Solides platoniques – Wikipedia, l'encyclopédie libre solides de Platon

Les cinq solides platoniques

la solides platoniques, commun ou parfait ce sont des polyèdres convexes, de sorte que toutes leurs faces sont des polygones communs semblables et que tous les angles sont égaux.(1)Ils reçoivent ce nom en l'honneur du philosophe grec Platon (Californie. 427 à C./428 à C.-347 à C.), qu'on attribue à les avoir étudiées en premier lieu. Ils sont également connus comme corps, corps cosmiques, Solides de Pythagore, solides parfaits, polyèdre de Platon ou, en fonction des propriétés géométriques, Polyèdres ordinaires convexes.

La formulation de la théorie générale du polyèdre ordinaire est attribuée à Théétète, un mathématicien moderne de Platon. (2)Ils sont contrôlés par la formule V + C = A + 2, où V est le nombre de verticales; C, le nombre de faces et A, le nombre d'arêtes découvertes par le grand et luxuriant Leonardo Euler. (3)

Les solides platoniques sont le tétraèdre, le cube (ou hexaèdre commun), l’octaèdre (ou pyramide carrée si inclus dans la nomenclature de Johnson Solid),(4)Dodécaèdre et icosaèdre (ou gyro-pyramide pentagonale si elle était incluse dans la nomenclature de Johnson Solid). Cette liste est exhaustive car il est impossible de construire un autre solide différent des cinq précédents et qui possède toutes les propriétés nécessaires, à savoir la convexité et la régularité.

Les propriétés de ces polyèdres sont connues depuis le Pléistocène; Il y a des références à quelques boules de pierre sculptées néolithiques trouvées en Ecosse(5)1000 ans avant que Platon en fasse une description détaillée les éléments, par Euclid. Ils sont même attribués à des propriétés magiques ou mystérieuses. Le nom du cube en arabe, Kaaba, un sanctuaire est hautement considéré dans l'islam.(6)Timée de Locri, en dialogue avec Platon, déclare: "Le feu est formé de tétraèdres; l'air des octaèdres; l'eau d'icosahedra; le pays des cubes; et comme une cinquième forme est encore possible, Dieu l'a utilisé, le dodécahron pentagonal, pour servir de limite au monde. " (citation requise)

Les Grecs de l'Antiquité ont étudié la cause fondamentale à fond et des sources (telles que Proclus) sont attribuées à la découverte de Pythagore. D’autres preuves suggèrent qu’il ne connaissait que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre et que la découverte de l’octaèdre et de l’icosaèdre appartenait à Theaetetus, un mathématicien grec moderne de Platon. Théétète a donné au moins la description mathématique des cinq polyèdres et il est possible qu'il ait été à l'origine de la première démonstration qu'il n'existe aucun autre polyèdre convexe conventionnel.

propriétés(éditer)

théorème(éditer)

Il n'y a que cinq polyèdres communs; Ceci est dû à la possibilité de construire ses angles fixes qui permettent des triangles d'équilibre, des carrés ou des pentagones, qui doivent être inférieurs à 360 °.(7)

régularité(éditer)

Comme il a été exprimé pour définir ces polyèdres:

  • Les faces d'un solide platonique ressemblent aux polygones réguliers.
  • Dans tous les coins d'un solide platonique, le même nombre de faces et d'arêtes est identique.
  • Toutes les arêtes d'un solide platonique ont la même longueur.
  • Tous les angles dièdres qui forment les faces d'un solide platonique sont similaires.
  • Tous ses angles sont convexes à ceux de l’icosaèdre.

symétrie(éditer)

Les solides platoniques ont des caractérisations symétriques:

  • Le centre d'un cube (avec un octaèdre ordinaire) est la symétrie du centre, il renvoie la même figure; Mais ce n'est pas le centre d'un tétraèdre régulier.(8)Tous respectent une période (le centre de symétrie) aussi éloignée des faces, de leur intersection et des arêtes, mais la figure d'origine n'est pas préservée.
  • Tous ont également une symétrie axiale par rapport à une série d’axes de symétrie passant par le centre de la symétrie avant.
  • Chacun a également une symétrie miroir par rapport à plusieurs plans de symétrie (ou plans principaux), qui les divisent en deux parties égales.

Conséquence géométrique de ce qui précède, on peut tracer trois sphères spéciales dans tous les solides platoniques, toutes centrées sur le centre de symétrie du polyèdre:

  • Sphère inscrite, tangente à toutes les faces du centre.
  • Une autre sphère tangente à toutes les arêtes du milieu.
  • Une sphère encerclée qui traverse tous les angles du polyèdre.

