Formule d'Euler solides de Platon spirituel

(Il existe une autre "formule d'Euler" sur les nombres complexes,
cette page concerne celle utilisée dans la géométrie et les graphes)

Formule d'Euler

Pour certains polyèdres qui ne se coupe pas ils

  • Nombre de faces
  • plus Nombre de verticales (points d'angle)
  • moins Nombre d'arêtes

toujours égal à 2

Cela peut être écrit: F + V – E = 2

hexaèdre

Essayez-le sur les dés:

Un cube a 6 faces, 8 verticales et 12 arêtes,

si:

6 + 8 – 12 = 2

Exemple avec les solides platoniques

Essayons les 5 messes platoniques (Remarque: la formule d'Euler peut être utilisée pour prouver qu'il n'y a que 5 solides platoniques):

Pour voir pourquoi cela fonctionne, pensez à prendre le cube et à poser un bord
(d'un coin à l'autre d'une face).

Nous avons un avantage supplémentaire, plus un visage supplémentaire:

7 + 8 – 1. 3 = 2

face supplémentaire de cube

De même, lorsque nous incluons un autre sommet
nous avons également un avantage supplémentaire.

6 + 91. 3 = 2.

cube extra vertex
"Quoi que nous fassions, nous finissons toujours par 2"
(Mais seulement pour ce type de polyèdre … lisez la suite!)

La sphère

sphère comme icosaèdre

Tous les solides platoniques (et de nombreux autres solides) sont comme une balle … nous pouvons les remodeler afin qu'ils deviennent une balle (déplace leurs points de coin et leur corbeille un petit visage).

C'est pourquoi nous le savons F + V – E = 2 pour une sphère

(Attention, on peut pas il suffit de dire qu'une sphère a 1 face, et 0 coins et arêtes, pour F + V-E = 1)

Donc, le résultat est 2 à nouveau.

Mais pas toujours 2 …!

Maintenant que vous voyez comment cela fonctionne, je vais vous montrer comment pas travail.

Et si on arrêtait deux coins opposés d'un icosaèdre?

<! –

->

Il y a toujours un icosaèdre (mais plus convexe).

En fait, cela ressemble à un tambour où quelqu'un a cousu haut et bas ensemble.

Maintenant, c'est le même nombre d'arêtes et de faces … mais un plus petit sommet!

si:

F + V – E = 1

Oh non! Il n’ajoute pas toujours 2.

Si cela n’a pas fonctionné, c’est que cette nouvelle forme est fondamentalement différente … cette adhésion au milieu signifie que deux angles sont réduits à un.

Caractéristique d'Euler

Donc, F + V-E peut être 2 ou 1, et peut-être d'autres valeurs, donc la formule plus générale est

F + V – E = χ

χ s'appelle "Caractéristique d'Euler».

Voici quelques exemples:

forme χ
sphère sphère 2
torus torus 0
Mobius Strip Mobius Stripe 0

cubohémioctaèdre

Et la caractéristique d'Euler peut également être inférieure à zéro.

C'est "Cubohemioctahedron": il a 10 faces (cela peut paraître plus, mais certaines des faces "intérieures" ne sont en réalité qu'une face), 24 arêtes et 12 verticales, ainsi:

F + V – E = -2

En fait, Euler Characteristically est une idée de base en topologie (l'étude de la nature de l'espace).

Donut et tasse à café

<! –

->

Torus devient une tasse de café
(Courtoisie d'animation
Utilisations dans Wikipedia: Kieff)

Enfin, cette discussion sera incomplète sans montrer qu'un beignet et une tasse de café sont vraiment la même chose!

Eh bien, ils peuvent être déformés les uns aux autres.

On dit que les deux objets sont "homéomorphes" (du grec homoios = identique et morphe = forme)

Tout comme les solides platoniques sont homomorphes à la sphère.

Et votre corps est homomorphe à un tore si vous fermez votre nez.

Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les 4 premières formes conviennent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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