Introduction aux messes platoniciennes "Paroles de nature: réflexions sur la géométrie sacrée | solides de Platon

Introduction aux solides platoniques

Pour faciliter la compréhension des propriétés tridimensionnelles des masses platoniciennes, de nombreuses animations ont été incluses dans cette section. Le téléchargement de ces animations peut prendre plus de temps que les images fixes de ce site Web. Votre patience est appréciée.

Il s’agit d’une animation des cinq solides platoniques (ANIMATION REMOVED). Le fichier d'animation est assez volumineux (environ 200 Ko) et il n'est pas nécessaire de le montrer pour comprendre le contenu suivant. Il est recommandé aux personnes ayant une connexion lente à Internet de sauter cette photo.

À l'exception de la discussion sur la sphère et le cube en tant que symboles de l'unité, la géométrie tridimensionnelle a été peu mentionnée jusqu'à présent dans cette forme de travail. Toutes les proportions irrationnelles transcendantes dont nous avons parlé ont été traitées dans la mesure où elles se rapportent à des formes géométriques bidimensionnelles. Avec les cinq tissus parfaits ou "platoniques", nous appliquons les idées de la géométrie sacrée à des formes tridimensionnelles.

Avant de décrire les détails de chacune de ces cinq figures, il est important de définir les caractéristiques de ceux qui les distinguent de toutes les autres formes tridimensionnelles. Mais avant de plonger dans le sujet, parlons de l’histoire des cinq solides et de la façon dont ils ont été appelés «platoniques».

Comme beaucoup de gens le savent, le terme "platonicien" désigne le grand philosophe grec Platon. Les cinq solides parfaits sont étiquetés "Platoniques" en raison de la grande importance que Platon attachait à ces figures. Il a expliqué ses nombreuses vertus dans ses divers travaux (en particulier dans Timée), et a attribué à nombre de ceux qui ont été les premiers à attribuer à chacune des formes l’un des quatre éléments traditionnels (feu, air, eau, sol), le cinquième élément, englobant tout (esprit) attribué au solide restant.

Il ne fait aucun doute que Platon accordait une attention particulière à ces solides dans son travail. Cependant, c’est un aspect malheureux de la culture occidentale que nous avons tendance à attribuer de nombreuses découvertes à une source grecque ou romaine, malgré la preuve que les cultures précédentes étaient bien conscientes des découvertes qui leur étaient imputables de manière irresponsable. À titre d’exemple, environ 300 exemplaires des cinq solides parfaits taillés dans la pierre ont été découverts en Écosse, dont la date d’origine est fixée plus de 1 000 ans plus tôt que Platon. d'une découverte "platonique". Il semble également très probable que Platon ait entendu parler de la forme de Pythagore, eux-mêmes éduqués dans les voies égyptiennes de la géométrie sacrée, et fait de leurs véritables explorateurs (si nous pouvions utiliser une telle expression) les Égyptiens eux-mêmes. Cela ne devrait pas surprendre, compte tenu de la profondeur de la compréhension géométrique de l’Égypte ancienne, et la preuve en est reflétée de manière flagrante dans de nombreuses réalisations artistiques et architecturales.

Bien qu’il soit trompeur, le nom "Platonic" est devenu le standard pour distinguer ces cinq caractères de tous les autres, et pour éviter toute confusion, nous ferons également référence à ces cinq polyèdres.

Pour définir ces solides platoniques en termes géométriques, nous pouvons dire qu'ils sont les cinq seuls polyèdres qui soient des polyèdres convexes assez communs. Le terme "commun" fait référence au fait que chaque face, chaque longueur d'arête, chaque angle de face et chaque angle de dièdre (angle entre deux faces) est égal à tous les autres qui constituent un polyèdre. Le terme "convexe" désigne le fait que tous les côtés des figures sont des plans plats, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas "concaves" ou greffés.

Pour mieux comprendre ces idées, examinons quelques animations individuelles de base de chacun des personnages en rotation sur leur axe central.

Tétraèdre (image supprimée)

Octaèdre (image supprimée)

Cube ou Hexedron (PHOTO ENLEVÉE)

L'icosaèdre (image supprimée)

Dodécaèdre (image supprimée)

Pour comprendre pourquoi seules ces cinq figures peuvent être considérées comme des "polyèdres convexes simples", il peut être plus simple d’expérimenter la fabrication de figures à partir de morceaux de carton. Cette pratique est fortement recommandée car elle conduit à la compréhension la plus complète de la géométrie des solides.

> Voici les modèles complets, ou "filets" qui peuvent être suivis sur du carton, découpés et pliés pour former chacune des cinq figures. Si vous voulez créer un modèle exact, il est préférable de découper soigneusement les motifs, puis de marquer les lignes à plier avec un stylo à bille (ou un outil similaire) et une règle en métal.

