Solide platonique | Math Wiki solides de Platon spirituel

En géométrie, un Solide platonique est un polyèdre convexe commun, sous la forme d’un polygone régulier. En particulier, les faces d'un solide platonique congruentes sont des polygones communs, le même nombre de faces se rejoignant à chaque sommet. Ils ont pour caractéristique unique que les faces, les arêtes et les angles de chaque solide sont congrus.

Il s'agit précisément de cinq solides platoniques (illustrés ci-dessous).

Le nom de chaque figure est dérivé du nombre de faces: 4, 6, 8, 12 et 20, respectivement.(1)

La beauté esthétique et la symétrie des solides platoniques en ont fait une cible de prédilection pour la géométrie pendant des milliers d'années. Ils portent le nom de l'ancien philosophe grec Platon, qui avait pour théorie que les éléments classiques étaient construits à partir de solides solides.

histoire

Système solaire Kepler -1

Kepler Platonic modèle solide du système solaire de Mystographic Cosmographicum (1596)

Les solides platoniques sont connus depuis l'Antiquité. On en trouve des modèles ornés parmi les boulons en pierre taillée créés par le peuple néolithique tardif en Écosse au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Les dés remontent au début de la civilisation avec des formes qui favorisent la cartographie formelle des solides platoniques.

Les anciens Grecs ont étudié les solides platoniques de manière approfondie. Certaines sources (comme Proclus) attribuent cette découverte à Pythagore. D'autres preuves suggèrent qu'il n'a peut-être connu que le tétraèdre, le cube et le dodécahron, et que la découverte de l'octaèdre et de l'icosaèdre appartient à Theaetetus, un contemporain de Platon. Théétète a dans tous les cas fourni une description mathématique des cinq méthodes et pourrait être à l'origine de la première preuve connue qu'il n'y a pas d'autre polyèdre régulier convexe.

Les solides platoniques occupent une place prépondérante dans la philosophie de Platon. Platon a écrit à leur sujet dans le dialogue Timée c.360 av. où il a attaché chacun des quatre éléments classiques (terre, air, eau et feu) avec un solide. Le sol était attaché au cube, l'air avec l'octaèdre, l'eau avec l'icosaèdre et le feu avec le tétraèdre. Il y avait une justification intuitive à ces associations: la chaleur du feu est vive et avare (comme de petits tétraèdres). L'air est fait d'octaèdre; ses composants minces sont si glissants que vous pouvez à peine le sentir. L'eau, l'icosaèdre, sort de la main quand on la prend, comme si elle était faite de petites balles. Contrairement à un solide sphérique, l'hexaèdre représente le sol (cube). Ces solides solides volumineux font fondre la saleté et l'écraser lorsqu'ils sont absorbés, ce qui contribue beaucoup à la fluidité de l'eau. Le cinquième solide platonique, le dodécaèdre, note obscure de Platon, "… le dieu arrangeait les constellations de tout le ciel". Aristote a ajouté un cinquième élément, aithêr (éther en latin, "ether" en anglais) et a postulé que le ciel était fait de cet élément, mais il n'avait aucun intérêt à le faire correspondre au cinquième jeûne de Platon.

Euclid a donné une description mathématique complète des solides platoniques dans éléments; Le dernier livre (Livre XIII) est consacré à ses caractéristiques. La proposition 13-17 du livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque Euclide fixe, trouvez la relation entre le diamètre de la sphère circonscrite et la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdre commun convexe. Une grande partie des informations contenues dans le livre XIII provient probablement de Theaetetus.

Au 16ème siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a tenté de trouver une relation entre les cinq planètes connues à cette époque (sauf la Terre) et les cinq solides platoniques. en Mystographic Cosmographicum, publié en 1596, Kepler a publié un modèle du système solaire dans lequel les cinq solides étaient insérés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et réécrites. Les six sphères correspondent chacune à l'une des planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides ont été commandés avec l'octaèdre le plus interne, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et enfin du cube. De cette manière, la structure du système solaire et les distances entre les planètes ont été dictées par les solides platoniques. Finalement, l'idée originale de Kepler a dû être abandonnée, mais son enquête a abouti à la découverte des tissus de Kepler, à la prise de conscience du fait que les orbites de la planète ne sont pas des cercles et aux lois sur le plan de mouvement de Kepler pour lesquelles il est maintenant connu.

Combinaison de propriétés

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. toutes les faces sont des polygones ordinaires convexes congruents,
  2. Aucune des faces ne coupe sauf sur les bords, et
  3. Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses coins.

