Solides platoniques – pourquoi cinq? solides de Platon

Solides platoniques

Un solide platonique est une forme 3D ici:

  • Chaque face est le même polygone commun
  • le même nombre de polygones se rencontrent sur chaque sommet (angle)

Il n'y en a que cinq … pourquoi?

Raison unique: Angles sur un sommet

La raison la plus simple pour laquelle il n’ya que 5 solides platoniques est la suivante:

cube 3 faces se rencontrent au sommet

À chaque sommet au moins 3 faces rencontrer (peut-être plus).

cube 3 fois 90 degrés au sommet

Lorsque nous ajoutons les angles intérieurs qui se rencontrent à un sommet,
Ça doit être moins de 360 ​​degrés.

Quatre mètres carrés font 360 degrés mais à plat

Parce que la forme à 360 ° s'aplatit!

Et comme une face Platonic Solids est composée de polygones communs identiques, on obtient:

triangle régulier

Un triangle ordinaire a des angles intérieurs de 60 °, nous pouvons donc avoir:

  • 3 triangles (3 × 60 ° = 180 °) se rencontrent
  • 4 triangles (4 × 60 ° = 240 °) se rencontrent
  • ou 5 triangles (5 × 60 ° = 300 °) se rencontrent
quadrilatère régulier

Un carré a des angles internes de 90 °, il est donc uniquement:

  • 3 carrés (3 × 90 ° = 270 °) se rencontrent
pentagone commun

Un pentagone ordinaire a des angles internes de 108 °, il est donc uniquement:

  • 3 pentagones (3 × 108 ° = 324 °) se rencontrent
hexagone "height =" 70 alt = "hexagon =" "regular ="

Un hexagone ordinaire a des angles intérieurs de 120 °, mais 3 × 120 ° = 360 ° comme ne fonctionnera pas parce que la forme à 360 ° s’aplatit.

Donc, un pentagone régulier est aussi loin que nous pouvons aller.

Et voici le résultat:

Tout le reste a 360 ° ou plus sur un sommet, ce qui est impossible. Exemple: 4 pentagones fixes (4 × 108 ° = 432 °) ne fonctionnent pas. Et 3 hexagones communs (3 × 120 ° = 360 °) ne fonctionnent pas non plus.

Et c'est la raison la plus simple.

Une autre raison (en utilisant la topologie)

Juste pour le plaisir, regardons une autre raison (un peu plus compliquée).

En un mot: il est impossible d'avoir plus de 5 solides platoniques, car toute autre possibilité rompt avec des règles simples concernant le nombre d'arêtes, d'angles et de faces que nous pouvons avoir ensemble.

Cela commence par la formule d'Euler …

Formule d'Euler

Connaissez-vous la formule d'Euler?

Il dit: pour tout polyèdre convexe (qui comprend les solides platoniques) Nombre de faces plus Nombre de verticales (points de coin) moins Nombre d'arêtes toujours égal à 2

phrase C'est écrit: F + V – E = 2

hexaèdre

Essayez-le sur les dés:

Un cube a 6 faces, 8 verticales et 12 arêtes,

si:

6 + 8 – 12 = 2

Pour voir pourquoi cela fonctionne, pensez à prendre le cube et à poser un bord
(disons d'un coin à l'autre d'une face).

Nous avons un avantage supplémentaire, plus un visage supplémentaire:

7 + 8 – 1. 3 = 2

face supplémentaire de cube

De même, lorsque nous incluons un autre sommet
nous avons également un avantage supplémentaire.

6 + 91. 3 = 2.

cube extra vertex
"Quoi que nous fassions, nous finissons toujours par 2"
(Mais seulement pour ce type de polyèdre … lisez la suite!)

Les visages se rencontrent

Ensuite, pensez à un solide platonique typique. Quel type de visages at-il et combien se rencontrent dans un coin (sommet)?

Les faces peuvent être des triangles (3 côtés), des carrés (4 côtés), etc.
flèche droite Appelons ça "s", nombre schaque visage a.

