Ceci est une version web de la mienne
papier de procédure off
Renaissance Banff:
Ponts + Journée Coxeter
Banff, Alberta, 31 juillet-août
3 2005
Commandé Tangles Revisited
Département Informatique
Université Stony Brook
pierreux
abstrait
Dans les années 1970 et 1980, Alan Holden a décrit
symétrique
arrangements de polygones associés qu'il a appelés régulièrement
polylinker et construit de nombreux modèles de carton et de tige.
L'idée géométrique de base de rotation symétrique et
traduire
Les faces solides platoniques sont utiles à la fois pour la sculpture et le puzzle.
perspicacité
a été découvert ou adapté par d'autres, mais le concept
ne pas avoir
a été largement utilisé parce qu'aucune méthode de forme fermée n'est connue pour le calcul
ils
dimensions des pièces ajustées. Ce document décrit un logiciel
outils pour
la conception et la visualisation de ces formes qui permettent les dimensions
être
déterminé. Le logiciel fournit également des fichiers de description de géométrie
entreprise
fabrication de formes libres et fichiers d’images pour l’impression et la découpe
papier
modèles. Les peintres sur papier facilitent l’enseignement des concepts en un
pratique
manière. Des exemples et des variantes sont présentés sous forme de logiciel
Photos,
modèles de fabrication en papier, bois et forme libre.
1. Introduction
chiffres
1 et 2 illustrent les idées principales de Holdens régulièrement
polylinker (5) (6) (7). Les six faces creuses à l'intérieur
le cube est séparé, traduit radialement vers l'extérieur du centre, et
chaque
tourné le même angle dans le sens horaire autour de leur centre. À la figure
initialement
le cube est supprimé, les faces sont déplacées vers l'intérieur jusqu'à ce qu'elles se connectent,
rotation
L'angle est légèrement ajusté, l'épaisseur de chaque avion est réduite
papier minceur,
et la taille de chaque trou carré est légèrement réduite pour le rendre facile à ajuster.
chaque
liens carrés avec quatre autres. De la symétrie du cube sous-jacent, il
L'axe de rotation est conservé, mais pas les plans de miroirs.
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| Figure 1 Rotation et translation des surfaces de dés | Figure 2 Polylink régulier avec six carrés. | Figure 3 papier modèle de six carrés couplés. |
la
est instructif de faire un modèle de papier dans la figure 2 en découpant six
creux
carrés et les entrelacer. Quatre des carrés peuvent être coupés,
connexe
à travers les deux autres et ensuite perdu ensemble. La figure 3 est une image de
un modèle
fait avec trois couleurs de papier cartonné, iso-coloration
parallèle
visages. C'est chiral, il faut donc choisir entre deux
énantiomères. ils
Le seul paramètre critique est le rapport entre la longueur du bord et le bord extérieur.
carré à
le trou carré intérieur. En utilisant le logiciel décrit ci-dessous, un
rapport d'env.
15/11 est déterminé à être approprié. Donc, le carré extérieur peut être 3,7
pouce sur
le bord avec un trou carré de 2,7 pouces, donnant une solidité de quatre pouces 0,5
pages,
et quatre s'inscrivent dans une feuille de 8,5 x 11 pouces. Ceci est facilement préparé et
découper
de papier. Ou faites simplement six photocopies agrandies de la figure 4. Pour
même
modèles plus grands, utilisez du carton. La figure 5 a la même armure que la figure
3, cependant
Le profil de support est fait en carrés pour lui donner assez
à l'intérieur
tissu à coller ensemble lorsqu'il est produit comme une forme libre solide
fabrication
modèle. Ce modèle de dépôt fondu (FDM) a un diamètre de 2,5 pouces.
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| La figure 4. Gabarit carré creux pour faire le modèle en Figure 3 |
La figure 5. Modèle FDM à section transversale carrée. | Figure 6. FR tissage différent de six carrés, aussi basé sur le cube. |
Holden
Les liants multiples sont les liaisons polygonales distinctes sur le plan topologique qui
résultat
de faire varier la rotation et la translation radiale à partir de
visages de certains
des cinq solides platoniques. Il peut y avoir plusieurs façons différentes de
Connecter
faces tournées de n’importe quel polyèdre sous-jacent. La figure 6 montre une seconde
façon de
relie six carrés, mais ils sont toujours dans les plans d'un visage
cube imaginé.
