Corps platoniques | solides de Platon

Que sont les corps platoniques?


Les corps platoniques sont des corps convexes de
polygones communs congruents et sur
où le même nombre de polygones se rencontrent dans chaque coin.


Bien qu'il existe des polygones communs
Il n'y a que cinq organes communs:


Tétraèdre, cube (ou hexaèdre), octaèdre, pentagondodécaèdre
et icosaèdre.


Un corps, par exemple, de deux tétraèdres
n'est pas un corps platonique.


Bien que limité par des triangles ordinaires,
mais dans les coins il y a trois, parfois quatre triangles.

Les corps platoniques sont appelés
aussi
corps normal et en référence à
Nom anglais solides solides aussi organes communs,
Au lieu du corps, c'est aussi le nom exact polyèdre,


C'est sur mon site
les pages individuelles


Tétraèdre, cube,
octaèdre,
dodécaèdre pentagonal
et l'icosaèdre, également Deltaeder.


images
le corps platonal
haut


images stéréo




projections parallèles

Une surface de page est parallèle au plan de dessin.


Voici encore et
Ajouté orbe.


Zentralprojetionen

Le centre de projection sera comme ça
placé de sorte que les bords ne se chevauchent pas.


On peut aussi imaginer, par exemple, sur
Dodécaèdre, le pentagone vert tendu vers l'avant et le pentagone bleu
être retiré pour que la bonne image apparaisse.


Dans cette représentation, la forme n'est pas décisive,
mais la relation entre les coins, les bords et les côtés.

Les images s'appellent des diagrammes de Schlegel.


fils

Le nombre de réseaux différents est 2, 11, 11 et
MathWorld) 43380 et 43380.


dualités haut

Connecter les pages sur les pages
d'un corps platonique, un corps platonique apparaît à nouveau.
Ces organes contigus sont appelés deux organes.


4 coins, 6 bords, 4 faces

8 coins, 12 bords, 6 zones

6 coins, 12 bords, 8 faces

20 coins, 30 bords, 12 zones

12 coins, 30 arêtes, 20 faces

Les deux dessins de Christian Grünwaldner


> Le tétraèdre se dédouble
le cube est le double de l'octaèdre et le dodécaèdre est le double de l'icosaèdre.


> De cette façon, vous pouvez diviser votre corps en trois classes
partagée.


> Les doubles corps ont le même nombre d'arêtes,
Nombre de coins et de zones d'échange.


Du côté de Robert Webb peut
Vous observez dans une animation comment deux corps se fondent l'un dans l'autre
(URL ci-dessous).


formules haut

Formule de polyèdre eulérienne

La formule polyédrique d'Euler s'applique à tous les convexes
Corps et dire que la somme du nombre de coins e et
La surface f est supérieure de 2 au nombre d'arêtes k.


Dans le numéro de la formule, cela s'appelle e + f = k
+ 2. Cela s'applique également ici:

,

,

tétraèdre

coupé en dés

octaèdre

dodécaèdre pentagonal

icosaèdre
e

,

04

08

06

20

12
fa

,

04

06

08

12

20
k

,

06

12

12

30

30


quatre
tailles


Un corps platonique est défini par la longueur du bord
un clairement déterminé. À partir de là. volume de taille
Calculez V, la surface O, le rayon de la voie R et le rayon froid.

tétraèdre

coupé en dés

octaèdre

dodécaèdre pentagonal

icosaèdre

valeurs numériques.
arrondi à trois endroits.

tétraèdre

coupé en dés

octaèdre

dodécaèdre pentagonal

icosaèdre
V = 0,118a³

V = a³

V = 0.471a³

V = 7.66a³

V = 2.18a³
O = 1.73a²

O = 6a²

O = 3,46a²

O = 20.6a²

O = 8.66a²
R = 0.612a

R = 0.866a

R = 0,707a

R = 1,40a

R = 0,951a
r = 0,204a

r = 0.5A

r = 0,408a

r = 1.11a

r = 0,756a


corps
en orbite


La proportion du volume d'un corps platonique sur
Le volume de son globe est de 12,3%; 36,8%; 31,8%; 66,5%; 60,5%.


