Que sont les corps platoniques?

Les corps platoniques sont des corps convexes de
polygones communs congruents et sur
où le même nombre de polygones se rencontrent dans chaque coin.
Bien qu'il existe des polygones communs
Il n'y a que cinq organes communs:
Tétraèdre, cube (ou hexaèdre), octaèdre, pentagondodécaèdre
et icosaèdre.
… … |
Un corps, par exemple, de deux tétraèdres n'est pas un corps platonique. Bien que limité par des triangles ordinaires, mais dans les coins il y a trois, parfois quatre triangles. |
Les corps platoniques sont appelés
aussi
corps normal et en référence à
Nom anglais solides solides aussi organes communs,
Au lieu du corps, c'est aussi le nom exact polyèdre,
C'est sur mon site
les pages individuelles
Tétraèdre, cube,
octaèdre,
dodécaèdre pentagonal
et l'icosaèdre, également Deltaeder.
images
le corps platonal haut
images stéréo




projections parallèles

Une surface de page est parallèle au plan de dessin.
Voici encore et
Ajouté orbe.

Zentralprojetionen
Le centre de projection sera comme ça
placé de sorte que les bords ne se chevauchent pas.

… … |
On peut aussi imaginer, par exemple, sur Dodécaèdre, le pentagone vert tendu vers l'avant et le pentagone bleu être retiré pour que la bonne image apparaisse. Dans cette représentation, la forme n'est pas décisive, mais la relation entre les coins, les bords et les côtés. |
Les images s'appellent des diagrammes de Schlegel.
fils

Le nombre de réseaux différents est 2, 11, 11 et
MathWorld) 43380 et 43380.
dualités haut
Connecter les pages sur les pages
d'un corps platonique, un corps platonique apparaît à nouveau.
Ces organes contigus sont appelés deux organes.
![]() 4 coins, 6 bords, 4 faces |
![]() 8 coins, 12 bords, 6 zones 6 coins, 12 bords, 8 faces |
![]() 20 coins, 30 bords, 12 zones 12 coins, 30 arêtes, 20 faces Les deux dessins de Christian Grünwaldner |
> Le tétraèdre se dédouble
le cube est le double de l'octaèdre et le dodécaèdre est le double de l'icosaèdre.
> De cette façon, vous pouvez diviser votre corps en trois classes
partagée.
> Les doubles corps ont le même nombre d'arêtes,
Nombre de coins et de zones d'échange.
Du côté de Robert Webb peut
Vous observez dans une animation comment deux corps se fondent l'un dans l'autre
(URL ci-dessous).
formules haut
Formule de polyèdre eulérienne
La formule polyédrique d'Euler s'applique à tous les convexes
Corps et dire que la somme du nombre de coins e et
La surface f est supérieure de 2 au nombre d'arêtes k.
Dans le numéro de la formule, cela s'appelle e + f = k
+ 2. Cela s'applique également ici:
|
![]() |
quatre
tailles
Un corps platonique est défini par la longueur du bord
un clairement déterminé. À partir de là. volume de taille
Calculez V, la surface O, le rayon de la voie R et le rayon froid.
| tétraèdre |
|
| coupé en dés |
|
| octaèdre |
|
| dodécaèdre pentagonal |
|
| icosaèdre |
|
valeurs numériques.
arrondi à trois endroits.
| tétraèdre coupé en dés octaèdre dodécaèdre pentagonal icosaèdre |
V = 0,118a³ V = a³ V = 0.471a³ V = 7.66a³ V = 2.18a³ |
O = 1.73a² O = 6a² O = 3,46a² O = 20.6a² O = 8.66a² |
R = 0.612a R = 0.866a R = 0,707a R = 1,40a R = 0,951a |
r = 0,204a r = 0.5A r = 0,408a r = 1.11a r = 0,756a |
corps
en orbite

La proportion du volume d'un corps platonique sur
Le volume de son globe est de 12,3%; 36,8%; 31,8%; 66,5%; 60,5%.
La proportion de la surface d'un corps platonique
sur la surface de son orbite est de 36,7%; 63,7%; 55,1%; 83,7%;
76,2%.
Les figures montrent comment sont les corps "sphériques".
Le dodécaèdre pentagonal a la plus grande proportion et vient
plus proche de la balle.
Même corps
Si vous voulez des corps platonaux du même volume
Il est intéressant de noter la taille des côtés des polygones
alors ça doit être.
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Si vous voulez des corps platonaux avec la même surface
Il est intéressant de noter la taille des côtés des polygones
alors ça doit être.
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angle
entre polygones adjacents
| tétraèdre 70,5 ° |
coupé en dés 90 ° |
octaèdre 109,5 ° |
dodécaèdre 116,6 ° |
icosaèdre 138,2 ° |
Source: (4)
corps
même hauteur
Au-dessous de la hauteur H d'un corps platonique
le tétraèdre est compris comme la hauteur d'espace H et les autres
Situé à la distance des surfaces latérales opposées parallèles
H.
Le tableau donne une indication approximative de la taille
à la même hauteur H est la longueur du bord a.
| tétraèdre a = 1,225H |
coupé en dés a = H |
octaèdre a = 1,225H |
dodécaèdre a = 0,449H |
icosaèdre a = 0.662H |
Seulement cinq
Corps platoniques haut
affichage d'angle
Vous ne pouvez avoir que trois, quatre ou cinq triangles
former un coin. Il faut au moins trois triangles pour
Un coin et six triangles ont déjà 360 ° ensemble et sont donc
dans un avion. Il ne reste donc que 3, 4 et 5 triangles.