Lorsque nous avons un peu expérimenté ces "nuits", il devient plus facile de comprendre pourquoi les solides platoniques sont les cinq seuls polyèdres convexes communs. Étant donné que tous les bords de chaque face doivent être similaires les uns aux autres pour que le polyèdre soit lisse, nous nous limitons à utiliser uniquement des polygones parfaits pour chaque face, tels que le triangle équilatéral, le carré parfait et le pentagone parfait. Évidemment, au moins trois de ces polygones doivent se toucher à chaque sommet (ou point) du solide – deux polygones seuls ne créeraient pas une forme tridimensionnelle. Ainsi, si nous commençons par le triangle équilatéral, il devient évident que nous pouvons placer trois, quatre ou cinq triangles autour d’un point donné, et utiliser cette grille pour créer une forme de type pyramide tridimensionnelle – ou pyramide à cinq côtés). Si nous essayons de placer six triangles équilatéraux autour d'un point, nous créons un hexagone parfait – un plan plat – encore une occasion de tridimensionnalité hors de l'image. Si nous regardons les animations ci-dessus, nous pouvons voir que les trois triangles de tétraèdre autour de chaque sommet, le groupe d'octaèdres quatre et le groupe d'icosaèdres cinq.

En continuant à expérimenter le carré parfait, nous pouvons immédiatement constater que seuls trois carrés peuvent délimiter un seul point, car quatre nous donnent un plan plat et éliminent la possibilité de créer une forme en trois dimensions. Si nous regardons l'animation du cube ci-dessus, nous pouvons voir que le cube utilise trois carrés rassemblés autour de chaque sommet pour créer sa forme générale.

Les pentagones ne peuvent également être regroupés que dans des arbres autour d'un point donné. L'utilisation de quatre crée un chevauchement, rendant impossible la création d'un solide tridimensionnel normal. L'animation du dodécaèdre montre qu'il s'agit d'un polyèdre formé de trois pentagones disposés autour de chacun de ses coins.

Si nous essayons d'utiliser des hexagones rassemblés autour d'un point, nous découvrons qu'en utilisant trois de ces formes sexuelles, nous donnons un plan plat. Si nous essayons d'utiliser des polygones communs de plus de six pages, nous constatons que trois de ces polygones provoquent un chevauchement de la même manière que si vous utilisiez quatre pentagones.

Ainsi, nous avons les cinq seules formes pouvant avoir toutes les longueurs d'arête égales, tous les angles de face sont égaux, tous les angles dièdres sont égaux et le même nombre de faces rassemblées autour de chaque sommet.

Outre le fait que ce sont les seules formes tridimensionnelles pouvant être créées qui soient assez communes à tous les égards, il y a beaucoup plus qui distingue ces polyèdres spécifiques des autres. C'est la nature des cinq solides platoniques, chacun pouvant être utilisé pour générer certains des quatre autres solides, encapsulés ou encapsulés par le solide d'origine. En d'autres termes, chaque solide peut être placé à l'intérieur de chacun des autres solides de telle manière que ses angles touchent avec précision le centre des faces solides environnantes, le centre des bords ou les angles du solide environnant. Un autre aspect surprenant des solides est la répétition des proportions irrationnelles transcendantes que nous retrouvons dans leurs formes.

Pour comprendre ces deux problèmes, il est important de connaître trois sphères possibles définies dans chaque solide platonique: l’intérieur, le bord et le périmètre. La surface est définie par le rayon qui s'étend du centre du solide au centre de chaque face. Elle est complètement encapsulée dans le solide, tandis que la face externe de la balle ne touche que l'intérieur du centre de chaque face. Sur la photo, les points rouges indiquent les points où le papillon touche l'intérieur des faces de l'icosaèdre bleu. La croix est définie par le rayon allant du milieu du solide au milieu de tout bord du solide. Le périmètre est la sphère définie par le rayon allant du centre du solide à un sommet quelconque, et entourant efficacement le solide, chaque sommet ne touchant que l'intérieur de la sphère. La photo montre les points bleus où l'icosaèdre traverse le périmètre rouge. Bien que les trois images utilisent l'exemple des trois sphères qu'elles se rapportent à l'icosaèdre, il est important de noter que ces sphères peuvent être définies dans les cinq solides platoniques.


Exemple de cadre


Exemple d'une interspère


Exemple de circonscription

Par exemple, si nous prenons un dodécaèdre dont la circonférence est égale à 1, nous pouvons le placer dans un icosaèdre de couleur égale à 1, et les points du dodécaèdre toucheront exactement le centre de chaque face de l'icosaèdre. Si nous devions relier les points médians de tous les visages de l'Isoshédron à ceux qui les rencontraient, nous définirions un dodécaèdre parfait. Ces deux formes ne sont pas les seuls solides platoniques dans lesquels ce type d'ajustement peut être observé. Chacune des cinq formes peut être utilisée pour définir facilement d'autres solides.