La proportion de la surface d'un corps platonique
sur la surface de son orbite est de 36,7%; 63,7%; 55,1%; 83,7%;
76,2%.


Les figures montrent comment sont les corps "sphériques".
Le dodécaèdre pentagonal a la plus grande proportion et vient
plus proche de la balle.


Même corps


Si vous voulez des corps platonaux du même volume
Il est intéressant de noter la taille des côtés des polygones
alors ça doit être.

4.02
1,97
2,53
1 (fourni)
1,58

Si vous voulez des corps platonaux avec la même surface
Il est intéressant de noter la taille des côtés des polygones
alors ça doit être.

3,45
1,85
2,44
1 (fourni)
1,54


angle
entre polygones adjacents

tétraèdre

70,5 °
coupé en dés

90 °
octaèdre

109,5 °
dodécaèdre

116,6 °
icosaèdre

138,2 °


Source: (4)


corps
même hauteur


Au-dessous de la hauteur H d'un corps platonique
le tétraèdre est compris comme la hauteur d'espace H et les autres
Situé à la distance des surfaces latérales opposées parallèles
H.


Le tableau donne une indication approximative de la taille
à la même hauteur H est la longueur du bord a.

tétraèdre

a = 1,225H
coupé en dés

a = H
octaèdre

a = 1,225H
dodécaèdre

a = 0,449H
icosaèdre

a = 0.662H


Seulement cinq
Corps platoniques
haut


affichage d'angle

Vous ne pouvez avoir que trois, quatre ou cinq triangles
former un coin. Il faut au moins trois triangles pour
Un coin et six triangles ont déjà 360 ° ensemble et sont donc
dans un avion. Il ne reste donc que 3, 4 et 5 triangles.


Vous ne pouvez avoir que trois carrés
et trois pentagones font un coin. Ce sont tous des cas.

Ces considérations remontent à Euclid.


Prise en compte de la formule eulérique

A partir de polyèdre d'Euler e + f =
k + 2 signifie qu'il y a – le cas échéant – un maximum de cinq relations platoniques
Le corps donne.


preuve:

Soit f le nombre de surfaces du corps

Soit n le nombre de coins d’un polygone,

Soit m le nombre de polygones situés dans un coin
rencontrer.

Le coin N aura cinq pages ensemble.

Le nombre d'arêtes est k = nf / 2. Vous devez réduire de moitié,
parce que sur chaque bord deux n-coins se touchent.


Le nombre de croix est e = nf / m. Vous devez par numéro
Divisez le polygone en un coin.


La formule d'Euler est donc:

fn / m + f = fn / 2 + 2

ou 2nf + 2mf -fnm -4m = 0


Cette équation est examinée
Mon ordinateur avec Visual Basic:

Programme (le numéro 30 est arbitraire):

Pour n = 3 à 30

Pour m = 3 à 30

Pour f = 3 à 30

Si 2 * n * f + 2 * m * f – n * f * m – 4 * m = 0, imprimez ensuite
n; f; m


Suivant f

Suivant m

N prochain
Il y a cinq solutions:

3 4 3

3 8 4

3 20 5

4 6 3

5 12 3

Ce sont les cinq solides platoniques.


Ce n'est pas une preuve.
La preuve peut être ainsi menée.

Diviser les deux côtés de l'équation 2nf + 2mf -fnm
-4m = 0 à nf, on obtient 1 / m + 1 / n = 1/2 + 2 / nf ou

1 / m + 1 / n = 1/2 + 1 / k.

Le nombre de polygones m et le nombre de coins n doivent
égal ou supérieur à 3 pour qu'un corps apparaisse.