Partant d'un dodécaèdre, une polylink commune de douze pentagones
est montré
sur la figure 7.
ils
entretoises formant des arêtes de polygone dans les figures 1 à 3
ont des sections transversales rectangulaires, et dans les figures 5 à 7, ils ont des carrés
jonction
sections. Holden a fabriqué ses modèles avec trois chevilles de ¼ de pouce de diamètre
section transversale circulaire. La dimension critique pour un bon ajustement est
relation entre
La longueur de jambe de force au diamètre. Il a expérimenté jusqu'à ce qu'il trouve
longueur la plus courte
qui pourrait être assemblé et a donné une table de ses résultats à d'autres qui
Répétez les constructions avec des goujons ronds (7). Mais différent
dimension
Les conditions sont nécessaires si vous préférez une croix carrée, rectangulaire ou autre
sections.
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| La figure 7. Polyink régulier avec douze pentagones. | Figure 8 Polyink régulier avec six pentagones. | La figure 9. Maquette en papier à la figure 8. |
figure
8 illustre un cas particulier à considérer. Les visages d'un dodécaèdre
est
traduit à une distance de zéro du centre. Alors connais bien
choix de
angle de rotation, il est possible de provoquer des surfaces opposées
polyèdre pour
coïncident. Alors les douze faces du dodécaèdre fondent en six
concentré tissé
pentagones de la figure 8. Un modèle en papier de cette figure 9 est composé
pentagones
de bord de 3 pouces, avec des trous pentagonaux avec bord de 2,5 pouces. De manière analogue,
le sexe
Les faces d'un dé peuvent être traduites dans l'origine où elles fondent
trois orthogonaux
carrés concentriques. Mais parce que les carrés ont un nombre pair de pages,
ils traversent
autres carrés (dans les deux rotations) au lieu de former un tissage.
avec
les pentagones ou les triangles peuvent former un polylink non auto-polissant.
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| Figure 10. régulièrement polylinker composé de quatre triangles. |
Figure 11. Triangles en papier de 5 pouces, trou de 2,5 pouces, ensemble sur l'axe à 3 vitesses. |
La figure 12. trois liant polylinker commun imbriqué, chacun suivant la figure 8. |
ils
la complexité symétrique pouvant être obtenue avec des composants simples rend les polylinks
très
esthétique attrayante. Holden n'illustre que de petits modèles en carton
et
modèles de cheville, mais il suggère qu'ils soient utilisés dans la "sculpture constructiviste".
J'ai
Rencontrez une douzaine d'exemples de sculptures basées sur sa suggestion
ou un
redécouvrir les idées de base, et il y a beaucoup de façons de s'adapter,
combinant,
ou développez-les. Par exemple, Robert Lang, George Odom, Rinus
Roelofset Carlo Sequin a exploré
minimaliste
la construction de quatre triangles illustrés à la figure 10 (1, 8, 9, 10, 11). Il peut être dérivé de
tétraèdre ou
octaèdre en traduisant les triangles dans l'origine. dériver
Figure 10
d'un tétraèdre montre qu'il reste un degré de liberté de rotation.
commence
de l'octaèdre explique son axe avec une symétrie de 4 fois; un spécial
rotation
Angle provoque la fusion des faces en paires. Coxeter analysé cette
construction et
montré: (1) s’il est fait de matériau d’épaisseur nulle, le trou dans chaque
triangle a
seulement la moitié de la longueur du bord du triangle entier et (2) les douze
extérieur
les coins sont situés au milieu des bords d’une matrice, c.-à-d.
un
Cuboctaèdre d'Archimède (2). Je recommande au lecteur de faire un papier
modèle, comme dans
Figure 11.
FR
très grande sculpture en polylink est Charles Perrys 1976, douze tonnes "quand Vinci ", basé sur une polylink à six pentagones de
Figure 9. Voir
(3), plaque D pour une figure. Perry a fabriqué des pentagones en acier plats de 20 pieds sur une
côté,
et imbriqué deux copies de la construction ensemble. Figure 12
illustre ceci
idée, mais aller plus loin pour avoir trois copies concentriques. la série
peut être
élargi vers l'intérieur à une certaine profondeur parce que les composants sont progressifs
réduit
de taille géométrique au centre.