Un autre aspect lié aux solides est qu'ils forment des "duels" géométriques les uns des autres. Si un dé et un octogone avec des interférences égales partagent le même point central, chacun de leurs coins marquera le point central exact dans la forme opposée. Il en va de même pour l'icosaèdre et le dodécaèdre. Dans le cas des tétraèdres, cependant, nous avons une situation légèrement différente – parce que le tétraèdre est son propre dual. Si nous prenons deux tétraèdres et que nous en faisons pivoter un de manière à ce qu’il pointe vers le bas et que l’autre pointe tout droit vers le haut, nous les plaçons ensemble pour partager le même point central, les deux figures agissant comme des duels géométriques. Cet arrangement fait une sorte d '"étoile David" tridimensionnelle et est parfois appelé "tétraèdre étoile".


La combinaison de l'icosaèdre et du dodécaèdre


La combinaison de l'octaèdre et du cube.


La combinaison de deux tétraèdres opposés

Si nous supprimons toutes les proportions évidentes des solides, nous constatons que les irrationnels transcendants se manifestent encore et encore. Une caractéristique connexe des solides est que des rectangles dorés peuvent être insérés dans n’importe lequel d’entre eux dans certaines configurations, de manière à définir les divers coins et bords du moule. Mais au lieu de compliquer cette introduction générale avec des mathématiques et des graphiques complexes, nous conservons les détails de la façon dont cela se produit dans les sections consacrées à chaque solide.

Un exemple de pose des solides platoniques

Comme mentionné à la page précédente, il est possible de contenir ou "suivant" chacun des platons dans tous les autres de manière à ce que le solide imbriqué touche avec précision le sommet du solide environnant, le centre de la face solide environnante ou les centres de les bords du solide environnant.

Ici, nous allons étudier une seule des nombreuses méthodes permettant de construire les solides. Nous avons choisi cette méthode car elle semble être l’une des plus faciles à visualiser.

Commençons par l'octaèdre en premier. Nous pouvons facilement ajouter un tétraèdre à n'importe quelle face de l'octaèdre en utilisant certaines des faces de l'octaderone pour déterminer la taille des faces du tétraèdre. Si nous prenons chacune des huit faces de l'octaèdre et leur ajoutons un tétraèdre parfait, nous créons deux plus grands tétraèdres opposés – autrement dit, un tétraèdre en étoile. Dans notre animation, nous avons délimité les deux tétraèdres en colorant un rouge et un bleu. L'espace créé à l'intersection des deux tétraèdres définit parfaitement notre octaèdre intérieur.

(Image supprimée) Si nous connectons ensuite les points extérieurs du tétraèdre en étoile et utilisons ces lignes pour définir six faces, nous constatons que notre tétraèdre en étoile est encapsulé dans un cube parfait. Notez que les arêtes des tétraèdres en étoile forment des diagonales de chacune des faces des dés, dont chacune est un carré parfait – et que la longueur des arêtes des deux tétraèdres du cube est donc attachée à la racine du cube à la racine carrée de deux. En d'autres termes, si un bord donné du cube mesure 1, tout bord du tétraèdre mesure la racine carrée de deux.

(Image supprimée) Maintenant, si nous plaçons notre cube dans un dodécaèdre de telle sorte que les sommets de cube correspondent à certaines définitions du dodécaèdre, nous trouvons une autre relation intéressante – à savoir que chaque bord de cube coupe de cette manière les faces du boîtier du dodécaèdre. manière à ce que la longueur du bord du cube soit liée à la longueur du bord du dodécaèdre de Phi. Si vous avez du mal à voir comment le cube s’intègre dans le dodécaèdre, envisagez de prendre l’une des faces pentagonales du dodécaèdre et de ne dessiner qu’une ligne du début pentagonal défini par le pentagone. Cette ligne correspondra au bord du cube dans le dodécaèdre.

Enfin, comme indiqué à la dernière page, si nous incluions notre dodécaèdre dans un icosaèdre, nous découvririons que les mouvements de ce dodécaèdre touchaient exactement le centre de ses visages.

Les deux animations suivantes ne sont pas nécessaires pour comprendre ces idées et servent simplement de résumé visuel.

(Image supprimée) Cette animation est très grande – presque 1 million d'octets. Si vous ne souhaitez pas télécharger cette animation, veuillez télécharger l'animation ci-dessous. Mais si vous avez le temps ou le matériel nécessaire pour télécharger cette première animation, il est vivement recommandé de le faire car il est un peu plus facile à suivre.

(Image supprimée) Cette animation est plus petite et un peu plus difficile à suivre que l'animation ci-dessus, mais elle est recommandée pour les personnes ayant des connexions Internet plus lentes.

En observant les relations entre les robustes de Platon, on peut remarquer que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les points centraux des douze pentagones qui forment le composant éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant parce que ce que nous avons pu regarder jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comprend effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez difficile jusqu’à présent, en raison de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, de quelle façon pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les contre sens chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent plutôt facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. ‘ n

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