Chaque solide platonique peut donc être désigné par un symbole p, q

p = nombre de côtés de chaque face (ou nombre de coins de chaque face) et
q = nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).

Le symbole p, q, appelé symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli pour les cinq solides platoniques sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de croisements (V), bords (E) et les visages (fa) peut être déterminé à partir de p et q. Puisqu'un bord est attaché à deux coins et a deux faces adjacentes, nous devons avoir:

$ pF = 2E = qV. Et $

L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler:

$ V – E + F = 2.

Ce fait désagréable peut être détecté de différentes manières (dans la topologie algébrique, il s'ensuit qu'Euler est caractéristique de la sphère est 2). Ensemble, ces trois conditions déterminent complètement V, Eet fa:

$ V = frc 4p 4 – (p-2) (q-2), quadrilatère E = frc 2pq {4 – (p-2) = frc 4q 4 – ( p-2) (q-2). $

Notez que permuter p et q nœuds fa et V en partant E inchangé (Pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres doubles ci-dessous).

classification

Le résultat classique est qu’il n’ya que cinq polyèdres communs convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Ces deux arguments montrent seulement qu'il ne peut y avoir plus de cinq solides platoniques. Le fait que les cinq existent réellement est une question distincte à laquelle on peut répondre de manière explicite.

Preuve géométrique

L’argument géométrique suivant est très similaire à ce que Euclid a donné dans éléments:

  1. Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet d'au moins trois surfaces.
  2. À chaque sommet du solide, la somme entre les surfaces adjacentes des angles entre leurs côtés adjacents respectifs doit être inférieure à 360 °.
  3. Les angles dans tous les coins de toutes les surfaces d’un solide platonique sont identiques, de sorte que chaque sommet de chaque face doit avoir une contribution inférieure à 360 ° / 3 = 120 °.
  4. Les polygones réguliers de six côtés ou plus n'ont que des angles de 120 ° ou plus. Le sujet commun doit donc être un triangle, un carré ou un pentagone. Et pour:
    • Faces triangulaires: chaque sommet avec un triangle régulier mesure 60 °, ainsi une forme peut avoir 3, 4 ou 5 triangles qui se rejoignent sur un sommet; ce sont respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre.
    • Surfaces carrées: Chaque sommet d'un carré mesure 90 °. Un seul arrangement est donc possible avec trois faces au sommet, le cube.
    • Faces pentagonales: chaque sommet est à 108 °; De nouveau, un seul arrangement de trois faces au sommet est possible, le dodécaèdre.

Preuves topologiques

Une preuve purement topologique peut être faite en utilisant uniquement des informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler en tant que $ V – E + F = 2 $et le fait que $ pF = 2E = qV $. La combinaison de ces équations vous donne l'équation

frc 2E q – E + frc 2E p = 2. $

La manipulation algébrique simple donne alors

$ 1 sur q + 1 sur p = 1 sur 2 + 1 sur E. $

depuis $ E $ est strictement positif, nous devons avoir

$ q + p> 2. $

Utilisez le fait que p et q doivent être tous deux au moins 3, on peut facilement voir qu’il n’ya que cinq possibilités pour p, q:

3 $ (3, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 3, 3 $

Propriétés géométriques

angles

Il existe un certain nombre d'angles associés à chaque solide platonique. L'angle dièdre est l'angle interne entre les deux surfaces. L'angle dièdre, θ, du fixep,q est donné par la formule

est 2 = fra cs (pi / q) sin (pi / p). $

C’est parfois plus pratique en termes de clé de

$ cs (pi / h) f cs (pi / q). $

la quantité h sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour tétraèdre, cube, octèdre, dodécaèdre et icosaèdre.

L'angle gel au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles des faces à ce sommet et 2π. Le défaut, 5, à chaque coin des solides platoniques p,q est

delta = 2 pi – q en gauche (1- 2 sur p droite). $

Dans un théorème de Descartes, il est égal à 4π divisé par le nombre de croix (c'est-à-dire que le défaut total dans tous les angles est de 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle de plan est un angle solide. L'angle fixe, Ω, au sommet d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

Oméga = qheta – (q-2) pi. Et $

Cela découle de la formule en excès sphérique pour un polygone sphérique et du fait que le sommet du polystyrène p,q est un commun q-Gon.

