‘ n

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