Aussi dans tous les coins, combien de visages se rencontrent? Pour un dé, trois faces se rencontrent dans chaque coin. Pour un octaèdre, quatre faces se rencontrent dans chaque coin.
flèche droite Appelons ça "m"(combien de visages mmanger dans un coin).

(Ces deux sont en fait assez pour montrer quel type de solide il est)

Solides explosifs!

Maintenant, pense que nous séparons un solide, coupant chaque face gratuitement.

Nous obtenons toutes ces petites formes plates. Et c'est deux fois plus d'arêtes (car nous coupons le long de chaque arête).

Le cube explose 12 bords devient 24 bords

Exemple: le cube coupé est maintenant composé de six petits carrés.

Et chaque carré a 4 arêtes, ce qui donne un total de 24 arêtes (contre 12 arêtes lorsqu'elles sont pliées pour former un cube).

Alors combien d'arêtes? Deux fois plus que le nombre original d'arêtes "E", ou simplement 2E

Mais cela revient aussi à compter tous les bords des petites figures. C'est s (nombre de pages par face) fois fa (nombre de faces).

phrase Cela peut être écrit comme sF = 2E

De même, quand on le coupe, que était Un coin sera maintenant plus de coins.

Dans le cas d'un dé, il y a trois fois plus de coins.

cube exploser les coins

  • Le nouveau nombre de coins est le suivant: combien de faces se rencontrent dans un coin (m) fois combien de coins du solide d'origine (V) qui est mV
  • Le nouveau nombre d’arêtes est le suivant: deux fois plus que le rapide original, ce qui est 2E

Et parce que nous avons maintenant une collection de polygones, il est même nombre de coins que d'arêtes (un carré a 4 coins et 4 bords, un pentagone a 5 coins et 5 bords, etc.)

phrase Cela peut être écrit comme mV = 2E

Prendre ensemble des équations

C'est toutes les équations dont nous avons besoin, utilisons-les ensemble:

sF = 2Ealors F = 2E / s
mV = 2Ealors V = 2E / m

Maintenant, mettons-les dans "F + V-E = 2":

F + V – E = 2

2E / s + 2E / m – E = 2

Puis quelqu'un réorganise la … soirée avec "2E":

1 / s + 1 / m – 1/2 = 1 / E

Maintenant, "E", le nombre d'arêtes ne peut pas être inférieur à zéro, donc "1 / E" ne peut pas être inférieur à 0:

1 / s + 1 / m – 1/2 > 0

Ou tout simplement:

1 / s + 1 / m > 1/2

Il ne nous reste donc plus qu'à essayer différentes valeurs de:

  • "s"(le nombre de pages de chaque visage ne peut pas être inférieur à 3), et
  • "m"(le nombre de faces se rencontrant dans un coin ne peut pas être inférieur à 3),

et nous avons fini!

Les possibilités!

Les réponses possibles sont:

résultats: Il n'y a que 5 personnes qui travaillent! Le reste n'est tout simplement pas possible dans le monde réel.

exemple: s = 5, m = 5

1 / s + 1 / m – 1/2 = 1 / E obtient

1/5 + 1/5 – 1/2 = 1 / E

-0,1 = 1 / E

ce qui fait E (nombre d'arêtes) = -10, et on ne peut pas avoir un nombre d'arêtes négatif!

Vrai?

Et la dernière étape consiste à voir si les solides sont réels:

Donc, seulement 5, et ils existent tous.

Le travail est fini.

Schläfli!

Et juste pour vous garder bien éduqués … les valeurs "s" et "m" mises ensemble entre accolades font ce qu'on appelle "le symbole de Schläfli" pour polyèdre:

Exemples:

  • Le symbole Schläfli d'Octaèdre est 3,4
  • et Icosaèdre est 3,5,

pouvez-vous exercer le reste?

Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au minimum une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, cylindre, sphère ou tube ) Régulier signifie que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou égales dans tous les aspects, et tous les abords sont de la même dimension 3D sous-entend que la forme a la largeur, la capacité et la hauteur. Un polygone est une forme verrouillée dans une figure plane avec au minimum cinq bords droits. Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face

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