Vous ne pouvez avoir que trois carrés
et trois pentagones font un coin. Ce sont tous des cas.

Ces considérations remontent à Euclid.
Prise en compte de la formule eulérique
A partir de polyèdre d'Euler e + f =
k + 2 signifie qu'il y a – le cas échéant – un maximum de cinq relations platoniques
Le corps donne.
preuve:
Soit f le nombre de surfaces du corps
Soit n le nombre de coins d’un polygone,
Soit m le nombre de polygones situés dans un coin
rencontrer.
Le coin N aura cinq pages ensemble.
Le nombre d'arêtes est k = nf / 2. Vous devez réduire de moitié,
parce que sur chaque bord deux n-coins se touchent.
Le nombre de croix est e = nf / m. Vous devez par numéro
Divisez le polygone en un coin.
La formule d'Euler est donc:
ou 2nf + 2mf -fnm -4m = 0
Cette équation est examinée
Mon ordinateur avec Visual Basic:
| Programme (le numéro 30 est arbitraire): Pour n = 3 à 30 Pour m = 3 à 30 Pour f = 3 à 30 Si 2 * n * f + 2 * m * f – n * f * m – 4 * m = 0, imprimez ensuite n; f; m Suivant f Suivant m N prochain |
Il y a cinq solutions: 3 4 3 3 8 4 3 20 5 4 6 3 5 12 3 Ce sont les cinq solides platoniques. |
Ce n'est pas une preuve.
La preuve peut être ainsi menée.
Diviser les deux côtés de l'équation 2nf + 2mf -fnm
-4m = 0 à nf, on obtient 1 / m + 1 / n = 1/2 + 2 / nf ou
Le nombre de polygones m et le nombre de coins n doivent
égal ou supérieur à 3 pour qu'un corps apparaisse.
Par l'équation, m et n ne peuvent pas être identiques
supérieur à 3, car 1/4 + 1/4 = 1/2 <1/2 + 1 / k.
Alors, soit m = 3 ou n = 3.
Premier cas: n = 3,
Si n = 3, l'équation devient 1 / m + 1/3 = 1/2 + 1 / k
ou 1 / m-1/6 = 1 / K. Alors m peut prendre les valeurs 3,4 ou 5, car le terme
1 / m-1/6 doit rester positif. Ensuite, citez 6,12 ou 30 résultats.
Cela conduit aux trois solides platoniques
de triangles.
2ème cas: m = 3
Si m = 3, l'équation devient 1/3 + 1 / n = 1/2 + 1 / k
ou 1 / n-1/6 = 1 / k, puis n ta les valeurs 3.4 ou 5. 1 / n-1/6 sont autorisées
Ne sois pas négatif.
Cela conduit au tétraèdre et aux deux corps
des carrés et des pentagones.
voir aussi
> (5), page 62ff.,
> Page de Michael Rockstroh, cliquez sur le pentagramme.
(URL ci-dessous).
> Matrice mathématique (URL ci-dessous).
Kepler cosmiquement
tasse haut
Johannes Kepler (1571-1630) a commencé tôt
les cinq solides platoniques par rapport aux orbites planétaires.
Pour démonstration, il a conçu un planétarium.
… … |
Description: Au milieu se trouve le soleil. Les plans avancent sur des coquilles sphériques. > Le grand hémisphère porte l'orbite de Saturne. Les coquilles restantes sont des entrées dans un platonique corps: > Le cube est la balle de Jupiter. > Dans le tétraèdre le ballon est éteint Mars. > Dans le pentagone, le Dodécaèdre est Terre Terre. > Dans l'icosaèdre, le ballon est éteint Vénus. > Dans l'octaèdre le ballon est éteint Mercury. |
Kepler remarqua que les chiffres n'étaient pas tout à fait corrects. il
amélioré le modèle en donnant aux peaux une certaine épaisseur;
Il est associé aux lunes.
Plus tard, il a rejeté ce modèle. (Cette dernière phrase
vous ignorez souvent.)
(1), page 262ff.
Corps archimédien
Vous obtenez de nouveaux corps en mettant sur les coins
un corps platonique coupe de telle sorte qu'il ajoute au corps
Les polygones communs apparaissent en tant que surfaces latérales.
… … |
À gauche un octaèdre. Vous divisez chaque bord en trois égaux Pièces. Puis un corps de six carrés et huit Des hexagones communs se produisent. On l'appelle logiquement "l'octaèdre tronqué ». |
Il y a 13 corps armés.