Par l'équation, m et n ne peuvent pas être identiques
supérieur à 3, car 1/4 + 1/4 = 1/2 <1/2 + 1 / k.


Alors, soit m = 3 ou n = 3.

Premier cas: n = 3,

Si n = 3, l'équation devient 1 / m + 1/3 = 1/2 + 1 / k
ou 1 / m-1/6 = 1 / K. Alors m peut prendre les valeurs 3,4 ou 5, car le terme
1 / m-1/6 doit rester positif. Ensuite, citez 6,12 ou 30 résultats.


Cela conduit aux trois solides platoniques
de triangles.

2ème cas: m = 3

Si m = 3, l'équation devient 1/3 + 1 / n = 1/2 + 1 / k
ou 1 / n-1/6 = 1 / k, puis n ta les valeurs 3.4 ou 5. 1 / n-1/6 sont autorisées
Ne sois pas négatif.


Cela conduit au tétraèdre et aux deux corps
des carrés et des pentagones.


voir aussi

> (5), page 62ff.,

> Page de Michael Rockstroh, cliquez sur le pentagramme.
(URL ci-dessous).


> Matrice mathématique (URL ci-dessous).


Kepler cosmiquement
tasse
haut

Johannes Kepler (1571-1630) a commencé tôt
les cinq solides platoniques par rapport aux orbites planétaires.


Pour démonstration, il a conçu un planétarium.

Description:

Au milieu se trouve le soleil. Les plans avancent
sur des coquilles sphériques.


> Le grand hémisphère porte l'orbite de Saturne.

Les coquilles restantes sont des entrées dans un platonique
corps:


> Le cube est la balle
de Jupiter.


> Dans le tétraèdre le ballon est éteint
Mars.


> Dans le pentagone, le Dodécaèdre est
Terre Terre.


> Dans l'icosaèdre, le ballon est éteint
Vénus.


> Dans l'octaèdre le ballon est éteint
Mercury.

Kepler remarqua que les chiffres n'étaient pas tout à fait corrects. il
amélioré le modèle en donnant aux peaux une certaine épaisseur;
Il est associé aux lunes.


Plus tard, il a rejeté ce modèle. (Cette dernière phrase
vous ignorez souvent.)


(1), page 262ff.


Corps archimédien

Vous obtenez de nouveaux corps en mettant sur les coins
un corps platonique coupe de telle sorte qu'il ajoute au corps
Les polygones communs apparaissent en tant que surfaces latérales.

À gauche un octaèdre. Vous divisez chaque bord en trois égaux
Pièces.


Puis un corps de six carrés et huit
Des hexagones communs se produisent.


On l'appelle logiquement "l'octaèdre tronqué
».

Il y a 13 corps armés.

Plus sur mon site Archimède
corps
,


commun
Corps dans un espace à quatre dimensions
haut


Ils sont également appelés fixes à quatre dimensions
Polytope.


Il y a six orgues de ce type:

Hypertétraèdres (5 cellules),
hypercube
(8 cellules), 16 cellules, 24 cellules, 120 cellules, 600 cellules.

polytope

5 cellules

8 cellules

16 Cell-

24 Cell-

120 cellules

600 cellules

Nombre de coins

5

16

8

24

600

120

Nombre d'arêtes

10

32

24

96

1200

720

Nombre de surfaces

10 triangles

24 carrés

32 triangles

96 triangles

720 pentagones

1200 triangles

Nombre d'organes

Tétraèdre

8 dés

16 tétraèdres

24 octaèdres

120 dodécaèdres

600 tétraèdres


Les polytopes marqués de la même couleur sont doubles, celui
noir auto-doublant.

Le livre 2 essaie de montrer la voie aux polytopes.
Le point de départ est la question, qui est les mêmes solides platoniques
peut entrer en collision sur un bord.


Il doit y avoir au moins trois corps. la
sont 3, 4 ou 5 tétraèdres, 3 cubes, 3 octaèdres et 3 dodécaèdres pentagonaux.