Les différents angles associés aux solides platoniques sont résumés ci-dessous. Les valeurs numériques pour les angles fixes sont données en stéradians. La constante φ = (1 + √5) / 2 est le nombre d'or.

polyèdre Angle dièdre
$ (chaud), $
$ fc 2 $ défectueux $ (delta), $ Angle solide $ (Omega), $
tétraèdre 70,53 ° $ 1 $ $ 2 $ pi $ cos ^ – 1 right (frc 23 27 right) $ 0,551286 $
cube 90 ° $ 1 $ $ pi sur 2 $ $ p 2 $ 1 57080 $
octaèdre 109,47 ° $ $ 2 $ $ 2 pi plus de 3 $ $ 4 est ^ – 1 à gauche (1 sur 3 à droite) $ 1,35935 $
dodécaèdre 116,57 ° $ $ $ $ $ pi sur 5 $ pi – sur ^ – 1 à gauche (frc 2 11 à droite) $ 2,96174 $
icosaèdre 138,19 ° $ phi ^ 2, $ $ pi sur 3 $ $ 2 pi – 5 est ^ – 1 à gauche (2 sur 3 à droite) $ 2,663455 $

Radi, surface et volume

Un autre avantage de la régularité est que les solides platoniques ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces balles sont appelés cercle circonscrit, il midradiuset inradius. Ce sont les distances entre le centre du polyèdre et les angles, les points médians du bord et les centres de la face. Le circumradius R et le rayon r du jeûne p, q avec longueur d'arête un est dégagé

$ R = left (a plus de 2 right) fr q q et 2 $
$ r = left (a plus de 2 right) fc f fc 2 $

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est dégagé

$ rho = left (a sur 2 right) frc cos (pi / p) s (pi / h) $

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que le rapport entre le rayon et le rayon est symétrique dans p et q:

$ R sur r = à fc q q. $

La surface, FR, d'un solide platonique p, q se calcule facilement comme la surface d’un p– fois le nombre de faces fa. C'est:

$ A = left (a plus de 2 right) ^ 2 fp coc frc p p. $

Le volume est calculé comme fa fois le volume de la pyramide dont la base est régulière p-gon et dont la hauteur est rayon r. C'est,

$ V = 1 sur 3 rA. $

Le tableau suivant montre les différents rayons des solides platoniques ainsi que leur surface et leur volume. La taille totale est fixée en prenant la longueur du bord, un, être égal à 2.

polyèdre
(un = 2)
Rayon (r) Rayon moyen (ρ) Rayon de rayon (R) Surface plate (FR) volumeV)
tétraèdre 1 $ $ 6 $ $ 1 $ $ 2 $ 3 sur 2 $ $ 4 inc. 3 $ $ $ 2 3 $
cube $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 24 $ $ 8 $
octaèdre $ 3 $ $ 1 $ $ 2 $ 8 $ est 3 $ $ $ 2 3 $
dodécaèdre $ $} $ ^ $ 2 $ 3 $, 3ph $ $ 60 frc varphi xi $ $ 20 frc varphi ^ 3 xi ^ 2 $
icosaèdre $ $ $} $ $ $ $ $ en x $ 20 $ carrés 3 $ $ $ 20 $ 3 $

Les constantes φ et ξ dans ce qui précède sont données par

Où = 2 cos 5 = 5} = cc 1 + crt 5 2 qquad xi = 2 est pi sur 5 = cc cc 5 sqrt 5 2 = 5 ^ 1/4 varphi ^ – 1/2. $

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou l’icosaèdre peuvent être considérés comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et il serre la sphère inscrite avec la plus grande densité. Le dodécaèdre, en revanche, présente le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle fixé au sommet et remplit le plus la sphère circonférentielle.

symétrie

Polyèdre double

Dual Cube-Octaèdre

Un double cube octaédrique.

Chaque polyèdre a un double polyèdre avec faces et angles alternés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, de sorte que nous pouvons organiser les cinq solides en deux paires.

  • Le tétraèdre est auto-doublant (son double est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a un symbole Schläfli p, q, alors le double symbole a q, p. En fait, toutes les propriétés combinatoires d'un solide platonique peuvent être interprétées comme une autre caractéristique combinatoire du dual.

On peut construire le double polyèdre en prenant les doubles points de ceux qui sont les centres des faces de la figure originale. Le bord du double est formé en reliant les centres aux faces adjacentes de l'original. De cette manière, le nombre de faces et d'angles est échangé, tandis que le nombre d'arêtes reste le même.

Plus généralement, on peut dualiser un solide platonique par rapport à une sphère de rayon concentrique au solide. Radii (R, p r) d'un solide et ceux de ses deux (R*, ρ *, r*) lié à

$ d ^ 2 = R t $

Il est souvent commode de dédoubler l’espace médian ( = ρ) puisqu'il a le même rapport aux deux polyèdres. prise 2 = rr donne un double solide avec le même circumradius et en rayon (ie. R* = R et r* = r).