Plus sur mon site Archimède
corps,
commun
Corps dans un espace à quatre dimensions haut
Ils sont également appelés fixes à quatre dimensions
Polytope.
Il y a six orgues de ce type:
Hypertétraèdres (5 cellules),
hypercube
(8 cellules), 16 cellules, 24 cellules, 120 cellules, 600 cellules.
| polytope
5 cellules |
Nombre de coins
5 |
Nombre d'arêtes
10 |
Nombre de surfaces
10 triangles |
Nombre d'organes
Tétraèdre |
Les polytopes marqués de la même couleur sont doubles, celui
noir auto-doublant.
Le livre 2 essaie de montrer la voie aux polytopes.
Le point de départ est la question, qui est les mêmes solides platoniques
peut entrer en collision sur un bord.
Il doit y avoir au moins trois corps. la
sont 3, 4 ou 5 tétraèdres, 3 cubes, 3 octaèdres et 3 dodécaèdres pentagonaux.
… |
Dans cette série, il manque un des trois dodécaèdres Edge et donc la référence à 120 cellules. |
Vous arrivez dans cet ordre avec des "projections"
les cellules 5 cellules, 16 cellules, 24 cellules, 8 cellules, 600 cellules
(2) page 97ff.
Construction platonicienne
corps
haut
papier
Pour la construction de modèles, on utilise le filet du corps.
J'offre ici pour télécharger un modèle
au format A4 en fichier .pdf pour moi, Benedikt Seidl friendly
mis à disposition.

Tous les corps ont la même longueur d'arête.
Modèles avec des motifs de
Escher se trouve dans le livre 3.

Tétraèdre, cuboctaèdre, octaèdre
modèles de bord
Avec des jouets de mode fabriqués par des barres magnétiques
et les balles peuvent être des modèles rapides et faciles de corps platonique
bâtiment.

Octaèdre, octaèdre
Pour le dodécaèdre et l'icosaèdre, j'aurais
Doit acheter plus d'aimants et de balles.
Flechtmodelle
On peut tisser les corps platoniques à partir de rayures.
Vous trouverez des modèles sur la page d'accueil de H. B. Meyer (URL ci-dessous).
coupé en dés
acheter

Aujourd'hui, vous pouvez aller dans n'importe quel magasin de jouets bien approvisionné
acheter corps en plastique platonique.
Vous en avez besoin pour le jeu de rôle.
platonique
Corps sur Internet haut
allemand
Peter Geist / Arno Fehringer
la
Jardin des maths
Dieter Ortner (serveur central pour l'éducation en Suisse)
la
cinq solides platoniques
Gerd Müller
platonique
Corps stéréo
Son wypior
Graphique vectoriel avec Javascript
H. B. Meyer
polyèdre
fait de bandes tressées
Michael Rock Straw
platonique
Corps dans l'art
Natalie Wood
platonique
corps
Rüdiger Appel
platonique
corps
Udo Hebrew (café mathématique)
la
Corps platonicien
Walter Fendt (tasses de mathématiques)
la
Corps platonicien
wikipedia
platonique
corps. groupe
(Physique)
Anglais
Eric W. Weisstein (MathWorld)
platonique
solide
G. Korthal est Altes
Modèles en papier
de polyèdres
H. B. Meyer
polyèdres
tressé avec des bandes de papier
Jim Loy
régulier
solides
John & Connor (Université de St. Andrews)
symétrie
groupes de solides platoniques
Lee Stemkoski (Mathématiques)
platonique
solides
Poly-pro
Un programme de téléchargement
(Poly est un programme de shareware pour explorer et construire
polyèdres)
Robert Webb
Platon
Cinq polyèdres communs. double
morphing des polyèdres communs
Tom Getty
la
Solides platoniques
wikipedia
platonique
solide. Ileodictyon
cibarium
Recherche sur le tungstène
polyèdre
explorateur (Apple)
lettres de créance haut
(1) Walter Lietzmann: amusant et étrange
de figures et de formes, Göttingen 1969
(2) Thomas F. Banchoff: Dimensions – figures et corps
dans des espaces géométriques, Spectrum Library, Bd.31, 1991
(ISBN 3-89330-817-2)
(3) Doris Schattenschneider et Wallace Walker, M.C.Escher
Kaléidocycles, Cologne 1992
(4) H. Martin Cundy et A. P. Rollett: Modèles mathématiques,
Oxford 1961
(5) H.Rademacher et O.Toeplitz: Figures et chiffres,
Berlin-Heidelberg-New York, publié en 1968
Commentaires: e-mail:
sur ma page principale
URL pour le mien
Page d'accueil:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2005 Jürgen Köller
haut
au cours de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n
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…
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