En projetant les symétries du polyèdre sur les centres des arêtes d’un polyèdre platonique de sa sphère circonférentielle, il se forme un réseau sphérique commun, composé d’arcs égaux de cercle maximal, constituant des polygones sphériques réguliers.

conjugaison(éditer)

Si un polyèdre est dessiné par les centres des faces d'un solide platonique comme des verticales, on obtient un autre solide platonique, appelé conjugué ou double du premier, avec autant de croix que de faces dont le solide d'origine et le même nombre d'arêtes sont identiques.
Le polyéther conjugué d'un dodécaèdre est un icosaèdre et inversement; celui d'un cube est un octaèdre; et le polyéther conjugué d'un tétraèdre est un autre tétraèdre.

Équation intrinsèque(éditer)

Le théorème polyhédral d'Euler exprime une qualité topologique des polyèdres convexes, quelles que soient leurs actions et leurs formes, et en particulier des polyèdres ordinaires.(9)Dire que le nombre de faces d'un polyèdre platonique, plus le nombre de ses nœuds, est égal au nombre d'arêtes plus deux, avec l'équation suivante:

tableau comparatif(éditer)

Polyèdre régulier dans la nature(éditer)

Dans la nature, il existe des structures qui sont des polyèdres presque parfaitement réguliers, par exemple, la structure de base du VIH est un icosaèdre commun.(10)

bibliographie(éditer)

  • Sutton, David (2005). Solides platoniques et archimédiens. Oniro S.A. ISBN 84-9754-131-6.
  • CINQUIEME ROM, Ricardo. Propriétés élémentaires du polyèdre ordinaire. Santander: (s.n.), 1974. 17 p. Communication présentée aux réunions sur la géométrie appliquée à l'architecture et aux technologies de la construction.
  • CINQUIEME ROM, Ricardo. Zones et volumes de corps géométriques. Théorie et exercices. Santander: Collège des ingénieurs civils, canaux et ports (ci-après). 202 s.
  • CINQUIEME ROM, Ricardo. Zones et volumes de corps géométriques. Volume 2: Solutions. Santander: Collège des ingénieurs civils, canaux et ports (ci-après). 124 s.

références(éditer)

  1. Bruño, G. M.: éléments géométriques.
  2. Isaac Moses Yaglom. Le vrai math ISBN 978-5-396-00062-9, Hayka distribue des livres de Séville, en Espagne.
  3. Boyer Histoire des mathématiques
  4. * Norman Johnson, "Solve convexe avec faces régulières", Revue canadienne de mathématiques, 18, 1966, pages 169-200. Résumé original des 92 solides et présomption qu'il n'y en a pas d'autres.
  5. "Du polyèdre aux polygones en utilisant des outils technologiques pour améliorer la progression entre les niveaux de raisonnement géométrique", Gloria Judith Flórez, directrice: Humberto Sarria Zapata, Université nationale de Colombie, Faculté des sciences, Département des sciences fondamentales, Bogotá DC, 2011, page 9: "Exactement, on ignore quand les polyèdres ont été connus dans l'Antiquité." Les archéologues ont trouvé des boules taillées dans la pierre en Écosse (2000 av. J.-C.) avec un cube, un dodécaèdre, un icosaèdre, un tétraèdre et un octaèdre (figure 1), trouvés à Padoue (Italie 500 av. J.-C.), un dodécaèdre étrusque probablement utilisé comme jouet ou décoration (figure 2) (…) ". Les solides tissus néolithiques se trouvent dans le Ashmolean Museum of Oxford et datent d'une période antérieure à 2000 ans. .unal.edu.co / 4949/1 / GloriaJudithFlórez.2011.pdf
  6. «Gran Enciclopedia Espasa 13» ISBN 978-9972-58-780-1
  7. Bruño: Ibídem
  8. Clemens et autres: "Géométrie" ISBN 0-201-64407-X
  9. Tola P.: Introduction à la topologie, dans "Euler's Formula for Polyeder"
  10. Facteurs de l'hôte affectant le développement de l'infection par le virus de l'immunodéficience humaine de type 1 (VIH-1), Thèse de doctorat présentée en vue de l'obtention du diplôme de docteur en sciences biologiques de l'Université autonome de Barcelone, décembre 2009, Anuska Llano Montero, p.

Voir aussi(éditer)

Liens externes(éditer)

En observant les relations entre les robustes de Platon, on peut remarquer que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les points centraux des douze pentagones qui forment le composant éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. C’est intrigant car ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comprend effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est avérée assez dur jusqu’à présent, en raison de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle façon pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? Nous avons peu de mal à mesurer les autres éléments : la masse cinétique de la terre ; les abréviations artificiels rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles le font. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. Les anciennes traditions néolithiques ont gravé des images des composants de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous l’appellation de robustes platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont analysé l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les éléments constitutifs de la vie représentés par les quatre composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a nommé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son ouvrage Elements. Ce large corpus de connaissances est passé quasiment sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a aussi essayé de lier les robustes aux six planètes connues de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre périodique et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même volume de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’amour comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble mais la lutte les sépare. Les éléments ont inspiré l’art, la méthode et la compréhension de l’élégance de notre monde.

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