Holden
ne définit pas enchevêtrement approprié
Juste, mais utilisez-le vaguement pour divertir un certain nombre d'intéressants
forme des bonbons
tels que l’échangeur d’autoroute, le tissu tissé et le polylink. Un formulaire comme
Figure 12
n’est pas un lien ordinaire (car il existe trois liens communs), cependant
Il convient
sous la rubrique plus large de l'enchevêtrement ordonné.
2. Puzzle
Un arbre
Un casse-tête basé sur le douze pentagone de la figure 7 est présenté à la figure 13.
en
La figure 14 est un puzzle en bois composé de 30 broches identiques formant la forme
dix
triangles. Il est basé sur un icosaèdre, avec les 20 faces traduites
à
centre et tourné pour coïncider en dix paires. Dans les deux énigmes, il
carré
les branches sont coupées plus longtemps que les bords des polygones et sont hachées
serrure
ensemble gluelessly avec demi-joints.
J'ai reçu
Ces beaux travaux comme cadeaux lors d'un voyage à
professeur
Lin et professionnellement construit par le sculpteur Wu, les deux membres de Kaohsiung Club de puzzle. Je les ai reçus
démonté pour
Facilité de transport dans mes bagages et je devais les monter quand ils rentraient chez eux.
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| La figure 13. Trois énigmes de Lin et Wu. | Figure 14. Trois énigmes de Lin et Wu. |
cette
idée de puzzle sur Lin et Wu peut être utilisé sur de nombreux autres polylinks si un
peut
Déterminez la longueur correcte pour couper des bâtons de bois. Comme un simple
par exemple,
Le lien polylink illustré à la figure 5 peut être construit à partir de papier carré si le rapport
de l'extérieur
Le bord de la section transversale est compris entre 9,8 et 1. Cette valeur provient de
logiciel
décrit dans la section suivante, mais comme trois sont flexibles et
compressible, certains
l'expérimentation était encore nécessaire. Donc, à partir d'un stock carré d'unité, on peut
coupé 24
pièces de 11,8 unités chacune. Près de chaque extrémité, mais des côtés opposés,
entaille
À mi-parcours, laissez un surplomb de 1 unité au-delà de l'encoche. Figure 15
spectacles
le résultat global. La figure 16 est le casse-tête analogique de trente
aiguilles
recueillies dans six pentagones tissés comme dans la figure 8. J'ai construit à la fois
0,5 pouces
carré trois barres.
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| Figure 15. puzzle basé aux figures 3 et 5 |
Figure 16. puzzle basé Figure 8 |
en
Ces deux essais, j’ai trouvé que couper des longueurs de quelques pour cent
plus court
que le logiciel suggère semble compenser la flexibilité de
ils
plus rigide et le fait que les coins des poteaux en bois peuvent être compressés.
puis
Bien que le logiciel offre une bonne valeur de départ, le travailleur du bois est
informé
pour planifier des expériences avec des rayures avant d'investir dans
qualité
bois.
3. logiciel
à
concevoir et construire des liants multiples et des enchevêtrements de liants multiples concentriques,
J'ai écrit
un programme avec des curseurs qui peuvent être ajustés pour voir un large éventail de
structures
sur l'écran. Les images générées par ordinateur dans cet article proviennent de
captures d'écran de
son fonctionnement. L'utilisateur peut spécifier n'importe quel nombre de polylinkers à
monté
concentrique, et pour chaque ensemble, l'utilisateur sélectionne le sous-jacent
polyèdre utilisé
comme base. Ensuite, les curseurs fournissent la taille, la translation et la rotation
ils
composants à ajuster. Actuellement, le bord est les sections transversales
rectangles ajustables,
fournit des versions plates (papier) en tant que cas spéciaux de largeur zéro. qui
ils
les curseurs sont ajustés, les dimensions de longueur, largeur, épaisseur, etc.
est
apparaît, qui peut être utilisé pour fabriquer des modèles de bois ou autres
matériaux. quand
L’utilisateur est satisfait du formulaire qui apparaît en rotation à l’écran, un clic
d'un
Le bouton génère un fichier STL pour créer une fabrication solide de forme libre
modèles,
Figure 5. En cliquant sur un autre bouton, un fichier image est généré sous la forme suivante:
peut être imprimé
pour la production de modèles en papier ou en carton, par exemple, figure 4.
trois
Exemples de 4 cm fabriqués à partir de frittage laser sélectif (SLS) de
programme STL
la sortie est indiquée ci-dessous. La figure 17 montre dix triangles disposés comme dans
La figure 14,
mais avec une section "haute". La figure 18 est vingt icosahedrally
triangles disposés, avec un couplage minimal possible (analogue à
cubique
Figure 6). La figure 19 est une armure basée sur l'octaèdre, cependant
avec des triangles
remplacé par des hexagones.