Groupes de symétrie

En mathématiques, le terme symétrie est étudié avec le terme groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) laissant l'invariant du polyèdre. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On distingue souvent entre groupe de symétrie complet, qui inclut les réflexions, et bon groupe de symétrie, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes de symétrie dans les solides platoniques sont connus sous le nom de groupes polyédriques (qui constituent une classe particulière des groupes de points en trois dimensions). Le degré élevé de symétrie des solides platoniques peut être interprété de plusieurs manières. Plus important encore, les verticales de chacun sont égales sous l'effet du groupe de symétrie, ainsi que des arêtes et des surfaces. On dit que l'action dans le groupe de symétrie est transitive sur les croix, les arêtes et les faces. En fait, c’est une autre façon de définir la régularité d’un polyèdre: un polyèdre est régulièrement si et seulement si c'est l'uniforme du sommet, l'uniforme du bord et l'uniforme du visage.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés aux solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie de tout polyhèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facile à voir en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie de dual et vice versa. Les trois groupes polyédriques sont:

Les ordres pour les groupes corrects (rotation) sont respectivement 12, 24 et 60, soit deux fois plus d’arêtes dans le polyèdre correspondant. Les ordres des groupes de symétrie complets sont deux fois plus nombreux (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une dérivation de ces faits.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides platoniques. Les groupes de symétrie répertoriés sont les groupes complets avec les sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (de la même manière pour le nombre de symétries). La construction de kaléidoscope de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de ses groupes de symétrie. Nous nous référons au symbole de référence de Wythoff pour chacun des solides platoniques.

Dans la nature et la technologie

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont naturellement présents dans les structures cristallines. Celles-ci n'excluent jamais le nombre de formes possibles de cristaux. Cependant, ni l'icosaèdre habituel, ni le dodécaèdre habituel ne sont parmi eux. L'une des formes, appelée pyritohèdre (du nom du groupe de minéraux typique), a douze faces pentagonales, disposées dans le même motif que les faces du dodécaèdre commun. Cependant, les faces du pyritohèdre n'étant pas communes, le pyritohèdre ne l'est pas non plus.

Circogoniaicosahedra éq

Circogonia icosahedra, une espèce de Radiolaria, en forme d'icosaèdre régulier.

Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) a décrit un certain nombre d'espèces de radiolaires, dont certaines ont des squelettes en forme de polyèdres communs. Les exemples incluent Sirkoporus octaèdre, Icosahedra de Circogonia, Lithocubus geometricus et Dodécaèdres de Circorrhegma. La forme de ces créatures devrait être évidente à partir de leurs noms.

De nombreux virus, tels que le virus de l'herpès, ont la forme d'un icosaèdre commun. Les structures virales sont construites à partir de sous-unités protéiques identiques répétées, et l'icosahédron est la forme la plus simple à assembler à l'aide de ces sous-unités. Un polyèdre ordinaire est utilisé car il peut être construit à partir d'une seule unité de base de protéine utilisée à plusieurs reprises; Cela économise de l'espace dans le génome du virus.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux de flux atmosphériques présentant un intérêt croissant utilisent une grille basée sur un icosaèdre (affiné par triangulation) au lieu de la latitude / longitude plus communément utilisée. Cela présente l’avantage d’une résolution spatiale espacée de manière égale, sans singularités (c’est-à-dire avec des pôles), aux dépens de difficultés numériques un peu plus grandes.

La géométrie des cadres est souvent basée sur les solides platoniques. Dans le système MERO, les solides platoniques sont utilisés pour nommer la convention de différentes configurations de trame spatiale. Par exemple, ½ O + T fait référence à une configuration composée d'un demi-octaèdre et d'un tétraèdre.

Les solides platoniques sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes, car ces derniers peuvent être équitablement construits. Les dés à 6 faces sont très courants, mais les autres numéros sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. Ces cubes sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.); voir la notation des dés pour plus de détails.

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Un puzzle qui ressemble à un cube de Rubik se présente sous les cinq formes – voir polyèdres magiques.

Polyèdres et polytopes associés

Polyèdres uniformes

Il existe quatre polyèdres communs non convexes, appelés polyèdres de Kepler-Poinsot. Celles-ci ont toutes une symétrie icosaédrique et sont disponibles en tant que stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Le polyèdre convexe le plus fréquent pour les solides platoniques est le cuboctaèdre, une correction du cube et de l'octaèdre, et l'anneau d'icosidodécène, une correction du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la correction du tétraèdre auto-dopant est une octaèdre commune). Ce sont les deux quasi-régulière ce qui signifie qu'ils sont uniformes en haut et en bord et qu'ils ont des faces régulières, mais que les faces ne sont pas toutes congruentes (elles appartiennent à deux classes différentes). Ils forment deux des treize tissus d'Archimède, qui sont la symétrie polyhédrique polyhédrale convexe uniforme.