Dans cette série, il manque un des trois dodécaèdres
Edge et donc la référence à 120 cellules.

Vous arrivez dans cet ordre avec des "projections"
les cellules 5 cellules, 16 cellules, 24 cellules, 8 cellules, 600 cellules


(2) page 97ff.


Construction platonicienne
corps
haut


papier

Pour la construction de modèles, on utilise le filet du corps.

J'offre ici pour télécharger un modèle
au format A4 en fichier .pdf pour moi, Benedikt Seidl friendly
mis à disposition.


Tous les corps ont la même longueur d'arête.


Modèles avec des motifs de
Escher se trouve dans le livre 3.


Tétraèdre, cuboctaèdre, octaèdre


modèles de bord

Avec des jouets de mode fabriqués par des barres magnétiques
et les balles peuvent être des modèles rapides et faciles de corps platonique
bâtiment.


Octaèdre, octaèdre


Pour le dodécaèdre et l'icosaèdre, j'aurais
Doit acheter plus d'aimants et de balles.


Flechtmodelle

On peut tisser les corps platoniques à partir de rayures.
Vous trouverez des modèles sur la page d'accueil de H. B. Meyer (URL ci-dessous).


coupé en dés
acheter


Aujourd'hui, vous pouvez aller dans n'importe quel magasin de jouets bien approvisionné
acheter corps en plastique platonique.


Vous en avez besoin pour le jeu de rôle.


platonique
Corps sur Internet
haut

allemand

Peter Geist / Arno Fehringer

la
Jardin des maths

Dieter Ortner (serveur central pour l'éducation en Suisse)

la
cinq solides platoniques

Gerd Müller

platonique
Corps stéréo

Son wypior

Graphique vectoriel avec Javascript

H. B. Meyer

polyèdre
fait de bandes tressées

Michael Rock Straw

platonique
Corps dans l'art

Natalie Wood

platonique
corps

Rüdiger Appel

platonique
corps

Udo Hebrew (café mathématique)

la
Corps platonicien

Walter Fendt (tasses de mathématiques)

la
Corps platonicien

wikipedia

platonique
corps
. groupe
(Physique)


Anglais

Eric W. Weisstein (MathWorld)

platonique
solide

G. Korthal est Altes

Modèles en papier
de polyèdres

H. B. Meyer

polyèdres
tressé avec des bandes de papier

Jim Loy

régulier
solides

John & Connor (Université de St. Andrews)

symétrie
groupes de solides platoniques

Lee Stemkoski (Mathématiques)

platonique
solides

Poly-pro

Un programme de téléchargement

(Poly est un programme de shareware pour explorer et construire
polyèdres)

Robert Webb

Platon
Cinq polyèdres communs
. double
morphing des polyèdres communs

Tom Getty

la
Solides platoniques

wikipedia

platonique
solide
. Ileodictyon
cibarium

Recherche sur le tungstène

polyèdre
explorateur
(Apple)


lettres de créance haut

(1) Walter Lietzmann: amusant et étrange
de figures et de formes, Göttingen 1969


(2) Thomas F. Banchoff: Dimensions – figures et corps
dans des espaces géométriques, Spectrum Library, Bd.31, 1991


(ISBN 3-89330-817-2)

(3) Doris Schattenschneider et Wallace Walker, M.C.Escher
Kaléidocycles, Cologne 1992


(4) H. Martin Cundy et A. P. Rollett: Modèles mathématiques,
Oxford 1961


(5) H.Rademacher et O.Toeplitz: Figures et chiffres,
Berlin-Heidelberg-New York, publié en 1968


Commentaires: e-mail:
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Page d'accueil:


http://www.mathematische-basteleien.de/

©
2005 Jürgen Köller


haut

au cours de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez peut-être rencontré des mots et des phrases étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les solides de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta forme après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq robustes de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à l’élément feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( constitués de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à l’élément eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n

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