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| Figure 17. 10 triangle SLS modèle, basé sur l'icosaèdre. |
La figure 18. Triangle SLS modèle, basé sur l'icosaèdre. |
Figure 19. 8 hexagone Modèle SLS, basé sur octaèdre. |
ils
Le logiciel est disponible gratuitement en ligne sur mon site Web (4). Il a seulement été
examiné
sur des PC, mais écrit en Java, il devrait donc être portable pour les autres
calcul
environnements. Pour créer des images 3D à l’écran, utilisez Sun
librement
disponible java3d extension, qui doit
installé sur l'ordinateur de l'utilisateur. Le codage est assez
juste avec
aucun algorithme clair ou structure de données nécessaire. Je pense que ça peut être
sans détour
copié par tout ingénieur en logiciel ayant une expertise graphique
la programmation.
utilisateurs
peuvent vérifier leur compréhension de ses capacités en copiant
chiffres
de ce document, ou vous pouvez simplement commencer à jouer pour créer de nouveaux objets.
ils
logiciel génère tous les polylinks courants, y compris plusieurs icosahedral
exemples
comme Holden n'a pas décrit. Longtemps énuméré les polyclips communs
avec un
Recherche de données et a montré qu'il est 2
tétraèdre, 2
cubique, 3 octédiques, 5 dodécaédriques et 23 ICOS-hedral
variantes (sauf les cas extrêmes où les polygones ne sont pas
connecté ou
seront fusionnés par paires) (8). Je peux copier ces numéros avec un
indépendant
technique géométrique pour compter un sous-ensemble d'axes de symétrie percés
ils
l'intérieur d'un polygone situé au centre de I'étoilement
des graphiques.
beaucoup
des extensions du programme sont possibles. Ça peut aller
modifié
produire des sections circulaires, triangulaires ou autres
ils
bords de polygone. Un autre ajout possible au logiciel est un ajout numérique.
recherche
pour les réglages de curseur qui offrent un bon ajustement. J'ai prévu pour cela
fonctionner quand
initialement conçu le logiciel, mais a ensuite découvert qu'il était
facile à voir
sur l'écran s'il y a des trous ou des chevauchements dans les composants, puis
ajustement manuel
semble suffisant.
4. variations
là
est un nombre illimité de variations sur les idées ci-dessus. Par exemple
Holden
fait plusieurs modèles d'étoiles polygonales continues au lieu de convexe
polygones.
De même, on peut essayer des rectangles ou des losanges au lieu de ceux normaux
polygones; J'ai
Aucune mise en œuvre avec le logiciel. (Pour rectangle associé
obligations;
voir (11).) Une autre idée est de commencer par un autre polyèdre
platonique
solides. Holden construit des exemples basés sur des arkimedea solides, par ex.
ils
rhombicuboctaèdre et le cube adouci. Vous pouvez combiner symétriquement
plus
polylinker basé sur différents polyèdres; sertie avec la même symétrie
combiner à
forme un enchevêtrement avec la même symétrie. La figure 20 montre la combinaison
d'un
cubique et une forme tétraédrique. Il combine des enchevêtrements dans la figure 2 et
figure
10 pour que chaque triangle relie trois carrés tandis que chaque carré relie deux
triangles.
La figure 21 montre l’union d’un dodécaèdre et d’une icosaèdre en
comme les deux
Les énigmes des figures 13 et 14 sont étroitement liées.