Le polyèdre uniforme forme une classe beaucoup plus large de polyèdres. Ces nombres sont le sommet et ont un ou plusieurs types de polygones communs ou en étoile pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec un ensemble infini de prismes, un ensemble infini d'antiprismes et 53 autres formes non convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces solides mais qui ne sont pas uniformes.

pavages

Les trois mosaïques courantes dans l’avion sont étroitement liées aux solides platoniques. En fait, on peut voir les solides platoniques comme les cinq mosaïques communes de la balle. Ceci est fait en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces font saillie sur des polygones sphériques ordinaires qui recouvrent exactement la sphère. On peut montrer que chaque pavage ordinaire de la sphère est caractérisé par une paire d’entiers p, q avec 1 /p + 1 /q > 1/2. De même, une tessellation commune de l'aéronef est caractérisée par l'état 1 /p + 1 /q = 1/2. Il y a trois possibilités:

De la même manière, on peut envisager des pavages réguliers du plan hyperbolique. Celles-ci sont caractérisées par la condition 1 /p + 1 /q <1/2. Il y a un nombre infini de telles mosaïques.

Dimensions supérieures

Dans plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent en polytopes, les polytopes à corps solide convexe à plus grande dimension étant équivalents aux solides platoniques à trois dimensions.

Au milieu des années 1800, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli a découvert les analogues à quatre dimensions des solides platoniques, appelés 4-polytopes communs convexes. Il y a exactement six de ces nombres; cinq sont analogues aux solides platoniques, tandis que la sixième, à 24 cellules, n'a pas d'analogue dimensionnel.

Dans toutes les dimensions supérieures à quatre, il n'y a que trois polytopes fixes convexes: le simplex, l'hypercube et le polytope croisé. En trois dimensions, celles-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.

Voir aussi

remarques

  1. Dans le contexte de la géométrie solide, le mot régulièrement est implicite et généralement omis. le mot irrégulier est également utilisé pour préciser qu'un polyèdre n'est pas commun, mais on pense toujours qu'il a la même topologie que la forme régulière.
    D'autres formes topologiques complètement différentes, telles que le dodécaèdre rhombique à 12 faces rhombiques, ou les pôles en étoile non convexes, tels que le grand dodécaèdre, ne sont jamais attribuées sous des noms abrégés.

références

  • Atiyah, Michael; et Sutcliffe, Paul (2003). "Polyèdres en physique, chimie et géométrie". Milan J. Math 71: 33-58. doi: 10,1007 / s00032-003-0014-1.
  • Carl, Boyer; Merzbach, Uta (1989). Une histoire de mathématiques (2e éd.). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
  • Coxeter, H.S.M. (1973). Polytopes réguliers (Troisième édition). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
  • Euclid (1956). Heath, Thomas L. ed. Les treize livres des articles d'Euclide, livres 10-13 (2nd un. Ed.). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60090-4.
  • Haeckel, E. (1904). La forme d'art de la nature. Disponible sous la référence Haeckel, E. (1998); Formes d'art dans la nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6, ou en ligne à l'adresse (1).
  • Weyl, Hermann (1952). symétrie. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
  • "String seu de nive sexangula" (sur des flocons de neige à six angles), article de Kepler datant de 1611 ans, qui traitait de la cause des formes à six angles du cristal de neige, ainsi que de ses symétries dans la nature. En parlant de solides platoniques.

Liens externes

cs: Platónské těleso
da: legemeeo platonic: Platona solidogl: Sólido platónicoit: Solido platonico
Il: va te faire foutre
hu: test de Szabályos
à: corps platonicien
pl: Wielościan renouveler
pt: Sólido platónicosl: Platonsko telosv: Corps platoniques
th: ตัน ตัน เพล โต
uk: Правильный многогранник
horloge: solide platonique


La beauté et l’intérêt des solides de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de gens, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. Les Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une partie importante de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au courant de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. Les formes qui forment les cinq Solides de Platon atypiques se retrouvent de manière naturelle dans la nature, mais également dans le monde cristallin. Travailler avec eux séparément est censé nous aider à nous raccorder à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le format commun qui nous lie tous à la hauteur moléculaire et spirituel.

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