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| Figure 20. 6 carrés plus 4 triangles. | La figure 21. 12 pentagones plus 10 triangles. |
Un autre
variété Holden a essayé de mettre des carrés autour des douze axes pliés
d'un
dés, à savoir dans les plans d'un dodécaèdre rhombique. Ici les carrés
juste
Effectuer une symétrie 2 fois, de sorte que leurs bords et les coins ne sont pas tous
en conséquence,
et le polylink n'est pas commun. Je trouve les résultats moins attrayants-amusants
à
générer avec le logiciel, mais moins intéressant à regarder. Un exemple
est montré
dans la figure 22. Ici, les douze carrés sont regroupés comme les côtés
de quatre
prismes triangulaires. En élargissant son idée, il est naturel d'essayer de mettre
trente
carrés autour des deux axes de l'icosaèdre, c'est-à-dire dans les plans
d'un
losange triacontaèdre. Ceux-ci peuvent être
regroupés en plusieurs
façons intéressantes, y compris cinq cubes ou six prismes pentagonaux. en
La figure 23,
Les trente carrés sont regroupés comme les côtés de dix triangles
prismes.
(Quand ils viennent à l'origine et fondent dans quinze carrés, ils forment
cinq
octaèdres.)
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| Figure 22. 12 carrés, sur quatre prismes triangulaires |
Figure 23. 30 carrés dans dix prismes triangulaires |
spirale
Les faces d’une série d’arrangements concentriques sont une autre idée
peut être
exploré avec le logiciel. La Fig. 24 montre un seul exemple basé sur un
cube intérieur
entouré de neuf couches, chacune légèrement plus grande et tournée
cinq
degrés plus que dernier. Au bout de neuf étapes, il 45 degrés la rotation des fenêtres les conduit
être arrangé
comme dans un cuboctaèdre. Ce n'est pas techniquement un "enchevêtrement" pas comme
les polygones sont
connecté, mais il est facile de générer d’autres exemples. Figure 25
montre un
collection de triangles qui tournent régulièrement entre un extérieur stella octangula
et une forme intérieure de quatre triangles, placés comme sur la figure 4. Figure
26 spectacles
un ensemble couplé de dix hélices triangulaires, chacune étant une paire
visages opposés
d'icosaèdre externe. Charles Perry a exploré ce "visage"
concept "vis"
à bon escient dans un certain nombre de sculptures monumentales, par exemple. son 1973,
35 pieds
grand, "Eclipse", commençant par un dodécaèdre intérieur. Voir (3),
plaque D pour
une figure.
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| Figure 24. dix ensemble de carrés: cube intérieur, cuboctaèdre extérieur. |
Figure 25. Insérer de triangles avec des surfaces opposées stella octangula. |
Figure 26. Éteindre triangles avec les surfaces opposées de l'icosaèdre. |
tissage
est un autre moyen de générer des variations sur un lien multiple. Le plus ancien exemple
que je
La connaissance d'une forme étroitement liée à un lien polylink régulier est Sepak Takraw
balle, vue à la figure 27. Traditionnellement tissée à partir du rotin, elle montre
Dodecahedralen
figure 8. La conception remonte à plusieurs siècles pour
traditionnel
Jeu de "football" asiatique. La figure 28 montre un "panier sphérique" où je m'aventure
papier
bandes. Les six bandes centrales sombres suivent le même motif de tissage de six
pentagones illustrés à la figure 8. Quartiers à venir progressivement
briquet
en couleur, seule alternative supérieure et inférieure dans le tissu naturel motif. Remarquez la différence entre ce tissu
et Sepak Takraw Ball. La figure 28 est
les fils individuels tissent,
tandis que sur la figure 27, le groupe de fils tisse dans son ensemble.
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| Figure 27. Sepak Takraw balle | Figure 28. bande de papier. | Figure 29. oblique trous. |
Un autre
La variation illustrée à la figure 29 consiste à autoriser un paramètre pour une
relatif
rotation entre le polygone et ses trous. Cela ajoute un visuel dynamique
qualité
aux formes.
FR
type de variation différent consiste à remplacer les arêtes droites
polygones
avec des chemins courbes. Il y a d'innombrables façons de choisir des paniers, mais
un
Surtout naturel est d'effectuer une inversion du centre
symétrie. L'inversion centrale remplace chaque point à distance r
de l'origine avec un point
même direction mais distance 1 /r. cette
la transformation est bien étudiée mathématiquement, mais peu utilisée dans
sculpture (12).
Dans ce contexte, la chaîne de n rectangulaire
Les entretoises formant les bords d’un n-gon sont remplacées par une chaîne de n volumes courbes limités par quatre
parties de balles. La figure 30 montre un exemple où un
section transversale carrée
la version de la construction à quatre triangles de la figure 10 est inversée
une structure
qui ressemble à quatre trios verrouillés. Les douze coins
est maintenant
à l'intérieur, mais restent angles de 60 degrés, car l'inversion centrale est
un
transformation de préservation angulaire.
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| Figure 30. inversion de quatre triangles. |
Figure 31. cinq tétraèdres, un polylink icosaédrique. |
Figure 32. inversion de cinq tétraèdres. |
figure
31 est la connexion bien connue de cinq tétraèdres communs qui sont
facile
généré comme un polylink icosaédrique. Il est formé ici avec les jambes de force
section transversale rectangulaire qui se chevauche pour créer des bords striés. ces
vice versa
32. Les régions intérieures des figures
32 est
espaces très intéressants, difficiles à capturer en un instantané.
5. Conclusion
régulièrement
Polylink est une riche source de formes de base pouvant être utilisées comme
fondation
pour une sélection d'idées de conception 3D. Le livre de 1983 de Alan Holden vient de
inspirations créatives
montre son élégance symétrique. Mais le spectre des exemples
présenté
Là et élargi ici il suffit de gratter la surface. Présenter
polylinker
De manière concrète, des constructions en papier telles que la Fig. 3, 9 et 11
faire un
bonne activité pratique. Après cela, j'espère que la génération de polylink
Le logiciel décrit ici permettra aux lecteurs d’en explorer de nouveaux
opportunités.
références
(1)
H.
Burgiel, D.S. Franzblau,
et
K. R.
Gutschera, "Le mystère de lié
triangles " Magazine de mathématiques,
v. 69 (1996) 94-102.
(2) S.S.M. Coxeter, "Combinaisons symétriques de bois ou
quatre
Triangles creux"Matt. Intel. 16
(1994) 25-30.
(3) Michele Emmer (éditeur), L'esprit visuel,
MIT, 1993.
(4)
George
W. Hart, http://www.georgehart.com
(5)
Alan
Holden, formes, espaces et
symétrieColumbia University Press, 1971, (Dover Printing, 1991).
(6)
Alan
Holden, "Polylinks communs, "
structural
topologieNr. 4, 1980, p.
41-45.
(7) Alan Holden, Le mot enchevêtrement: Cloverleaf, Nœuds gordiens et liens polylignes réguliers,
(8)
Robert
J. Lang, "Polypolyhedra en
Origami "dans Thomas Hull (ed.) Origami 3,
A. K. Peters, 2002.
(9)
Rinus Roelofs,
http://www.rinusroelofs.nl
(10)
Doris
Schattschneider, "Coxeter et
artistes: inspiration bidirectionnelle ", dans Coxeter Legacy Reflections and Projections,
(ed. C. Davis et E.W. autrement), Enger
Inst. Comm.
v.46, Amer. Matte. Soc., 2005. (à
affiché)
(11)
Carlo
Sequin, "Analogues de la 2D à la 3D, Exercices en
Créativité disciplinée, "Proc. Ou ponts:
Connexions mathématiques dans l'art, la musique et la scienceWinfield KS juin 1999 et en visuel
Mat., v. 3, n ° 1.
(12)
Jean
Sharp, "Deux perspectives sur l'inversion", rencontrer
Alhambra, Barrallo et al. (ed), 2003.
Merci: remerciement
vous Formation pédagogique RJT (www.rjtedu.com)
à
stock
le modèle de la figure 5, et remercie Jim Quinn d’avoir rendu
modèles de
Figure 17-19.
supplémentaires:
Au jour de Coxeter Renaissance Banff conférence quandJ'ai présenté ce papier, j'ai reçu de Marion Walter une diapositive qu'elle a prise
en 1992 par Coxeter qui détient un enchevêtrement de quatre triangles. Il a reçu cette
patron en papier de George Odom:
programme est librement disponible pour une utilisation non commerciale.
Pour l'utiliser, vous devez d'abord installer Java3D, qui est également gratuit.
Les solides de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans le monde entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes correspondent aux éléments : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.
















































